resumo de matematica aplicada

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Textos de apoio às aulas teóricas 
SLIDES 
 
Matemática 
Curso de Contabilidade e Administração 
 
Matemática de Ciências Empresariais I 
Curso de Comércio Internacional 
 
Coordenador: Professor Doutor António Carvalho Pedrosa 
Outros Docentes: Doutora Cristina Torres 
 Doutor José Manuel Azevedo 
 Doutora Maria de Lurdes Babo 
 Doutora Patrícia Ramos 
 
2019/2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 1 
 
Funções Reais de Variável Real 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 1
FUNÇÕES REAIS DE 
VARIÁVEL REAL
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 2
● Números Reais
– Introdução e Definição
– Valor Absoluto
– Intervalos
SUMÁRIO
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 3
{ } { }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
números naturais 1,2,3,
números inteiros relativos , 3, 2, 1,0,1,2,3,
números racionais números fracionários
números reais números irracionais
= =
= = − − −
= = ∪
= = ∪
ℕ …
… …
ℚ
ℝ ℚ
Z
Z
11 11
2.5 2.5
3 3
2 2 π π
∈ ∉ − ∈ − ∉
∈ ∉ ∈ ∉
ℚ ℚ
ℝ ℚ ℝ ℚ
Z Z
Exemplo:
CONJUNTOS DE NÚMEROS
⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 4
Definição: 
Um número x é racional se for representado
por uma dízima finita ou infinita periódica. 
Observação: 
Um número racional pode ser representado pelo quociente de
dois números inteiros (denominador não nulo).
Exemplo: 
231
0.231
1000
5
0.7 71428514285 714285
7
=
= …
( )x ∈ℚ
NÚMEROS RACIONAIS
Dízima finita
Dízima infinita periódica
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 5
NÚMEROS IRRACIONAIS
Definição: 
Um número é irracional se for representado por uma dízima 
infinita não periódica. 
Exemplo: 
2 1.414213562
3.1415926535897π
=
=
…
…
Dízima infinitas não 
periódicas
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 6
Definição: 
O conjunto dos números reais, , é a reunião do conjunto dos
racionais com o conjunto dos irracionais.
Observação: 
Os números reais são usados para representar grandezas
como o comprimento, a massa e a temperatura.
NÚMEROS REAIS
ℝ
ℝ ℚ
Z
ℕ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 7
A RETA REAL – INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Existe uma correspondência biunívoca entre e o conjunto
dos pontos de uma reta: a cada corresponde um e um
só ponto da reta e a cada ponto da reta corresponde um e um 
só (coordenada do ponto).
2.8
01− 212−
2
1
2
−
PositivosNegativos Origem
ℝ
x ∈ℝ
x ∈ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 8
Definição:
O valor absoluto de é a distância entre o ponto de 
coordenada x e a origem.
Exemplo:
Observação: 
representa a distância entre os pontos da reta
real de coordenadas x e y. 
x y
VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL
, 0
, 0
x x
x
x x
≥
= 
− <
2 2 ; 8 8 ; 0 0 ; 3 5 5 3 = − = = − = −
x y y x− = −
x y y x− = −
, ,x x∈ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 9
P1:
P2:
P3:
P4: 
P5: Desigualdade triangular
PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO
2
0x x x= − = ≥
x y x y=
, 0x a a x a a< ⇔ − < < >
x y x y+ ≤ +
, 0x a x a x a a> ⇔ > ∨ < − >
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 10
INTERVALOS DE NÚMEROS REAIS
Definição:
Sejam
Intervalo aberto ou 
Intervalo fechado
Intervalos limitados semiabertos
] [ ( ), ,a b a b
] [ { }, :a b x a x b= ∈ < <ℝ
[ ],a b
[ ] { }, :a b x a x b= ∈ ≤ ≤ℝ
] ] { }, :a b x a x b= ∈ < ≤ℝ
[ [ { }, :a b x a x b= ∈ ≤ <ℝ
, e .a b b a∈ >ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 11
Definição:
Intervalos ilimitados são conjuntos do tipo
Observação: não é um número real
Definição: 
Vizinhança de centro e raio é o intervalo aberto
[ [ { }
] ] { }
] [ { }
] [ { }
, :
, :
, :
, :
a x x a
a x x a
a x x a
a x x a
+∞ = ∈ ≥
−∞ = ∈ ≤
+∞ = ∈ >
−∞ = ∈ <
ℝ
ℝ
ℝ
ℝ
∞
a 0δ >
] [( ) , .V a a aδ δ δ= − +
[ [1,+∞
Intervalo ilimitado
INTERVALOS DE NÚMEROS REAIS
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 1 - Funções Reais de Variável Real 12
EXERCÍCIOS
1. Determine o conjunto-solução das condições:
1.1
1.2
Resolução:
1.1
1.2 
2 1 3x + <
] [
2 1 3 3 2 1 3
4 2 2
2 1 2,1
x x
x
x S
+ < ⇔ − < + <
⇔ − < <
⇔ − < < ∴ = −
1 2x− ≥
] ] [ [
1 2 1 2 1 2
1 3
1 3 , 1 3,
x x x
x x
x x S≤ ≥
− ≥ ⇔ − ≥ ∨ − ≤ −
⇔ − ≥ ∨ − ≤ −
⇔ − ∨ ∴ = −∞ − ∪ +∞
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 1
FUNÇÕES REAIS DE 
VARIÁVEL REAL
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 2
● Funções Reais de Variável Real
– Definição, Domínio, Contradomínio
– Gráficos
– Operações com Funções: Aritméticas e 
Composição
– Classificação de Funções
– Funções Polinomiais e Função Afim
SUMÁRIO
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 3
Definição: 
Função f é uma regra que associa a cada elemento x de um 
conjunto X (domínio) exatamente um elemento y de um
conjunto Y (conjunto de chegada).
Variável independente x – x pode ser escolhido arbitrariamente
no domínio
Variável dependente y – y é completamente determinado por x
e por f. 
:
( )
f X Y
x y f x
→
→ =
FUNÇÃO
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 4
São funções de X (domínio) em Y (conj. chegada):
X Y YX
f
g
1
3
2
4
83
2
61
3
EXEMPLO
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 5
Não são funções de X (domínio) em Y (conj. chegada):
X Y YX
f
g
1
3
4
3
61
EXEMPLO
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 6
DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO
Definição: 
Domínio de uma função é o conjunto X de todos os valores x
para os quais f está definida. 
(Costuma também representar-se por )
Definição: 
Contradomínio de uma função é o conjunto de todos os valores
y = f (x).
(Costuma representar-se por )
f
D
f
D′
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 7
FUNÇÃO – EXEMPLO
Numa quinta vai construir-se uma cerca retangular para
animais. Pretende-se que um dos lados da cerca seja uma 
parte de um muro já existente.
Para pintar esse muro é preciso gastar 1 €/m. O custo de
construção dos outros três lados da cerca é 5 €/m. Dispõe-se
apenas de 180 €.
Quais as dimensões da cerca que maximizam a sua área?
[Problema adaptado de Edwards and Penney, 
Calculus with Analytic Geometry, Prentice-Hall, 4th Ed., 1994, pag. 8 – 9]
1 €
x
5 €
x
5 €y 5 € y
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 8
Escolhendo x como variável independente
Área
FUNÇÃO – EXEMPLO
3
6 10 180 18
5
x y y x+ = ⇔ = − +
Resolução:
Relação entre os lados da cerca
Custo:
(5 1) (5 5) 180C x y= + + + =
A é função apenas do comprimento x:
1 €
x
5 €
x
5 €y 5 € y
23
18
5
A x y x x= = − +
23
( ) 18
5
A x x x= − +
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 9
Resolução (cont.):
Domínio de A(x):
para o retângulo estar definido
para o retângulo estar definido
Conclusão:
FUNÇÃO – EXEMPLO
0,x >
0,y >
3
0 18 0 30
5
y x x> ⇔ − + > ⇔ <
( ) 2
3
18 , 0 30
5
A x x x x= − + < <
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 10
Resolução (cont.):
A área é máxima no vértice da parábola:
Determinação das dimensões da cerca,
que maximizam a área:
( )* *,V x A
* *
e ,x y
*
* * *
*
135
9
15
A
y y y
x
= ⇔ = ⇔ =
x
( )A x
( ) 2
* * 2
3
0 18 0 0 30
5
0 30 3
15 15 18 15 135
25
A x x x x x
x A
= ⇔ − + = ⇔ = ∨ =
+
= = ⇒ = − × + × =
( )* *,V x A
FUNÇÃO – EXEMPLO
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 11
FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL
Definição: 
Função real de variável real é toda a função de um conjunto
no conjunto . 
Simbolicamente: 
Observação: 
A variável é real porque 
A função é real porque 
:
( )
f X
x y f x
⊆ →
→ =
ℝ ℝ
X ⊆ ℝ ℝ
.∈ℝx
( ) .y f x= ∈ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 12
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Definição: 
Gráfico de uma função é o lugar geométrico de todos os
pontos cujas abcissas são os valores da variável independente
x e as ordenadas são os valores correspondentes da função 
y = f (x).
Exemplo: (slide 10)
( ) 2
3
18 , 0 30
5
A x x x x= − + < <
x
( )A x
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 13
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
• Soma/Diferença
• Produto
• Quociente
• Composição
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 14
Definição: 
Soma (diferença) de duas funções f e g é a função que se 
designa por f ± g e em que
e
( )( ) ( ) ( )
f g f g
D D D
f g x f x g x
± = ∩
± = ±
SOMA/DIFERENÇA DE FUNÇÕES
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 15
Definição: 
O produto de duas funções f e g é a função que se designa
por f × g e em que 
e
Definição: 
Quociente de duas funções f e g é a função que se designa por 
e em que
e
f g f g
D D D× = ∩
PRODUTO/QUOCIENTE DE FUNÇÕES
f
g
{ }: ( ) 0
( )
( )
( )
f f g
g
D x D D g x
f f x
x
g g x
= ∈ ∩ ≠
=
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x× = ×
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 16
Definição:
A função composta das funções f e g é a função que se 
designa por e em que
FUNÇÃO COMPOSTA
( )( ) ( )f g x f g x =  �
( ){ }:f g g fD x x D g x D= ∈ ∈ ∧ ∈� ℝ
f g�
[ ]( ) ( )x y g x z f g x= =g f
f g�
e
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 17
FUNÇÃO COMPOSTA – EXEMPLO
Defina as funções e sendo
e .
Resolução: 
1
h f g= � 2h g f= � ( )
2
1f x x= +
( )
1
g x
x
=
( ){ } { } { }
( ){ } { }
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
2
2
2 2
1 2 2
2
2 2
1
: : \ 0 \ 0
: : 1 0
1 1 1 1
1 1
1
1
1
 
