Introdução à Estatística

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ESTATÍSTICA 
 
“ESTATÍSTICA é a parte da Matemática aplicada que fornece métodos para a 
coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados para posterior 
utilização dos mesmos nas tomadas de decisões” Antônio Arnot Crespo. 
 
Histórico 
 
 Embora a Estatística ainda não existisse, há indícios de que 3.000AC, já se faziam 
censos na Babilônia, China e Egito. Motivo: taxação e impostos. 
 
A própria Bíblia utilizou-se da Estatística - O livro quarto do Velho Testamento 
(Moisés recebeu a ordem para fazer um levantamento dos homens de Israel que 
estivessem aptos para guerrear) 
 
O Imperador César Augusto ordenou um censo em todo Império Romano ( o 
“Censere” – taxar). 
 
Estatística - Status (Estado em latim). Sob essa palavra acumularam-se descrições e 
dados relativos ao estado. A Estatística, nas mãos dos estadistas constiuiu-se 
verdadeira ferramenta administrativa. 
 
Em 1.805 – Guilherme, o Conquistador, ordenou um levantamento estatístico na 
Inglaterra. Tal levantamento deveria conter informações sobre terras, proprietários, 
uso da terra, números de empregados, animais, que serviriam para o cálculo de 
impostos. Esta ação originou um volume intitulado Domesday Book – Dia do Juízo 
final. Contribuiu de forma significativa com importantes reformas administrativas na 
área do direito civil e da economia e, no plano social, dimensionou a capacidade 
produtiva do país. 
 
Século XVII – Surgiu a Tábua de Mortalidade na Inglaterra - John Graunt. 
Essa tábua de mortalidade é utilizada até hoje pelas Companhias de Seguros. 
A palavra Estatística, cunhada pelo acadêmico alemão GOTTFRIED ANCHENWALL 
apareceu pela primeira vez na metade do século XVIII, Enciclopédia Britânica 
(1.797). 
 
EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DA ESTATÍSTICA 
• Uma firma está se preparando para lançar um novo produto precisa conhecer 
as preferências dos consumidores no mercado de interesse. Para isso, pode 
fazer uma pesquisa de mercado entrevistando um número de residências 
escolhidas aleatoriamente. Poderá, então, usar os resultados para estimar as 
preferências de toda a população. 
• As técnicas estatísticas são necessárias para separar efeitos de fatores 
diferentes. Por exemplo, é possível que, em uma comunidade, o consumo de 
sorvete dependa do preço do produto, da renda média local, do número de 
criança na comunidade e da temperatura média. Se dispuser de observações 
de todos os diferentes fatores em jogo, o leitor poderá aplicar a análise de 
regressão para determinar quais fatores tem efeitos mais importantes. 
• Ao receber uma grande quantidade de mercadorias de um fornecedor, 
teremos que certificar-nos de que o produto realmente satisfaz os requisitos 
de qualidade acordados. Seria dispendioso fazer uma verificação de cada 
item. Podemos recorrer novamente as técnicas estatísticas, que nos permite 
fazer inferências sobre a qualidade de todo o lote mediante inspeção de uma 
amostra de itens escolhidos aleatoriamente. 
 2
 
Método – Conjunto de meios dispostos convenientemente para se alcançar um fim. 
Ao longo dos anos, os conhecimentos eram adquiridos por acaso, de acordo com as 
necessidades, empiricamente, sem a aplicação de um método. Posteriormente com 
a evolução da ciência, desenvolveu-se o processo científico. 
 
Método Científico: Experimental- Física, Química – variáveis constantes. 
 Estatístico – admite todas as variações. 
 
A Estatística exprime por meio de números as observações que se faz de elementos 
com, pelo menos, uma característica comum. 
Exemplo: alunos do sexo masculino de uma escola. 
 
Método Estatístico compreende: 
• Estatística Descritiva - compreende a coleta, a organização e a descrição dos 
dados, 
• Estatística Indutiva ou Inferencial – compreende a análise e a interpretação dos 
dados. (inferência – dedução por meio do raciocínio). 
 
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
1. COLETA DOS DADOS: Após o planejamento e determinação dos elementos da 
pesquisa, dá – se o início da coleta dos dados numéricos necessários. 
 
A coleta pode se: 
 
- Coleta Direta – quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador, 
através de inquéritos e questionários. Exemplo: censo demográfico. 
 
A coleta Direta pode ser classificada em relação ao fator tempo em: 
 
-Contínua (registro) - quando feita continuamente. Exemplo: registro de 
nascimentos, de óbitos, freqüência à aula. 
 
-Periódica - quando feita em intervalos constantes de tempo. Exemplo: censo ( 
10 –10 anos), avaliações mensais dos alunos, etc. 
 
- Ocasional – quando feito extemporâneamente. (atende a uma emergência ou 
conjuntura). Exemplo: caso de epidemias, etc. 
 
Coleta Indireta - Quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e ou 
do conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. 
Exemplo: A pesquisa sobre a mortalidade infantil é feita através de dados 
colhidos por uma coleta direta. 
 
2. CRÍTICA DOS DADOS - Obtidos os dados, estes devem ser cuidadosamente 
criticados, à procura de possíveis falhas e imperfeições que possam influir 
sensivelmente nos resultados. 
 
A crítica pode ser: 
 
- Externa – Observar ás causas dos erros por parte do informante, seja por 
distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas. 
 
- Interna – Observa os elementos originais dos dados de coleta. 
 3
 
3. APURAÇÃO DOS DADOS – É a soma e o processamento dos dados obtidos e 
dispostos mediante critérios de classificação. 
 
4. EXPOSIÇÃO ou APRESENTAÇÃO DOS DADOS – Qualquer que seja a 
finalidade, os dados devem ser apresentados sob forma adequada: Tabelas ou 
Gráficos (tornam mais fácil o exame e compreensão do objeto de tratamento 
Estatístico) 
 
5. ANÁLISE DOS RESULTADOS - O objetivo da Estatística é tirar conclusões sobre 
o todo (População), a partir de informações fornecidas por parte representativa 
do todo (Amostra). Assim, realizadas as fases, analisam-se os resultados obtidos 
e dela retiram-se às conclusões e previsões. 
 
POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
A ESTATÍSTICA parte da observação de grupos, geralmente numerosos, que 
damos o nome de POPULAÇÃO ESTATÍSTÍCA ou UNIVERSO ESTATÍSTICO, que 
têm entre si, pelo menos, uma característica comum. 
Exemplo: Estudantes – são os que estudam, 
 Clubes campeões brasileiros de futebol – são campeões brasileiros de 
futebol. 
 
A População Estatística pode ser: 
 
a) Finita - com números finitos de elementos. Ex.: notas de Matemática dos 
alunos do 2º Grau em determinado bimestre. 
 
b) Infinita - quando apresenta um número infinito de elementos. Ex: as 
temperaturas em diversos pontos do Globo Terrestre, em determinado momento. 
 
Matematicamente, no Universo Infinito, não é possível fazer uma observação que 
abranja todos os seus elementos. Neste caso, recorre-se a técnica da 
AMOSTRAGEM. 
 
Observação - mesmo quando o Universo Estatístico for finito, há razões para a 
utilização da Técnica de Amostragem: 
 
 - Razões econômicas, pois pode ser dispendioso observar grande número de 
elementos, 
 - Razões de tempo – uma observação demorada pode levar a resultados errôneos. 
 
Na coleta de dados para a amostra devemos atentar para que ela seja 
representativa da população e ao mesmo tempo em que seja imparcial, isto é, cada 
elemento da população deve ter a mesma chance de ser escolhido, garantido assim, 
a representatividade da Amostra. 
 
