Lista 2 - Micro 2

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EAE0205 - Microeconomia 2 (2018)
Lista 2 - Equilíbrio geral
Prof. José R. N. Chiappin
Monitor: Victor Dornelas
1. Considere uma economia de trocas pura com dois bens perfeitamente divisíveis e dois con-
sumidores, ambos com preferências representadas pela função utilidade u(x, y) = 2
√
x +
√
y.
Há uma unidade de cada bem na economia.
(a) Represente esta economia numa caixa de Edgeworth e encontre a curva de contrato.
(b) Calcule a taxa marginal de substituição de cada consumidor e mostre que as alocações fora
da curva de contrato não são ótimas de Pareto.
2. Considere uma economia de trocas pura com dois bens perfeitamente divisíveis e dois consu-
midores, ambos com preferências homotéticas, estritamente convexas e diferenciáveis. Mostre
que se uma alocação sobre a diagonal da caixa de Edgeworth pertencer à curva de contrato,
então todos os pontos da diagonal da caixa serão Pareto eficientes.
3. Dois consumidores (A e B) têm preferências pelos bens x e y dadas por:
uA(xA, yA) =
2 ln(xA) + ln(yA)
3
e uB(xB, yB) =
ln(xB) + 2 ln(yB)
3
.
As dotações iniciais são ωA = (1, 4) e ωB = (3, 1).
(a) Construa a caixa de Edgeworth e indique o subconjunto de alocações Pareto-superiores à
dotação inicial.
(b) Encontre uma expressão algébrica para a curva de contrato desta economia.
(c) Verifique se a lei de Walras é satisfeita.
(d) Encontre a razão de preços e alocação de equilíbrio.
4. Ian e Roger gostam de consumir garrafas de cerveja (c) e pacotes de amendoim (a). De fato,
suas preferências por esse bens podem ser representadas por:
ui(ci, ai) = cia
4
i e ur(cr, ar) = 2cr + ar.
Cada um deles possui 10 garrafas de cerveja. Represente cada uma das situações abaixo em
uma caixa de Edgeworth e encontre a razão de preços e alocação de equilíbrio:
(a) Roger tem 20 pacotes de amendoim e Ian tem zero.
(b) Roger tem 5 pacotes e Ian tem 15.
(c) Roger não tem pacotes e Ian tem 20.
1 de 5
5. Seja uma economia com dois consumidores (1 e 2) e dois bens (x e y). As utilidades dos
indivíduos são dadas por:
u1(x1, y1) = 100 + 7x
30/50
1 y
6/10
1 e u2(x2, y2) = 3x
1/2
2 y
2/4
2 .
A dotação da economia é (ωx, ωy) = (10, 10), sendo que o consumidor 1 possui (ωx1 , ω
y
1) =
(6, 1). Sejam px e py os preços dos bens x e y, respectivamente.
(a) Um planejador central deseja distribuir os bens de forma a maximizar a utilidade do indi-
víduo 1 mantendo o nível de utilidade de 2 constante em ū2 = 18. Qual a alocação que
soluciona este problema?
(b) Encontre os preços e alocação de equilíbrio competitivo.
(c) Para o consumidor 2, a utilidade no item (a) é maior, menor ou igual à do item (b)? Justifi-
que.
6. Numa economia em que há apenas três bens, as funções excesso de demanda pelos bens 2 e
3 são:
z2(p1, p2, p3) = −
3p2
p1
+
2p3
p1
− 1 e z3(p1, p2, p3) =
4p2
p1
− 2p3
p1
− 2,
onde (p1, p2, p3) ∈ R3++ é um vetor de preços dos bens. Encontre uma expressão para z1(p1, p2, p3),
a função excesso de demanda pelo bem 1.
7. Suponha uma economia de trocas puras com dois bens (x e y) e dois consumidores (A e B),
cujas preferências são representadas por:
uA(xA, yA) = ln(xA) + 3 ln(yA) e uB(xB, yB) = 3 ln(xB) + 5 ln(yB).
Suas dotações iniciais são ωA = (2, 0) e ωB = (1, 4).
(a) Encontre a expressão algébrica para a curva de contrato desta economia.
(b) Caracterize o equilíbrio competitivo, informando os preços e a alocação.
Uma alocação ((xA, yA), (xB, yB)) é dita “livre de inveja” se:
uA(xA, yA) ≥ uA(xB, yB) e uB(xB, yB) ≥ uB(xA, yA).