= ∈ ∧ ∈ = ∈ ∧ ∈ = 
 
= ∈ ∧ ∈ = ∈ ∧ + ≠ =
+   
 = = = + = + =    
   
 = = + =  +
ℝ ℝ ℝ
ℝ ℝ
h g f
h f g
D x x D g x D x x
x
D x x D f x D x x x
x
h x f g x f
x x x x
h x g f x g x
x
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 18
{ }1 2
2
2 2
: \ 0 :
1 1
1
h h
x
x x
x x
+
→ →
+
→ →ℝ ℝ ℝ ℝ
Resolução (cont.): 
Temos assim
Observação: 
Note que 
FUNÇÃO COMPOSTA – EXEMPLO
f g g f≠� �
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 19
(quanto à expressão analítica)
Transcendentes
Algébricas
Racionais
IrracionaisFunções
Inteiras
ou
Polinomiais
Fracionárias
CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 20
FUNÇÕES POLINOMIAIS – EXEMPLO
( )
( )
( ) ( )( )( )
3
2 2
2 2
4
1 4 9
f x x
g x x x
h x x x x x
= − +
= −
= − − −
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 21
FUNÇÕES RACIONAIS FRACIONÁRIAS - EXEMPLO
( )
( )
( )
3 2
2 5 1
8
1
( 1)( 3)
( 1)( 3)(1 2 )
x x x
f x
x
g x
x
x x
h x
x x x
+ − +
=
+
=
+ +
=
+ − −
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 22
FUNÇÕES IRRACIONAIS – EXEMPLO
( )
( )
( )
3
3
2
1
2 1
1
f x x
g x x
x
h x
x
= +
= +
+ +
=
−
Observação: 
não é função irracional (é uma função 
polinomial)
( ) 2 2p x x x= + +
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 23
FUNÇÕES TRANSCENDENTES – EXEMPLO
( ) ( )
( ) ( )
( ) 2 3
sin 2
ln
1
x
f x x
g x x
h x e
+
=
=
= +
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 24
FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição: 
Função racional inteira ou função polinomial de grau 
é toda a função da forma
1
1 1 0
:
...
n n
n n
f
x a x a x a x a
−
−
→
→ + + + +
ℝ ℝ
A forma do gráfico de uma função polinomial está relacionada 
com o seu grau n.
0
n ∈ℕ
, 0,1, ,
0
i
n
a i n
a
∈ =
≠
ℝ …
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 25
FUNÇÃO AFIM
Se b = 0 Função linear
:
, ,
f
x m x b m b
→
→ + ∈
ℝ ℝ
ℝ
Definição: 
Função afim é toda a função da forma
:
,
f
x m x m
→
→ ∈
ℝ ℝ
ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 26
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM
O gráfico de uma função afim é uma reta.
x
y
2 4y x= − +
y x=
2y = −
4
2
2−
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 27
DECLIVE DE UMA RETA NÃO VERTICAL QUE PASSA 
POR ( ) ( )1 1 1 2 2 2, e ,P x y P x y
Observação: 
O declive não é definido para retas verticais.
2 1
2 1
2 1
,
y y
m x x
x x
−
= ≠
−
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 28
• Dados o declive m e a interseção b com o eixo yy:
Equação reduzida: 
• Dados o declive m e um ponto da reta :
Equação cartesiana:
• Reta horizontal:
• Reta vertical:
EQUAÇÕES DE RETAS
( )1 1,P x y
y m x b= +
( )1 1y y m x x− = −
1
0m y y= ⇒ = 
1
 x x=
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 29
RETAS PARALELAS
Duas retas são paralelas sse tiverem o mesmo declive.
1
1
2
y x= +
1
3
2
= −y x
1
1
2
y x= −
x
y
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 30
A reta de declive é perpendicular à reta de 
declive sse .
RETAS PERPENDICULARES
( ) 0r rr m m ≠
s
m
s
1
s
r
m
m
= −
x
y
1
1
2
= − +y x
2 1= +y x
1
20.5−
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 31
1. Seja . Determine:
1.1 
1.2
1.3
Resolução:
1.1 
1.2 
EXERCÍCIOS
( ) ( ) 32 e 4f x x g x x x= − = −
( )( )f g x×
( ) ( )3 2 1f g+ −
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 2 1 6 2 1 4 1 0f g  + − = − + − − − =
 
( )( ) ( )3 4 22 4 2 8f g x x x x x x× = − − = − +
( )( )g f x�
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 32
Resolução (cont.):
1.3 
EXERCÍCIOS
( ) ( ) 32 e 4f x x g x x x= − = −
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
3
3
2
2 4 2
8 8
g f x g f x
g x
x x
x x
 =  
= −
= − − −
= − +
�
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 33
2. Determine o declive, a interseção com os eixos coordenados
e esboce o gráfico das retas:
2.1 y = 2
2.2 x = −4
2.3 3x +2y = 6
Resolução: 
2.1 m = 0 (reta horizontal)
Não interseta o eixo xx (reta paralela ao eixo xx)
Interseção com o eixo yy: (0, 2) 
EXERCÍCIOS
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 34
Resolução (cont.):
2.2 O declive da reta não está definido (reta vertical)
Não interseta o eixo yy (reta paralela ao eixo yy)
Interseção com o eixo xx: (−4, 0)
2.3 
Interseção com o eixo yy: (0, 3)
Interseção com o eixo xx: (2, 0)
EXERCÍCIOS
3
2
m = −
3
3 2 6 3
2
x y y x+ = ⇔ = − +
0 3 0 6 2y x x= ⇒ + = ⇔ =
0 3x y= ⇒ =
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 35
EXERCÍCIOS
Resolução (cont.):
Gráficos das 3 retas
4x = − 3 2 6x y+ =
2y =
x
y
3
2
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 36
3. Escreva a equação reduzida da reta que passa
pelo ponto (1, 0) e tem declive –2.
Resolução:
( )02 1 2 2y x y x− = − − ⇔ = − +
y m x b= +
EXERCÍCIOS
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 37
4. Escreva uma equação da reta que passa pelos pontos 
(−2, 4) e (−1, −3).
Resolução:
( )
3 4
7
1 2
4 7 2 7 10
y m x b
m
y x y x
= +
− −
= = −
− +
− = − + ⇔ = − −
EXERCÍCIOS
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 38
5. Escreva uma equação da reta que passa pelo ponto 
(−2, −7) e é paralela à recta de equação . 
[H. pág. 97: 43]
Resolução:
Declive da reta 
Equação da reta pretendida:
3
3 5 11: 
5
x y m+ = = −
3 5 11x y+ =
( )
3 3 41
7 2
5 5 5
y x y x+ = − + ⇔ = − −
y m x b= +
EXERCÍCIOS
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 2 - Funções Reais de Variável Real 39
6. Escreva uma equação da reta que passa pelo ponto (3, 1) e
é perpendicular à reta de equação . 
[H. pág. 97: 45]
Resolução:
Declive da reta 
Declive da reta perpendicular: 
Equação da reta pretendida:
5
5 6 4 : 
6
x y m− = =
5 6 4x y− =
( )
6 6 23
1 3
5 5 5
y x y x− = − − ⇔ = − +
6
'
5
m = −
EXERCÍCIOS
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 1
● Funções Polinomiais de Grau
– Gráficos
– Zeros
● Função Racional
– Definição, Domínio
– Zeros
– Assíntotas
● Função Irracional
– Definição, Domínio
– Zeros
2≥
Funções Reais de Variável Real (Cont.)
SUMÁRIO
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 2
Definição:
Função quadrática é toda a função da forma
2
:
, 0
f
x y ax bx c a
→
→ = + + ≠
ℝ ℝ
FUNÇÃO POLINOMIAL DE GRAU 2 – FUNÇÃO QUADRÁTICA
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 3
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
,
2 2
b b
V f
a a
  