Principais Técnicas de Amostragem: 
 
1- Amostragem Casual ou Aleatória Simples – Ex.: sorteio da Loteria. 
 
Na prática pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se a 
seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer K números de seqüências, os 
quais corresponderão aos elementos pertencentes a amostra. 
 
 4
Exemplo: Obter uma amostra representativa para a pesquisa da estatura de 50 
alunos de uma sala de aula. Determinar uma coleta de amostra de 10%. 
 
 
 
Inicialmente numeramos os alunos de 1 a 50, a seguir fazemos pedaços de papel 
numerados de 1 a 50 e colocamos dentro de uma caixa, agitamos e retiramos um a 
umos cinco números que formarão a amostra. 
Porém, quando o número de elementos da amostra é grande, esse tipo de sorteio 
torna-se trabalhoso. 
 
Tabela de números aleatórios – é uma tabela onde os números são distribuídos ao 
acaso formando linhas e colunas. A opção de leitura deve ser feita antes do início do 
processo, isto é, a leitura pode ser feita horizontalmente, da esquerda p/ a direita ou 
vice-versa, verticalmente, de cima p/ baixo ou vice-versa, diagonalmente 
(ascendente ou descendente), formando uma letra, etc. 
 
Exemplo: Para o exemplo anterior, vamos utilizar a tabela para achar os cinco 
números. Vamos escolher a 18ª linha e vamos tomar os números de dois 
algarismos. ( desprezando as repetições ou quando não houver número 
correspondente). 
. Teremos: 
 
61 81 81 73 92 60 66 73 58 53 68 68 
 
 
 
2- Amostragem Proporcional Estratificada 
 
 Muitas vezes a população estatística se divide em subpopulações 
denominadas de estratos. Quando isso ocorre é necessário que seja feita uma justa 
e correta coleta de dados, isto é, neste caso, os elementos para a mostra são 
escolhidos proporcionalmente ao número de elementos de cada estrato. Exemplo: 
Uma sala de aula com 90 alunos: 54 são meninos e 36 são meninas. Estrato: é o 
sexo – masculino e feminino. Deseja-se uma amostra de 10% da população (90 
alunos) então teremos: 
 
SEXO POPULAÇÃO 10% AMOSTRA 
MASCULINO 54 
4,5
100
54.10
= 
5 
FEMININO 36 
6,3
100
36.10
= 
4 
TOTAL 90 
0,9
100
90.10
= 
9 
 
A seguir, numeramos os meninos de 01 a 54 e as meninas de 55 a 90 e buscamos 
na Tabela de números aleatórios convencionando-se que trabalharemos com a 1ª e 
a 2ª coluna, de cima para baixo: 
Meninos: 28 – 22 – 53 – 18 – 03 e meninas: 57 – 90 – 80 - 56 
 
3- Amostragem Sistemática 
 
Nesta, os elementos da População Estatística já se encontram ordenados. São 
exemplos; prontuários médicos, linha de produção, etc. 
02 01 34 42 26 
 5
 
Como a coleta de dados para a amostra é feita pelo pesquisador, ele poderá 
escolher o sistema a ser utilizado. Por exemplo: - Determinou-se que a cada 10 itens 
produzidos na linha de montagem, 10% vai para a amostra da produção diária, neste 
caso Portanto, um produto a cada 10. 
 
 
 
Exemplo 2: Numa rua com 120 casas dos quais queremos a amostra de água de 10 
casas. 
 
12
10
120
= Escolhemos a seguir um número de 01 a 12 para ser a 1ª casa sorteada 
para a amostra e os demais serão considerados de 12 em 12 ( 2ª casa, 3ª casa......) 
 
 
VARIÁVEIS – convencionalmente é o conjunto de resultados possíveis de um 
fenômeno. Pode ser: 
 
a) QUALITATIVA - quando seus valores são expressos por atributos. Exemplos: 
sexo (masculino, feminino), cor da pele (branca, negra, amarela, vermelha, parda), 
etc. 
 
b) QUANTITATIVA – seus valores são expressos em números. Exemplos: 
salários, idade de alunos de uma determinada escola, etc. 
 
A variável Quantitativa se classifica em: 
 
- Variável Discreta – Só pode assumir valores pertencentes a um conjunto 
enumerável (conjunto dos Números Naturais).Exemplo: número de filhos { }n,..4,3,2,1 ; 
número de alunos de uma escola { }n,..4,3,2,1 . 
 
- Variável Contínua - Pode assumir qualquer valor entre 2 limites. Por exemplo; 
Pesos dos alunos da escola A : { 47,7 kg, 52,3 kg.....nKg }. 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
 
O GRÁFICO ESTATÍSTICO é uma forma de apresentação dos dados estatísticos 
com objetivo de propiciar uma análise e interpretação mais rápida e viva do 
fenômeno em estudo. 
 
Requisitos fundamentais para elaboração: 
 
a) Simplicidade - Deve ser destituído de detalhes secundários, como por 
exemplo traços desnecessários. 
 
b) Clareza - O gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores 
representativos do fenômeno. (Utilizar grandezas como dia, meses, anos, kg, cm, 
m, km, etc.) 
 
c) Veracidade - Deve expressar a verdade sobre o fenômeno. 
 
Principais tipos de gráficos: Diagramas, Cartogramas e Pictogramas. 
 
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Diagramas - São gráficos geométricos que fazem uso do Plano Cartesiano. 
Principais tipos: 
 
Gráfico em Linha ou Curva: Utiliza a linha poligonal para representação. 
 
 
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE 
ÓLEO DE DENDÊ 1997 – 2002 
Fonte Agropalma 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE 
ÓLEO DE DENDE 1997-2002
0
10
20
30
40
50
60
70
1997 1998 1999 2000 2001 2002
Anos
m
il 
to
n
.
 
 
Gráfico em Colunas – É a representação de uma série por meio de retângulos 
dispostos verticalmente. (os retângulos têm a mesma base e as alturas são 
proporcionais aos respectivos dados). 
 
 
PRODUÇÃO BRASILEIRA 
DE CARVÃO MINERAL -BRUTO 
1999-2002 
 
Fonte:Ministério da Agricultura 
 
 
 
 
 
 
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE 
CARVÃO MINERAL BRUTO 
1999-2002
0
2.000
4.000
6.000
8.000
10.000
12.000
14.000
16.000
18.000
20.000
1999 2000 2001 2002
anos
to
n
 
 
 
 
 
 
Gráfico em Barras – Os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são 
proporcionais aos respectivos dados. (utilizados para dizeres extensos) 
 
 
ANOS 
QUANTIDADE 
(1.000 t) 
1997 39,3 
1998 39,1 
1999 53,9 
2000 65,1 
2001 69,1 
2002 59,5 
 
ANOS 
PRODUÇÃO 
(1.000 t) 
1999 18.000 
2000 11.168 
2001 10.500 
2002 9.200 
Fonte: Ministério da Agricultura 
Fonte Agropalma 
 7
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS 
MARÇO - 2005 
 
Fonte:SECEX 
 
 
 
 
 
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS - 
MARÇO - 2005
0 500 1.000 1.500
São Paulo
Minas Gerais
Rio Grande do Sul
Espírito Santo
Paraná
Santa Catarina
E
st
ad
o
s 
B
ra
si
le
ir
o
s
milhões de dólares
 Fonte:SECEX 
 
 
Gráficos em Colunas ou em Barras Múltiplas – Utilizado quando se deseja 
representar simultaneamente dois ou mais fenômenos com o propósito de 
comparação. 
 
