Matemática - Unidade III

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Unidade III
5 INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE FUNÇÃO
Para esta unidade, iremos apresentar um dos conceitos mais importantes da matemática e um dos 
mais difíceis de ser entendido: o conceito de função. Essa é a parte da matemática cuja aplicação é de 
extrema importância. Apresentaremos o significado de x como uma variável e suas aplicações cotidianas.
Para o correto entendimento do conceito de função, é necessário que todos os itens que compõem 
sua definição sejam adequadamente definidos e entendidos.
5.1 Álgebra dos conjuntos
5.1.1 Conjuntos
Os conjuntos são agrupamentos, classes, categorias de elementos que têm uma característica em 
comum. Essa característica em comum é que define o conjunto.
Por exemplo:
A = Conjunto dos alunos do primeiro ano do curso de matemática da UNIP.
B = Conjunto dos guitarristas canhotos de rock.
C = Conjunto dos dinossauros que vivem atualmente na América do Sul.
Os conjuntos podem ser vazios, ou seja, nenhum elemento contém aquelas propriedades que definem 
o conjunto. O exemplo C é um modelo de conjunto vazio, e tem um símbolo especial para ele: ∅.
Na matemática, os conjuntos são representados por letras maiúsculas. Se forem conjuntos conhecidos 
ou definidos, usam‑se as letras iniciais do alfabeto (A, B, C). Se forem conjuntos desconhecidos ou 
variáveis, usam‑se as letras finais (X, Y, Z).
5.1.2 Elementos
Os elementos são as entidades que possuem a característica que define o conjunto. Não há ligação 
física entre um elemento e um conjunto, como também não há ligação entre os elementos de um 
mesmo conjunto. Elementos de um conjunto não formam grupos nem precisam estar geograficamente 
próximos. Apenas possuem uma característica comum.
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Por exemplo:
Conjunto A = {todos vocês}
Conjunto B = {Jimi Hendrix, Eric Gales, Tony Iommi, Paul McCartney, Kurt Cobain, ...}
Conjunto C = { } = ∅
Na matemática, os elementos são representados pelas letras minúsculas do alfabeto, e usam‑se 
também as iniciais para elementos conhecidos e as finais para as variáveis ou desconhecidos. A fim 
de indicar que um elemento possui a característica que define um conjunto, usa‑se o símbolo de 
pertinência ∈, e diz‑se que o elemento a pertence ao conjunto A, ou a ∈ A. Se um elemento não possui 
a característica, diz‑se que o elemento a não pertence ao conjunto A, ou a ∉ A.
5.1.3 Número de elementos
O número de elementos de um conjunto (também chamado de cardinalidade do conjunto) é a 
quantidade de elementos que possuem a característica que define o conjunto, ou seja, o número 
de elementos que pertencem ao conjunto. Ele é simbolizado por n(A), que representa o número de 
elementos de um conjunto.
Por exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} → n(A) = 4
B = {a, b, c, ..., x, y, z} → n(B) = 26
C = {x ∈ /x2 = 9} n(C) = 2; (C = {‑3, 3})
5.1.4 Representações
Os conjuntos com seus elementos admitem, principalmente, três tipos principais de representação:
Enumeração (por extensão)
É quando listamos todos os elementos de um conjunto, ou deixamos indicado, de forma clara, quais 
seriam eles.
Por exemplo:
Números naturais = N = {0, 1, 2, 3, ...}
Ataque da seleção brasileira de 1970 = {Jairzinho, Gérson, Pelé, Tostão, Rivelino}
Sobrinhos do Donald = {Huguinho, Zezinho, Luisinho}
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Lei de formação (por compreensão)
Muitas vezes é conveniente citar a característica que define o conjunto, em vez dos seus elementos. 
A essa característica se dá o nome de lei de formação.
Por exemplo:
A = {seleções campeãs da copa do mundo}
B = {letras do alfabeto grego}
C = {x ∈ /x > 2}
Diagrama de Venn‑Euler
Em certos casos, principalmente nas análises genéricas ou estruturais das teorias dos conjuntos, 
não nos interessa saber quem são os elementos dos conjuntos, ou nem mesmo quem é o conjunto. 
Só queremos estudar o que acontece em certos casos com qualquer conjunto que seja. Nessas situações, 
fica mais fácil utilizar uma representação dos conjuntos na qual não seja necessário defini‑lo (lei de 
formação), nem listar seus elementos (enumeração). Para tanto, usamos os diagramas que representam 
conjuntos genéricos, conjuntos quaisquer.
Exemplos:
a) b) 
Figura 25
A representação por diagrama muitas vezes nos dá a ideia incorreta de que os elementos de um 
conjunto estão ligados a este, que estão fisicamente próximos ou mesmo “dentro” dos conjuntos. 
Como já vimos, nada disso é verdade. A única ligação é que o elemento possui a propriedade que define 
o conjunto. Pense, por exemplo, no conjunto das pessoas que têm olhos castanhos. Os elementos 
desse conjunto estão espalhados por quase todos os cantos do planeta e certamente não devem ter 
muita coisa em comum fora o fato de serem homo sapiens e terem genes para olhos castanhos. Mas 
mesmo assim, são um conjunto, no sentido matemático do termo, e poderiam ser representados pelos 
conjuntos A ou B anteriores.
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5.2 Operações com conjuntos
5.2.1 Operações
Assim como estamos acostumados a fazer operações com números, existem também operações com 
conjuntos, que obedecem a regras e nos permitem resolver problemas.
Como uma adição de dois inteiros nos dá outro inteiro, uma operação com conjuntos nos dá outro 
conjunto, ou seja, a adição entre 5 e 2 nos dá outro número, o 7, e dessa mesma forma uma operação 
entre dois conjuntos, A e B, nos dará um terceiro conjunto, por exemplo, C.
Vamos conhecer essas operações.
5.2.2 União
A união dos conjuntos A e B nos dá um conjunto C dos elementos que têm a característica do 
conjunto A ou a característica do conjunto B. Aqui a palavra‑chave é ou, o que inclui os elementos que 
têm somente a característica do conjunto A, ou somente a característica do conjunto B ou então as 
duas. Matematicamente, temos:
{ }A B C x | x A x B∪ = = ∈ ∨ ∈
Constam a seguir exemplos de conjuntos:
1. A = cachorros famosos = {Lassie, Rin Tin Tin, Scooby‑Doo, Snoopy, Pluto, Pateta}
B = gatos famosos = {Garfield, Tom, Frajola}
C = cachorros famosos ou gatos famosos
Portanto, o conjunto C será: C = A U B
C= {Lassie, Rin Tin Tin, Scooby‑Doo, Snoopy, Pluto, Pateta, Garfield, Tom, Frajola}
2. Sejam os conjuntos:
E = {x ∈ / x > 2}
F = {x ∈ / x < 10} 
O conjunto união G = E U F
G = E U F = 
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3.
a) H b) I
Figura 26
J = H ∪ I
H I
Figura 27 
5.2.3 Intersecção
A intersecção dos conjuntos A e B nos dá um conjunto C dos elementos que têm a característica do 
conjunto A e a característica do conjunto B. Aqui a palavra‑chave é e, o que inclui os elementos que têm 
a característica do conjunto A e também a característica do conjunto B. Quem possui somente uma das 
duas ou nenhuma delas está fora. Matematicamente, temos:
{ }A B C x A x B∩ = = ∈ ∧ ∈
A seguir apresentamos alguns exemplos de conjuntos de físicos:
1. A = físicos famosos do século XX = {Einstein, Rutherford, Bohr, Heisenberg, Planck}
B = físicos alemães = {Einstein, Abbe, Bednorz, Planck, Hertz, Webber, Heisenberg}
C = físicos alemães famosos do século XX = {Einstein, Planck, Heisenberg}
2. Sejam os conjuntos:
E = {x ∈ / x > 2}
F = {x ∈ / x < 10} 
G E F {x / 2 x 10}= ∩ = ∈ < <
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3.
a) H b) I
Figura 28
J = H ∩ I
H I
Figura 29 
5.2.4 Diferença simétrica
A diferença simétrica dos conjuntos A e B nos dá um conjunto C dos elementos que têm ou a 
característica doconjunto A ou a característica do conjunto B, mas não as duas. Essa operação resulta 
num conjunto que inclui os elementos que têm somente a característica do conjunto A e também os 
elementos que têm somente a característica do conjunto B. Quem possui as duas características ou 
nenhuma delas está fora. Matematicamente, temos:
{ }A B C x | x A x B∆ = = ∈ ∨ ∈
A seguir exemplos de conjuntos de físicos:
1. A = alguns físicos famosos do século XX = {Einstein, Rutherford, Bohr, Heisenberg, Planck}
B = alguns físicos alemães = {Einstein, Abbe, Bednorz, Planck, Hertz, Webber, Heisenberg}
Assim, determina‑se o conjunto C:
{ }A B C x | x A x B∆ = = ∈ ∨ ∈
Portanto, C terá a forma:
C = físicos famosos do século XX ou físicos alemães
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C = {Rutherford, Bohr, Abbe, Bednorz, Hertz, Webber}
2. Sejam os conjuntos definidos a seguir:
E = {x ∈ N/ x > 2}
F = {x ∈ N/ x < 10} 
Determinar o conjunto: G = E∆F
Portanto:
G = E∆F = {x ∈ N/ x ≤ 2 v x ≥ 10}
3. Sejam os conjuntos definidos, segundo o diagrama de Venn, a seguir:
a) H b) – I
Figura 30
J = H∆I
H I
Figura 31 
5.2.5 Complementar
O complementar de um conjunto A é o conjunto A formado por todos os elementos que não apresentam 
a característica que define o conjunto A, ou seja, todos os elementos que estão no universo em estudo e 
não pertencem a A.
Matematicamente, o complemento de A se denota: A = {x | x ∈ U ∧ x ∉ A}
Observe que a definição de complemento depende do conjunto universo para estar bem‑definida.
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Constam a seguir exemplos de conjuntos de cores:
