denise_matematica_6a_serie_equacoes_do_1o_grau_parte_3

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Equações do 1º grau 
(Parte 3) 
 
 
Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf 
 
Sumário Página 
Equações do 1º grau com uma incógnita .................................................................................... 1 
Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita .......................................................... 2 
Usando equações na resolução de problemas ............................................................................ 6 
Referências bibliográficas .......................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 1
EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Equações do 1º grau com uma incógnita 
 
Toda equação que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma bax = , 
onde x representa a incógnita e a e b são números racionais, com a ≠ 0, é 
denominada equação do 1º grau com uma incógnita. 
Os números a e b são denominados coeficientes da equação. 
 
Exemplos: 
a) 6=x � equação do 1º grau na incógnita x 
b) 123 =x � equação do 1º grau na incógnita x 
c) 102 =− y � equação do 1º grau na incógnita y 
d) 53 −=t � equação do 1º grau na incógnita t 
 
Entretanto existem outras equações do 1º grau com uma incógnita que não são 
escritas na forma bax = . 
Exemplos: 
a) 452 −=+ xx � equação do 1º grau na incógnita x 
b) 5
3
2 =+ yy � equação do 1º grau na incógnita y 
c) 6)1(3 =−x � equação do 1º grau na incógnita x 
d) 1
3
1
2
=−+ zz � equação do 1º grau na incógnita z 
 
Essas equações podem ser reduzidas à forma mais simples de uma equação do 1º 
grau com uma incógnita através de transformações. Essas transformações são 
baseadas na aplicação dos princípios de equivalência das igualdades. 
 2
Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita 
 
Consideremos a equação )1(23
2
−=+ xx cuja incógnita é representada pela letra 
x, sendo x um número racional desconhecido (U = �). 
Essa equação estabelece, numa linguagem matemática, que, para um certo 
número racional x, as expressões 3
2
+x e )1(2 −x representam o mesmo 
número. 
Como descobrir esse x? 
Lembre-se: 
Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto 
universo, significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista. 
 
Observe os exemplos a seguir para ver como proceder para resolver equações do 
1º grau com uma incógnita: 
Exemplos: 
a) Resolver a equação 3615 =+x , sendo U = �. 
Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (−1) aos dois membros da 
equação, isolando o termo que contém a incógnita x no 1º membro: 
355
136115
3615
=
−=/−/+
=+
x
x
x
 
Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros da 
equação por 
5
1
, descobrindo assim o valor do número x. 
7
5
1
35
5
1
5
355
=
⋅=⋅
=
x
x
x
 
Como 7 ∈ �, temos S = {7} 
 3
Podemos resolver a mesma equação utilizando o método prático: 
7
tivomultiplica princípio o aplicamos 
5
35
355
aditivo princípio o aplicamos 1365
3615
=
→=
=
→−=
=+
x
x
x
x
x
 
Como 7 ∈ �, temos S = {7} 
 
OBS: No método prático, cada vez que um termo troca de membro, troca a 
operação. Muito cuidado para não confundir: não devemos trocar o sinal do 
número e sim a sua operação. Por exemplo: 
5
2
10
102
−=
−
=
=−
y
y
y
 
S = {−5} 
 
b) Resolver a equação 547 += xx , sendo U = �. 
Utilizando o método prático: 
3
5
53
547
547
=
=
=−
+=
x
x
xx
xx
 
Como 
3
5
 ∈ �, temos: 





=
3
5
S 
 
 4
c) Resolver a equação 13579 +=− xx , sendo U = �. 
Utilizando o método prático: 
5
4
20
204
71359
13579
=
=
=
+=−
+=−
x
x
x
xx
xx
 
Como 5 ∈ �, temos: 
{ }5S= 
 
 
d) Resolver a equação )54(2)21(6)12(2 −⋅=−⋅−−⋅ xxx , sendo U = �. 
Utilizando o método prático: 
4
1
8
2
28
810816
62108124
10812624
)54(2)21(6)12(2
−=
−=
−=
+−=−
++−=−+
−=+−−
−⋅=−⋅−−⋅
x
x
x
xx
xxx
xxx
xxx
 
Como 
4
1− ∈ �, temos: 





−=
4
1
S 
 
 
 5
e) Resolver a equação 
2
5
3
2
4
3 −=− xx , sendo U = �. 
Utilizando o método prático: 
3
22
3
22
223
830129
301289
12
3012
12
89
2
5
3
2
4
3
=
−
−=
−=−
+−=−
−=−
−=−
−=−
x
x
x
xx
xx
xx
x
x
 ou 
3
22
223
)1(223
=
=
−⋅−=−
x
x
x
 
Como 
3
22
 ∈ �, temos: 





=
3
22
S 
 
f) Resolver a equação 10767 +=+ xx , sendo U = �. 
Utilizando o método prático: 
40
61077
10767
=
−=−
+=+
x
xx
xx
 
Como não existe nenhum número racional que multiplicado por zero dá 
resultado 4, dizemos que a equação é impossível e S = �. 
 