 
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL 
1999 - 2003 
 
ESPECIFICAÇÕES VALOR (US$ 1.000.000) 
 1999 2000 2001 2002 2003 
EXPORTAÇÃO (FOB) 34.383 31.414 31.620 35.793 38.783 
IMPORTAÇÃO 18.263 20.661 21.041 20.554 25.711 
Fonte: Ministério da Fazenda 
 
0
10.000
20.000
30.000
40.000
US$ 
milhão
1999 2000 2001 2002 2003
ANOS
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL 
1999 - 2003
 
 Fonte: Ministério da Fazenda 
 
 
 
 
 
 
ESTADOS 
VALOR 
(US$ milhões) 
São Paulo 1.344 
Minas Gerais 542 
Rio Grande do Sul 332 
Espírito Santo 285 
Paraná 250 
Santa Catarina 202 
 8
Gráfico de Setores – Construído com base no circulo e é empregado para ressaltar a 
participação do dado no total. (máximo 7 dados, apresentado em %) 
 
 
 
REBANHO SUÍNO DO SUDESTE DO 
BRASIL 
2002 
 
Fonte:IBGE 
 
 
 
 
 
 
 
REBANHO SUÍNO DO SUDESTE 
DO BRASIL - 2002
Minas Gerais
Espírito Santo
Rio de Janeiro
São Paulo
Fonte: IBGE 
 
 
 
 
 
 
Gráfico Polar – è um gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas; séries 
temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade. 
Exemplos: variação da precipitação pluviométrica ao longo do ano; temperatura ao 
longo do dia; arrecadação das multas durante a semana, o consumo de energia 
elétrica no mês ou ano, etc. 
 
PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA 
RECIFE - 1993 
Fonte:Ministério da Agricultura 
 
 
PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA 
RECIFE - 1993
0
50
100
150
200
250
300
out
nov
dez
JAN
fev
mar
abr
mai
jun
jul
ago
set
mm
 Fonte:Ministério da Agricultura 
 
 
CARTOGRAMA – É a representação sobre uma carta geográfica. Empregado com o 
objetivo de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas 
geográficas ou políticas. Aplicações: 
• Representar dados absolutos (População). Geralmente usa-se pontos em 
número proporcional aos dados. 
ESTADOS QUANTIDADE 
(mil cabeças) 
Minas Gerais 3.367 
Espírito Santo 430 
Rio de Janeiro 308 
São Paulo 2.035 
MESES MILÍMETROS 
Janeiro 49,6 
Fevereiro 93,1 
Março 63,6 
Abril 135,3 
Maio 214,7 
Junho 277,9 
Julho 183,6 
Agosto 161,3 
Setembro 49,2 
Outubro 40,8 
Novembro 28,6 
Dezembro 33,3 
 9
• Representar dados relativos (densidade). Geralmente usa-se hachuras ou 
cores. 
POPULAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO SUL DO BRASIL - 2005ESTADOS POPULAÇÃO ÀREA (Km 2) DENSIDADE 
Paraná 10.261.856 199.314.850 51,4 
Santa Catarina 5.866.568 95.346.181 61,5 
São Paulo 10.845.087 281.748.538 38,5 
 
População Projetada 
da Região Sul Brasil - 2005 
 = 500.000 hab. 
Fone: IBGE 
 
PICTOGRAMA – É um processo gráfico, cuja interpretação é mais acessível ao 
público, devido sua forma atraente e sugestiva. Sua representação consta de figura.. 
 
Exemplo: Frutas preferidas por 42 pessoas (Consumidores). 
 Feira ABC-2005 
 
 
 
Pictograma das frutas preferidas pelas pessoas: 
 
Fruta Freqüência 
Pimentão 12 
Maçã 8 
Morango 16 
Tomate 6 
∑= 42 
Fonte:Fictícia 
º 
FEIRA ABC 
2005 
 10
ARREDONDAMENTO DE DADOS 
 
Segundo a Resolução 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da 
seguinte maneira: 
 
1º Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3, 4, fica inalterado 
o último algarismo a permanecer. 
Ex.: 53,42 passa a ser 53,4 
 
2º Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8 ou 9, aumenta –se 
uma unidade ao algarismo a permanecer. 
Ex.: 42,87 → 42,9 
 25,08 → 25,1 
 53,99 → 54,0 
 
3º Quando o primeiro algarismo a ser abandonado for o 5, há duas soluções 
 
a) Se ao 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, 
aumenta-se uma unidade ao algarismo a permanecer. 
 
Ex.: 2,352 → 2,4 
 25,6501 → 25,7 
 76,250002 →76,3 
b) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último 
algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. 
Ex.: 24,75 →24,8 
 24,65 →24,6 
 24,75000 →24,8 
 24,6500 →24,6 
 
Compensação: Suponha os dados abaixo, aos quais aplicamos as regras de 
arredondamento: 
 
(deixar com uma casa decimal) 
 
 Arredondando teremos →
7,84
2,31
4,10
8,17
3,25
deveria dar 84,8 
 
Nestes casos descarregamos a diferença na maior(s) parcela(s), pois para a 
apresentação dos dados é necessário que a diferença desapareça: 
 
8,84
3,31
4,10
8,17
3,25
 
78,84
17,31
44,10
85,17
32,25
 11
Exercícios: 
 
1ºArredonde cada um dos dados abaixo, deixando-os com apenas uma casa 
decimal. 
 
a) 2,38 d) 4,24 g) 6,829 
b) 24,65 e) 328,35 h) 5,550 
c) 0,351 f) 2,97 i) 89,99 
 
2º Arredonde cada um dos numerais abaixo, conforme a precisão pedida: 
 
a) para o décimo mais próximo 
 
23,40= 234,7832= 45,09= 
48,85002= 78,85= 12,35= 
120,4500= 129,98= 199,97= 
 
b) para o centésimo mais próximo: 
 
46,727= 123,842= 253,65= 
299,951= 28,255= 37,485= 
 
c) para a unidade mais próxima: 
 
26,6= 67,5= 128,5= 
49,98= 68,2= 39,49= 
2º Arredonde para o centésimo mais próximo e compense, se necessário: 
 
0,0060 + ,0119 + 0,223 + 0,313 + 0,164 + 0,091 + 0,030 = 1,000 
 
3º Arredonde para a unidade mais próxima e compense, se necessário: 
4,0 + 7,6 + 12,4 + 27,4 + 11,4 + 8,0 = 70,8 
 
 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
Denomina-se série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um 
conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. 
 
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. Compõe-se: 
a) Título – conjunto de informações (as mais completas possíveis); 
b) Cabeçalho - parte superior da tabela que especifica o conteúdo das 
colunas; 
c) Coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas; 
d) Linhas – são retas imaginárias que facilitam a leitura no sentido horizontal, 
de dados que se escrevem nos seus cruzamentos com as colunas. 
e) Casa ou célula - espaço destinado a um só número 
f) Elementos complementares: fonte, notas e chamadas colocadas, 
preferencialmente no rodapé da tabela. 
 
Classificação: Histórica, Geográfica e Específica. 
 
a) Série Histórica, Cronológica, Temporal ou de Marcha – Descreve os 
valores da variável, em determinado local; discriminado segundo intervalo 
de tempo variável. 
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PREÇO DA ALCATRA NO VAREJO 
SÃO PAULO 2000 - 2003 
ANOS PREÇO MÉDIO (R$) 
2000 8,40 
2001 9,20 
2002 9,50 
2003 11,00 
 Fonte: fictícia 
 
b) Séries Geográficas, Espaciais, Territoriais ou de Localização – descrevem os 
valores das variável em determinado instante, discriminados segundo regiões. 
 
DURAÇÃO MÉDIA DOS 
ESTUDOS SUPERIORES 
 2004 
PAÍS NÚMERO DE ANOS 
Itália 7,5 
Alemanha 7,0 
França 7,0 
Holanda 5,0 
 Fonte: fictícia 
 
c) Séries Específicas ou de Categorias – Descrevem os valores da variável, em 
determinado tempo e local, discriminados segundo especificações ou categorias. 
 