1. A = cores primárias = {azul, amarelo, vermelho}
A = cores não primárias = {verde, laranja, roxo, rosa, cinza, ocre, ...}
2. Seja o conjunto B definido a seguir:
B = {x ∈ / x > 2}
O complemento do conjunto B será:
B = {x ∈ / x ≤ 2}
3. Sejam os conjuntos definidos, segundo os diagramas de Venn, a seguir:
A A
a) Conjunto A b) Conjunto complemento de A
Figura 32
 Observação
Podemos também falar no complementar de um conjunto (A) em relação 
a outro conjunto (B), denotando assim: CBA. Esse complementar relativo nos 
dá todos os elementos de um conjunto que não fazem parte do outro.
Matematicamente, podemos escrever:
{ }ABC x | x B x A= ∈ ∧ ∉
Portanto, o complementar de A relativo a B seria o conjunto B ‑ A, ou:
{ }ABC B A x | x B x A= − = ∈ ∧ ∉
Vejamos a seguir os seguintes exemplos:
1. Sejam os conjuntos definidos a seguir:
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A = {matemática, engenharia, física}
B = {matemática, engenharia, administração}
Vamos determinar o complementar de A relativo a B:
C AB = B ‑ A = {administração}
2. ( ) ( ){ }A B A B A B∆ = ∪ − ∩
3. A = U ‑ A
Onde: U = {conjunto universo}
5.3 Entendendo um diagrama de Venn‑Euler
Suponha que queiramos representar graficamente os conjuntos dos alunos que gostam de matemática 
e os que gostam de português. Embora sejam apenas dois conjuntos, há quatro tipos de alunos que temos 
que representar. Existe o estudante que gosta somente de matemática, o que gosta somente de português 
e, claro, o que gosta dos dois. Mas existe, ainda, uma quarta classificação possível, aquele que não gosta 
de nenhuma das duas. Então, embora tenhamos somente dois conjuntos, há quatro possibilidades de 
combinação. Suponha que tenhamos feito uma pesquisa com 100 alunos e que o resultado tenha sido:
• somente matemática: 35;
• somente português: 18;
• as duas disciplinas: 31;
• nenhuma disciplina: 16.
Representar esses dados num diagrama de Venn‑Euler é muito fácil. Vejamos a seguir:
M
16
35 31 18
P
Figura 33 
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5.3.1 Representação simbólica
Matemáticos geralmente são pessoas bastante lógicas e objetivas e sempre que possível usam representações 
mnemônicas para os diversos assuntos da matemática. Claro que essas representações, esquemas, gráficos, 
símbolos, palavras ou frases relacionados com o assunto que se pretende trabalhar têm a vantagem de tornar 
a matemática uma linguagem universal, pois não dependem do entendimento de nenhuma língua específica.
Então, se na língua portuguesa entendemos perfeitamente bem o que significa “somente 
matemática”, essa expressão não diz muito em árabe ou ucraniano. Desse modo, os matemáticos criaram 
uma simbologia universal para cada uma das possibilidades anteriores.
No conjunto dos que gostam somente de matemática, os elementos apresentam a característica de gostar 
de matemática e não gostar de português. São, portanto, os elementos x, tal que x ∈ M e x ∉ P, o conjunto P 
(complementar). Assim, o “somente matemática” é o conjunto dos que gostam de matemática (M) e não gostam 
de português (P). Escrevemos então que “somente matemática” é o conjunto M ∩ P, ou abreviadamente MP.
Analogamente, podemos falar dos que gostam somente de Português (MP), dos que gostam dos dois 
(MP) e dos que não gostam de nenhum (MP).
Assim, num diagrama genérico de dois conjuntos A e B, o diagrama de Venn‑Euler ficaria:
A
AB
AB
AB AB
U
B
Figura 34 
• Conjunto AB: os elementos que pertencem ao conjunto A e não ao B (somente A).
• Conjunto AB: os elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B).
• Conjunto AB: os elementos que não pertencem ao A, mas ao B (somente B).
• Conjunto AB: os elementos que não pertencem a nenhum dos dois conjuntos (nem A nem B).
5.3.2 Resolvendo problemas concretos com conjuntos abstratos
Os conjuntos não são apenas bonitos e graciosos, mas também muito úteis para estruturar 
o raciocínio e validar hipóteses, resolvendo problemas quantitativos de forma rápida e eficiente. 
Para o nosso curso, a representação mais conveniente é a do diagrama de Venn‑Euler, e é com ela que 
vamos trabalhar daqui por diante.
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Imaginemos a seguinte situação: você é o pesquisador de uma agência de publicidade e precisa 
definir qual mídia é mais interessante para a divulgação do produto de seu cliente, uma cerveja com 
nome de religião oriental. As mídias mais cogitadas são televisão e hebdomadários.
Foi feita uma pesquisa de mercado com 1.000 consumidores de cerveja e o resultado foi que 868 
assistem regularmente à televisão, 743 leem regularmente hebdomadários e 83 não fazem nem um 
nem outro. O custo para anunciar na televisão é de 500 mil reais, e para fazê‑lo num hebdomadário é 
de 200 mil. A pergunta é: vale a pena investir nas duas mídias? Para saber exatamente a distribuição dos 
consumidores em relação às duas mídias, vamos usar um diagrama.
T
TR
TR
TR TR
U
R
Figura 35 
Nesse diagrama, temos que T representa o conjunto dos consumidores que assistem regularmente 
à televisão, R o conjunto dos consumidores que leem comumente revistas semanais e U o conjunto 
total dos entrevistados. O que representa a intersecção de T e R? Os consumidores que veem TV e leem 
revistas. Se você somar os números dados, 868 + 743 + 83, teremos um total de 1.694, que ultrapassa 
em 694 o total de entrevistados. Quem são esses 694?
Vamos pensar no consumidor que vê TV e lê revista. Se você perguntar a ele se ele vê TV, ele vai 
responder que sim, somando 1 no total dos que veem TV. Se você perguntar se ele lê revista, ele 
também dirá que sim, somando 1 também no total dos que leem revistas. Ou seja, 1 entrevistado foi 
contabilizado duas vezes, pois ele vê TV e também lê revista. Assim, o número de respostas ultrapassa 
o total de entrevistados.
Então, quem são os 694? Justamente os consumidores que foram contabilizados duas vezes, os que 
responderam sim paraas duas perguntas, os que assistem à TV e leem revistas. E onde esse grupo deve 
ficar no diagrama? Na intersecção de T e R, no conjunto TR.
694
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Vamos continuar porque agora está fácil. Se o total de entrevistados que disseram assistir à TV 
foi de 868, e desses, 694 também leem revistas, quantos assistem à TV e não leem revistas, ou seja, 
quantos estão em TR? 868 ‑ 694, o que nos dá um total de 174 consumidores que somente veem TV. 
E quantos somente leem revistas? Pelo mesmo raciocínio teremos 743 ‑ 694, que dá um total de 49. 
Com os 83 que não veem TV e não leem revistas (estão em TR), temos o diagrama completo:
T
83
174 694 49
R
U
Figura 37 
A pergunta inicial foi: Vale a pena investir nas duas mídias, sabendo que em TV gastaremos 500 
mil e em revistas 200 mil? Bom, se gastaremos 500 mil para atingir os consumidores que veem TV, 
temos um custo de R$ 500.000,00 ÷ 868 ≈ R$ 576,00 por consumidor. Se anunciarmos também em 
revistas, gastaremos mais 200 mil para atingir os outros 49 consumidores não atingidos pela televisão, 
então teremos um custo aproximado de R$ 200.000,00 ÷ 49 ≈ R$ 4.080,00 por consumidor. Se você 
fosse o gerente de marketing, investiria nas duas mídias?
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Reconheça, nos diagramas a seguir, quem são os conjuntos destacados, utilizando‑se das operações 
∪, ∩, ∆ e ‑:
A B
C
Figura 38 – A
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Resolução
Os conjuntos A, B e C, estando destacado parcialmente o conjunto A, sendo: A ∩ B (parcialmente 
destacado), A ∩ C (não destacado) e A ∩ B ∩ C (não destacado).
Portanto, temos representado por cor A ‑ C.
Analise o conjunto destacado:
A B
C
Figura 39 – B
Temos os conjuntos A, B e C, estando destacados parcialmente o conjunto B e C, sendo: B ∩ C 
(destacado parcialmente), A ∩ C (não destacado), A ∩ B (não destacado) e A ∩ B ∩ C (não destacado). 
Portanto, temos representado por cor os conjuntos B ∪ C menos o conjunto A.
A B
C
Figura 40 – C
Temos na figura os conjuntos A, B e C, porém não temos nenhum dos conjuntos destacados. Sendo 
a representação vazia.
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A B
C
Figura 41 – D
Temos na figura os conjuntos A, B e C, estando destacadas as intersecções entre eles, sendo: B ∩ 
C (destacado parcialmente), A ∩ C (destacado), A ∩ B (destacado) e A ∩ B ∩ C (destacado). Portanto, 
consta representado por cor a união da intersecção de todos os conjuntos.
Exemplo 2
Em um determinado congresso com foco na área de SI (Sistema de Informação), no qual participaram 
1.054 pessoas entre público e palestrantes, verificou‑se em uma pesquisa que:
• 947 participantes atuam na área de TI;
• 835 atuam na área de projetos;
• 756 atuam em projetos de TI.
Quantos participantes não atuam nas áreas em questão?
Resolução
Utilizaremos o diagrama de Venn‑Euler para resolver o problema. Para completar o diagrama, 
preencheremos primeiro os elementos que eles possuem em comum, ou seja, a intersecção:
TI
U
756
P
Figura 42 
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Ou seja, conforme informado no problema, 756 pessoas atuam na área de projetos de TI.
Para descobrirmos quantas pessoas atuam só na área de TI, basta subtrair o número de elementos da 
