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1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 
 
PROVA DE MATEMÁTICA 3ª SÉRIE E.M. _COLÉGIO ANCHIETA – BA 
Elaboração: PROF. OCTAMAR MARQQUES. 
Resolução e comentários: PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA . 
 
 
01. Supondo a, b, c, d ∈ R, qual das proposições a seguir é verdadeira? 
 
01) ab = ac ⇒ b = c. 
02) a < b ⇒ ac < bc. 
03) a < b e c < d ⇒ a – c < d – b. 
04) a < b e c < d ⇒ a + c < b + d. 
05) a < b e c < d ⇒ ac < bd. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
01) Falso, porque se a = 0, temos sempre ab = ac para quaisquer valores de b ou c. 
02) Falso, porque para valores de c < 0, teremos ac > bc. 
03) Falso, porque se fizermos, por exemplo, a = -3, b = -2, c = -10 e d = 2, teremos: -3 – (-10) > 2 - (-2). 
04) Verdadeiro. 
05) Falso, porque se fizermos, por exemplo, a = -3, b = -2, c = -10 e d = 2, teremos: -3.(-10) > -2.2. 
 
02. Supondo que ~ p → q é falsa, pode-se concluir que: 
 
01) p ∧ q é verdadeira. 
02) p → ~ q é falsa. 
03) p ↔ q é verdadeira. 
04) ~ p ∨ q é falsa. 
05) ~ p ∧ ~q é falsa. 
 
RESOLUÇÃO: 
Se ~ p → q é falsa, então p é FALSA e q também é falsa. 
 
 01 02 03 04 05 
p q ~p ~q p ∧ q p → ~ q p ↔ q ~ p ∨ q ~ p ∧ ~q 
F F V V F V V V F 
 
03. Qual das proposições a seguir é verdadeira: 
 
01) Um triângulo é eqüilátero, se é isósceles. 
02) 2 cm, 4 cm e 5 cm são os lados de um triângulo somente se esse triângulo é acutângulo. 
03) Se o raio de um círculo é perpendicular a uma reta, então essa reta é tangente ao círculo. 
04) A condição suficiente para dois círculos serem tangentes é que a distância entre seus centros seja igual à 
soma dos seus raios. 
05) A condição necessária para dois círculos se interceptarem é que a distância entre seus centros seja maior 
que o maior dos raios desses círculos. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
01) Falso. Ser um triângulo isósceles não é condição suficiente para ser um triângulo eqüilátero. 
02) Falso. Pois se 5² > 2² + 4², então o triângulo é obtusângulo. 
03) 
Falso. Pois podemos ter uma reta secante ao círculo 
conforme figura que aparece ao lado. 
 
 
 
 
1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 2 
 
 
04) Verdadeiro. 
 
 
05) Falso. 
 
 
 
04. Na figura, ABCD é um quadrado de centro M e lado igual a 12cm. 
Determine a área da região hachurada definida pelo semicírculo e a 
diagonal AC . 
 
2)9(� 05) 6)-8(5� 04) ��-6(12 03) ��-9(6 02) ��-8(4 01) +
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
A área A = Área (∆AMB) – a (Área do segmento circular pintado de amarelo 
determinado pelo setor de 90°). 
a = Área do setor circular MNB – área do triângulo retângulo MNB. 
Lado do quadrado: 12 cm e raio do círculo 6 cm e AM = MB = 26 (metade 
da diagonal do quadrado). 
a = 189
2
36
4
36 −=− ππ . 
 
A = )6(9954)189(
2
26.26 πππ −=−=−− 
 
ALTERNATIVA 02. 
A B
CD
M N
$ D
 
 
 
 
 
1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 3 
 
 
 
05. Calcule a área do triângulo ABC sabendo que a = 72 u.c., b = 4 u.c. e BÂC = 60°. 
 
01) 6 3 u.a. 02) 4 3 u.a. 03) 8 2 u.a. 04) 12 u.a. 05) 6 2 u.a. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC em relação ao ângulo Â: 
6 x ou 2x0124xx4x16x28 22 =−=⇒=−−⇒−+= . 
Logo a área do triângulo é: 
S = 36
2
3
.12sen60.6.4.
2
1 ==° 
 
ALTERNATIVA 01. 
 