 
 
 
 6
g) Resolver a equação xx 2525 −=− , sendo U = �. 
Utilizando o método prático: 
00
5522
2525
=
−=+−
−=−
x
xx
xx
 
Como todo número racional verifica essa igualdade, dizemos que a equação é 
uma identidade e S = �. 
 
 
Usando equações na resolução de problemas 
 
A resolução matemática de problemas é muito facilitada pela estrutura algébrica. 
Quando vamos resolver um problema, devemos: 
• Ler com atenção o problema e levantar dados. 
• Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equações, usando letras 
e símbolos. 
• Resolver a equação estabelecida. 
• Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente. 
Vejamos alguns exemplos de problemas em cujas soluções serão usadas 
equações do 1º grau. 
 
Exemplos: 
a) Luiz e Roberto jogam na mesma equipe de basquete. No último jogo dessa 
equipe, os dois marcaram juntos 52 pontos. Luiz marcou 10 pontos a mais que 
Roberto. Quantos pontos cada um marcou nessa partida? 
Resolução: 
x = número total de pontos que Roberto marcou 
x + 10 = número total de pontos que Luiz marcou 
 7
Como os dois junto marcaram 52 pontos, vamos escrever a equação: 
21
2
42
422
10522
5210
52)10(
=
=
=
−=
=++
=++
x
x
x
x
xx
xx
 
 
Roberto marcou 21 pontos 
Luiz marcou 21 + 10 = 31 pontos. 
 
Resposta: Roberto marcou 21 pontos e Luiz marcou 31 pontos. 
 
 
b) Em uma página de jornal, 25% da área foi reservada às fotos, e sobraram 
420 cm2. Qual era a área total da página? 
Resolução: 
x = área total da página 
Convém lembrar que 
4
1
100
25
%25 == 
x
4
1
 = área da página destinada às fotos 
 
Escrevendo a equação que relaciona os dados, temos: 
 8
560
3
1680
16803
)1(16803
16804
4
1680
4
4
420
4
1
420
4
1
=
=
=
−⋅−=−
−=−
−=−
−=−
=+
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
 
 
Resposta: A área total dessa página de jornal era 560 cm2. 
 
 
c) Numa 6ª série de uma escola, ocorre um fato curioso. Os 42 alunos da turma 
ou torcem pelo Grêmio ou pelo Internacional ou por ambos. Uma professora 
perguntou: 
_ Quem torce pelo Internacional? 
36 alunos levantaram a mão. 
A seguir, a professora perguntou: 
_ Quem torce pelo Grêmio? 
28 alunos levantaram a mão. 
Nessa turma, quantos alunos torcem, ao mesmo tempo, pelo Grêmio e pelo 
Internacional? 
 
Resolução: 
Para resolver este problema, podemos montar o seguinte diagrama: 
 9
 
 
x = número de alunos que torcem pelos dois times ao mesmo tempo 
36 – x = número de alunos que torcem pelo Internacional 
28 – x = número de alunos que torcem pelo Grêmio 
 
A soma desses números deverá dar o total de alunos da sala; assim, teremos a 
equação: 
22
)1(22
6442
4264
422836
42)28()36(
=
−⋅−=−
−=−
=+−
=−++−
=−++−
x
x
x
x
xxx
xxx
 
 
Resposta: Nessa turma, há 22 alunos que torcem, ao mesmo tempo, pelos dois 
clubes. 
 
 
Referências bibliográficas 
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando 
matemática. São Paulo: Brasil, 2002. 
BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: 
FTD, 2006. 
BRASIL ESCOLA. Disponível em: <http://www.brasilescola.com>. Acesso em: 
30 de julho de 2008. 
 10
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005. 
EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: 
Matemática. São Paulo: Moderna, 2007. 
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e 
descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José 
Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998. 
GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004. 
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São 
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MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.