intersecção da quantidade total de pessoas que são da área de TI, ou seja: 947 ‑ 756 = 191.
TI
U
756
P
191
Figura 43 
Devemos proceder de forma análoga para descobrirmos o número de pessoas que atuam na área de 
projetos: 835 ‑ 756 = 79.
TI
U
756
P
191 79
Figura 44 
Agora falta descobrirmos quantos foram os participantes que não eram de nenhuma das duas áreas. 
Para isso, basta somar a quantidade de pessoas que atuam somente em TI, somente em projetos e a 
intersecção entre eles: 191 + 79 + 756 = 1026.
O enunciado do problema nos informou a quantidade total de participantes no congresso, 
portanto é só subtrair o total de participantes de TI, projetos e projetos de TI do total de participantes 
do congresso da seguinte maneira: 1054 ‑ 1026 = 28.
TI
U
756
P
191 79
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Figura 45 
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Exemplo 3
Quantos participantes atuam apenas em TI?
Resolução
Devemos observar o preenchimento do diagrama de Venn, no qual consta a quantidade de pessoas 
que atuam somente em TI.
TI
U
756
P
191 79
28
Figura 46 
Exemplo 4
Quantos participantes atuam em TI e P?
Resolução
Devemos observar o preenchimento no diagrama de Venn, no qual consta a quantidade de pessoas 
que atuam tanto em TI quanto em P ao mesmo tempo, ou seja, a intersecção entre os conjuntos, ou 
seja, 756 participantes:
TI
U
756
P
191 79
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Figura 47 
Exemplo 5
Quantos participantes atuam em TI ou P?
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Resolução
Devemos observar o preenchimento do diagrama de Venn, no qual consta a quantidade de pessoas 
que atuam em TI, projetos e a intersecção entre eles, ou seja, somar a quantidade de elementos 
dessas três possibilidades, ou melhor, a união entre TI e P: TI ∪ P.
TI
U
756
P
191 79
28
Figura 48 
Portanto, os participantes que atuam em TI ou projetos correspondem à união dos conjuntos, ou 
seja, exatamente a soma correspondente a 191+756+79 = 1026 participantes.
Exemplo 6
Quantos participantes atuam ou em TI ou em P?
Resolução
Essa questão é um pouco diferente das anteriores, ou seja, ela pede os elementos ou que estão 
somente em TI ou que estão somente em P, mas não aqueles em comum, a intersecção.
Essa situação é a diferença simétrica entre TI e P: TI∆P. Como queremos os participantes que atuam 
ou em TI ou em projetos. Devemos somar os participantes que pertencem somente ao conjunto TI e 
aqueles que pertencem somente ao conjunto P:
TI
U
756
P
191 79
28
Figura 49 
Portanto, os elementos que são somente de TI unidos com aqueles que são apenas de projetos 
correspondem à soma 191+79 = 270 participantes.
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MATEMÁTICA
6 RELAÇÕES
Estudar relações entre elementos de dois ou mais conjuntos é um dos ramos mais importantes da 
matemática. Esse estudo permite expandir aplicações além da área das ciências exatas, abrangendo muitas 
outras ciências também. É a partir do estudo das relações que obteremos o conceito de função.
6.1 Par ordenado
Vimos anteriormente os conjuntos, suas propriedades, bem como suas operações. Vamos pensar 
da seguinte maneira: sejam dois conjuntos denominados H e M, ambos não vazios, chamamos de 
par ordenado dos elementos de H e M ao par (x, y), no qual x ∈ H e y ∈ H, exatamente nessa ordem.
Por exemplo:
Sejam H = {Daniel, Hélio, Marcos} e M = {Ana, Muiza, Marcela, Simone}, temos:
(Daniel, Ana) → é par ordenado de H e M, pois Daniel ∈ H e Ana ∈ M
(Ana, Daniel) → não é par ordenado de H e M, pois Ana ∉ M e Daniel ∉ M
(Daniel, Marcela) → é par ordenado de H e M, pois Daniel ∈ H e Marcela ∈ M
(Hélio, Marcos) → não é par ordenado de H e M, pois Hélio ∈ H, porém Marcos ∉ M
(Ana, Marcela) → não é par ordenado de H e M, pois Ana ∉ M, embora Marcela ∈ M
 Lembrete
Sejam os conjuntos A e B (não vazios), chamamos de par ordenado dos 
elementos de A e B o par (a, b) onde a ∈ A e b ∈ B, nessa ordem.
 Observação
Dois pares (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d.
6.1.1 Produto cartesiano
Chama‑se produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B o conjunto de todos ospares 
ordenados (a, b) com primeiro elemento em A e segundo elemento em B.
Simbolicamente: A x B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}
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Unidade III
Se A = ∅ ou B = ∅, então A x B = ∅
Por exemplo, sejam A = {1, 2} e B = {2, 4, 6}
A x B = {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (2, 2); (2, 4); (2, 6)} e sua representação gráfica é dada por:
1
‑1
1
2
3
4
5
6
2 3
x
y
Figura 50 – Diagrama cartesiano
1
2
6
4
2
BA
Figura 51 – Diagrama de Venn‑Euler
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 5, 6}, então A x B será representado pelo conjunto definido a seguir:
A x B = {(1, 1), (1, 2), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 5), (4,6, )}
 Observação
O conjunto resultante do produto cartesiano entre dois conjuntos 
corresponde a uma coleção de pares ordenados.
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MATEMÁTICA
6.1.2 Relação binária
Chama‑se relação binária de um conjunto A em um conjunto B qualquer subconjunto de A x B.
Notação: se R é uma relação de A em B, então R ⊂ A x B. Se a está relacionado com b, escrevemos 
aR(b) ou (a, b) ∈ R.
Considere os conjuntos A = {1,2} e B = {2, 4, 6}. Seu produto cartesiano será então: A x B = {(1, 2); 
(1, 4); (1, 6); (2, 2); (2, 4); (2, 6)}. Assim, são relações binárias de A em B:
R1 = {(1, 2)}
R2 = {(1, 2), (1, 4), (2, 6)}
R3 = ∅
Sejam A = {‑2, ‑1, 1, 2} e B = {1, 4}, definimos a relação binária de A em B da seguinte maneira:
R = {(a, b) ∈ A x B| b = a2}. Logo, podemos escrever R, da forma:
R = {(‑2, 4); (‑1, 1); (1, 1); (2, 4)} e sua representação gráfica é dada por:
‑5 ‑4 ‑3 ‑2 ‑1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
y
x
Figura 52 
 Lembrete
Chama‑se relação binária de um conjunto A em um conjunto B qualquer 
subconjunto de A x B.
6.1.3 Representação gráfica
Para representarmos um par ordenado graficamente, utilizamos os chamados eixos cartesianos. 
Mas o que são eixos cartesianos? São duas retas perpendiculares. O ponto em que se cortam (0,0) 
recebe o nome de origem das coordenadas.
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Unidade III
Nessas retas, estabelece‑se uma série de convenções, conforme figura a seguir:
4
‑1
3
‑2
2
‑3
1
‑4 1‑3 2‑2 3‑1 4
x
y
‑4
Figura 53 
O eixo horizontal é positivo à direita da origem das coordenadas e negativo à sua esquerda. Recebe 
o nome de eixo das abscissas, do latim abscindere, que significa cortar.
O eixo vertical é positivo acima da origem das coordenadas e negativo abaixo. Recebe o nome de 
eixo das ordenadas.
6.1.4 Representação gráfica dos pares ordenados
Situemos o par ordenado (2, 3) no plano. O primeiro componente, 2, é representado sobre o eixo das 
abscissas e o segundo componente, 3, sobre o eixo das ordenadas.
4
‑1
3
‑2
2
‑3
1
‑4 1‑3 2‑2 3‑1 4
x
y
‑4
Figura 54 
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MATEMÁTICA
Por exemplo, descreva os seguintes pontos no plano cartesiano:
P (3, 5), Q (‑3, 5), R (‑3, ‑5) e S (3, ‑5).
4
5
6
‑1
3
‑2
2
‑3
1
‑4‑5‑6 1‑3 2‑2 3‑1 4 5 6
x
y
‑4
‑5
‑6
Figura 55 
6.1.5 Domínio, contradomínio e imagem de relações binárias
Sejam os conjuntos A e B uma relação denotada por R que parte de A e chega em B, sendo R um 
subconjunto de AxB. Em linguagem matemática, escrevemos: R : A → B.
 Observação
Definição matemática: ( ){ } { }D(R) x A | x,y R x A | xRy= ∈ ∈ = ∈
Chamamos de domínio da relação o conjunto de todos os elementos de A que estão na relação, 
ou seja, que tem seu respectivo par em B. O domínio de uma relação é denotado por D(R) ou Dom(R). 
Por exemplo, considere os conjuntos A = {1, 2, 5, 6} e B = {2, 4, 6, 8}, e a relação R1 definida por: 
R1 = {xRy / y = 2x}. Dessa forma, a relação R1 será: R1 = {(1, 2); (2, 4)}. Quem será, nesse caso, o 
domínio da relação R1? Considerando a definição que D(R) é o conjunto dos elementos do conjunto 
de partida (o conjunto A) que têm par na relação, em D(R) = {1, 2}, pois os elementos 5 e 6, embora 
pertençam ao conjunto A, não estão na relação, ou seja, não têm par. Assim, o conjunto de partida da 
relação é o conjunto A = {1, 2, 5, 6} e o domínio da relação é D(R) = {1, 2}.
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Unidade III
Já o contradomínio de uma relação é o conjunto de chegada, o conjunto que compõe o 
segundo elemento dos pares ordenados. É importante notar que o contradomínio é formado por 
todos os elementos do segundo conjunto, independentemente se eles estão na relação ou não. 
Denotamos o contradomínio da relação R por C(R) ou CD(R).
 Observação
Definição matemática: CD(R) = {y|y ∈ B}.
E ainda, considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e a relação R2 definida por: 
R2 = {xRy / y = x + 1}. Dessa forma, a relação R2 será: R2 = {(1, 2); (2, 3); (3, 4)}. Como vimos, 
o contradomínio de uma relação independe do conteúdo da própria relação. Então, nesse caso, o 
contradomínio de R2 é: CD(R2) = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os elementos {1, 5, 6} não estão na relação, mas 