REBANHOS BRASILEIROS 
2004 
ESPÉCIE NÚMERO DE 
CABEÇAS 
Bovinos 654.440 
Equinos 237.549 
Caprinos 134.159 
Suínos 94.532 
 Fonte: fictícia 
 
SÉRIE CONJUGADAS – Tabela de dupla Entrada 
 
Às vezes, temos a necessidade de apresentar, em uma única tabela, a variação de 
valores de mais de uma variável, isto é, fazer uma conjunção de duas ou mais 
séries. È a tabela de dupla entrada, isto é, com duas ordens de classificação: uma 
horizontal e uma vertical. 
 
Exemplo: Conjugação da Série Geográfica com a Série Histórica, dando origem à 
Série Geográfica – Histórico ou Geográfico – Temporal. 
 
TERMINAIS TELEFÔNICOS EM SERVIÇO NO BRASIL 
2000 - 2002 
ANOS 
REGIÕES 2000 2001 2002 
Norte 742.938 935.658 99.5791 
Nordeste 1.287.813 1.379.101 1.486.649 
Sudeste 6.234.501 6.729.467 7.231.634 
Sul 3.497.315 3.608.989 3.746.232 
Centro - Oeste 1.100.357 1.385.456 1.884.822 
 Fonte: fictícia 
 
 13
EXERCÍCIOS 
 
l- Arredonde cada um dos dados abaixo, conforme a precisão pedida e de 
acordo com a Resolução 886/66 – IBGE. 
 
a) Para o décimo mais próximo: b) Para o centésimo mais 
próximo: 
- 14,55 - 37,485 
- 78,85 - 28,255 
- 100,4500 - 36,728 
- 165,09 - 299,951 
- 399,98 - 133,65 
2- Classifique as Séries Estatísticas: 
 
PRODUÇÃO DE BORRACHA NATURAL 
 BRASIL - 2001- 2004 
ANOS TONELADAS 
2001 
2002 
2003 
2004 
14.750 
46.305 
58.005 
76.351 
 Fonte: Fictícia 
 
AVICULTURA BRASILEIRA 
 2004 
ESPÉCIES NÚMEROS 
(1.000 cabeças) 
Galinhas 
Codornas 
Faisões 
144.750 
56.305 
18.005 
 
Fonte: Fictícia 
 
 
VACINAÇÃO CONTRA A POLIOMIELITE 
 2004 
REGIÕES QUANTIDADE 
Norte 
Nordeste 
Sudeste 
Sul 
Centro-Oeste 
214.750 
646.305 
1.158.005 
476.351 
485.823 
 Fonte: Fictícia 
 
 
EXPORTAÇÃO BRASILEIRA 
 2000-2002 –(R$ - milhões) 
Países 2000 2001 2002 
EUA e Canadá 
Europa 
Ásia 
África 
Oriente Médio 
13,0 
28,2 
33,9 
10,9 
14,0 
13,4 
26,3 
35,2 
17,7 
 8,8 
25,6 
22,2 
20,7 
15,4 
 5,5 
 Fonte: fictícia 
 
 
 14
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
É a descrição dos dados resultantes de variáveis quantitativas. 
 
1- Tabela Primitiva 
 
ESTATURAS DOS ALUNOS DO COLÉGIO MAX – MARÇO - 2006 
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168 
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 
 
Rol – São dados organizados segundo uma ordem, neste caso, utilizaremos a 
ordem crescente. 
 
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 
 
Podemos estudar a variável Estatura mais facilmente se dispusermos os valores 
ordenados em uma coluna e colocarmos , ao lado de cada valor, o número de vezes 
que aparece repetido. Denomina-se freqüência o número de alunos que fica 
relacionado a um determinado valor da variável. 
 
Tabela de Distribuição de Freqüência: 
 ESTATURAS DOS ALUNOS DO COLÉGIO MAX 
 MARÇO -2005 
 
ESTATURAS (cm) FREQUÊNCIA 
150 1 
151 1 
152 1 
153 1 
154 1 
155 4 
1563 
157 1 
158 2 
160 5 
161 4 
162 2 
163 2 
164 3 
165 1 
166 1 
167 1 
168 2 
169 1 
170 1 
172 1 
173 1 
Total 40 
 
 15
 
 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE. 
 
 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA COM INTERVALOS 
DE CLASSE 
 
– Classe ( i ) 
Classes de freqüência ou simplesmente classe são os intervalos de variação da 
variável. 
São representadas simbolicamente por i , sendo i = 1,2,3...,k 
( k é o número total da distribuição ). 
 
Formúla de Sturges: i = 1 + 3,3.log n onde i = número de classes 
 n = número total de dados 
 
Do fenômeno em estudo, quantas classes para i obteremos com a aplicação da 
fórmula? 
 
-Amplitude Total da distribuição (AT) – é a diferença entre o limite superior da 
última classe (limite máximo ) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior 
mínimo) 
.)(.)( mínlmáxLAT ii −= 
 
– Amplitude de um intervalo de classe (h) 
Amplitude de um intervalo de classe (h) é a medida de intervalo que define a classe. 
i
AT
h ≅ 
- Ponto Médio )( ix 
Ponto médio de uma classe )( ix é o ponto que divide o intervalo de classe em duas 
partes iguais e é o valor que representa a classe. 
2
ii
i
lL
x
+
= 
– Freqüência simples ou absoluta )( if 
Freqüência de uma classe ou de um valor individual é o número de observações 
correspondentes a essa classe ou a esse valor. 
 
- Freqüências acumuladas )( iF 
Freqüências acumuladas – total obtido pela soma de todos os valores inferiores ao 
limite superior do intervalo de uma determinada classe. 
 
- Freqüências relativas )( rf 
Freqüências relativas - são os valores das razões entre as freqüências simples e a 
freqüência total. 
 
- Freqüências relativas acumuladas )( rF 
Freqüências relativas acumuladas – é freqüência acumulada da classe, dividida 
pela freqüência total da distribuição. 
 
 - Freqüências percentuais )( pf 
Freqüência percentual de uma classe é o produto de 100 pelo quociente de 
freqüência da classe fi e o número total de ocorrências. 
 
 16
 
 - Freqüências percentuais acumuladas )( PF 
Freqüências percentuais acumuladas – é a soma da freqüência percentual da classe 
com as freqüências percentuais das classes anteriores. 
 
ESTATURAS DOS ALUNOS DO COLÉGIO MAX 
 2005 
Freqüência 
Absoluta 
Freqüência 
Relativa 
Freqüência 
Percentual 
ESTATURAS 
(cm) 
Ponto Médio 
)( ix 
)( if )( iF )( rf )( riF )( pf )( pF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Σ= 
Fonte: Fictícia 
 
Nota: ├ intervalo fechado à esquerda . Pertence a classe os valores iguais ao 
extremo inferior. Da tabela acima, por ex: 150 < x < 154 
 
Interpretação: 
 
Através da disposição das freqüências dos dados podemos observar que: 
 
a).................alunos possuem estaturas entre 154 cm a 158 cm. 
b).................% dos alunos possuem estatura inferior a 154 cm. 
c)..................alunos possuem estaturas abaixo de 162 cm. 
 
 EXERCÍCIOS 
 
1º Os dados a seguir representam as áreas de 16 lotes em m2 . Dado log 16 = 
1,2. 
 