− −  
  
0a >
0a <
Uma reta horizontal pode intersetar o gráfico em 0, 1 ou 2 
pontos.
( ) 2 , 0f x ax bx c a= + + ≠
Vértice da parábola:
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 4
• a função tem dois zeros distintos
• a função tem um zero duplo
• a função não tem zeros reais
ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
( ) 2
2
0 0
4
2
f x a x bx c
b b ac
x
a
= ⇔ + + =
− ± −
⇔ =
2
2
2
4 0
4 0
4 0
b ac
b ac
b ac
− > ⇒
− = ⇒
− < ⇒
( ) 2 , 0f x ax bx c a= + + ≠
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 5
FUNÇÃO POLINOMIAL DE GRAU 3
Definição:
Função polinomial de grau 3 é da forma
Conclusão: Número de extremos: 0 ou 2
Sugestão: Analise o número de zeros e de interseções de
uma reta horizontal com o gráfico.
3 2
3 2 1 0 3
:
, 0
f
x y a x a x a x a a
→
→ = + + + ≠
ℝ ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 6
Definição:
Função polinomial de grau 4 é da forma
FUNÇÃO POLINOMIAL DE GRAU 4
4 3 2
4 3 2 1 0 4
:
, 0
f
x y a x a x a x a x a a
→
→ = + + + + ≠
ℝ ℝ
Conclusão: Número de extremos: 1 ou 3
Sugestão: Analise o número de zeros e de interseções de
uma reta horizontal com o gráfico.
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 7
FUNÇÃO POLINOMIAL DE GRAU 5
Definição:
Função polinomial de grau 5 é da forma
5 4 3 2
5 4 3 2 1 0 5
:
, 0
f
x y a x a x a x a x a x a a
→
→ = + + + + + ≠
ℝ ℝ
Conclusão: Número de extremos: 0, 2 ou 4
Sugestão: Analise o número de zeros e de interseções de
uma reta horizontal com o gráfico.
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 8
FUNÇÃO POLINOMIAL
Teorema: 
O gráfico de uma função polinomial de grau n tem, no
máximo, n – 1 extremos (máximos/mínimos) e corta o eixo xx,
no máximo, n vezes.
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 9
ANALOGIAS ENTRE GRÁFICOS DE FUNÇÕES
POLINOMIAIS DE GRAU ÍMPAR
A forma do gráfico de uma função polinomial está relacionada
com o seu grau.
( ) 2 2f x x= +
( ) 3 4g x x x= −
( ) 5 4 3 22 3 4 4h x x x x x x= + − − +
f
g
h
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 10
( ) 2 2f x x= − +
( ) 3 4g x x x−= −
( ) 5 4 3 22 3 4 4h x x x x x x− − + + −=
h
f
g
ANALOGIAS ENTRE GRÁFICOS DE FUNÇÕES
POLINOMIAIS DE GRAU ÍMPAR
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 11
( ) 2f x x= ( ) 6 5 4 3 213 13 36 36h x x x x x x x= − − + + −
( ) 4 3 22 2 22 18 36g x x x x x= − − + +
f
g h
ANALOGIAS ENTRE GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
POLINOMIAIS DE GRAU PAR
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 12
( ) 2 1f x x= − + ( ) 6 5 4 3 213 13 36 36h x x x x x x x− + + − − +=
( ) 4 32 2g x x x+−=
f g h
ANALOGIAS ENTRE GRÁFICOS DE FUNÇÕES
POLINOMIAIS DE GRAU PAR
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 13
FUNÇÃO RACIONAL
Definição: 
Função racional f é toda a função que se pode expressar 
como quociente de dois polinómios, isto é,
sendo 
( )
( )
:f A
P x
x
Q x
→
→
ℝ
( ){ }: 0A x Q x= ∈ ≠ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 14
Zeros (determinados pelo numerador)
Assíntotas* 
(*A definição formal de assíntota irá ser vista mais tarde)
x1− 3
( )
1
3
x
f x
x
+
=
−
FUNÇÃO RACIONAL – EXEMPLO
{ }\ 3fD = ℝ
( )
1
0 0
3
1
x
f x
x
x
+
= ⇔ =
−
⇔ = −
3; 1x y= =
1.
y
f
1
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 15
y
f
x212− 1−Zeros
Assíntotas
( )
( )( )
( )( )
1 2
1 2
x x
f x
x x x
+ −
=
− +
FUNÇÃO RACIONAL – EXEMPLO
{ }\ 2,0,1fD = −ℝ
( )
( )( )
( )( )
1 2
0 0
1 2
1 2
x x
f x
x x x
x x
+ −
= ⇔ =
− +
⇔ = − ∨ =
2; 0; 1; 0x x x y= − = = =
2.
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 16
x
y
3− 2− 2 3
f
Zeros
Assíntotas
( )
( )( )
( )( )
2 2
3 3
x x x
f x
x x
− +
=
− +
FUNÇÃO RACIONAL – EXEMPLO
{ }\ 3,3fD = −ℝ
( )
( )( )
( )( )
2 2
0 0
3 3
0 2 2
x x x
f x
x x
x x x
− +
= ⇔ =
− +
⇔ = ∨ = ∨ = −
3; 3;x x y x= − = =
3.
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 17
Exemplo:
Zeros
Definição:
Função irracional f é toda a função algébrica que não é 
racional.
FUNÇÃO IRRACIONAL
( ) 5f x x= +
[ [5,fD = − + ∞
( ) 0 5 0 5f x x x= ⇔ + = ⇔ = −
f
x
y
5−
1.
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 18
FUNÇÃO IRRACIONAL – EXEMPLO
( ) 22f x x x= −
{ } [ ]2: 2 0 0,2fD x x x= − ≥ =
( ) 0 0 2f x x x= ⇔ = ∨ =
Zeros
( )22 0 2 0
0 2
x x x x
x x
− = ⇔ − =
⇔ = ∨ =
2
2y x x= −
Cálculos auxiliares:
2.
f
x
y
2
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 19
FUNÇÃO IRRACIONAL – EXEMPLO
( )
1
4
x
f x
x
+
=
−
] ] ] [
1
: 0 4 0
4
, 1 4,
f
x
D x x
x
+ 
= ≥ ∧ − ≠ 
− 
= −∞ − ∪ +∞
( ) 0 1f x x= ⇔ = −
Zeros
1x +
Cálculos auxiliares:
4x −
1− 4
0
0
+ +
− +−
−
Q
−∞ +∞
0 n.d.+ +−
3.
f
x
y
1−
1
4
Assíntotas
4; 1x y= =
x
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 20
EXERCÍCIOS
1. Resolva a equação
6 6
3 5 2 3x x
=
− +
.
( ) ( )
6 6
3 5 2 3
3 5
6 2 3 6 3 5 0 
2 3
2 3 3 5 0
8
x x
x x x x
x x
x
=
− +
⇔ + − − = ∧ ≠ − ∧ ≠
⇔ + − + =
⇔ =
Resolução:
[H. pág. 137: 7]
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 21
EXERCÍCIOS
2. O lucro resultante da venda de um produto é dado por
, onde x é o número de 
unidades vendidas.
Os pontos de equilíbrio ocorrem para valores de x onde
L(x) = 0.
Quantas unidades se produzem nos pontos de equilíbrio? 
.
Resolução:
[H. pág. 205: 47]
2
( ) 82 0.1 1600L x x x= − −
2 2
( ) 0 82 0.1 1600 0 0.1 82 1600 0
82 78
 
0.2
 800 20
L x x x x x
x
x x
=⇔ − − = ⇔ − + − =
− ±
⇔ =
−
⇔ = ∨ =
Nos pontos de equilíbrio produzem-se 20 ou 800 unidades.
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 22
EXERCÍCIOS
3. Diga qual é o domínio e o contradomínio de cada uma das 
funções seguintes:
3.1
3.2
.
Resolução:
3.1
3.2 
2
4y x= + [H. pág. 83: 35, 37]
4y x= +
[ [; 4,D D′= = + ∞ℝ
{ } [ [ 0: 4 0 4, ;D x x D
+′= ∈ + ≥ = − +∞ =ℝ ℝ
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 23
EXERCÍCIOS
4. Para cada uma das funções seguintes, determine o domínio 
e faça-lhe corresponder o respetivo gráfico.
[H. pág. 83-84: 39, 40, 42]
1
( )
2
x
f x
x
−
=
−
1
( )
3
x
g x
x
+
=
+
2
( ) 2 9h x x= − − −
CA B
x
y
x
y
x
y
António Carvalho Pedrosa e Lurdes Babo Aula 3 - Funções Reais de Variável Real 24
Resolução:
EXERCÍCIOS
{ } [ [ ] [: 1 0 2 0 1,2 2,
Gráfico B
f
D x x x
f
= ∈ − ≥ ∧ − ≠ = +∞
→
ℝ ∪
{ } ] [: 3 0 3,
Gráfico C
g
D x x
g
= ∈ + > = − +∞
→
ℝ
{ } [ ]2: 9 0 3,3
Gráfico A
h
D x x
h
= ∈ − ≥ = −
→
ℝ
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 1
SUMÁRIO
● Funções Definidas por Ramos
– Função Módulo
● Função Inversa
● Função Exponencial
● Função Logarítmica
Funções Reais de Variável Real (Cont.)
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 2
FUNÇÕES DEFINIDAS POR RAMOS
Sempre que se utilizam duas ou mais expressões algébricas
distintas para representar diferentes regiões do domínio de
uma função, dizemos que a função está definida por ramos.
Exemplo:
2
2, 2
( ) 4 , 2 2
2 4, 2
x x
f x x x
x x
+ <−

= − − ≤ ≤
 − >
y
x1
1
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 3
FUNÇÕES DEFINIDAS POR RAMOS – EXEMPLO
2, 1
( )
1, 1
x x
g x
x x
 ≥
=
− − <
1
y
x
1
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 4
FUNÇÃO MÓDULO
Definição:
Função módulo é a função
 , 0
( )
 , 0
x x
f x x
x x
≥
= = 
− <
y x=y x=−
x
y
1
1
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 5
1. Seja
1.1 Calcule e
1.2 Defina a função por ramos e represente-a.
Resolução:
1.1
1.2
FUNÇÃO MÓDULO – EXEMPLO
( 3) 3 2 5 1 5 4f − = − + − = − = −
2 , 2 3 , 2
2 2 5
2 , 2 7 , 2
x x x x
x x
x x x x
+ ≥ − − ≥ − 
+ = + − = 
− − < − − − < − 
2 5.( ) xf x + −=
( 3)f − (0).f
(0) 0 2 5 2 5 3f = + − = − = −
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 6
2y x= +
2 5y x= + −
x
y
1
1
Resolução (cont.):
FUNÇÃO MÓDULO – EXEMPLO
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 7
FUNÇÃO INVERSA – INJETIVIDADE
Definição:
Uma função é injetiva sse a objetos diferentes 
correspondem imagens diferentes.
Simbolicamente:
Interpretação Gráfica:
Qualquer linha horizontal interseta o gráfico de uma função 
injetiva no máximo em um ponto. 
1 2 1 2 1 2, : ( ) ( )x x X x x f x f x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠
 :f X Y→
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 8
INJETIVIDADE: INTERPRETAÇÃO GRÁFICA
A função f é injetiva A função g não é injetiva
f
g
x
x
y
y
1
1
1
1
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 9
FUNÇÃO INVERSA
Definição:
Sejam f e f –1 duas funções tais que
e
Então f e f –1 são funções inversas e 
[ ]1 ( ) , ff f x x x D
− = ∀ ∈
( ) 11 , .
f
f f x x x D −
−  = ∀ ∈ 
1( ) ( ).y f x x f y−= ⇔ =
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 10
FUNÇÃO INVERSA – PROPRIEDADES
1. As funções injetivas têm inversa (e vice-versa).
2. Pode mostrar-se que uma função não pode ter duas 
inversas distintas.
3. É habitual construir os gráficos de e usando o 
mesmo argumento x. Assim, é frequente escrevermos
e
(em vez de ).
y
1( )x f y−= f
1
f
−
1
1
f f
ff
D D
D D
−
−
′=
′=
( )y f x=
1
f
−
f
= ( )f x
1( )y f x−= 1( )x f y−=
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 11
FUNÇÃO INVERSA – CASO DE NÃO INJETIVIDADE
Consideremos agora o caso de uma função não injetiva, 
por exemplo,
(outro exemplo análogo seria , n par).
Neste caso, a “inversa” divide-se em dois ramos
e
tendo ambos os ramos o intervalo como domínio de 
definição.
2
y x=
[ [0,+∞
y x=
n
y x=
y x= −
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 12
Conclusão:
De acordo com a definição de função,
não tem inversa 
tem como inversa
(ou usando x como argumento, )
tem como inversa
(ou usando x como argumento, )
2 , ,y x x= ∈ℝ
[ [2 , 0, ,y x x= ∈ +∞
y x=
] ]2 , ,0 ,y x x= ∈ −∞
y x= −
FUNÇÃO INVERSA – CASO DE NÃO INJETIVIDADE
x y=
x y= −
2
y x=
y x= −
x
y x=
y
1
1
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 13
GRÁFICO DE FUNÇÕES MUTUAMENTE INVERSAS
Simetria
Os gráficos de funções mutuamente inversas são simétricos 
em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (a reta de 
equação )
ou seja,
se o ponto pertence ao gráfico de então o ponto 
pertence ao gráfico de 
y x=
( , )P a b
( , )P b a′ 1.f −
f
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 14
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição:
A função exponencial de base , é definida por 
em que 
e
( ) xy f x a= =
a
{ }\ 1a +∈ℝ
.x∈ℝ
{ }
:
 ( ) , \ 1x
f
x f x a a
+
→
= ∈
ℝ ℝ
֏ ℝ
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 15
Observações:
Seja
1. Para o domínio consiste apenas de números racionais 
com denominadores ímpares n.
2. Para a função é igual a 1 para todos os valores de . 
3. Para e vem
4. Os gráficos das funções exponenciais de bases e são 
simétricos relativamente ao eixo . 
FUNÇÃO EXPONENCIAL
x
y a=
0,a <
m
x
n
=
1,a =
0a > , , ,
m
x m n
n
+= ∈ ∈ℤ ℤ .
m
mnna a=
1
a
a
x
yy
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 16
Não tem zeros
Sempre positiva
Injetiva
Não tem extremos
Contém o ponto (0, 1)
Crescente 
Assíntota horizontal: 
Contínua em 
D
D
+
=
′ =
ℝ
ℝ
ℝ
FUNÇÃO EXPONENCIAL – GRÁFICO
1a >
lim lim 0x x
x x
a a
→+∞ →−∞
= +∞ =
x
y a=
x
y
1
1
0y =
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 17
0 1a< <
Não tem zeros
Sempre positiva
Injetiva
Não tem extremos
Contém o ponto (0, 1)
Decrescente 
Assíntota horizontal: 
Contínua em 
lim 0 lim x x
x x
a a
→+∞ →−∞
= = +∞
D
D
+
=
′ =
ℝ
ℝ
ℝ
x
y a=
FUNÇÃO EXPONENCIAL – GRÁFICO
x
y
1
1
0y =
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 18
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Sejam e Então:{ }\ 1a, b +∈ℝ .x, y ∈ℝ
( )
( )
( )
 = 
y
y
xx x
xx
x
y
x x y
xx
a b ab
a a
b b
a a
a a
=
 