 
 
 
06. Na figura, CD // AB e a distância entre as retas AB e CD é igual a 12 cm. 
Calcule a altura , em centímetros, do triângulo ABE relativa ao lado AB, 
sabendo que a área do triângulo CDE é igual a 4 vezes a área do 
triângulo ABE. 
 
01) 4 02) 5 03) 6 04) 7 05) 8 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Os triângulos ABE e CDE são semelhantes ( possuem dois ângulos 
congruentes), logo 
( )2
22
CED
ABE
CED
ABE
x-12
x
4
1
 
h
h
S
S =⇒



= . 
4x² = 144 – 24x + x² ⇒ 3x² + 24x – 144 = 0 ⇒ x² + 8x – 48 = 0 ⇒ 
x = 4 ou x = -12. 
 
ALTERNATIVA 01. 
 
 
 
 
 
 
 
1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 4 
 
07. Na figura, os pontos D e E dividem o lado BC em 3 partes iguais. M e N 
são os pontos médios dos lados AC e AB . Se a área do triângulo ABC é 
S, então a área da região pintada é: 
 
01) 
2
S
 02) 
3
S
 03) 
3
S2
 04) 
4
S
 05) 
5
S2
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Os triângulos ADF e ABC têm a mesma altura e a base do primeiro é a 
terça parte da base do segundo, então a área do primeiro é 1/3 da área 
do segundo, isto é S/3. 
Sendo os pontos M e N os pontos médios dos lados AB e AC, então 
2
1
 
DE
PQ = ⇒ 
12
S
3
S
.
4
1
Área
4
1
Área ADFAPQ === . 
A área da região pintada é: 
4
S
12
S3
12
S
3
S ==− 
 
ALTERNATIVA 04 
 
 
08. 40% das 180 pessoas que participam de um plebiscito são homens. 
 Sabendo que 80 pessoas disseram “SIM” e que 60 mulheres disseram “NÃO”, qual a probabilidade de 
escolhendo-se ao acaso uma dessas pessoas ela seja homem que disse “NÃO”? 
 
01) 
5
1
 02) 
4
1
 03) 
5
2
 04) 
5
3
 05) 
9
2
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
40% das 180 pessoas que participam de um plebiscito são homens ⇒ n (H) = 0,4.180 = 72 e n(M) = 108. 
Das 108 mulheres 60 disseram NÃO, então 48 disseram SIM. 
Como das 80 pessoas que disseram SIM, 48 são mulheres, então 32 homens disseram SIM. 
Então dos 72 homens, 40 disseram NÃO. 
Logo a probabilidade procurada é 
9
2
180
40 = . 
 
ALTERNATIVA 05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 
09. Um recipiente contém 120 litros de uma mistura com 4 partes de gasolina e uma parte de álcool. 
Que quantidade de álcool deve ser colocada nesse recipiente de modo que se tenha 3 partes de gasolina 
para uma de álcool? 
 
01) 6 " 02) 7 " 03) 8 " 04) 9 " 05) 10 " 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Como os 120 litros da mistura são compostos de 4 partes de gasolina e uma parte de álcool, a razão do álcool 
para a mistura é de 1: 5, ou seja na mistura existem 



 ×120
5
1
 litros de álcool, portanto 24 litros . 
No recipiente devem ser colocados mais x litros de álcool, ficando assim com (x + 120) litros de uma nova mistura 
composta de 1 parte de álcool para 3 partes de gasolina, então: 
4
1
120x
24x =
+
+
 ⇒ 4x + 96 = x + 120 ⇒ 
3x = 24 ⇒ x = 8. 
 