pertencem ao contradomínio da relação.
As definições de domínio e contradomínio parecem desequilibradas, pois o domínio é constituído 
somente pelos elementos do primeiro conjunto que estão na relação, enquanto o contradomínio 
é formado por todos os elementos do segundo conjunto, não importando se estão na relação ou 
não. Então, o que seria a contrapartida do domínio, ou seja, o conjunto dos elementos do segundo 
conjunto que estão na relação? A esse conjunto se dá o nome de imagem de uma relação, e 
denotamos por I(R) ou Im(R).
 Observação
Definição matemática: ( ){ } { }Im(R) y B | x,y R y B | xRy= ∈ ∈ = ∈
Temos outro exemplo ao considerar os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, e a relação 
R3 definida por: R3 = {xRy / y = x + 2}. Dessa forma, a relação R3 será: R3 = {(1, 3); (2, 4); (3, 5); 
(4, 6)}. Como a imagem é formada pelos elementos do segundo conjunto que estão na relação, temos 
que a imagem de R3 será dada por Im(R3) = {3, 4, 5, 6}, pois os demais elementos de B, {2, 7}, não 
estão na relação R3.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {0, 2, 4, 6, 8, 10}. Para cada 
uma das relações a seguir, descreva o conjunto de pares ordenados da relação e dê seu domínio, seu 
contradomínio e sua imagem.
A) R1 = {(x, y)| y = x, x ∈ A, y ∈ B}
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MATEMÁTICA
Resolução
Relacionando os elementos segundo a lei de formação, temos:
R1 = {(1,1), (3,3), (5,5)}
Dom R1 = {1,3,5}
CD R1 = {1,3,5,7,9}
Im R1 = {1,3,5}
B) R2 = {(x, y)| y = x
2, x ∈ A, y ∈ C}
Relacionando os elementos segundo a lei de formação, temos:
R2 = {(2,4)}
Dom R2 = {2}
CD R2 = {0,2,4,6,8,10}
Im R2 = {4}
C) R3 : A → C
 R3 = {(x, y)| y = 2x}
Relacionando os elementos segundo a lei de formação, temos:
R3 = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8), (5,10)}
Dom R3 = {1,2,3,4,5}
CD R3 = {0,2,4,6,8,10}
Im R3 = {2,4,6,8,10}
D) R4 : B → C
 R4 = {(x, y)| y = 2x ‑ 1}
R4 = { }
Dom R4 = { }
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Unidade III
CD R4 = {0,2,4,6,8,10}
Im R4 = { }
A relação entre os conjuntos B e C é vazia, segundo a lei de formação dada, pois ela nos indica que a imagem 
da relação deveria ser um número ímpar do tipo 2x ‑ 1, porém o contradomínio só possui elementos pares.
E) R5 : C → B
 R5 = {(x, y)| y = 2(x ‑ 1)}
Relacionando os elementos segundo a lei de formação, temos:
R5 = { }
Dom R5 = { }
CD R5 = {1,3,5,7,9}
Im R5 = { }
A relação entreos conjuntos B e C é vazia, segundo a lei de formação dada, pois ela nos indica que 
a imagem da relação deveria ser um número par do tipo 2(x ‑ 1) = 2x ‑ 2, porém o contradomínio só 
possui elementos ímpares.
6.2 Funções polinomiais: função de 1º grau
Em muitas situações cotidianas, encontramos variáveis cujo valor depende de outra, sendo composta 
uma relação ou proporção entre essas duas variáveis. E, em geral, há uma regra que rege essa relação. 
A esse trio formado pelas duas variáveis que se relacionam e à regra que rege essa relação damos o 
nome de função.
 Observação
Afirmar que uma grandeza é função de outra significa dizer que 
a primeira depende da segunda. A cada valor da segunda grandeza 
corresponde um único valor da primeira, e se há mudança da segunda, 
automaticamente ocorre modificação da primeira.
Como exemplo, podemos citar:
• o preço do prato em restaurantes por quilo (reais x gramas);
• o valor a pagar pelo combustível (reais x litro);
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MATEMÁTICA
• o tempo de viagem em relação à distância a percorrer (horas x quilômetros);
• a numeração de roupas (número x tamanho);
• o valor da corrida do táxi (reais x quilômetros).
Embora, para efeito de compreensão, a ideia apresentada seja útil, a definição exata de função 
envolve mais alguns conceitos. Matematicamente falando, uma função é uma relação com duas 
características específicas:
• o domínio da função é o primeiro conjunto: isso quer dizer que todos os elementos do conjunto 
de partida estão na relação, ou seja, tem par: (x ∈ A ⇒ (x, y) ∈ );
• cada elemento do domínio tem somente um par, ou seja, não há um mesmo x para dois y diferentes: 
(x1 = x2 ⇒ y1 = y2).
Assim, toda relação que apresenta as duas características anteriores é também chamada de função, 
e uma função é o conceito fundamental de uma das três grandes áreas da matemática: o cálculo 
diferencial e integral.
Enquanto para uma relação geralmente os elementos são denominados x e y, quando uma relação 
é também uma função, é muito comum utilizar o símbolo f(x) para representar o elemento do segundo 
conjunto, o y. O mais usual, embora não obrigatório, é utilizar a notação (x, y) quando formos tratar dos 
pares ordenados que compõem a função e usar a notação (x, f(x)) quando estamos nos referindo à lei 
de formação da função e seu respectivo tratamento algébrico. De qualquer forma, as duas notações são 
válidas para os pares ordenados de uma função, e as duas serão aqui utilizadas indistintamente.
Embora a ideia de função seja natural e sempre tenha existido em estudos matemáticos, foi o suíço 
Leonhard Euler (1707‑1783) que desenvolveu o conceito matemático de função, inclusive com a adoção 
dos símbolos x e f(x).
6.2.1 Função linear
Quando dois valores são proporcionais, a função do primeiro grau que as relaciona é chamada linear, 
pois seu traço em um gráfico é uma reta. Assim, podemos escrever que f(x) = ax, sendo a um valor 
constante a ∈ . No exemplo de um restaurante que cobrasse R$ 12,00 por quilo, poderíamos dizer que 
a função preço obedece à lei f(x) = 12x, com x em quilogramas e f(x) em reais.
A composição da lei de formação da função obedece a um critério simples: chamamos de x a variável 
independente, aquela que, em teoria, pode variar livremente, e denominamos f(x) a variável que tem seu 
valor em função do valor da variável independente, ou seja, em função de x. No caso do restaurante por 
quilo, não é possível escolher quanto se quer pagar e sair pesando a comida. Deve‑se primeiro escolher 
o que comer e depois calcular quanto pagar, em função do peso total do prato. Desse modo, a variável 
independente é o peso, e o preço a pagar está em função do peso.
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Matematicamente falando, as duas variáveis são independentes, e a função é que estabelece a 
relação de dependência entre elas. Assim, tanto faz dizer que o preço é em função do peso ou que o 
peso está em função do preço. Mas em uma análise mais aplicada, é sempre bom decidir corretamente 
quem é a variável independente.
6.2.2 Função afim
No exemplo da conta da corrida de táxi, a lei de formação f(x) = ax não expressaria 
corretamente o cálculo do valor da corrida em função da quilometragem rodada, pois há um 
valor fixo, a bandeirada, que deve ser adicionado ao valor total. Então, a lei que o representa 
fica: f(x) = ax + b, com a sendo o valor associado à variável independente (o valor do quilômetro 
rodado) e b um valor fixo, independente da variável (o valor da bandeirada). Esse tipo de função 
é chamada função afim.
A definição matemática de função afim é:
f:  → , (f)x = ax + b, a ∈ , b ∈ , a ≠ 0, b ≠ 0
e expressa que a função vale para todos os números reais, definida por uma lei f(x) = ax + b, pela qual 
a e b devem ser valores reais e diferentes de zero.
6.2.3 Função constante
Se utilizarmos o exemplo da mensalidade da faculdade, as leis de formação f(x) = ax e f(x) = ax + b 
não poderiam ser utilizadas para expressar corretamente, pois para a primeira lei precisaríamos de um valor 
que variasse de acordo com o número de dias e para a segunda lei precisaríamos, além de um valor que 
variasse de acordo com o número de dias, de um valor fixo. A lei que representa essa função é a lei: 
f(x) = b, pela qual b é um valor fixo e constante, independente da variável. Esse tipo de função é 
chamado de função constante.
 Observação
Definição matemática:
f:  → 
x → c (c ∈ )
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0, c).
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6.2.4 Gráfico
O gráfico de uma função de 1º grau da forma:
f:  → , (f)x = ax + b, a ∈ , b ∈ , a ≠ 0, b ≠ 0
é uma reta e sua inclinação depende do valor de a, de fato, o valor de a é associado ao ângulo de 
inclinação da reta formado entre a reta da função e o eixo das abscissas (eixo dos “x”). Se o valor de b for 0, 
então a reta irá pela origem (ponto (0,0), a intersecção dos eixos). Se não, a reta passará pelo ponto (0,b), 
cortando o eixo das ordenadas no ponto b.
Se a > 0, então a reta é crescente, pois quanto maior o valor de x maior será o valor de f(x). Se a < 0, 
então a reta é decrescente. E se a = 0, teremos uma reta horizontal, paralela ao eixo dos “x”, e a função é 
chamada constante, como vimos anteriormente.
5
4
3
2
1
‑1
‑1 2 4 6 8
x
y
‑2 1
a>0
b=0
3 5 7 9
‑2
Figura 56 – Função linear com a > 0 e b = 0
5
4
3
2
1
‑1
‑1 2 4 6 8
x
y
‑2 1
a>0
3 5 7 9
‑2
Figura 57 – Função afim crescente com a > 0 e b = 1
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x
y
‑2 1
a<0
3 5 7 9
‑2
Figura 58 – Função afim decrescente com a < 0 e b = 4
5
4
3
2
1
‑1
‑1 2 4 6 8
x
y
‑2 1
a=0
3 5 7 9
‑2
Figura 59 – Função constante com a = 0 e b = 3
 