450 300 350 500 400 320 340 330 
530 460 549 300 450 390 490 380 
 
Pede-se: 
 
a) O Rol (ordem crescente) 
b) O número de classes 
c) A Amplitude total 
d) A Amplitude de classes 
e) A distribuição de freqüência simples 
f) A distribuição de freqüência simples acumulada 
g) A distribuição de freqüência percentual 
 17
h) A distribuição de freqüência percentual acumulada 
i) Os pontos médios das classes 
j) A percentagem dos lotes cujas área não atinge 500 m2 
k) O número de lotes cuja área atinge e ultrapassa a 400 m2 
l) Em média, qual a área dos lotes? 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Σ= 
 
2- Um comerciante vende um determinado produto em sacas que deveriam 
conter 50 kg cada saca. A pesagem de 20 sacas revelam os seguintes 
resultados: Dado: log 20 = 1,3. 
 
46,5 46,8 47,1 47,7 48,0 48,4 48,8 49,0 49,3 50,2 
51,3 51,8 52,7 52,9 53,7 54,5 54,7 54,9 55,1 55,5 
(Sugere-se iniciar a primeira classe em 46,5 kg). 
Pede-se: 
1) O rol; 
2) A amplitude total; 
3) O número de classes; 
4) A amplitude das classes; 
5) A distribuição de freqüência simples; 
6) A distribuição de freqüência acumulada; 
7) A distribuição de freqüência relativa; 
8) A distribuição de freqüência relativa acumulada; 
9) A distribuição de freqüência percentual; 
10) A distribuição de freqüência percentual acumulada. 
11)Quantas sacas revelaram peso inferior a 50,5 kg? 
12)Qual o peso médio das sacas? 
13) A percentagem das sacas que ultrapassaram 50,5kg. 
 
 
 
 
 
 18
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Σ= 
 
 
 
3-Conhecidas às bitolas das toras de um estoque da Madeireira MADEX, pede-se 
montar uma tabela de distribuição completa. Dado log 40 = 1,6 
 
45 120 75 80 55 45 50 100 
60 90 45 75 45 120 55 110 
75 80 70 70 50 115 45 115 
100 65 85 70 100 95 65 120 
95 90 80 65 110 110 75 90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Σ= 
 19
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA SEM INTERVALOS DE 
CLASSE – (variável discreta) 
 
Por se tratar de variável discreta, cada valor pode ser tomado como um intervalo de 
classe (intervalo degenerado). 
Exemplo: 
 
Número de cômodos 2 3 4 5 6 7 
Número de Famílias )( if 4 7 5 2 1 1 ∑ = 
 )( iF 
 )( pf 
 )( pF 
 
Interpretação: 
 
a) ____ famílias moram em casa de dois cômodos, o equivalente a 20% dos 
entrevistados 
b) Apenas um a família mora em casa de sete cômodos, o que equivale a 
____%. 
c) _____ famílias moram em casa de menos de 5 cômodos. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1º A distribuição Abaixo representa o número de acidentes ocorridos com 70 
motoristas de uma empresa de transportes nos últimos 10 anos. 
 
Número de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7 
Número de Motoristas 20 10 16 9 6 5 3 1 ∑ = 
 
Determine: 
 
a) O número de motoristas que não sofreram nenhum acidente 
b) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes 
c) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes 
d) O número de motoristas que sofreram no mínimo 3 acidentes e no máximo 5 
acidentes 
e) A percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes. 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
A Distribuição de Freqüência tem gráfico privativo, que são o Histograma, Polígono 
de Freqüência e o Polígono de Freqüência Acumulada. 
 
-Histograma – Representa a Distribuição de Freqüência pelos limites de classes, 
isto é, formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam 
sobre o eixo das abscissas, de tal modo que seus pontos médios coincidem com os 
pontos médios dos intervalos de classe. 
 
O encadeamento de classes de notas determina que os retângulos representativos 
dessas classes sejam contíguos. 
 
 
As colunas terão a mesma base, enquanto as classes forem iguais e as alturas 
dessas colunas serão proporcionais às freqüências. 
 
 20
 
 
ESTAÇÃO EXPERIMENTAL X 
COMPRIMENTO DO PEIXE – 
1º BIMESTRE -2005 
 ESTAÇÃO EXPERIMENTAL X 
COMPRIMENTO DO PEIXE – 
1º BIMESTRE -2005 
 
Fonte: Fictícia 
 
 
 
 
POLÍGONO DE FREQUÊNCIA= Gráfico em linhas, sendo as freqüências marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantada pelos pontos médios dos intervalos de classe. 
 
EMPRESA “M” – NÚMERO DE 
FUNCIONÁRIOS POR CLASSE 
DE SALÁRIO MENSAL - 2005 
 
Fonte: Recursos Humanos 
 
EMPRESA "M"- NÚMERO DE FUNCIONÁRIOS
 POR CLASSES DE SALÁRIO MENSAl -2005
0
20
40
60
80
100
120
140
160
338 363 388 413 438 463 488
Salários
fi
 
Fonte: Recursos Humanos 
COMPRIMENTO (mm) fi 
 
100 ├ 110 
 
110 ├ 120 
 
120 ├ 130 
 
130 ├ 140 
 
140 ├ 150 
 
150 ├ 160 
 
160 ├ 170 
 
170 ├ 180 
 
 
07 
 
16 
 
19 
 
31 
 
41 
 
23 
 
10 
 
03 
∑= 150 
SALÁRIOS FUNCIONÁRIOS 
 
325 ├ 350 
 
350 ├ 375 
 
375 ├ 400 
 
400 ├ 425 
 
425├ 450 
 
450 ├ 475 
 
475 ├ 500 
 
76 
 
149 
 
51 
 
38 
 
27 
 
12 
 
07 
∑= 360 
Fonte Fictícia 
 
 21
 
POLÍGONO DE FREQUÊNCIAS ACUMULADAS - é traçado marcando-se as freqüências 
acumuladas (Fr) sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos 
correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 
 
EMPRESA "M"- NÚMERO DE FUNCIONÁRIOS
 POR CLASSES DE SALÁRIO MENSAl -2005
0
60
120
180
240
300
360
325 350 375 400 425 450 475 500
Salários
Fi
 
Fonte: Recursos Humanos 
 
Exercícios 
 
1º Dada as distribuições de Freqüência abaixo, confeccione, para cada uma o 
Histograma; O Polígono de Freqüência e o Polígono de Freqüência Acumulada. 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALÁRIOS FUNC. Fi 
 
325 ├ 350 
 
350 ├ 375 
 
375 ├ 400 
 
400 ├ 425 
 
425 ├ 450 
 
450 ├ 475 
 
475 ├ 500 
 
76 
 
149 
 
51 
 
38 
 
27 
 
12 
 
07 
 
76 
 
225 
 
276 
 
314 
 
341 
 
353 
 
360 
 ∑=360 
SALÁRIOS fi 
 
500 ├ 700 
 
700 ├ 900 
 
900 ├ 1100 
 
1100 ├ 1300 
 
1300 ├ 1500 
 
1500 ├ 1700 
 
1700 ├ 1900 
 
08 
 
20 
 
07 
 
05 
 
02 
 
01 
 
01 
∑= 44 
Fonte: Recursos Humanos 
Fonte Fictícia 
 
 22
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º A tabela abaixo representa o coeficiente de liquidez obtidos da análise de 
balanço em 50 indústrias.Confeccione o histograma e o polígono de freqüência 
correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: fictícia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CLASSES fi 
 
30 ├ 40 
 
40 ├ 50 
 
50 ├ 60 
 
60 ├ 70 
 
70 ├ 80 
 
80 ├ 90 
 
90 ├ 100 
 
04 
 
06 
 
08 
 
13 
 
09 
 
07 
 
03 
∑= 50 
COEFICIENTE 
DE LIQUIDEZ 
fi 
 
0,0 ├ 3,0 
 
3,0 ├ 6,0 
 
6,0 ├ 9,0 
 
9,0 ├ 12,0 
 
12,0 ├ 15,0 
 
15,0 ├ 18,0 
 
18,0 ├ 21,0 
 
09 
 
14 
 
11 
 
08 
 
03 
 
04 
 
01 
∑= 50 
Fonte Fictícia 
 
 23
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
No estudo das distribuições de freqüência podemos descrever, de modo geral, os 
grupos de valores que uma variável pode assumir. 
 