ALTERNATIVA 03. 
 
 
10. O preço de uma mercadoria é p reais. Se alguém comprar na promoção “pague 5 e leve 8” que desconto 
estará obtendo na compra dessa mercadoria? 
 
01) 30% 02) 35% 03) 37,5% 04) 40% 05) 45% 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Valor de um objeto: p. 
Valor de 5 objetos: 5p. 
Valor de 8 objetos na promoção 5p ⇒ que o preço de um objeto na promoção é de 
8
5p
 que corresponde 
a 
8
3p
 
8
5p
 - p =



 . Então o desconto será de 375,0
8
3
p
8
3p
== . 
 
ALTERNATIVA 03. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 6 
 
11. Numa divisão entre números naturais o dividendo excede o divisor em 10 unidades e o resto é o maior 
possível. 
 Determine a soma do divisor com o quociente. 
 
01) 10 02) 11 03) 12 04) 15 05) 16. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Consideremos os números naturais D, D – 10, q e D – 11 como dividendo, divisor, quociente e resto, 
respectivamente, de uma divisão. Então D = q(D – 10) + D – 11 ⇒ q(D – 10) = 11 ⇒ 
10-D
11
 q = . 
Sendo 
10-D
11
 q = um número natural, D – 10 é divisor de 11 ⇒ D = 11 ou D = 21 
 
Dividendo Divisor Quociente Resto 
D D – 10 
10-D
11
 q = 
D – 11 
11 1 11 0(não é o resto maior possível) 
21 11 1 10 
 
A soma pedida é 11+1 = 12. 
 
ALTERNATIVA 03. 
 
 
12. O conjunto solução da inequação 1 
2 2 -x 
2x >
+
 é: 
 
01) ]-2,4[ 02) ]2,3[ 03) [1,2] 04) ]4/3, + ∞[ 05) ]- ∞, 2/3[ 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
1 
2 2 -x 
2x >
+
 ⇒ 
( )
0 
2 2 -x 
2 2 -x -2x 
>
+
+
 
 
 
• Cálculo das raízes do denominador : 2 2 -x + = 0 ⇒ 2 - 2 -x = ⇒ que a expressão 2 2 -x + não 
tem raízes e assumirá sempre um valor numérico positivo. 
• A solução da inequação 
( )
0 
2 2 -x 
2 2 -x -2x 
>
+
+
 será então a solução da inequação ( )2 2 -x -2x + > 0 
 
( )2 2 -x -2x + >0 ⇒ 2 2x 2- xe 2 - x 22x- 22x 2 - x 2-2x22x2-x −<<+⇒−<<+⇒−< 
 
⇒ 
3
4
 x 0 x e 
3
4
 x >⇒



 >> . 
 
ALTERNATIVA04 
 
 
 
1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 7 
 
 
 
13. Os pontos P = (x,y), Q = (2,-4) e R = (4,3) estão alinhados ( em linha reta). Se P pertence ao eixo dos x, então 
P é igual a: 
 
01) (3,0) 02) 




0,
7
22
 03) 




0,
4
15
 04) 




0,
3
10
 05) 




0,
5
16 
 
RESOLUÇÃO: 
 
O coeficiente angular da reta QR é a = 
2
7
24
43 =
−
+
 ⇒ QR : y = b x 
2
7 + . 
Substituindo nesta equação x e y pelas coordenadas do ponto Q = (2,-4), temos: 7 + b = -4 ⇒ b = -11. 
Logo, y = 11 x 
2
7 − . 
O ponto P = (x,y) = (x,0) ⇒ 11 x
2
7 − = 0 ⇒ x = 
7
22
 ⇒ P = 




0,
7
22
. 
 
ALTERNATIVA 02 
 
14. Considere o triângulo de vértices A = (-2,4), B = (-1,-1) e C = (3,2). 
 Determine a altura desse triângulo relativa ao lado BC . 
 