5
4
3
2
1
‑1
‑1 2 4 6 8
x
y
∆y
f(x) = ax + b
∆x
α
‑2 1 3 5 7 9 10
‑2
Figura 60 – Função afim com a > 0 e b = ‑1
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Um posto de combustível calcula sua lucratividade separadamente por bomba. Dessa forma, o custo 
de cada bomba é dado pelo rateio dos custos fixos do posto mais o custo do combustível vendido. 
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MATEMÁTICA
Certa bomba de gasolina tem um custo fixo de R$ 1.200,00, e a gasolina vendida nela custa, para o 
posto, R$ 2,20 o litro. O posto vende o combustível a R$ 2,40. Determine:
A) A função custo da bomba.
B) A função receita da bomba.
C) A função lucro da bomba.
D) A quantidade mínima de combustível para a bomba dar lucro.
E) O gráficoda função lucro.
Resolução
A) Para determinar a função custo da bomba, devemos identificar qual é o custo fixo e qual é o 
custo variável.
O problema nos informa que o custo fixo é R$ 1.200,00, ou seja, esse valor não varia. Já o custo 
variável, conforme nos informa, é R$ 2,20, pois varia de acordo com a quantidade de combustível 
comprada. A variável da questão é o combustível para x ≥ 0. Logo, temos que:
C(x) = 2,20x + 1.200
Custo fixo
Quantidade de combustível
Custo variável
Função: custo em função da quantidade de combustível
Figura 61 
B) Receita é a entrada de capital (dinheiro) na entidade. O problema nos informa que o litro do 
combustível é vendido no posto por R$ 2,40, ou seja, para que haja receita, é necessária a venda 
do combustível.
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Unidade III
Logo, para x ≥ 0, a função deve ser modelada por:
Quantidade de combustível
Preço de venda do combustível
Função: receita em função da quantidade de combustível vendida
R(x) = 2,40x
Figura 62 
C) Lucro é a diferença entre o quanto se fatura (vendeu) e o quanto foi gasto (custo). Logo, para 
x ≥ 0, a função lucro pode ser modelada por:
L(x) = R(x) ‑ C(x)
L(x) = 2,40x ‑ (2,20x + 1.200)
L(x) = 2,40x ‑ 2,20x ‑ 1.200
L(x) = 0,20x ‑ 1.200
 Observação
Para obter lucro, é necessário vender o suficiente para cobrir o custo fixo.
D) Descobrindo a quantidade de combustível utilizando a função lucro, temos:
0,20x 1.200 0
0,20x 1.200
1.200
x
0,20
x 6.000
− =
=
=
=
O custo fixo dessa quantidade encontrada (6.000 litros) seria coberto pelo dono do posto de gasolina. 
Para obter lucro, ele teria que vender x > 6.000 litros de gasolina.
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MATEMÁTICA
E) Vamos analisar a função no gráfico, com x ≥ 0, temos:
2800
2600
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
‑2800
‑2600
‑2400
‑2200
‑2000
‑1800
‑1600
‑1400
‑1200
‑1000
‑800
‑600
‑400
‑200 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
x
y
y = 0.20x ‑ 1200
Figura 63 
Analisando o gráfico, temos uma função linear crescente, ou seja, quanto mais combustível for 
vendido, maior será o lucro do dono do posto. No eixo x estamos representando a quantidade de 
combustível, enquanto no eixo y estamos representando o valor em reais lucrado pelo dono do posto.
Conforme a função lucro encontrada anteriormente: L(x) = 0,20 ‑ 1.200, podemos verificar 
no gráfico que a função intercepta o eixo y no valor ‑1.200, que é o montante do custo fixo que o 
dono do posto precisa recuperar, assim como a função intercepta o eixo do x na quantidade de 
combustível igual a 6.000 litros, volume com o qual ele consegue cobrir suas despesas, porém, ainda 
sem lucro.
Exemplo 2
Um motorista de táxi cobra R$ 3,20 de bandeirada mais R$ 0,80 por quilômetro rodado. Determine:
A) A lei da função que representa essa situação;
B) Quanto custa uma corrida de 8 km;
C) Quanto poderia rodar um passageiro com R$ 20,00;
D) O gráfico da função.
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Unidade III
Resolução
A) Para determinar a função para x ≥ 0, custo de uma corrida de táxi, primeiramente devemos identificar 
o custo fixo e o custo por quilômetro rodado (custo variável). Conforme o problema, temos:
C(x) = 0,80+3,20
Custo fixo
Quantidade de quilômetros
Custo variável
Função: custo em função da quantidade de quilômetros rodados
Figura 64 
B) Conforme a questão anterior, para x ≥ 0, temos que a função custo do táxi é:
C(x) = 0,80x + 3,20
Para saber o valor a ser pago se utilizar o táxi por uma distância de 8 km, basta substituir x por 8:
C(x) = 0,80x + 3,20
C(8) = 0,80 x 8 + 3,20
C(8) = 6,40 + 3,20
C(8) = 9,60
C) Para sabermos quanto poderia rodar um passageiro com R$ 20,00, teremos que substituir C(x) por 
20, pois essa é a função que representa o total em dinheiro gasto com o táxi, assim:
C(x) = 0,80x + 3,20
20,00 = 0,80x + 3,20
‑0,80x = 3,20 ‑ 20,00
‑0,80x = ‑16,80
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MATEMÁTICA
C(x) 0,80x 3,20
20,00 0,80x 3,20
0,80x 3,20 20,00
0,80x 16,80
16,80
x
0,80
x 21
= +
= +
− = −
− = −
−
=
−
=
D) O gráfico da função para 0 ≤ x ≤ 22 é:
20.8 y = 0 . 80x + 3 . 20; 0.0 <= x <= 22
18.4
16.0
13.6
11.2
8.8
6.4
4.0
20.0
17.6
15.2
12.8
10.4
8.0
5.6
3.2
1.6
‑0.8 1 4 7 10 13 16 19 222 5 8 11 14 17 20 233 6 9 12 15 18 21 24 25
x
19.2
16.8
14.4
12.0
9.6
7.2
4.8
2.4
0.8
‑1.6
Figura 65 
Analisando o gráfico, podemos verificar que, para entrar no táxi, deve ser paga a quantia de R$ 3,20, 
ou seja, onde a função intercepta o eixo do y. A cada quilômetro rodado, acrescentam‑se R$ 0,80 no 
preço a ser pago.
Exemplo 3
Construa o gráfico da função f(x) = x ‑2 e responda:
A) Qual é o valor de x para que f(x) seja positivo?
B) Qual é o valor de x para que f(x) seja igual a zero?
C) Qual é o valor de x para que f(x) seja negativo?
Resolução
Para x ≥ 0:
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Unidade III
‑5 ‑4 1 5‑3 2 6‑2 3 7‑1 4
x
y
‑1.0
‑2.0
‑3.0
4.0
y = x ‑2
‑4.0
3.0
‑5.0
2.0
‑6.0
1.0
Figura 66 
A) Observando o gráfico, podemos ver que f(x) é positivo quando o valor da variável x é maior que 2 (x > 2).
B) Observando o gráfico, podemos ver que f(x) é igual a zero quando o valor da variável x é igual a 2 (x = 2).
C) Observando o gráfico, podemos ver que f(x) é negativo quando o valor da variável x é menor que 2 (x < 2).
6.3 Função polinomiais: função de 2º grau
Nas funções lineares, a relação de dependência constituía‑se em uma “regra de três”. Em certos casos, 
essa relação é mais complexa e, em muitas vezes, ela pode ser definida como uma função polinomial.
Como já vimos no estudo das funções lineares, funções são “leis” matemáticas que expressam a 
relação existente entre duas variáveis; uma variável independente, que chamamos costumeiramente de x, 
e uma variável que depende da primeira, a qual chamamos de f(x) (para os cálculos algébricos) e por 
vezes de y (quando pensamos em gráficos).
Funções polinomiais são aquelas nas quais se desenvolve um polinômio em x. São funções do tipo:
n n 1
n n 1 1 0a x a x ... a x a
−
−+ + + + , a ∈
6.3.1 Função quadrática
Denominam‑se funções quadráticas as funções polinomiais nas quais o maior grau do expoente da 
variável é 2. A função do 1º grau podia ser expressa como f(x) = ax + b, com o expoente do x sendo 1. 
Assim, as funções quadráticas podem ser expressas na forma geral, sendo do tipo f(x) = ax2 + bx + c, 
com a ≠ 0 (caso contrário, teríamos uma função do 1º grau). As funções quadráticas são muito utilizadas 
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MATEMÁTICA
na física, em particular no estudo da cinemática, em que temos a função horária do movimento 
 