Também podemos localizar a maior concentração de valores de uma distribuição, 
isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final e, ainda, se há uma distribuição 
por igual. 
 
Elementos típicos da distribuição: 
 
1-Medidas de Posição; 
2-Medidas de Variabilidade ou Dispersão 
3-Medidas de Assimetria 
4- Medidas de Curtose 
 
Medidas de Posição são os cálculos de medidas que possibilitam representar um 
conjunto de dados relativos a observação de determinado fenômeno de forma 
resumida. Tais medidas orientam-nos quanto à posição da distribuição no eixo x 
(eixo das abscissas, dos números reais), possibilitando a comparação de séries de 
dados entre si pelo confronto desses números. 
 
São chamadas de medidas de tendência central, pois representam os fenômenos 
pelos seus valores médios, em torno das quais tendem a concentrar-se os dados. 
 
Destacamos: 
a) Média Aritmética; 
b) Mediana; 
c) Moda. 
 
Outras medidas de posição são as separatrizes: 
a) a própria mediana; 
b) os quartis, 
c) os percentis. 
 
Média Aritmética Simples ( x ) : è o quociente da divisão da soma dos valores da 
variável pelo número deles. 
 
n
f
x
i∑
= 
Observação: 
 
75,5
4
23
4
9842
==
+++
=x não tem existência concreta, pois apesar de 5 ser o 
valor representativo, não aparece como um dos termos da soma. 
 
 
 24
 
Exercícios 
 
1º- Determinar a média aritmética dos valores: 3, 7, 8 e 10. 
 
 
2º Nos 12 meses de 2004, uma delegacia registrou os números de assaltos 
ocorridos. Calcule a média de assaltos/mês. 
 
..7......8......4.....3.....6.....9......8.......10......5.......5........3.....4...............:.
................................:º
:if
deznovoutsetagjulhjunmaiabrmarfevjanassaltosn
 
 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA 
 
∑
∑
=
i
iI
f
fx
x
. 
 
Exemplo: Dadas as seguintes notas obtidas pelo aluno na disciplina de Matemática 
4, 7 e 6 com seus respectivos pesos 1, 2 e 3. Pede-se calcular a média. 
 
6
6
36
6
18144
6
3.62.71.4
==
++
=
++
=x 
 
Dados Agrupados 
 
Sem Intervalos de Classe: neste caso as frequências são números indicadores da 
intensidade de cada valor da variável ( elas funcionam como fatores de ponderação e 
por isso usamos a média aritmética ponderada). 
 
Distribuição dos Funcionários da Empresa ZK 
 Segundo o nº de faltas 
Nº faltas NºFunc.. 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
211 
40 
30 
12 
4 
2 
1 
 
 ∑=300 
Fonte: fictícia 
 
 
 
 
 25
Com Intervalos de Classe 
 
 Diâmetro de 40 toras 
cm fi 
45 ├ 58 
 
58 ├ 71 
 
71 ├ 84 
 
84 ├ 97 
 
97 ├ 110 
 
110 ├ 123 
9 
 
7 
 
7 
 
6 
 
3 
 
8 
 
 ∑=40 
Fonte: fictícia 
 
MÉDIA GEOMÉTRICA (G): A média Geométrica de uma série de valores (N) 
nxxxx ...;; 321 é a raiz de índice N do produto desses valores: 
NN
n xGxxxxG ...... 32.1 Π=== 
 
 
-Calcular a Média Geométrica entre os números: 
 
a) 3 e 12 
b) 2,3 e 36 
c) c) 1 e 4 
 
MÉDIA HARMÔNICA (H): Se define como N dividido pela soma dos inversos dos 
números; 
∑
=
x
n
H
1
 
-Calcular a Média Harmônica 
a) 2 e 4 
 
b) 1 e 4 
 
 
MÉDIA QUADRÁTICA (Q): A Média Quadrática de uma série de N valores 
nxxxx ...;; 321 é, por definição, a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados 
desses valores, ou seja: 
 
N
x
xxxxQ
i
n
∑
=+++=
2
22
3
2
2
2
1 ... 
 
-Calcular a Média Quadrática: 
a) 1 e 4 
 
 26
 
EXERCÍCIOS: 
 
1º Calcule a Média Aritmética dos números; 
a) 120 e 150 
b) 17; 19; 5, 10 e 22 
c) 7; 7; 7; 7; 7; 7 
 
2º A média mínima para aprovação em Estatística é 5,0. Se um aluno obtém as 
seguintes notas; 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 4,0; 2,5; 5,5 e 2,0 nas diversas avaliações da 
disciplina, pergunta-se: ele está ou não aprovado. 
 
3º Calcular a Média Geométrica (G) dos números: 
a) 3 e 27 
b) 1; 4 e 16 
 
4º calcular a Média Harmônica dos números: 
a) 3; 6 e 8 
b) 1, 2, 4 e 3 
 
 
 
 
 
 
 
5º Calcule a Média Quadrática(Q): 
a) 5 e 6 
b) 3, 7 e 9 
 
 
 
 
 
 
6º Tem-se R$ 200,00 disponíveis mensalmente para se comprar determinado artigo 
que custou nos meses de janeiro, fevereiro e maço passado, respectivamente R$ 
2,00, R$ 5,00 e R$ 10,00. 
 Qual foi o custo médio mensal do artigo em questão no referido período? 
(sugestão: H). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27
MODA (Mo): É o valor que aparece com maior freqüência em uma série de valores. 
 
Exemplos: 
a) 45, 50, 50 , 60 Mo= 50 ( aparece 2 vezes) 
b) 45, 50 ,60, 45, 50 Mo= 45 e 50 (Série Bimodal} 
c) 45, 50, 60,70 Mo= ∉ (Série Amodal) 
 
Dados Agrupados 
 
Sem Intervalos de Classe: é o valor da variável de maior freqüência. 
 
Distribuição dos Funcionários da Empresa ZK 
 Segundo o nº de faltas 
Nº faltas NºFunc. 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
10 
0 
3 
 15 
5 
2 
 ∑ 35 
Fonte: fictícia 
 
Interpretação: 
 
Mo=3, pois 15 funcionários faltaram 3 dias. 
 
Com Intervalos de Classe: é a classe que apresenta maior freqüência 
 
Fórmula de Czuber ( Cálculo da moda para variáveis contínuas); 
hlM io .
21
1
∆+∆
∆
+= 
 
onde: 
 
li = limite inferior da classe modal 
h = amplitude de classe modal 
∆∆∆∆1 = freqüência modal menos freqüência anterior 
∆∆∆∆2 = freqüência modal menos freqüência posterior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28
Exemplo 
ESTATURAS DOS ALUNOS 
DA SALA B 
 Resolução: 
 1º localizar a classe modal ( maior freqüência) 
 2º Aplicar fórmula de Czuber: 
 Dados: 
 
4
3811
2911
.158
2
1
=
=−=∆
=−=∆
=
h
l i
 
 cmM o 6,1594.32
2
158 =
+
+= 
 
Exercícios 
 
1º Determine a Moda: 
 
 EMPRESAKZ 
Salários fi 
500 ├ 700 
 
700 ├ 900 
 
900 ├ 1100 
 
1100 ├ 1300 
 
1300 ├ 1500 
 
1500 ├ 1700 
 
1700 ├ 1900 
8 
 
20 
 
7 
 
5 
 
2 
 
1 
 
1 
∑ 44 
Fonte: fictícia 
 
2º Determine a Moda para cada distribuição abaixo: 
 
a) 
classes 7 ├ 10 10 ├ 13 13 ├ 16 16 ├ 19 19├ 22 
fi 6 10 15 10 5 
 
 
 
 
b) 
classes 10 ├ 20 20 ├ 30 30 ├ 40 40 ├ 50 
Fi 7 19 28 32 
 
 
Cm fi 
150 ├ 154 
 
154 ├ 158 
 
158 ├ 162 
 
162 ├ 166 
 
166 ├ 170 
4 
 
9 
 
 11 → 
 
8 
 
5 
∑ 37 
hlM io .
21
1
∆+∆
∆
+=Classe modal 
 
 29
MEDIANA ( Md ou x~ )- É o número que se encontra no centro de uma série de 
números, estando estes dispostos segundo uma ordem.(crescente ou decrescente). 
 