=  
 
=
0
:
1
1
x y x y
x y x y
x
x
a a a
a a a
a
a
a
+
−
−
=
=
=
=
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 19
1. Resolva as seguintes equações:
1.1
1.2
1.3
5
3 0.5
1
6
x x
x
−
=
3 25 3125x− =
2 1
3
16
8192
2
x
x
+
=
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS – EXEMPLO
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 20
Resolução:
1.1
5 5
3 0.5 3 2
1 1
6 6
x x x x
x x
−
= ⇔ =
5
4 0
6
1
6
6 6
0
x
x
x
x
−
⇔ =
⇔ =
⇔ =
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS – EXEMPLO
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 21
Resolução (cont.):
1.2
1.3
3 2 3 2 55 3125 5 5x x− −= ⇔ =
3 2 5
7
3
x
x
⇔ − =
⇔ =
2 1 8 4
133 3
16 2
8192 2
2 2
x x
x x
+ +
= ⇔ =
5 4 132 2
9
5
x
x
+⇔ =
⇔ =
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS – EXEMPLO
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 22
Definição:
Logaritmo de um número real positivo x na base 
é o número real y a que se deve elevar a base para obter x: 
Observações:
1. Quando a base é o número de Napier 
(definição na aula 5) escreve-se 
2. Quando a base é 10 escreve-se
log ( ) 
y
ay x x a= ⇔ =
LOGARITMO
a
log ( ) ln( ). e x x=
10log ( ) log( ). x x=
{ }, \ 1a a +∈ℝ
2.71828...e =
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 23
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Definição: A função logarítmica de base , é definida por
em que
e 
a
{ }\ 1a +∈ℝ
{ }
:
 ( ) log ( ), \ 1a
f
x f x x a
+
+
→
= ∈
ℝ ℝ
֏ ℝ
( ) log ( )ay f x x= =
x
+∈ℝ
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 24
Observações:
1. Os gráficos das funções logarítmicas com bases e 
são simétricos relativamente ao eixo xx.
2. A função logarítmica é a função inversa da exponencial (ver 
slide 27)
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
a
1
a
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 25
Positiva em ]1, +∞[
Negativa em ]0, 1[
Injetiva
Não tem extremos
Contém o ponto (1, 0)
Crescente 
Assíntota vertical: 
Contínua 
1a >
log ( )ay x=
FUNÇÃO LOGARÍTMICA – GRÁFICO
D
D
+=
′ =
ℝ
ℝ
x
0
lim log ( )
 
lim log ( )
a
x
a
x
x
x
+
→+∞
→
= +∞
= −∞
y
1
1
0x =
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 26
Positiva em ]0, 1[
Negativa em ]1, +∞[ 
Injetiva
Não tem extremos
Contém o ponto (1, 0)
Decrescente 
Assíntota vertical: 
Contínua
D
D
+=
′ =
ℝ
ℝ
0
lim log ( ) 
 
lim log ( )
a
x
a
x
x
x
+
→+∞
→
= −∞
= +∞
log ( )
a
y x=
FUNÇÃO LOGARÍTMICA – GRÁFICO
0 1a< <
x
y
1
1
0x =
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 27
GRÁFICO DE FUNÇÕES MUTUAMENTE INVERSAS
Por exemplo, 
gráfico da função 
logarítmica é o 
simétrico do 
gráfico da função 
exponencial em 
relação à 
bissetriz dos 
quadrantes 
ímpares.
y x=
x
y e=
ln( )y x=
x
y
1
1
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 28
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Seja e { }\ 1 ,a +∈ℝ x, y +∈ℝ p ∈ℝ
( )
( )
log log log
log log log
log log
a a a
a a a
p
a a
xy x y
x
x y
y
x p x
= +
 
= − 
 
=
( )
log
log 1 0
log 1
log
a
a
a
p
a
x
a
a p
a x
=
=
=
=
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 29
Sejam e Então
Esta propriedade permite fazer uma mudança de base , é de 
especial importância quando recorremos a calculadoras.
A calculadora apenas possui 
● – função logarítmica de base 10 
● – função logarítmica de base 
(logaritmo natural)
MUDANÇA DE BASE
{ }\ 1a, b +∈ℝ .x +∈ ℝ
log
log
log
a
b
a
x
x
b
=
ln
log
e
e
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 30
MUDANÇA DE BASE – EXEMPLO
ou
3
ln 7
log 7 1.77
ln3
= ≃
3
log7
log 7 1.77
log3
= ≃
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 31
1. Determine o valor exato das expressões seguintes sem
recorrer à calculadora.
1.1 1.2
1.3 1.4
1.5 1.6
3log 81 2
1
log
128
7
5log 25100log 0.0001
EXERCÍCIOS
1
ln
e
16log 2
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 32
Resolução:
1.1
1.2
1.3
1.4
4
3 3log 81 log 3 4= =
7
2 2 27
1 1
log log log 2 7
128 2
−= = =−
2
100 100 100
1
log 0.0001 log log 100 2
10000
−= = = −
2
277 7
5 5 5
2
log 25 log 5 log 5
7
= = =
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 33
Resolução (cont.):
1.5
1.6
Cálculo auxiliar: Como
vem
1
2
1 1
ln ln
2
e
e
−
= = −
16
1
log 2
4
=
1
4 42 16 16= =
1
4
16 16
1
log 2 log 16
4
= =
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 34
2. Determine o valor exato das expressões seguintes sem
recorrer à calculadora.
2.1
2.2
2.3
2.4
7
2log 4
3log 81
6 6log 2 log 3+
log2 log20− +
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 35
Resolução:
2.1
ou
2.2
ou
4
3 3
1 1
log 81 log 3 4 2
2 2
= = × =
7 2
2 2log 4 7 log 2 7 2 14= = × =
7 2 7 14
2 2 2log 4 log (2 ) log 2 14= = =
1
4 22
3 3 3log 81 log (3 ) log 3 2= = =
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 36
Resolução (cont.):
2.3
2.4
6 6 6 6log 2 log 3 log (2 3) log 6 1+ = × = =
20
log2 log20 log log10 1
2
 
− + = = = 
 
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 37
3. Determine o valor de x.
3.1
3.2
3.3
3.4
3 3 3log (5 ) log 4 log 7x + =
3
2log ( ) 15x =
2log (5 1) 4x+ =
6 6log ( ) log ( 5) 1x x+ + =
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 38
Resolução:
3.1
3.2
{ }: 5 0D x x += ∈ > =ℝ ℝ
3 3 3 3 3log (5 ) log 4 log 7 log (20 ) log 7x x+ = ⇔ =
20 7
7
20
x
x
⇔ =
⇔ =
{ }3: 0D x x += ∈ > =ℝ ℝ
3 3 15
2log ( ) 15 2x x= ⇔ =
15
32
32
x
x
⇔ =
⇔ =
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 39
Resolução (cont.):
3.3
3.4
{ }
1
:5 1 0 ,
5
D x x
 
= ∈ + > = − +∞  
ℝ
4
2log (5 1) 4 5 1 2x x+ = ⇔ + =
3x⇔ =
{ } ] [: 0 5 0 0,D x x x= ∈ > ∧ + > = +∞ℝ
[ ]6 6 6log ( ) log ( 5) 1 log ( 5) 1x x x x+ + = ⇔ + =
2
( 5) 6
5 6 0
1 6
x D
x x
x x
x x
∉
⇔ + =
⇔ + − =
⇔ = ∨ = −���
1x⇔ =
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 40
4. Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes
funções:
4.1
4.2
2 1y x= −
3xy e= +
EXERCÍCIOS
Aula 4 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 41
Resolução:
4.1
4.2
1
2 1
2
y
y x x
+
= − ⇔ = 1
1
( )
2
x
f x
− +⇒ =
1
1
f
ff
D
D D
−
−
=
′ = =
ℝ
ℝ
13 ln( 3) ( ) ln( 3)xy e x y f x x−= + ⇔ = − ⇒ = −
{ } ] [1
1
: 3 0 3,
f
ff
D x x
D D
−
−
= ∈ − > = +∞
′ = =
ℝ
ℝ
EXERCÍCIOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 1
SUMÁRIO
● Limites
– Definição
– Interpretação Geométrica
– Infinitésimo e Infinitamente grande
– Propriedades
– Indeterminações
Funções Reais de Variável Real (Cont.)
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 2
1
lim 1 .
x
x x→+∞
 
+ 
 
LIMITE – INTRODUÇÃO
Considere . Use o computador para verificar 
que se aproxima de (número de Napier)
2.000000 2.000000
1.100000 2.593742
1.010000 2.704813
1.001000 2.716923
1.000100 2.718145
1.000010 2.718268
1.000001 2.718280
1
1
x
+
1
1
x
x
 
+ 
 
x
210
10
1
310
410
510
610
Conclusão: O número de Napier é o2.71828...e =
2.71828...e =
1
( ) 1
x
f x
x
 
