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Lista de exercícios sobre Matrizes e Determinantes
1) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j.
2) Construa as seguintes matrizes:
A = (aij)3x3 tal que aij = 
î
í
ì
¹
=
j
i
 
,
0
j
i
 
,
1
se
se
B = (bij)3x3 tal que bij = 
î
í
ì
=
¹
+
j
i
 
se
 
3j,
-
i
j
i
 
se
2j,
 
i
3) Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = 
î
í
ì
¹
=
j
i
 
,
j
i
 
,
1
2
se
i
se
4) Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = 
î
í
ì
¹
-
=
+
j
i
 
,
2
2
j
i
 
,
j
i
se
j
i
, então a22 + a34 é igual a:
5) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –i.
6) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3.
7) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij = 
î
í
ì
>
£
+
j
i
 
,
.
j
i
 
,
se
j
i
se
j
i
, determine a soma dos elementos a23 +a34.
8) Seja a matriz A = (aij)5x5 tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos da diagonal principal dessa matriz.
9) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i2 – 7j.
10) Determine a e b para que a igualdade 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
7
 
 
10
b
 
4
3
a
= 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
7
 
10
b
 
2
a
seja verdadeira.
11) Sejam A = 
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
2
 
0
1
-
 
4
3
 
2
e B = 
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
5
 
8
1
-
 
7
0
 
2
, determine (A + B)t. 
12) Dadas as matrizes A = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2
-
 
4
1
 
3
e B = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
2
-
 
 
1
y
-
 x
y
x
, determine x e y para que A = Bt.
13) Resolva a equação matricial: 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
+
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
2
 
2
 
4
3
 
5
 
1
2
 
5
 
3
2
-
 
1
-
 
1
7
 
2
 
0
5
 
4
 
1
= x + 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
5
 
9
 
1
3
-
 
1
-
 
8
2
 
7
 
2
.
14) Determine os valores de x e y na equação matricial: 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
4
 
3
2
 
1
.
2
5
 
7
4
-
 
4
3
 
 x
2
y
.
15) Se o produto das matrizes 
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
1
2
 
0
 
1
1
-
 
1
 
0
.
1
 
1
0
 
1
y
x
é a matriz nula, x + y é igual a:
16) Se 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2
1
.
4
.
3
 
1
1
-
 
3
y
x
, determine o valor de x + y.
17) Dadas as matrizes A = 
,
5
-
 
2
3
 
0
ú
û
ù
ê
ë
é
 B = 
ú
û
ù
ê
ë
é
-
1
-
 
0
4
 
2
e C = 
ú
û
ù
ê
ë
é
-
0
 
6
2
 
4
, calcule: 
a) A + B
b) A + C
c) A + B + C
18) Dada a matriz A = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
2
-
 
1
 
0
4
 
3
 
2
0
 
1
-
 
1
, obtenha a matriz x tal que x = A + At.
19) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.
20) Determine os valores de m, n, p e q de modo que: 
ú
û
ù
ê
ë
é
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
5
 
1
8
 
7
3q
-
 
n
-
n 
p
 
2m
 
q
p
m
.
21) Determine os valores de x, y, z e w de modo que: 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
5
-
 
8
0
 
1
1
-
 
4
3
 
2
 w
y
 
z
x
.
22) Dadas as matrizes A = 
ú
û
ù
ê
ë
é
-
4
 
3
1
 
2
, B = 
ú
û
ù
ê
ë
é
5
 
2
1
-
 
0
e C = 
ú
û
ù
ê
ë
é
1
 
6
0
 
3
, calcule:
a) A – B
b) A – Bt – C
23) Dadas as matrizes A = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
8
 
2
 
6
2
-
 
4
 
0
, B = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
0
 
6
-
 
12
9
 
6
 
3
e C = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2
 
1
-
 
1
0
 
1
-
 
0
, calcule o resultado das seguintes operações:
a) 2A – B + 3C 
b) 
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
-
C
B
A
3
1
2
1
24) Efetue: 
a) 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
2
3
.
4
 