Ou seja, A prefere sua própria cesta àquela de B, e vice-versa.
(c) A alocação que você encontrou no item (b) é livre de inveja?
(d) Mostre que a alocação de equilíbrio obtida quando ωA = ωB é livre de inveja.
8. Suponha uma economia de trocas puras com dois bens (x e y) e dois consumidores (A e B),
cujas preferências são representadas por:
uA(xA, yA) = x
1/3
A y
2/3
A e uB(xB, yB) = min{xB, yB}.
As dotações dos indivíduos são ωA = (10, 20) e ωB = (20, 5). Avalie se as afirmações abaixo
são verdadeiras, justificando sua resposta.
(a) ((xA, yA), (xB, yB)) = ((10, 5), (20, 20)) é uma alocação Pareto-eficiente.
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(b) No equilíbrio competitivo, os preços dos bens são determinados e únicos.
(c) O conjunto de alocações eficientes satisfaz a yA = xA − 5.
(d) Se os preços de x e y forem iguais, então o excesso de demanda por y será de 7,5 unidades.
(e) Em uma economia de trocas, se a alocação inicial for ótima de Pareto, então o equilíbrio
competitivo retornará uma alocação justa (ou “livre de inveja”).
9. Suponha uma economia de trocas puras com dois bens (x e y) e dois consumidores (A e B),
cujas preferências são representadas por:
uA(xA, yA) = max{xA, yA} e uB(xB, yB) = max{xB, 3yB}.
Cada um dos agentes possui uma unidade de cada bem; i.e., suas dotações são ωA = ωB =
(1, 1).
(a) Para um vetor de preços arbitrário (px, py), quanto o consumidor A demanda do bem x?
(b) Encontre um vetor de preços de equilíbrio competitivo para esta economia.
(c) Qual alocação está associada a este vetor de preços?
(d) O vetor de preços de equilíbrio é único? Explique por que a habitual normalização de um
dos preços para 1 não é problemática.
(e) Enuncie o primeiro teorema do bem-estar (hipóteses e teses).
(f) Enuncie o segundo teorema do bem-estar (hipóteses e teses).
(g) A alocação que você encontrou no item (c) é Pareto-ótima?
(h) Qualquer alocação Pareto-ótima desta economia poderia ser de um equilíbrio competitivo?
Por que?
10. Dois agentes, A e B, têm cada um 10 horas de trabalho para dedicar à produção de dois
bens, x e y. As funções utilidade são:
uA(xA, yA) = x
3/10
A y
7/10
A e uB(xB, yB) = x
5/10
B y
5/10
B .
As funções de produção dos bens de consumo, por sua vez, são dadas por:
x = 2l e y = 3l,
sendo l a quantidade de trabalho empregada na produção. Considere-o como o bem numerário.
(a) Qual deve ser a razão de preços px/py no equilíbrio?
(b) Qual a demanda agregada por x e y a essa razão de preços?
(c) Como o trabalho deveria ser distribuído entre x e y para satisfazer as demandas calculadas
no item anterior?
11. Em uma economia com produção, há dois consumidores e uma firma, cuja função de pro-
dução é:
f(h1, h2) = h
α
1h
1−α
2 ,
em que 0 < α < 1 e (h1, h2) são dois tipos de trabalho (qualificado e não-qualificado, por
exemplo).
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As preferências dos consumidores A e B são representadas por:
ui(xi, li) = x
5
i l
5
i , i ∈ {A,B},
em que xi é consumo do bem produzido pela firma e li é tempo de lazer. A dotação de tempo do
indivíduo A é de 16 horas, que pode ser alocada entre lazer e trabalho do tipo 1. A do indivíduo
B, por sua vez, é também de 16 horas, podendo ser alocada entre lazer e trabalho do tipo 2.
Cada consumidor é proprietário de metade da firma e todos são tomadores de preços.
(a) Escreva o problema da firma e encontre a quantidade ofertada e demandada de insumos
como função dos preços (p, w1, w2).
(b) Escreva o problema dos consumidores e encontre a quantidade demandada do bem de con-
sumo e a oferta de trabalho como função dos preços (p, w1, w2) e do lucro da firma, consi-
derado exógeno e igual a π̄ pelos consumidores.
(c) Que condições devem ser satisfeitas em equilíbrio competitivo? Encontre-o.
(d) Escreva o problema do planejador central nesta economia e mostre que as alocações de
equilíbrio competitivo solucionam também o problema do planejador. Existiria alguma
maneira pela qual você poderia ter antecipado esse resultado? Explique.