= + 
 
Exemplo:
quando x aumenta indefinidamente. 
( )f x
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 3
Definição:
Seja f uma função definida para todo o x em algum intervalo 
aberto contendo mas podendo f não estar definida em 
Diz-se que limite de f quando é L e escreve-se 
sse
LIMITE
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
0x x→
00, ( ) 0 : 0 ( )x x f x Lε δ ε δ ε∀ > ∃ > < − < ⇒ − <
0 ,x 0.x
(ou seja, para valores de “suficientemente” próximos de 
os valores correspondentes de f estão arbitrariamente 
próximos de L.)
0 ,xxAula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 4
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE LIMITE
Por mais pequeno que se escolha existe um 
tal que para (mas x ≠ x0),
0,ε >
( ) .f x L ε− <
0δ >
0( )x V xδ∈
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 5
Resolução: 
Começar por escolher Para que 
ou de forma equivalente 
basta que a condição 
se verifique. Então podemos escrever que para arbitrário
ou seja
3 (2 1) 7
2
x x
ε
ε− < ⇒ + − <
LIMITE – EXEMPLO
Seja . Provar que( ) 2 1f x x= +
3
lim ( ) 7.
x
f x
→
=
0.ε >
(2 1) 7x ε+ − <
2 3x ε− <
3
2
x
ε
− <
ε
3
lim ( ) 7.
x
f x
→
=
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 6
LIMITES LATERAIS
Quando pode fazê-lo 
(i) por valores inferiores a e escrevemos
(ii) ou por valores superiores a e escrevemos 
0 ,x x→
0x x
−→
0x
0 .x x
+→
Assim, podemos determinar
e
que se designam por limites laterais. 
0
lim ( )
x x
f x
−→
0x
0
lim ( )
x x
f x
+→
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 7
LIMITES LATERAIS
00 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x xx x x x
f x f x L f x L
− + →→ →
= = ⇒ =
Observação:
(i) Se
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x
− +→ →
≠ ⇒
0
lim ( ).
x x
f x
→
Mas se
não existe
(ii) No caso dos limites laterais, a definição de limite dada no 
slide 3 deve ser adaptada em conformidade.
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 8
LIMITES LATERAIS – EXEMPLO
Considere as seguintes funções. Determine e
0
lim ( )
x
f x
→
xx
yy
11
0 0
lim ( ) 1 lim ( ) 0
x x
f x f x
− +→ →
= ≠ =
não existe
0
lim ( )
x
f x
→
⇒
0 0
lim ( ) lim ( ) 1
x x
g x g x
− +→ →
= =
0
lim ( ) 1
x
g x
→
⇒ =
0
lim ( ).
x
g x
→
( )y f x= ( )y g x=
Resolução:
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 9
Definição: 
A função f diz-se limitada no domínio D se
FUNÇÃO LIMITADA
x
y
A função é limitada A função não é limitada
x
y
1
1−
 : ( )M x D f x M∃ ∈ ∀ ∈ ≤ℝ
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INFINITÉSIMO E INFINITAMENTE GRANDE
Definição:
Diz-se que f é um infinitésimo quando ou quando
se ou respetivamente.lim ( ) 0
x a
f x
→
=
x a→
x → ∞ lim ( ) 0,
x
f x
→ ∞
=
x
y
1
( )f x
x
=
x
y
2
1
( )
1
g x
x
=
+
1
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INFINITÉSIMO E INFINITAMENTE GRANDE
Definição:
Diz-se que f é um infinitamente grande quando ou 
quando se ou respetivamente.
x a→
x → ∞ lim ( )
x a
f x
→
= ∞ lim ( ) ,
x
f x
→∞
=∞
x
y
1
( )f x
x
=
x
y
3( )g x x=
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PROPRIEDADES DOS LIMITES
Se e com então:lim ( )
x c
f x a
→
= lim ( ) ,
x c
g x b
→
= , , ,a b c∈ℝ
[ ]
[ ]
[ ]
(1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
(2) lim ( ) lim ( ) ,
(3) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x c x c x c
x c x c
x c x c x c
f x g x f x g x a b
k f x k f x k a k
f x g x f x g x a b
→ → →
→ →
→ → →
± = ± = ±
= = ∀ ∈
= =
ℝ
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PROPRIEDADES DOS LIMITES
[ ]
lim ( )( )
(4) lim se 0
( ) lim ( )
(5) lim ( ) lim ( )
(6) lim ( ) lim ( ) , 0 para par
x c
x c
x c
n
n n
x c x c
nn
n
x c x c
f x
f x a
b
g x g x b
f x f x a
f x f x a a n
→
→
→
→ →
→ →
 
= = ≠ 
 
 = =
  
= = ≥
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 14
PROPRIEDADES DOS LIMITES
( )11 1 0
1
1 1 0
1
1 1 0
(7) lim lim
, se 
 , se (8) lim lim
0 , se 
n n n
n n n
x x
n
mn n n
n n n
m m mx x
m m m
a x a x a x a a x
a
n m
b
a x a x a x a a x
n m
b x b x b x b b x
n m
−
−
→±∞ →±∞
−
−
−→±∞ →±∞
−
+ + + + =

=
+ + + + 
∞ >= =
+ + + + 

<
⋯
⋯
⋯
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PROPRIEDADES DOS LIMITES
a ± ∞ = ±∞
( ) ( )
( ) ( )
+∞ + +∞ = +∞
−∞ + −∞ = −∞
( ) ( )
 se 0 se 0
 
 se 0 se 0
a a
a a
a a
+∞ > −∞ > 
× +∞ = × −∞ = 
−∞ < +∞ < 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+∞ × +∞ = +∞
−∞ × −∞ = +∞
−∞ × +∞ = −∞
0 
a
a
∞
= = ∞
∞
 se 0
0
a
a= ∞ ≠
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INDETERMINAÇÕES
Usamos técnicas especiais para levantar indeterminações.
(* Estas indeterminações serão tratadas no Cálculo Diferencial)
00
0
0
∞
∞
0∞
0× ∞+∞ − ∞
1∞
∗ ∗ ∗
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 17
1. Calcule os limites seguintes:
1.1 1.2 1.3
1.4 1.5 1.6
1.7 1.8 1.9
1.10 1.11
LIMITE – EXEMPLOS
3
lim (5 3)
x
x
→−
+
2
2
3
lim
2x
x x
x→
+ −
+
23
2
lim 3 4
x
x
→
−
2
1
lim
2x x→ −3
lim 3
x
x
→
−
5
lim
3 2x x→+∞ −
lim 7
2x
x
→−∞
 
− 
 
21
5
lim
( 1)x x→ −
0
lim
ln( )x
x
x+→
1
lim
2
x
x
e
x→−∞
−
2
1
lim
2
x
x x→
 
 
+ 
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 18
Resolução:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
( )
3
lim(5 3) 5 3 3 12
x
x
→−
+ = − + = −
2 2
2
3 2 2 3 3
lim
2 2 2 4x
x x
x→
+ − + −
= =
+ +
2 23 3 3
2
lim 3 4 3 2 4 8 2
x
x
→
− = × − = =
2
2
1 1 1
lim
2 4 16
x
x x→
   
= =   
+   
3
lim 3 0
x
x
→
− =
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 19
Resolução (cont.):
1.6
2
2
2
1 1
lim
1 2 0
lim
1 12
lim
2 0
x
x
x
x
x
x
+
−
+
→
→
−
→
= = +∞
−
=
−
= = −∞
−
x
1
2
y
x
=
−
2
y
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 20
Resolução (cont.):
1.7
2
1
21
2
1
5 5
lim
( 1) 05
lim
5 5( 1)
lim
( 1) 0
x
x
x
x
x
x
+
−
+
→
→
+
→
= = +∞
−
=
−
= = +∞
−
2
5
( 1)
y
x
=
−
y
x1
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 21
Resolução (cont.):
1.8
1.9
1.10
1.11
5 5
lim 0
3 2x x→+∞
= =
− −∞
lim 7 7 ( )
2x
x
→−∞
 
− = − −∞ = +∞ 
 
0
0
lim 0
ln( )x
x
x+→
= =
−∞
1 1
lim 0
2
x
x
e
x→−∞
− −
= =
−∞
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 22
2. Calcule os limites seguintes.
2.1 2.2
2.3 2.4
2.5 2.6
2.7 2.8
2
2
8 2
lim
3 5x
x x
x→+∞
+
− +
2
22
2
lim
6x
x x
x x→
−
+ −
2lim (5 3 2)
x
x x
→−∞
+ −
21lim ( 3 )
1x
x x
x→+∞
 
+ − 
( )lim 1
x
x x
→+∞
+ −
2
2
lim
2x
x
x→
−
−
40
4
lim
3x
x
x x→ −
24
2
lim
16x
x
x→
−
−
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 23
Resolução:
2.1
2.2
2
2 2 2
lim (5 3 2) (Ind.)
lim (5 3 2) lim (5 ) 5( )
x
x x
x x
x x x
→−∞
→−∞ →−∞
+ − = ∞ − ∞
+ − = = −∞ = +∞
2
2
2 2
2 2
8 2
lim (Ind.)
3 5
8 2 8 8
lim lim
3 5 3 3
x
x x
x x
x
x x x
x x
→+∞
→+∞ →+∞
+ ∞
=
− + ∞
+
= = −
− + −
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 24
Resolução (cont.):
2.3
40
4 300
30
4 0
lim (Ind.)
3 0
4 4
lim lim
3 ( 3)
4
 lim
3
4
 
3
x
x x
x
x
x x
x x
x x x x
x
→
→ →
→
=
−
=
− −
=
−
= −
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 25
Resolução (cont.):
2.4
2
2 0
lim (Ind.)
2 0x
x
x→
−
=
−
2
2
2
lim 1
2
lim
22
lim 1
( 2)
2
( 2)x
x
x
x
xx
xx
x
+
−
→
→
→
=
−
=
−−
− −
−
= −
−
22 2
2 2 2
lim lim lim
2 2 2xx x
x x x
x x x− + →→ →
− − −
≠ ⇒
− − −
não existe
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 26
Resolução (cont.):
2.5
2
22
2 0
lim (Ind.)
6 0x
x x
x x→
−
=
+ −
2
22 2
2 ( 2)
lim lim
6 ( 2)( 3)x x
x x x x
x x x x→ →
− −
=
+ − − +
2
lim
3
2
5
x
x
x→
=
+
=
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 27
Resolução (cont.):
2.6 2
1
lim ( 3 ) 0 (Ind.)
1x
x x
x→+∞
 
+ = × ∞ − 
2
21 3lim ( 3 ) lim (Ind.)
1 1x x
x x
x x
x x→+∞ →+∞
+ ∞ 
+ = = − − ∞ 
2 23
lim lim
1x x
x x x
x x→+∞ →+∞
+
=
−
lim
x
x
→+∞
=
= +∞
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 28
Resolução (cont.):
2.7 ( )lim 1 (Ind.)
x
x x
→+∞
+ − = ∞ − ∞
( )
( )( )1 1
lim 1 lim
1x x
x x x x
x x
x x→+∞ →+∞
+ − + +
+ − =
+ +
1
lim
1
1
lim
1
0
x
x
x x
x x
x x
→+∞
→+∞
+ −
=
+ +
=
+ +
=
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 5 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Cristina Torres 29
Resolução (cont.):
2.8
24
2 0
lim (Ind.)
16 0x
x
x→
−
=
−
( ) ( )
( )24 4
2 22
lim lim
16 ( 4) ( 4) 2x x
x xx
x x x x→ →
− +−
=
− − + +
( )
( )
4
4
4
lim
( 4) ( 4) 2
1
lim
( 4) 2
1
32
x
x
x
x x x
x x
→
→
−
=
− + +
=
+ +
=
LIMITE – EXEMPLOS
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 1
SUMÁRIO
● Continuidade
– Definição
– Pontos de Descontinuidade
– Propriedades de Funções Contínuas
– Continuidade de Funções Elementares
Funções Reais de Variável Real (Cont.)
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 2
Definição:
Seja . A função é contínua em
sse f está definida num intervalo aberto contendo e 
.
Observações:
1. A função f é contínua em
2. Sendo f uma função contínua em os operadores lim e f
podem permutar: 
0
0
0
0
existelim ( ) 
lim ( ) ( )
f
x x
x x
x D
f x
f x f x
→
→
∈