uniformemente variado (MUV). A expressão geral do MUV é 
2
0 0
at
s s v t
2
= + + . Se considerarmos 
 
s = f(x) e t = x, e sabendo que s0, v0 e a são constantes (respectivamente c, b e 2a da forma geral da 
função quadrática), veremos que a função horária do MUV é exatamente uma função de 2º grau, e tudo 
o que for visto aqui serve para uso na física, e vice‑versa.
Como exemplos de funções de 2º grau (ou quadráticas), temos:
• f(x) = x2 ‑ 6x + 5 • f(x) = x2 ‑ 9
• f(x) = 3x2 ‑ 2x + 1 • f(x) = 3x2 ‑ 3x
• f(x) = ‑ 2x2 ‑ 3x + 4 • f(x) = x2
6.3.2 Valor da função
Como em qualquer função, se quisermos saber o valor que corresponde a x, basta substituir o valor 
de x na expressão.
Assim, na função f(x) = 3x2 ‑ 2x + 1, o valor para x = 1 é dado ao substituir esse valor na função:
f(x) = 3 . 12 + 2 . 1 + 1 = 6
Na função f(x)= x2 ‑ 9, o valor para x= 3 é dado, ao substituir o valor de x = 3, na função:
f(x) = 32 ‑ 9 = 9 ‑ 9 = 0.
6.3.3 Raízes da função
Chamamos de raízes da função, ou zeros da função, os valores de x para os quais f(x) = 0, ou 
seja, aqueles montantes de x para os quais a função se anula. Quando igualamos uma função a um 
número, dizemos que temos uma equação, e a solução de uma equação de 2º grau é a conhecida 
fórmula de Bhaskara:
b
x
2a
− ± ∆
= , onde ∆ = b2 ‑ 4ac
Como observado, essas fórmulas nos darão nenhum, um ou até mesmo dois valores distintos de x. 
Vamos, então, utilizar a fórmula de Bhaskara para achar as raízes de uma função quadrática.
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Unidade III
Seja a função f(x) = x2 ‑ 6x + 5, se quisermos achar suas raízes, temos que verificar em que ponto a 
função se anula, ou seja, para qual valor de x a função se iguala a zero.
Então, fazemos x2 ‑ 6x + 5 = 0 e temos uma equação de 2º grau a partir da qual podemos aplicar a 
fórmula de Bhaskara.
Nessa equação, temos os valores a = 1, b = ‑ 6 e c = 5; substituindo na fórmula, teremos:
∆ = b2 ‑ 4ac
∆ = (‑6)2 ‑ 4 . 1 . 5
∆ = 36 ‑ 20
∆ = 16
b
x
2a
( 6) 16
x
2.1
6 4
x
2
− ± ∆
=
− − ±
=
±
=
6 4
x ' 5
2
+
= =
6 4
x '' 1
2
−
= =
Como podemos ver, a função f(x) = x2 ‑ 6x + 5 tem duas raízes, dois valores de x que zeram a função. 
De fato, se fizermos x = 1, teremos 12 ‑ 6.1 + 5 = 1 ‑ 6 + 5 = 0 e, se fizermos x = 5, teremos 52 ‑ 6.5 + 
5 = 25 ‑30 + 5 = 0.
Pode parecer um pouco limitado conhecer somente quais os valores de x que anulam a função. 
Mas se pensar bem, isso resolve qualquer outro problema proposto.
Caso deseje saber para quais valores de x a função f(x) = ‑3x2 ‑ 2x + 1 dá exatamente ‑3, basta 
avaliar f(x):
f(x) = ‑ 3
‑3x2 ‑ 2x + 1 = ‑3
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MATEMÁTICA
‑3x2 ‑ 2x + 1 + 3 = 0
‑3x2 ‑ 2x + 4 = 0
E, dessa forma, achar a solução da nova equação, que nos dará o valor onde f(x) = ‑ 3.
Há na nova equação que a = ‑3, b = ‑2 e c = 4 e, substituindo na fórmula, teremos:
∆ = b2 ‑ 4ac
∆ = (‑2)2 ‑ (4 . ‑3 . 4)
∆ = 4 + 48
∆ = 52
x
b
a
x
x
   