1
3
-
 
5
b) 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
3
 
0
1
-
 
2
.
4
 
1
2
 
5
c) 
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
2
 
1
 
2
2
 
2
 
1
1
 
2
 
2
.
1
 
1
 
0
0
 
1
 
1
0
 
0
 
1
25) Dada a matriz A = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
1
 
0
 
0
0
 
0
 
1
0
 
1
-
 
2
, calcule A2.
26) Sendo A = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
1
 
5
2
 
3
 e B = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
0
 
2
1
-
 
3
e C = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
4
1
, calcule:
a) AB
b) AC
c) BC
27) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. Sabendo que C = A + B, determine C2.
28) Calcule os seguintes determinantes:
a) 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
3
-
 
1
8
 
4
-
b) 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
7
-
 
 
3
3
 
8
c) 
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
-
8
 
3
 
1
6
 
4
 
3
-
9
-
 
6
 
4
-
29) Se a = 
4
 
3
1
 
2
-
, b = 
1
 
3
7
 
21
-
 e c = 
3
 
5
2
-
 
1
-
, determine A = a2 + b – c2.
30) Resolva a equação 
 x
5
x x
= -6.
31) Se A = 
ú
û
ù
ê
ë
é
4
 
3
3
 
2
, encontre o valor do determinante de A2 – 2ª.
32) Sendo A = 
ú
û
ù
ê
ë
é
3
3
b
 
b
 
a
a
, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.
33) Calcule o valor do determinante da matriz A = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
3
 
1
 
2
6
 
7
 
5
0
 
1
-
 
4
34) Resolva a equação 
2
-
 
1
 
4
2
-
 
1
 
3
 
5
 
1
 
 
3
 
2
 
1
x
x
x
=
+
35) Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.
36) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que: 
3
2
 
2
 
0
x
-
 
0
 
3
1
 
1
-
 
1
, com base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) o peso médio de uma criança de 7 anos
b) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.
37) Calcule o valor do determinante da matriz A= 
ú
û
ù
ê
ë
é
sen x
-
 x 
cos
 x
cos
-
 x 
sen
.
38) Resolva a equação 
1
-
 
1
 
-
 
1
 
3
 
x
= 3.
39) Se A = 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
5
 
4
1
-
 
2
, calcule o valor do determinante de 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
A
A
2
7
2
.
40) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 
2
x
1
 
e
 
2
1
£
£
£
£
i
. Determine o determinante de A.
41) Determine o determinante da seguinte matriz 
1
 
2
 
0
 x
1
-
 
3
1
 
2
x 
.
42) Dada a matriz A = 
2
 
1
 
0
5
 
4
 
1
-
3
 
2
 
1
e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?
43) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.
44) Calcule os determinantes das matrizes A = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
7
-
 
1
-
 
2
4
 
3
 
1
-
 
2
 
0
 
1
 
 e B = 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
7
-
 
6
-
 
1
2
 
4
-
 
3
0
 
0
 
1
, usando o teorema de Laplace.
45) Resolva as equações:
a) 
7
 
5
2
x x
+
= 0
b) 
 x
5
x x
= 0
c) 
1
-
 x
15
 
3
x
+
= 0
46) Sabendo – se a = 
1
 
5
2
 
3
-
-
e b = 
10
 
4
6
 
2
, calcule o valor de 3a + b2.
47) Dada a matriz A = 
3
 
1
4
 
2
, calcule:
a) det A
b) det A2
48) Determine o valor de cada determinante:
a) 
4
 
3
 
2
3
 
1
 
4
5
 
2
 
3
b) 
5
 
2
-
 
4
1
 
3
 
2
-
0
 
3
 
0
c) 
0
 
3
 
4
1
 
1
 
1
0
 
2
 
2
49) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P = 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
2
 