 =

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO
0x
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
:f A → ℝ
0x
0 0
lim ( ) (lim )
x x x x
f x f x
→ →
=
0 e A x A⊆ ∈ℝ
0x
0x
0x ⇔
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 3
1.
A função é contínua em 
todos os pontos.
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO – EXEMPLOS
x
y
2.
A função é contínua em 
todos os pontos exceto no 
ponto de abcissa 4.
x
y
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 4
Definição:
Uma função que não é contínua num ponto diz-se descontínua
nesse ponto.
Casos de descontinuidade num ponto :
1. 
2. 
3. 
PONTO DE DESCONTINUIDADE
0 fx D∉
00 00
 (não existe lim ( ) lim ( ) ou lim ( )lim ( ) )
x xx x x xx x
f x f x f xf x
− + →→ →→
≠ = ∞
( )
0
0lim ( ) ( )
x x
f x a f x a
→
= ≠ ∈ℝ
0x
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 5
PONTOS DE DESCONTINUIDADE – EXEMPLO
Pontos de descontinuidade:
•
•
•
•
0 (0 )fx D= ∉
( )
3
3 (lim ( ) 1 3 2)
x
x f x f
→
= = ≠ =
2
2 (lim ( ) )
x
x f x
→
= = +∞
1 1
1 ( lim ( ) lim ( ))
x x
x f x f x
− +→ →
= ≠
x
y
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 6
CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO NUM INTERVALO
Definição:
Seja . A função f
(i) é contínua no intervalo aberto sse for contínua em
todos os pontos deste intervalo;
(ii) é contínua no intervalo fechado sse for contínua
em 
[ ], e :a b A f A⊂ ⊆ →ℝ ℝ
] [,a b
[ ],a b
] [ ( ) ( ) ( ) ( ), e lim e lim
x a x b
a b f x f a f x f b
+ −→ →
= =
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 7
PROPRIEDADES DE FUNÇÕES CONTÍNUAS
Teorema:
Se f e g são funções contínuas em então as funções
são contínuas em .
0x
( )0 ( ) 0
f g
f g
f
g x
g
f
±
×
≠
0x
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 8
CONTINUIDADE DA FUNÇÃO COMPOSTA
Teorema:
Se g é contínua em e f é contínua em então a 
função é contínua em .
0x ( )0g x
f g� 0x
( )x y g x=g [ ]( )z f g x=f
f g�
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 9
FUNÇÕES BÁSICAS ELEMENTARES
Definição:
Funções básicas elementares são funções cuja expressão 
analítica é uma das seguintes
1. Função potência
2. Função exponencial
3. Função logarítmica
4. Funções trigonométricas
5. F. trigonom. inversas
( )xα α ∈ℝ
{ }( )\ 1xa a +∈ℝ
( ) { }( )log \ 1a x a +∈ℝ
( ) ( ) ( )sen ; cos ; tgx x x
( ) ( ) ( )arcsen ; arccos ; arctgx x x
Teorema: 
As funções básicas elementares são contínuas nos intervalos
onde estão definidas.
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 10
Definição:
Funções elementares são definidas por uma única expressão 
analítica que resulta da combinação de funções básicas 
elementares e de constantes, por meio de um número finito de 
operações aritméticas e de composição de funções.
Teorema:
As funções elementares são contínuas nos seus domínios.
FUNÇÕES ELEMENTARES
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 11
1. Considere
1.1 Mostre que h é uma função elementar.
1.2 Determine os intervalos de continuidade de h.
Resolução: 
1.1 Seja 
e
FUNÇÕES ELEMENTARES – EXEMPLOS
( ) 2h x x= +
( )
1
2f x x x= = (função básica elementar)
( ) 2g x x= + (função elementar – soma 
de funções básicas elementares)
Pela definição de função composta
( ) [ ] ( )( ) ( ) 2 2 ( )f g x f g x f x x h x= = + = + =�
Então, pela definição, concluímos que h é uma função 
elementar.
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 12
FUNÇÕES ELEMENTARES – EXEMPLOS
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 4 2
2
2 5
3
ln 1
4 4 se 4
3 4
2 4 se 4
x
x x
f x x x g x
x
h x x e x j x x x
x x
k x x x
x x
+
= − + =
+
= + + + = =
− ≥
= + − = 
+ <
2. Justifique que as seguintes funções são elementares.
1.2 { } [ [: 2 0 2,hD x x= ∈ + ≥ = − +∞ℝ
Conclusão (Teorema sobre a continuidade de função 
elementar): h é contínua em [ [2, .− +∞
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 13
FUNÇÕES ELEMENTARES – EXEMPLOS
Resolução:
As funções são elementares porque:
● f resulta da adição e produto de funções básicas 
elementares e de constantes.
● g resulta da adição e quociente de funções básicas 
elementares e de constantes.
● h e k resultam da composição de funções e da adição 
de funções básicas elementares e de constantes.
● j resulta da composição de funções básicas 
elementares.
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 14
CONTINUIDADE – EXEMPLOS
3. Determine os intervalos de continuidade de cada uma das 
funções:
3.1
3.2
3.3
3.4 ( )
1
1
xj x e
+
=
( )
2
3
x x
g x
x
+
=
+
( ) 2 2 5f x x x= − +
2| 1 |
( )
1
x
h x
x
−
=
+
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 15
CONTINUIDADE – EXEMPLOS
Resolução:
Todas as funções são funções elementares, logo são contínuas 
no seu domínio.
3.1 Qualquer função polinomial é contínua em 
3.2
g é contínua em
3.3
h é contínua em
3.4
j é contínua em
.ℝ{ } { }: 3 0 \ 3gD x x= ∈ + ≠ = −ℝ ℝ
{ }\ 3 .−ℝ
{ } { }: 0 \ 0jD x x= ∈ ≠ =ℝ ℝ
{ }\ 0 .ℝ
{ } { }: 1 0 \ 1hD x x= ∈ + ≠ = −ℝ ℝ
{ }\ 1 .−ℝ
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 16
CONTINUIDADE – EXEMPLOS
4. Mostre que , é contínua em
Resolução:
É contínua em porque:
( )
2
1
1
2 se 1
2 se 1x
x x
f x
e x x
+
 − > −
= 
 + ≤ −
( ) ( )
( ) ( )
2
1
1
1, 2 é contínua função elementar
1, 2 é contínua função elementarx
x f x x
x f x e x
+
• > − = −
• < − = +
ℝ
.ℝ
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 17
CONTINUIDADE – EXEMPLOS
Logo, f é contínua em 
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1 1
1
1
1 1
1
1
1
lim lim 2 1
lim lim 2 1 contínua em 1
1 2 1 1
x x
x
x x
f x x
f x e x f x
f e
+ +
− −
→− →−
+
→− →−
+
−
= − = −
 