   

 

2
2 52
2 3
2 7 21
6
.
,
x
x
’
, ,
,
"
, ,
,
 



 
 

 


2 7 21
6
9 21
6
153
2 7 21
6
5 21
6
0 86
 Observação
Em relação ao discriminante ∆:
∆ > 0 se o valor de ∆ for maior que zero, a equação possui duas raízes reais.
∆ = 0 se o valor de ∆ for igual a zero, a equação possui somente uma 
raiz real.
∆ < 0 se o valor de ∆ for menor que zero, a equação não possui raízes 
no conjunto dos números reais.
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Unidade III
6.3.4 Gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, veremos algumas de suas características no 
exemplo a seguir.
Valor de C
7
6
5
4
‑1
‑1 1 2 3 4 5 6 7
7
7
3
‑2
2
‑3
1
‑4
Raiz 1
Vértice da parábola
Eixo de simetria
Raiz 2
Figura 67 – Gráfico da função: f(x) = x2 ‑ 6x + 5
Podemos ver no gráfico alguns elementos importantes do gráfico da função quadrática.
• Valor de c da parábola corta o eixo Y.
• Raízes são onde a parábola corta o eixo X.
• Vértice é o ponto máximo ou mínimo, conforme a concavidade da função.
• Eixo de simetria é a reta vertical que divide a parábola em duas metades simétricas.
 Saiba mais
Para informações adicionais sobre funções, leia:
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. São Paulo: Makron Books, 1992.
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MATEMÁTICA
6.3.5 Construção do gráfico
Já sabemos que o gráfico da função quadrática é uma parábola. Sendo assim, para esboçá‑lo alguns 
pontos são importantes.
Quadro 6 
Concavidade A parábola terá concavidade para cima quando a > 0 e concavidade para baixo quando a < 0.
Vértice O vértice da parábola será dado pelo ponto 
b
,
2a 4a
− −∆ 
   .
Eixo de simetria
A reta que nos dá o eixo de simetria é definida pela média aritmética das 
 
raízes x ' x ''x
2
+ =  
. Também podemos calculá‑la pelo x do vértice 
b
x
2a
−
= .
Raízes A parábola cortará o eixo x nos pontos definidos pelas raízes, quando houver.
Eixo A parábola cortará o eixo y no ponto (0,c). 
6.3.6 Modelos gráficos
Os gráficos da função quadrática, de modo genérico, dependem principalmente de dois itens: 
quantidade de raízes (o,∆) e concavidade.
Assim, são seis os tipos básicos de gráficos:
1º caso
a > 0 (concavidade para cima)
∆ > 0 (duas raízes)
Figura 68 
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Unidade III
2º caso
a > 0 (concavidade para cima)
∆ = 0 (uma raiz)
Figura 69 
3º caso
a > 0 (concavidade para cima)
∆ < 0 (nenhuma raiz)
Figura 70 
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MATEMÁTICA
4º caso
a < 0 (concavidade para baixo)
∆ > 0 (duas raízes)
Figura 71 
5º caso
a < 0 (concavidade para baixo)
∆ = 0 (uma raiz)
Figura 72 
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Unidade III
6º caso
a < 0 (concavidade para baixo)
∆ < 0 (nenhuma raiz)
Figura 73 
 Observação
Assim como para encontrar as raízes de uma equação usamos a 
regra da soma e produto, podemos usá‑la para encontrar a resolução de 
uma equação de 2º grau. 
x x
b
a
x x
c
a
’ "
’ . "
  

Exemplo de aplicação
Exemplo 1
Para a função de 2º grau a seguir: f(x) = x2 ‑ x + 2, determine:
A) A concavidade.
B) O discriminante.
C) As raízes (se houver).
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MATEMÁTICA
D) O vértice.
E) O esboço do gráfico.
Resolução
A) Verificamos a concavidade de uma função no valor do parâmetro a, ou seja, o coeficiente ou valor 
que está multiplicando a variável x2, que nesse caso, é o coeficiente 1.
Logo, a > 0, com concavidade para cima.
B) Para calcularmos o discriminante, utilizaremos a fórmula:
∆ = b2 ‑ 4ac, onde: a = 1, b = ‑1 e c = 2
Substituindo e valorando, temos:
∆ = b2 ‑ 4ac
∆ = (‑1)2 ‑ 4 . 1. 2
∆ = 1 ‑ 8
∆ = ‑ 7
C) Como o valor do discriminante é menor que zero, não existem raízes reais para essa função, 
ou seja, a função não cortará o eixo X.
D) Para calcularmos o ponto de vértice de uma função de 2º grau, utilizaremos a fórmula:
V
b
a a
  


2 4
,
Substituindo e valorando, a abscissa do vértice é:
b ( 1) 1
0,5
2a 2 1 2
− − −
= = =
×
Substituindo e valorando, a ordenada do vértice é:
( 7) 7
1,75
4a 4 1 4
−∆ − −
= = =
×
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Unidade III
E) Esboço do gráfico:
4.0
3.0
2.0
1.0
‑4 ‑2 1 3‑3 ‑1 2 4
x
V
P
y
Figura 74
Observando o gráfico, podemos verificar, como mencionamos anteriormente, que a função analisada 
não intercepta o eixo X, pois não possui raízes no conjunto dos números reais.
O vértice V da função é dado pelos pontos (0,5; 1,75), ou seja, o ponto de mínimo da função. 
E a função intercepta o eixo Y no ponto P(0, 2), como mostra o gráfico.
Exemplo 2
Para a função de 2º grau a seguir f(x) = ‑ x2 + 5x ‑ 6, determine:
A) A concavidade.
B) O discriminante.
C) As raízes (se houver).
D) O vértice.
E) O esboço do gráfico.
Resolução
A) Verificamos a concavidade de uma função no valor do parâmetro a, ou seja, o coeficiente que está 
multiplicando a variável x2. Nesse caso, o coeficiente é ‑1.
Logo, a<0 indica concavidade para baixo.
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MATEMÁTICA
B) Para calcularmos o discriminante, utilizaremos novamente a expressão:
∆ = b2 ‑ 4ac, onde: a = ‑1, b = 5 e c = ‑6
Substituindo e valorando, o discriminante será:
∆ = b2 ‑ 4ac
∆ = 52 ‑ 4 . ‑1 . ‑6
∆ = 25 ‑ 24
∆ = 1
C) Como o valor do discriminante é maior que zero, ou seja, ∆ = 1, temos duas raízes reais que iremos 
achar utilizando a fórmula de Bhaskara. Substituindo, temos:
b
x
2a
5 1
x
2 1
5 1
x
2
− ± ∆
=
− ±
=
× −
− ±
=
−
5 1 4
x ' 2
2 2
− + −
= = =
− −
5 1 6
x '' 3
2 1
− − −
= = =
− −
D) Para calcularmos o ponto do vértice de uma função de 2º grau, utilizaremos a fórmula:
V
b
a a
  