12. Considere uma economia competitiva com 3 bens: x e y, que são bens de consumo, e L,
trabalho. Há dois consumidores, A e B, cujas preferências são representadas por:
uA(xA, yA) = x
2
AyA e uB(xB, yB) = xBy
2
B.
Existem também duas firmas, F eG, que transformam trabalho em bens x e y, respectivamente,
segundo as funções de produção:
f(LF ) =
√
LF e g(LG) = 2
√
LG.
Cada consumidor tem uma dotação inicial de 10 unidades de trabalho. Ademais, ambos são
acionistas das firmas, sendo que A é dono de 25% de F e de 75% de G; B possui as participa-
ções restantes nasduas firmas. Suponha que trabalho é o bem numerário e encontre o equilíbrio
competitivo desta economia.
13. Considere uma economia simples com apenas um consumidor, que é também produtor.
Este indivíduo, doravante conhecido pelo costumeiro nome de Robinson Crusoé, possui dotação
T = 1 hora de trabalho por dia. Ele pode dividir esse tempo na produção de dois bens, sendo
T o o tempo dedicado a produzir ostras e T t para produzir tamarindos. Segue que a restrição de
recursos da economia é T o + T t = T .
As funções de produção são dadas por o =
√
T o e t =
√
T t e as preferências de Robinson
podem ser representadas pela função u(o, t) = ot. Encontre a alocação eficiente de Pareto e,
supondo tamarindo o bem numerário, descubra o preço de ostra que faz desta alocação uma de
equilíbrio competitivo.
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14. No país Ruritania há duas regiões, A e B. Dois bens (x e y) são produzidos nelas, sendo
que em A as funções de produção são:
xA =
√
LAx e yA =
√
LAy ,
onde Lx e Ly são a quantidade de trabalho empregada na produção dos bens x e y, respectiva-
mente. O total de trabalho disponível na região A é de 100 unidades.
A região B, por sua vez, tem funções de produção:
xB =
√
LBx /2 e yB =
√
LBy /2.
Há também 100 unidades de trabalho disponíveis na região B.
(a) Calcule as fronteiras de possibilidades de produção para cada uma das regiões. O que
explica o formato dessas curvas?
(b) Que condição deve ser satisfeita para que a produção em Ruritania seja distribuída de ma-
neira eficiente entre as regiões A e B (supondo que o trabalho não possa se deslocar de uma
para outra)?
(c) Calcule a fronteira de possibilidades de produção para Ruritania como um todo (ainda su-
pondo que o trabalho não pode se deslocar de uma região para outra). Quanto de y Ruritania
consegue produzir quando a produção de x é de 12 unidades?
15. Determinada economia tem dois bens de consumo, dois consumidores e duas firmas. As
firmas 1 e 2 produzem, respectivamente, os bens 1 e 2 seguindo as funções:
y1 = t
2/3
1 k
1/3
1 e y2 = t
1/3
2 k
2/3
2 ,
sendo (kj, tj) a quantidade de capital e terra contratada pela firma j ∈ {1, 2}.
As preferências dos consumidores A e B são representadas pelas funções utilidade:
uA(x1A, x2A) =
3 lnx1A + lnx2A
4
e uB(x1B, x2B) =
lnx1B + 3 lnx2B
4
.
Cada consumidor é dono de metade de cada firma, além de ambos serem proprietários da
terra e capital e os ofertarem de forma inelástica: suas dotações são (ωt,A, ωk,A) = (10, 3) e
(ωt,B, ωk,B) = (2, 15). Todos os agentes se comportam de forma competitiva.
(a) Escreva o problema das firmas e encontre a quantidade ofertada dos bens de consumo e a
demanda por insumos como função de seus preços vt e vk e dos preços dos bens finais pj ,
j ∈ {1, 2}.
(b) Escreva o problema dos consumidores e encontre a quantidade demandada dos bens de
consumo como função dos preços e lucro das firmas.
(c) Encontre o equilíbrio competitivo desta economia.
(d) Encontre uma expressão algébrica para o conjunto de alocações eficientes de insumos e
represente-o graficamente na caixa de Edgeworth das firmas. O formato deste conjunto nos
diz algo sobre o da fronteira de possibilidades de produção? Explique.
Dica: veja as pg. 443-448 de Snyder & Nicholson (10a ed.).
(e) O equilíbrio encontrado no item (c) está associado a uma alocação Pareto-ótima? Justifique.
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