= + = − = − 
 
− = + − = −
.ℝ
Resolução (cont.):
1:x• = −
Aula 6 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e José Azevedo 18
5. Determine de modo que f seja contínua em 
Resolução:
Continuidade em 
f é contínua em sse 
Como
logo f é contínua se 
Continuidade para 
Como são funções elementares, são funções 
contínuas no seu domínio.
Logo se , f é contínua em 
23 , 2
( )
, 2
x x
f x
kx x
 ≤
= 
>
( ) ( )
2
lim 2
x
f x f
→
=
( )2
2 2
lim 2 e lim 3 12 2
x x
kx k x f
+ −→ →
= = =
23 e 6x x
2x =
2x =
6k = .ℝ
.ℝ
2 12 6k k= ⇔ =
2x ≠
k ∈ℝ
CONTINUIDADE – EXEMPLOS
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 1
● Derivada
– Taxa de Variação Média num Intervalo
– Taxa de Variação da Função num Ponto (Instantânea)
– Derivada de uma Função num Ponto
– Função Derivada
– Interpretação Geométrica da Derivada
– Derivabilidade e Continuidade
SUMÁRIO
Funções Reais de Variável Real (Cont.)
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 2
Definição:
A taxa de variação média de uma função num intervalo
é a taxa de variação média de relativamente a nesse 
intervalo:
Interpretação Física:
A posição de um ponto móvel em movimento retilíneo é uma 
função do tempo
A sua velocidade média no intervalo de tempo é
TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA NUM INTERVALO
xy
2 1
2 1
.
− ∆
= =
− ∆
m
x x x
v
t t t
:t
[ ]0 1,x x
f
1 0
1 0
( ) ( )−∆
=
∆ −
f x f xy
x x x
x
( ).=x f t
[ ]1 2, t t
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 3
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
A taxa de variação média de em é o declive da reta 
secante à curva de nos pontos de abcissas e ou seja
0
x 1,x
1 0 0 0
sec
1 0
( ) ( ) ( ) ( )∆ − + ∆ −
= = =
∆ − ∆
y f x f x f x x f x
m
x x x x
[ ]0 1,x xf
f
1
x
0
x
0
( )f x
1
( )f x
x
y
1 0
( ) ( )− = ∆f x f x y
1 0
− = ∆x x x
( )=y f x
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 4
Exemplo: Considere a equação do movimento retilíneo de uma partícula
dado por sendo t em segundos e x em metros. Determine
a sua velocidade média nos intervalos (a) , (b) e (c)
Resolução: 
(a) m/s
velocidade positiva movimento predominantemente na direção positiva
(b) m/s
velocidade negativa movimento predominantemente na direção negativa
(c) m/s
velocidade nula a partícula voltou à posição inicial
VELOCIDADE MÉDIA
2
4 1,x t t= − + +
[ ]0, 3 [ ]1, 4
(3) (0) 4 1
1
3 0 3
m
x x
v
− −
= = =
−
[ ]1, 3 .
2
4 1= − + +x t t
(4) (1) 1 4
1
4 1 3
− −
= = = −
−
m
x x
v
4=t x1=t
0∆ <x
0=t x3=t
0∆ >x
3=t
x1=t
0∆ =x(3) (1) 4 4 0
3 1 2
m
x x
v
− −
= = =
−
⇒
⇒
⇒
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 5
A taxa de variação de uma função num ponto é o limite da 
taxa de variação média quando tende para zero.
Definição:
A taxa de variação de uma função num ponto também 
designada por derivada de em é
desde que este limite exista.
Se existe diz-se que é derivável (ou diferenciável) 
em 
TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO –
DERIVADA
0
0 0 0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) lim lim
∆ → →
+ ∆ − −
′ = =
∆ −x x x
f x x f x f x f x
f x
x x x
0
,x
∆x
0
x
f
0
xf
x
0
x x
y
( , ( ))x f x
0
( ) ( )−f x f x
0
−x x
( )=y f x
0 0
( , ( ))x f x
0
.x
f0( )′f x
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 6
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA
O declive da reta secante aproxima-se do declive da reta 
tangente quando se aproxima de ou seja quando tende 
para zero. 
0 0
( ) ( )+ ∆ −
=
∆
PQ
f x x f x
m
x
Q ,P ∆x
Declive da secante
Declive da tangente
0 0
tan 0
0
( ) ( )
lim ( )
∆ →
+ ∆ −
′= =
∆x
f x x f x
m f x
x
0
+ ∆x x
0
x x
y 0 0( ) ( )+ ∆ −f x x f x
∆x
0 0
( , ( ))+ ∆ + ∆Q x x f x x
0 0
( , ( ))P x f x
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 7
TAXAS DE VARIAÇÃO – EXEMPLO
Considere 
(a) Determine a taxa de variação média de relativamente a 
em Interprete geometricamente o valor obtido.
(b) Determine o declive da reta tangente ao gráfico de f no 
ponto 2.
Resolução:
(a)
2
( ) 3 1.= = − +y f x x x
y x
[ ]2,4 .
[ ]
2 2
2,4
(4) (2) (4 3 4 1) (2 3 2 1) 5 1
. . . 3
4 2 2 2
− − × + − − × + +
= = = =
−
f f
t v m
Corresponde ao declive da reta secante ao gráfico de f nos 
pontos 2 e 4. 
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 8
tan
2
2
2
2
2
(2)
( ) (2)
lim
2
( 3 1) ( 1)
lim
2
( 2)( 1)
lim
2
lim( 1)
1
x
x
x
x
m f
f x f
x
x x
x
x x
x
x
→
→
→
→
′=
−
=
−
− + − −
=
−
− −
=
−
= −
=
(b)
TAXAS DE VARIAÇÃO – EXEMPLO
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 9
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO – EXEMPLO
Verifique se a função é derivável em
Resolução:
Logo, não é derivável em 
3( ) 1= −f x x 1.=x
1
3
1
21 3
( ) (1)
(1) lim
1
1 0
lim
1
1
lim
( 1)
→
→
→
−
′ =
−
− −
=
−
=
−
= +∞
x
x
x
f x f
f
x
x
x
x
Reta tangente 
vertical
3 1= −y x
f 1.=x
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 10
INTERPRETAÇÃO FÍSICA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA
Interpretação Física: 
No caso de um ponto móvel em movimento retilíneo, a taxa de 
variação instantânea da sua posição no tempo é a velocidade 
instantânea.
Exemplo:
A equação da posição (metro) – altura a que se encontra do 
solo – de um objeto lançado do telhado de um dado edifício é, 
aproximadamente, a seguinte função do tempo (segundo):
Determine a velocidade do objeto no instante de colisão com o 
solo.
2
( ) 90 10= −h t t
t
h
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 11
Resolução:
Instante de colisão com o solo
Velocidade do objeto no instante de colisão
m/s
3
2
3
3
( ) (3)
(3) lim
3
90 10 0
lim
3
10( 3)( 3)
lim
3
60
t
t
t
h t h
h
t
t
t
t t
t
→
→
→
−
′ =
−
− −
=
−
− − +
=
−
= −
INTERPRETAÇÃO FÍSICA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA
2
90 10= −x t
2
( ) 0 90 10 0 3 ( 0)= ⇔ − = ⇔ = >h t t t t
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 12
Definição:
A função definida por é 
denominada a derivada de em ordem a 
O domínio de é o conjunto de todos os pontos para 
os quais o limite existe.
Notação: A função derivada também pode ser denotada por
Observação:
A velocidade instantânea de um objeto em movimento retilíneo 
é a derivada da sua posição em ordem ao tempo .
FUNÇÃO DERIVADA
f .x
′f
′f0
( ) ( )
( ) lim
∆ →
+ ∆ −
′ =
∆x
f x x f x
f x
x
∈ fx D
[ ], , ( ) ,′ x
dy d
y f x D y
dx dx
′f
x
( ).′= =
dx
v x t
dt
t
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 13
FUNÇÃO DERIVADA – EXEMPLO
Determine a derivada em ordem a de
Resolução: 
x
( )
0
2 2
0
2 2 2
0
0
( ) ( )
( ) lim
( ) 1 ( 1)
lim
2 ( ) 1 1
lim
2
lim
2 ,
x
x
x
x
f x x f x
f x
x
x x x
x
x x x x x
x
x x x
x
x x
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆ −
′ =
∆
 + ∆ − − − 
=
∆
+ ∆ + ∆ − − +
=
∆
∆ + ∆
=
∆
= ∀ ∈ℝ
2
( ) 1.= −f x x
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 14
*Determine a equação da reta tangente à curva no ponto
Resolução:
DERIVAÇÃO – EXEMPLO
1
=y
x1
2, .
2
 
 
 
tan
0 0 0
0 0
2 21 1
(2 ) (2) 2(2 )2 2lim lim lim
1 1
lim lim
2 (2 ) 2(2 ) 4
∆ → ∆ → ∆ →
∆ → ∆ →
− − ∆
−
+ ∆ − + ∆+ ∆= = =
∆ ∆ ∆
∆
= − = − = −
∆ + ∆ + ∆
x x x
x x
x
f x f xxm
x x x
x
x x x
( )0 tan 0( )− = −y f x m x x
( )
1 1 1
2 1
2 4 4
− = − − ⇔ = − +y x y x 1 1
4
= − +y x
1
=y
x
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 15
DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE
Se uma função é derivável num ponto então ela também é 
contínua nesse ponto.
DERIVABILIDADE CONTINUIDADE 
Uma função pode ser contínua num ponto sem que seja 
derivável nesse ponto.
CONTINUIDADE DERIVABILIDADE 
0
xf
⇒
⇒
0
x
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 16
DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE – EXEMPLO DE UMA
FUNÇÃO CONTÍNUA E DERIVÁVEL NUM PONTO
A função é contínua no ponto pois 
e é derivável no ponto pois
existe, e é finito. 
2
( ) =f x x 1=x
2
1 1 1
(1) 1, lim ( ) lim 1, lim ( ) (1)
→ → →
= = = =
x x x
f f x x f x f
1=x
2
1 1 1 1
( ) (1) 1 ( 1)( 1)
lim lim lim lim( 1) 2 (1)
1 1 1→ → → →
− − − +
′= = = + = =
− − −x x x x
f x f x x x
x f
x x x
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 17
DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE – EXEMPLO DE UMA 
FUNÇÃO CONTÍNUA MAS NÃO DERIVÁVEL NUM PONTO
A função é contínua no ponto pois 
no entanto, não é derivável no ponto pois os limites 
laterais
não são iguais.
( ) 1= −f x x 1=x
1 11 1
(1) 0, lim( 1) lim( 1) 0 lim ( ) 0, lim ( ) (1)
+ − → →→ →
= − = − + = ⇒ = =
x xx x
f x x f x f x f
1=x
1 1
( ) (1) ( 1) 0
lim lim 1
1 1+ +→ →
− − −
= =
− −x x
f x f x
x x
1, 1
1
1, 1
− ≥
− = 
− + <
x x
x
x x
1 1
( ) (1) ( 1) 0
lim lim 1
1 1− −→ →
− − + −
= = −
− −x x
f x f x
x x
1m =1m = −
Ponto de “bico”
Aula 7 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 18
DERIVABILIDADE EM INTERVALOS
Definição:
Uma função é derivável no intervalo aberto se for 
derivável em cada ponto deste intervalo.
Definição:
Uma função é derivável no intervalo fechado se o 
for em e se existir a derivada à direita em e a derivada 
à esquerda em 
] [,a bf
f [ ],a b
] [,a b
.b
a
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 1
● Regras de Derivação
– Derivada da Função Constante
– Derivada da Função Potência
– Derivada do Produto de uma Constante por uma Função
– Derivada da Soma, do Produto e do Quociente de Funções
– Derivada da Função Exponencial e da Função Logarítmica
– Derivadas de Ordem Superior
– Derivada da Função Composta
– Fórmulas Generalizadas das Derivadas da Função 
Exponencial, da Função Logaritmo e da Função Potência
SUMÁRIO
Funções Reais de Variável Real (Cont.)
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 2
A reta tangente ao gráfico de
tem declive
Alguns resultados que vamos mostrar, facilitam o cálculo das 
derivadas e podem ser obtidos usando a definição. 
Derivada da Função Constante
Teorema:
A derivada de uma função constante é , isto é, se 
, então
Exemplos:
0
∈ℝc ( ) 0c ′ =
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( )(3) 0 ( 1) 0 ( ) 0 3 0e ′′ ′ ′= − = = =
x x
y
=y c
( ) =f x c 0, .∀x
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 3
Derivada da Função Potência
Teorema:
Se , então
Exemplos:
( ) 1r rx r x −′ =∈ℝr
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( )2 3 4 4
3
( ) 1 2 3x x x x x
x
− −′ ′′ = = = − = −
( ) ( ) ( ) ( )
2 11 1
3 32 2 3 2
3
1 1 2 2
2 32 3
x x x x x x
x x
−− ′′ ′′
= = = = = =
( ) ( )1 2 32 3 4
1 1 1 3
x x x
x x x x
− − −
′ ′   ′ ′
= = − = − = = −   
   
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 4
Derivada do Produto de uma Constante por uma Função 
Teorema:
Se é derivável em e então a função é derivável 
em , e
Exemplos:
,∈ℝcx c f
REGRAS DE DERIVAÇÃO
f
( ) ( ) ( )2 2
1 1
3 3 6
4 4 4
x
x x x x
′ ′ ′ ′= = − = − = − 
 
( )
31
2 2
2 3
3 1 3 1 1 1 1
3
3 63 6
x x
x x x x x
− −
′′ ′ ′    
= = − = = − = −     
     
( )( ) ( )c f x c f x′ ′=
x
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 5
Derivada da Soma de Funções
Teorema:
Se e são deriváveis em , então a função é 
derivável em e
Exemplos:
( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x′ ′ ′+ = +
f g
x
x
REGRAS DE DERIVAÇÃO
+f g
( ) ( ) ( )2 2 3
2 1
3 (3)
2
x x x x
x x
− −′ ′′ ′+ + = + + = − +
( ) ( )3 3 22
1 1 1
5 2 5 2 15 2x x x x x
x x x
′ ′    ′ ′− + = + − + = − − +   
   
( ) ( ) ( )2 22 5 2 5 4 5x x x x x′ ′ ′+ = + = +
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 6
Derivada do Produto de Funções
Teorema:
Se e são funções deriváveis em , então a função produto
é derivável em e
Exemplo: Seja Determine 
Resolução:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x′ ′ ′= +
x
x×f g
REGRAS DE DERIVAÇÃO
f g
( )( )3 22 1 4 .= + −y x x x
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
3 2 3 2
2 2 3
4 3
2 1 4 2 1 4
6 4 2 1 4 2
10 32 2 4
y x x x x x x
x x x x x
x x x
′ ′′ = + − + + −
= − + + −
= − + − +
.y′
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 7
Derivada do Quociente de Funções
Teorema:
Se e são deriváveis em e , então a 
função é derivável em e
Exemplo:
Seja Determine
Resolução:
f
g
x
( ) 0≠g x
REGRAS DE DERIVAÇÃO
xf g
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2
3 1 2 3 1 2
( 2)
(3)( 2) 3 1 2 2 3 13
( 2) ( 2) ( 2)
x x x x
y
x
x x x x x
x x x
′′+ − − + −
′ =
−
− − + +
= = −
− − −
2
3 1
.
2
+
=
−
x
y
x
.y′
[ ]
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f x g x f x g x
g x g x
′ ′ ′  −
= 
 