2 4
,
Substituindo e valorando, a abscissa do vértice é:
b 5 5
2,5
2a 2 ( 1) 2
− − −
= = =
× − −
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Unidade III
Substituindo e valorando, a ordenada do vértice é:
1 1
0,25
4a 4 ( 1) 4
−∆ − −
= = =
× − −
E) Esboço do gráfico:
‑1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
‑1 7
x
y
V
P
‑2 6 13‑3 5 12‑4 4 11‑5 3 10‑6 2 9‑7 1 8
‑2.0
‑3.0
‑4.0
‑5.0
‑6.0
Figura 75 
Observando o gráfico, podemos verificar que a função dada intercepta o eixo X nos pontos (2, 0) e (3, 0).
O vértice da função é dado pelo ponto V=(2,5 ; 0,25), ou seja, o ponto máximo da função.
A função intercepta o eixo Y no ponto P=(0, ‑6).
Exemplo 3
Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica‑se que 200 frequentadores 
comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00. Comparecem 180 frequentadores por dia.
A) Admitindo‑se que o número de frequentadores por dia f relaciona‑se com o preço (p) por meio de 
uma função do 1º grau, obtenha a função f(p)?
B) Qual a receita máxima?
C) Qual o preço do ingresso quando a receita é máxima?
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MATEMÁTICA
Resolução
A) Vamos primeiro montar uma tabela com os dados fornecidos pelo problema. Chamaremos de x 
o valor do preço do ingresso e de y a quantidade de frequentadores do parque. Assim, o problema nos 
informa que:
Tabela 1 
x (Preço do ingresso) y (nº de frequentadores)
R$ 10,00 200
R$ 15,00 180
Podemos utilizar a fórmula do coeficiente angular para encontrar o valor do parâmetro a de uma 
função de 1º grau.
a
y final y inicial
x final x inicial
 

Substituindo e valorando, temos:
a 

   180 200
15 10
20
5
4
Utilizaremos f(x) para representar a ordenada y.
Sabemos que uma função de 1º grau tem a forma f(x)= ax + b, e temos o valor de f(x), x e a, falta 
determinar o valor do parâmetro b.
Substituindo:
Para efetuar a substituição, temos que escolher os valores que se relacionam entre si. Por exemplo, 
escolhemos o valor do ingresso a R$ 10,00, onde comparecem 200 frequentadores, mas poderíamos 
ter escolhido o de R$ 15,00, onde comparecem 180 frequentadores. O uso independente destas 
variáveis não altera o resultado, vejamos a seguir:
f(x) = ax + b f(x) = ax + b
200 = ‑4(10) + b 180 = ‑4(15) + b
200 = ‑ 40 + b 180 = ‑60 + b
b = 240 b = 240
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Unidade III
Logo, a função pode ser modelada por: f(p)= ‑4p + 240
Outra maneira de resolver esse problema é montando um sistema de equações lineares, duas 
equações e duas incógnitas. Assim, podemos utilizar o método da adição para resolvê‑lo, conforme 
segue demonstrado a seguir:
10a + b = 200 equação I
15a + b = 180 equação II
Para eliminarmos uma das incógnitas, precisamos fazer alguns ajustes no sistema. Nesse caso, vamos 
multiplicar a equação II por (‑1):
10a + b = 200
15a + b = 180 / . (‑1)
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
10a + b = 200
‑15a ‑ b = 180
‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑
Somando membro a membro, temos:
 10a b 200
15a b 180 
5a 0b 20
20
a 4
5
+ =
− − = −
− + =
= = −
−
Agora que encontramos o valor de a, basta substituir em qualquer uma das equações do sistema 
para encontrar o valor correspondente a b.
Substituindo na equação I, temos:
10a + b = 200
10 x (‑4) + b = 200
‑40 + b = 200
b = 240
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MATEMÁTICA
Finalmente, como esperado, usando sistemas de equações chegamos ao mesmo resultado:
f(p)=‑4p +240
B) Para modelarmos a função receita, precisamos utilizar a função f(p)=‑4p +240.
Como sabemos que receita é a entrada de capital (dinheiro), necessitamos multiplicar a função 
por p, pois, para haver receita, precisamos da entrada de dinheiro, que, no caso, é o preço do ingresso. 
Assim, temos:
r(p) = (‑4p + 240) x p
r(p) = 4p2 + 240p
Agora que achamos a função receita, podemos calcular o valor da receita máxima, que significa 
saber o ponto máximo da função de 2º grau, ou seja, o ponto que representa o vértice da função. 
Para isso, primeiro calcularemos o discriminante: onde a=‑4, b=240 e c=0.
∆ = b2 ‑ 4ac
∆ = 2402 ‑ 4 . (‑4) . 0
∆ = 57600 ‑ 0
∆ = 57600
Como encontramos o valor do discriminante, podemos encontrar o ponto correspondente ao vértice 
da função utilizando a fórmula referida anteriormente:
V
b
a a
  


2 4
,
 Observação
Quando estamos trabalhando com receita em função do preço, a 
função receita será representada no eixo das ordenadas (Y), e o preço 
será representado no eixo das abscissas (X). A fórmula do vértice da função 
a seguir representa o par ordenado (x,y) nessa ordem.
V
b
a a
  


2 4
,
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Unidade III
Substituindo no ponto da ordenada, temos:
57600 57600
y 3600
4a 4 ( 4) 16
−∆ − −
= = = =
× − −
A receita máxima é R$ 3.600,00.
C) Para descobrirmos o preço quando a receita é máxima, basta encontrarmos o ponto x, abscissas, 
do vértice, substituindo na fórmula:
b 240 240
x 30
2a 2 ( 4) 8
− − −
= = = =
× − −
O preço, quando a receita é máxima, é de R$ 30,00.
 Saiba mais
Para obter mais informações sobre o conteúdo estudado, leia:
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S. B. Cálculo: funções de uma e várias 
variáveis. São Paulo: Saraiva, 2003.
 Resumo
Iniciou‑se a unidade com o conceito de conjunto. Em seguida, foi 
exposta a definição de elementos de um conjunto e algumas operações 
possíveis entre eles.
Foram propostos problemas cotidianos cuja resolução pode ser feita por 
meio de conjuntos abstratos.
Foi introduzido o conceito de relação e suas propriedades, que serviram 
de base para o estudo de função. Vimos também que uma função é um 
caso específico de uma relação.
E, por fim, foram exploradas algumas funções polinomiais (1º e 2º 
graus), seus modelos, suas propriedades, bem como o estudo de suas 
representações gráficas.
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MATEMÁTICA
 Exercícios
Questão 1. (Enem 2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso 
de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa 
temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.
Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo 
de acordo com a função
T t
t para t
t t para t
  
  
  






7
5
20 0 100
2
125
16
5
320 1002
,
,
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, 
decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a 
temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C.
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a:
A) 100.
B) 108.
C) 128.
D) 130.
E) 150.
Resposta correta: alternativaD.
Análise da questão
Passo 1) Para T1= 48 °C, temos t= t1:
1
1 1
7
48 t 20
5
7
t 28 t 20 min
5
= +
= ⇒ =
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Unidade III
Passo 2) Para T2= 200 °C, temos t= t2:
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2 16
200 t t 320
125 5
2t 16
t 120 0
125 5
2t 25.16t 125.120 0
t 200t 7500 0
= − +
− + =
− + =
− + =
A soma das raízes da equação vale 200, e o produto entre elas vale 7500. Portanto:
t’2 = 150 min
t”2 = 50 min
Como T= 200 °C, devemos descartar a possibilidade, para tempo igual a 50 minutos. Assim devemos 
ter t2>100 minutos e, portanto, t2= 150 minutos cumpre as condições propostas. Finalmente, o tempo 
de permanência ∆t é dado por:
∆t = t2 ‑ t1 = 150 ‑ 20 = 130
∆t = 130 min
Questão 2. (Enade 2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente 
para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da 
bola seja uma parábola, com ponto máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, 
como ilustra a figura a seguir.
8 12
3
Q
O
y
x
PR
Gol
Barreira
Parábola Posição da falta
Sabendo‑se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
155
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MATEMÁTICA
A) 3/2 m.
B) 4/3 m.
C) 1 m.
D) 2 m.
E) 5/3 m.
Resolução desta questão na plataforma.