A mediana é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em 2 (dois) 
subconjuntos de mesmo número de elementos. 
 
Obs: A mediana trabalha com a ordenação de valores visando evitar a possibilidade 
de engano por causa de valores muito alto ou muito baixo. 
 
Cálculo da Mediana para varáveis discretas. 
 
Sendo n o número de elementos da série, temos: 
 
- se n for par: 
2
~ nx = e 1
2
+
n
 determinadas as posições, calcula-se a média 
aritmética dos valores 
 
- se n for ímpar: 
2
1~ +=
n
x 
 
Exemplos: 
1º Calcular a mediana para as seguintes séries: 
a) 5, 13, 10 , 2, 18, 15, 6; 16, 9 
Resolução: 
 ordenando: 43421321
elementos
subconj
elementos
subconj
4
.
4
.
19,16,15,13,10,9,6,5,2
 → n= 9 ímpar 
 
termox
n
x º5
2
19~
2
1~ =
+
=→
+
= = 10 
 
b) : 13, 18, 2, 6, 7, 10, 12, , 21 
 
Res.: ordenando: 4342143421
elementos
subconj
elementos
subconj
4
.
4
.
21,18,13,12,10,7,6,2
→ n= 8 par 
 
10º4
2
8~
2
~ →==→= termox
n
x e 
termox
n
º51
2
8~1
2
=+=→+ →12 
 
11
2
1210~ =
+
=x (valor teórico, pois não figura entre os elementos) 
 
 
 30
Exercícios: 
 
1º Determine a média aritmética e a mediana para as séries: 
a) 5, 7, 10, 13, 15 
 
b) 5, 7, 10, 13, 65 
 
 
 
2º os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são: R$ 750,00, 
R$900,00, R$ 830,00, R$ 1420,00 E R$ 880,00.Determine: 
a) a média dos salários – hora; 
b) o salário-hora mediano. 
 
 
 
 
3º As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 
7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. Determine: 
 
a) a nota média 
b) a nota mediana 
c) a nota modal 
 
 
 
 
4º Dada a distribuição abaixo, calcule: 
 
a) a nota média 
b) a nota mediana 
c) a nota modal 
 
NOTAS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Nº DE ALUNOS 1 3 6 10 13 8 5 3 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Mediana para varáveis contínuas 
Fórmula
2
~ ∑= fix h
f
F
f
lx
i
antI
i
i .
2~
.)( 







−
+=
∑
 
 
 31
EXEMPLO: Dada a Tabela abaixo , calcular a mediana. 
 EMPRESA KZ 
 
2
~ ∑= fix termox º22
2
44~ == 
 
h
f
F
f
lx
i
antI
i
i .
2~
.)( 







−
+=
∑
 =→ 
( )
=
−
+= 200.
20
822
700~x 840→Resp.: R$ 840,00 
Tabela de ordenamento das notas de 60 alunos. 
 
 
 
 
 
Salários fi Fi 
500 ├ 700 
 
700 ├ 900 
 
900 ├ 1100 
 
1100 ├ 1300 
 
1300 ├ 1500 
 
1500 ├ 1700 
 
1700 ├ 1900 
8 
 
20 
 
7 
 
5 
 
2 
 
1 
 
1 
8 
 
28 
 
35 
 
40 
 
42 
 
43 
 
44 
∑ 44 
NOTAS ALUNOS - fi Fi Aluno ( número de Ordem) 
 
0 ├ 1 
 
1 ├ 2 
 
2 ├ 3 
 
3 ├ 4 
 
4 ├ 5 
 
5 ├ 6 
 
6 ├ 7 
 
7 ├ 8 
 
8 ├ 9 
 
9 ├ 10 
 
1 
 
3 
 
7 
 
6 
 
7 
 
10 
 
8 
 
10 
 
6 
 
2 
 
1 
 
4 
 
11 
 
17 
 
24 
 
34 
 
42 
 
52 
 
58 
 
60 
 
1 º 
 
2º; 3º; 4º 
 
5º;6º;7º;8º;9º;10º;11º 
 
12º;13º;14º;15º;16º;17º 
 
18º;º;20º;21º;22º;23º;24º 
 
25º;26º;27º;28º;29º;30º;31º;32º;33º;34º 
 
35º;36º;37º;38¿;39º;40º;41º;42º 
 
43º;44º;45º;46º;47º;48º;49º;50º;51º;52º 
 
53º;54º;55º;56º;57º;58º 
 
59º;60º 
º∑= 60 
Classe 
mediana 
 
 32
EXERCÍCIOS: 
1º Determine a mediana : 
 
a) 
classes 22 ├ 25 25 ├ 28 28 ├ 31 31 ├ 34 
fi 18 25 30 20 
 
 
 
 
 
b) 
classes 1 ├ 3 3 ├ 5 5 ├ 7 7 ├ 9 9 ├ 11 11 ├ 13 
fi 3 8 16 22 26 29 
 
 
 
 
 
2º A tabela abaixo, refere-se ao número de acidentes/dia, observados 
durante 53 dias, em determinada rodovia. Determinar a média, a moda e 
a mediana. 
 
 EMPRESA KZ 
Nº ACIDENTES Nº DIAS 
0 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
20 
 
15 
 
10 
 
5 
 
3 
∑= 53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33
3º Dada as distribuições, calcule a média, a moda e a mediana: 
a) RENDA MENSAL 
 
SAL.MÍN. Nº FAMÍLIAS 
10 ├ 20 
 
20 ├ 30 
 
30 ├ 40 
 
40 ├ 50 
 
50 ├ 60 
 
60 ├ 70 
 
70 ├ 80 
 
80 ├ 90 
 
90 ├ 100 
50 
4 
100 
 
150 
 
250 
 
150 
 
100 
 
80 
 
70 
 
50 
∑= 1000 
 
 
 
b) CUSTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(R$) fi 
450 ├ 550 
 
550 ├ 650 
 
650 ├ 750 
 
750 ├ 850 
 
850 ├ 950 
 
950 ├ 1.050 
 
1.050 ├ 1.150 
8 
 
10 
 
11 
 
16 
 
13 
 
5 
 
1 
∑= 64 
 
 34
UNIC – SINOP 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA 
DOCENTE: MERY KAZICAWA 
ALUN@:____________________________________________ 
 
TRABALHO Data entrega..../....../...... 
 
 
º Foi solicitado aos alunos de uma sala de aula com 40 alunos que 
escolhessem um dentre os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Obteve-se o 
seguinte resultado: 
 
8 0 2 3 3 5 7 7 7 9 
8 4 1 9 6 6 6 8 3 3 
7 7 6 0 1 3 3 3 7 7 
6 5 5 1 2 5 2 5 3 2 
 
Pede-se: 
a) Rol 
b) Montar a distribuição sem intervalo de classe 
c) Determinar a média 
d) Qual foi o nº mais escolhido? O que ele representa? 
e) Calcule a Mediana. 
 