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 8
( ) ,x xe e x′ = ∈ ℝ
Derivada da Função Exponencial
Teorema:
Exemplos:
( ) { }ln , \ 1 ,x xa a a a x+′ = ∈ ∈ℝ ℝ
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( )
1 1 1 1
3 3 ln3 ln ln 2
2 2 2 2
x x x
x x
′        ′
= = = −                 
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 9
Derivada da Função Logarítmica
Teorema:
Exemplos:
( )
1
ln ( ) , 0x x
x
′ = >
( ) { }
1
log ( ) , \ 1 , 0
ln
a
x a x
x a
+′ = ∈ >ℝ
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) ( )
( )
1
4
2 1
4
1 1
log ( ) , 0 log ( ) , 0
ln 2 ln
x x x x
x x
′′ = > = >
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 10
Continuando sucessivamente o processo de derivação 
obtemos:
Em geral,
que se designa por derivada de ordem de 
[ ]
[ ]
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
′ =
′′ ′=
′′′ ′′=
d
f x f x
dx
d
f x f x
dx
d
f x f x
dx
.fn
( ) ( 1)( ) ( )− =  
n nd
f x f x
dx
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 11
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR – EXEMPLOExemplo: Determinar todas as derivadas de
Resolução:
3 2( ) 3 4 2 5.= − + −f x x x x
( )
( )
( )
3 2 2
2
(4)
( )
( ) 3 4 2 5 9 8 2
( ) 9 8 2 18 8
( ) 18 8 18
( ) (18) 0
( ) 0, 4n
f x x x x x x
f x x x x
f x x
f x
f x n
′′ = − + − = − +
′′′ = − + = −
′′′′ = − =
′= =
= ≥
⋮
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 12
Teorema:
Se é derivável no ponto e é derivável no ponto 
então a função composta é derivável no ponto 
Além disso, se e então e
ou,
g
=
dy dy du
dx du dx
x f ( ),g x
�f g .x
( ( ))=y f g x ( )=u g x ( )=y f u
DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA
x ( )=u g x ( )=y f u
fg
�f g
( ) ( )( ) ( ) ( )f g x f g x g x′ ′ ′=�
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 13
Exemplo:
Seja Determine .
Resolução:
Ou,
DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA – EXEMPLO
( )
2
3 1 .= −y x
=
dy dy du
dx du dx
3 32 2( 1) 2 2= = − = −
dy
u x x
du
( )2 3 5 23 2 2 6 6= − = −
dy
x x x x
dx
( )6 3 5 22 1 6 6
dy
x x x x
dx
′
= − + = −
dy
dx
( )
2
3 6 31 2 1= − = − +y x x x
23=
du
x
dx
( )( )=y f g x
( )
2
3 1= −y x
( )=y f u( )=u g x
3 1= −u x 2=y u
x
3 1= −u x ( )
2
2 3 1y u x= = −
g f
f g�
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 14
Fórmulas Generalizadas das Derivadas
Se é uma função derivável de , então aplicando a regra de 
derivação da função composta obtêm-se as fórmulas 
generalizadas das derivadas da
● função potência,
● função exponencial e
● função logarítmica
u x
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 15
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Fórmula Generalizada da Derivada da Função Potência
Exemplos:
( ) 1 , , ( )r ru r u u r u g x−′ ′= ∈ =ℝ
( )( ) ( ) ( ) ( )
3 3 1
2 2 4 2 5 32 3 2 2 6 4 4 6 24 24x x x x x x x x x
−′
− = − = − + = − +
( ) ( ) ( ) ( )
2 1
3 3
2
2 2 23
3 2
2 20
5 1 5 1 5 1 10
3 3 5 1
d x
x x x x
dx x
−′   − = − = − =      −
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 16
REGRAS DE DERIVAÇÃO – EXEMPLOS
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )
1
2
31
2 2
2
2
2 2
2
2 3
2
1
1
1
1 1 1 2
2
1
1 1
x
x x
x
x x x x
x
x x
−
− −
′ ′ 
= − 
− 
 
= − + − − 
 
= −
− −
2
2
3
3
3 1 3 1 3(5 4) 5(3 1)
2
5 4 5 4 (5 4)
2(3 1)(15 12 15 5)
(5 4)
34(3 1)
(5 4)
x x x x
x x x
x x x
x
x
x
′   − − + − −   
=       + + +     
− + − +
=
+
−
=
+
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 17
Fórmula Generalizada da Derivada da Função Exponencial
Exemplos:
( ) { }ln( ) , \ 1 , ( )u ua a a u a u g x+′ ′= ∈ =ℝ
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) , ( )u ue e u u g x′ ′= =
( )3 35 3 5 ln5x x′ = × ( )
2 2( 1) ( 1)2x xe x e− −
′
=
( )( ) ( )
1 1
2
1
x xe e
x
′
= −
Aula 8 - Funções Reais de Variável RealAntónio Carvalho Pedrosa e Patrícia Ramos 18
Fórmula Generalizada da Derivada da Função Logarítmica
Exemplos:
( )
1
ln , ( ), 0u u u g x u
u
 ′ ′= = > 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO
( ) { }
1
log , \ 1 , ( ), 0
ln
a
u u a u g x u
u a
+ ′ ′= ∈ = > 
 
ℝ
( )( )25 2
2
log 1
( 1) ln5
x
x
x
′
+ =
+
( )( )2 2
2 3
ln 3 5
3 5
x
x x
x x
−′
− + =
− +
Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 1
SUMÁRIO
● Diferencial 
– Definição
– Interpretação Geométrica
● Aproximação Linear de uma Função na Vizinhança 
de um Ponto
● Formas Indeterminadas
– Regra de L’Hospital
– Generalização da Regra de L’Hospital
– Exemplos de Aplicação
(Casos e ) 
Funções Reais de Variável Real (Cont.)
António Carvalho Pedrosa e Cristina Torres
∞ − ∞
0 00
, , 0 , 1 , , 0
0
∞∞ × ∞ ∞
∞
Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 2
CONCEITO DE DIFERENCIAL
Introdução:
Seja uma função derivável no ponto x.
Por definição
Então
e
em que é um infinitésimo quando
Conclusão:
O incremento é a soma de uma parte principal
(proporcional a ), chamada diferencial , e um produto de
dois infinitésimos (infinitésimo de ordem superior a ).
( )y f x=
0
( ) lim .
x
y
f x
x∆ →
∆
′ =
∆
( )
y
f x
x
ε
∆
′= +
∆
( )y f x x xε′∆ = ∆ + ∆
ε 0.x∆ →
y∆
x∆ dy
x∆
António Carvalho Pedrosa e Cristina Torres
Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 3
DEFINIÇÃO DE DIFERENCIAL
Definição:
Seja f uma função derivável no ponto x. 
Chama-se diferencial de uma função ao produto 
que é denotado por , ou seja,
Definição:
Chama-se diferencial de uma variável independente ao 
seu incremento , ou seja,
( )f x x′ ∆
dy
( )dy f x x′= ∆
dx
x∆
dx x= ∆
António Carvalho Pedrosa e Cristina Torres
Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 4
DEFINIÇÃO DE DIFERENCIAL
Observações:
1. A definição de é consistente com a definição de 
como pode ser verificado pelo caso particular da função
De facto, como temos
Por outro lado, usando a definição de 
diferencial de uma função, temos
Então, concluímos 
2. As definições de e de explicam o uso da notação
para a derivada. 
dx ,dy
.y x=
dx ,dy
dy
dx
,y x= .dy dx=
( ) 1 .dy f x x x x′= ∆ = ∆ = ∆
.dx x= ∆
António Carvalho Pedrosa e Cristina Torres
Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 5
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONCEITO DE
DIFERENCIAL



� 



y
x
x
x x+ ∆
dy
y∆
dx x= ∆
( , ( ))x f x
( , ( ))x x f x x+ ∆ + ∆
António Carvalho Pedrosa e Cristina Torres
Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 6
DIFERENCIAL – EXEMPLO
Seja e Determine
(a) e num ponto genérico x.
(b) e em sendo 
Resolução:
(a)
(b)
3
2y x= +
dy y∆
dy y∆ 2x = 1.dx x= ∆ =
2
( ) 3dy f x dx dy x dx′= → =
3 3
2 2 3
( ) ( )
 ( ) 2 ( 2)
 3 3 ( ) ( )
y f x x f x
x x x
x x x x x
∆ = + ∆ −
 = + ∆ + − + 
= ∆ + ∆ + ∆
( ) ( ).y f x x f x∆ = + ∆ −
2
2
2 2 3
2
3 2 1 12
3 2 1 3 2 1 1 19
x
x
dy
y
=
=
= × × =
∆ = × × + × × + =
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Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 7
APROXIMAÇÃO LINEAR DE UMA FUNÇÃO NA
VIZINHANÇA DE UM PONTO
Seja o incremento de f quando 
sofre o acréscimo Vimos que
Então
Como é um infinitésimo de ordem superior a para 
valores de suficientemente pequenos, podemos escrever
ou
Conclusão: pode ser usado no cálculo aproximado de 
0 0
( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ −
.x∆
0
( ) .y f x x x dy xε ε′∆ = ∆ + ∆ = + ∆
0 0
( ) ( ) .f x x f x dy xε+ ∆ − = + ∆
xε ∆ ,x∆
x∆
0 0
( ) ( )f x x f x dy+ ∆ ≈ +
0 0 0
( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x′+ ∆ ≈ + ∆
dy
0
( ).f x x+ ∆
0
x
António Carvalho Pedrosa e Cristina Torres
Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 8
APROXIMAÇÃO LINEAR DE UMA FUNÇÃO NA
VIZINHANÇA DE UM PONTO
Consideremos novamente 
Fazendo (e portanto ) obtém-se
que é a equação de uma reta e pode ser vista como uma 
aproximação ao gráfico de f na vizinhança de 
( )y f x=
0 0
( , ( ))x f x
0 0 0
( ) ( ) ( )y f x f x x x′= + −
0
x x
y
0 0 0
( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x′+ ∆ ≈ + ∆
0
x x x= + ∆ 0x x x∆ = −
0 0 0
( ) ( ) ( )( )f x f x f x x x′≈ + −
0
.x
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Aula 9 - Funções Reais de Variável Real 9
APLICAÇÃO DO CONCEITO DE DIFERENCIAL – EXEMPLOS
1. Sabendo que use a noção de diferencial para calcular 
o valor aproximado de .
Resolução:
Neste caso, 
Recorrendo à aproximação
que é a equação da reta tangente ao gráfico no ponto de 
abcissa e fazendo e obtemos
Como , vem e, consequentemente,
ou seja
que é muito próximo do valor real .
0.2
e
( ) .
x
f x e=