01) 3,5 02) 3,8 03) 4,2 04) 4,6 05) 5,4 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
A altura relativa ao lado BC é a medida do segmento AH a ele perpendicular. Determinemos o coeficiente 
angular da reta BC : a = 
4
3
13
12 =
+
+
 ⇒ BC : y = b
4
x3 + . 
 
Substituindo nesta equação x e y pelas coordenadas do ponto B = (-1,-1): -1 = b
4
3 +− ⇒ b = 
4
1− ⇒ 
 
4
1
 - 
4
3x
 y = ⇒ 4y + 3x + 1 = 0. Sendo A = (-2,4) ⇒ AH = 6,4
5
26
2516
1616
==
+
++
 
 
ALTERNATIVA 04. 
 
 
1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 8 
 
15. ABCD é um paralelogramo tal que A = (-2,4), B = (2, -6) e C = (4,2). Sabendo que AC é diagonal desse 
paralelogramo calcule sua área. 
 
01) 52 02) 48 03) 45 04) 42 05) 40 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Cada diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos 
congruentes. Assim a área do paralelogramo em questão será o 
dobro da área do triângulo ABC. 
 
S = 52824416412
2
4264
2422
2 =−++++=














/
−
−−
/ 
 
ALTERNATIVA 01. 
 
 
 
16. O simétrico do ponto A = (a+b, a-b) em relação à 1ª bissetriz é o ponto B. O simétrico do ponto B em relação 
ao eixo dos y é o ponto C e o simétrico de C em relação à 2ª bissetriz é o ponto (3,4). Calcule o valor de 2a. 
 
01) 1 02) 2 03) 3 04) 4 05) 5 
 
RESOLUÇÃO: 
 
A = (a+b,a-b) ⇒ B = (a-b, a+b) ⇒ C = (-a+b,a+b)⇒ 
D = ( -a-b, a-b) = (3,4). 
 
1 2a 
4 b - a
3 b - a -
=⇒



=
=
 
 
ALTERNATIVA 01. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 9 
 
 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA – 1 a AVALIAÇÃO DA 2 a UNIDADE – 3a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO 
PROFESSOR: OCTAMAR 
ALUNO (A): ______________________________________________________ TURMA: ____ N o: _____ 
 
 
48(67®2 ',6&856,9$
 
 
(UFBA _2005_Fase 1) 
 
Considere um triângulo eqüilátero cujos lados medem ( )132 − u.c. e três 
circunferências com raios medindo ( )13 − �X�F�� FDGD XPD GHODV FRP FHQWUR HP XP
vértice do triângulo, conforme a figura. 
 
Considere então um segundo triângulo T satisfazendo as seguintes condições: 
 
• as três circunferências estão contidas no interior do triângulo T; 
• cada lado do triângulo T tangencia duas dessas circunferências; 
• cada vértice do triângulo T pertence à mediatriz de um dos lados do triângulo 
inicial. 
 
Com base nesses dados, determine, em u.c., o perímetro do triângulo T. 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
O triângulo ABC foi construído segundo as condições estabelecidas para o triângulo T. A B e C são 
pontos das mediatrizes e cada um dos seus lados tangenciam duas das circunferências ( figura 1). 
Na figura 2 destacamos o triângulo eqüilátero PAQ circunscrito ao círculo de centro O então o segmento 
AO = 2r = ( )132 − . 
No triângulo ORS a altura OM = 33
2
3)13(2
2
3
−=
/
−/=l . 
MN = r = ( )13 − . 
 
 
 
 
1513-5_1ªAval3ªEM2ªu-Mat/29.04 10 
 
 
 
 
 
No triângulo ABC, a altura AN = AO + OM + MN = ( )132 − + 33 − + ( )13 − = 32 . 
 
AN = 4
3
332.2
BC
3
32AN
BC
2
3BC ==⇒=⇒ . 
 
RESPOSTA: 
 
O perímetro do triângulo T é 12u.c.