2
 
0
1
-
 
1
 
2
1
 
1
-
 
2
.
50) Na matriz 
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
9
 
3
-
 
1
4
 
2
 
1
 x
 x
1
2
, calcule: 
a) seu determinante
b) os valores de x que anulam esse determinante
51) Determine em IR a solução da equação: 
2
 
1
 
3
1
-
 
2
-
 
1
-
 x
 x 
2
= 8 – log84.
52) Sabendo que a = 
2
 
2
3
 
1
e b = 
3
 
1
 
1
1
 
2
 
2
1
 
3
 
1
, efetue a2 – 2b.
53) Determine a solução da equação: 
x
-
 
2
8
 
x 
3
-
= 0.
54) Determine o determinante da matriz 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
sen x
 
2
 x 
2
 x
cos
 
sen x 
 
co
.
55) Resolver a equação 
4
 
4
 
4
 
x x 
 x
x x 
x
= 0
56) Resolva as equações:
a) 
2
 
1
 
3
 x
4
 
2
1
 
4
 
2
= 0
b) 
3
-
 
 x 
2
 x 
1
 
0
2
-
 
3
 
2
= 2
c) 
1
-
 x
2
 
 
1
 
 x 
3
 
 x
3
 
1
x
x
+
= 0
Questões:
01. Obter a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j.
02. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 eAt sua transposta, determine A, tal que A = 2 .At.
 
03. (UNIV. CATÓLICA DE GOIÁS) Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A = AT e é dita anti-simétrica se AT = -A, onde AT é a matriz transposta de A. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas afirmações:
(01) A + AT é uma matriz simétrica
(02) A - AT é uma matriz anti-simétrica
 
04. Se uma matriz quadrada A é tal que At = -A, ela é chamada matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:
Os termos a12, a13 e a23 de M, valem respectivamente:
 
a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) 2, 2 e 4
 
a) x = y = 0
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n
d) y = -2x e n = -2m
e) x = -2y e m = -2n
 
06. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)  são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela:
	 
	Camisa A
	Camisa B
	Camisa C
	Botões p
	3
	1
	3
	Botões G
	6
	5
	5
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
	 
	Maio
	Junho
	Camisa A
	100
	50
	Camisa B
	50
	100
	Camisa C
	50
	50
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho.
 
07. Sobre as sentenças:
 
I.   O produto das matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1.
II.  O produto das matrizes A5 x 4 . B5 x 2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto das matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2
 
É verdade que:
 
a) somente I é falsa;
b) somente II é falsa;
c) somente III é falsa;
d) somente I e III são falsas;
e) I, II e III são falsas.
 
08. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
 
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
 
a) 3
b) 14
c) 39
d) 84
e) 258
 
 
10. (PUC) Se A, B e C são matrizes quadradas e At, Bt e Ct são suas matrizes transpostas, e igualdade falsa entre essas matrizes é:
 
a) (A = B) . C = A . C + B . C
b) (A + B)t = At + Bt
c) (A . B)t = At . Bt
d) (A - B)C = AC - BC
e) (At)t = A
Resolução:
01.
02.
 
03. (01) verdadeira
      (02) verdadeira
04. B
05. E
06.
	 
	Maio
	Junho
	Botões p
	500
	400
	Botões G
	1100
	1050
 
	07. B
	08. C
	09. D
	10. C
_1333111083.unknown
_1333119891.unknown
_1333120848.unknown
_1333125621.unknown
_1333126055.unknown
_1333126511.unknown
_1333126724.unknown
_1333126997.unknown
_1333127228.unknown
_1333126945.unknown
_1333126611.unknown
_1333126322.unknown
_1333126369.unknown
_1333126182.unknown
_1333125742.unknown
_1333125912.unknown
_1333125683.unknown
_1333121289.unknown
_1333121396.unknown
_1333121465.unknown
_1333121360.unknown
_1333121215.unknown
_1333121251.unknown
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