2º Abaixo estão as notas de 50 alunos do Curso de Administração Geral , 
coletados na ultima avaliação interdisciplinar realizada no semestre passado: 
 
 
60 85 33 85 65 77 84 65 74 57 
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68 
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45 
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76 
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89 
 
Pede-se 
 
a) Elaborar o Rol 
b) Determinar a amplitude Total 
c) O número de classe pela fórmula de Sturges (dado log 50 = 1,7) 
d) Amplitude de classes 
e) Freqüência simples 
f) Freqüência Acumulada 
g) Pontos médios das classes 
h) A média da distribuição 
i) A moda da distribuição 
j) A mediana da distribuição. 
 
 
 
 
 35
MEDIDAS SEPARATRIZES 
 
QUARTIS: Dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais: 
 
termo
fK
Q
i
K º4
.
−−==
∑ 
i
anti
i
ik
f
hF
fk
lQ
.
4
.
)( 





−
+=
∑
 
DECIS:: Dividem um conjunto de dados em 10 partes iguais: 
 
termo
fK
D
i
K ___º10
.
==
∑
 
i
anti
i
iK
f
hF
fK
lD
.
10
.
)( 





−
+=
∑
 
 
PERCENTIS: Dividem um conjunto de dados em 100 partes iguais: 
 
100
.∑
=
i
K
fK
P 
i
anti
i
iK
f
hF
fK
lP
.
100
.
)( 





−
+=
∑
 
EXERCÍCIOS 
1º- Calcular 
a) 1º, 2º e 3º Quartis; 
b) 4º e 8º Decis; 
c) 1º, 15º, 23 º e 90º Percentis. 
 
CUSTOS (R$) fi 
450 ├ 550 
 
550 ├ 650 
 
650 ├ 750 
 
750 ├ 850 
 
850 ├ 950 
 
950 ├ 1050 
 
1050 ├ 1150 
 
8 
 
10 
 
11 
 
16 
 
13 
 
5 
 
1 
 
 ∑=64 
 
 
 
 
 
 
 36
2º Calcule: 
a) 1º, 2º e 3º Quartis; 
b) 3º e 7º Decis; 
c) 5º, 25º, 70º e 82º Percentis 
 
Classes fi 
 
45 ├ 58 
 
58 ├ 71 
 
71 ├ 84 
 
84 ├ 97 
 
97 ├ 110 
 
110 ├ 123 
 
9 
 
7 
 
7 
 
6 
 
3 
 
8 
 
 ∑=40 
 
 
 
3º- Calcular 
 
a) 2º, 4º, 8º e 9º Decis; 
b) 12º, 35º , 63ºe 98º Percentis 
 
SALÁRIOS (R$) fi 
 
500 ├ 1000 
 
1000 ├ 1500 
 
1500 ├ 2000 
 
2000 ├ 2500 
 
2500 ├ 3000 
 
 
26 
 
43 
 
17 
 
9 
 
5 
 
 ∑=100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37
UNIC - SINOP 
ESTATÍSTICA 
Docente: Mery Kazicawa 
Curso:_____________________________________________________ 
Alun@:____________________________________ 
 
 
Lista de Exercícios 
 
1º - Dada a amostra dos coeficientes de liquidez obtidos da análise de balanço 
de 50indústrias. Dado: log 50 = 1,69. 
3,9 7,4 10,0 11,8 2,3 4,5 10,5 8,4 15,6 7,6 
18,8 2,9 2,3 0,4 5,0 9,0 5,5 9,2 12,4 8,7 
4,5 4,4 10,6 5,6 8,5 2,4 17,8 11,6 0,8 4,4 
7,1 3,2 2,7 16,2 2,7 9,5 13,1 3,8 6,4 7,9 
4,8 5,3 12,9 6,9 6,3 7,5 2,6 3,3 4,6 16,0 
Pede-se: 
1-O rol; (organizá-los em ordem crescente) 
2-A amplitude total; (At= valor máx - valor mín.) 
3-O número de classes; ( i = 1 +3,3.log 50) 
4-A amplitude das classes; ( h = At / i ) 
5-A distribuição de freqüência simples; ( fi) 
6- A distribuição de freqüência acumulada; (Fi) 
7-O histograma; (eixo das abscissas =intervalos de classes e eixo das ordenadas= fi) 
8-O Polígono de freqüência acumulada – Ogiva de Gauss; (eixo das abscissas= 
intervalos de classes, eixo ordenadas= Fi) 
9-A média aritmética; a moda e a mediana 
10-O 1º quartil; 
11-O 3º quartil; 
12-O 10º percentil; 
13-O 90º percentil; 
14-Quantas empresas revelam coeficientes de liquidez abaixo de 6,4? 
15-Quantas empresas revelam coeficientes de liquidez que ultrapassam 9,4? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38
 
2º Na distribuição abaixo temos a percentagens dos estudantes pertencentes a 
certo grupo étnico em 50 universidades. 
 
 
PERCENTAGE
M 
Nº UNIV.fi 
 
0 ├ 5 
 
5 ├ 10 
 
10 ├ 15 
 
15 ├ 20 
 
20 ├ 25 
 
 
18 
 
15 
 
9 
 
7 
 
1 
 
∑= 50 
 
a) Calcule a Média; 
b) Calcule a Mediana; 
c) Calcule a Moda 
d) Calcule o 1º e o 3º Quartis; 
d) Calcule o 5º e o 98º Percentis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
São medidas estatísticas utilizadas para analisar o grau de variabilidade, de 
dispersão, dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade 
da média. 
 
Sejam as séries: 
a) 20, 20, 20 x = 20 
b) 15,10,20,25,30 x = 20 
 
Numa análise podemos observar que os valores da série b apresentam dispersões 
em torno da média 20. Assim, a média é muito mais representativa para a série a do 
que para a série b. 
 
Em Estatística é importante saber como variam as características do conjunto de 
dados coletados e tabelados. Utilizamos nos mais variados estudos, como por 
exemplo, para comparar fatos como a produção de uma firma em um ano e outro, 
variações entre alturas, etc. Para tal estudo utilizaremos como ponto de referência a 
média aritmética. 
 
A variabilidade dos dados é fornecida pelas Medidas de Dispersão. 
As principais: Amplitude Total, Amplitude Semi-Quartil, Desvio Médio, Variância, 
Desvio -Padrão e Coeficiente de Variação. 
 
AMPLITUDE TOTAL - também é uma medida de dispersão, mas tem o 
inconveniente de levar em conta os dois valores extremos da série, desprezando os 
valores intermediários, o que quase sempre invalida a idoneidade do resultado. 
Exemplo: 2 – 7 –8 – 10 –20 e 0 – 4 – 4 - 5 – 6 - 18 
 AT= 20 – 2 = 18 e AT = 18 – 0 = 18 
 
AMPLITUDE SEMI-QUARTIL: Também chamada de afastamento provável, facilita a 
comparação entre distribuições: 
 
2
13 QQq
−
= 
Exemplo: Dado o conjunto: 2 – 20 – 21 – 25 – 30 – 35 -70 
 
Então: 
2
13 QQq
−
= 
 
Ex: Considere as notas de dois grupos de alunos: 
 
Grupo A: 30,45,45,50,50,50,65,65,70,80 
Grupo B: 10,20,30,40,50,60,70,80,90,100 
 
Grupo A: 30 – 45 – 45 – 50 – 50 – 50 – 65 – 65 –70 - 80 
 
 
 
 
 40
Grupo B: 10-20-30-40-50-60-70-80-90-100 
 
DESVIO MÉDIO: é a média dos desvios: 
 
Fórmula para Dados Isolados: 
n
d
d
i
m
∑
= 
 
Ex: Produção diária do Equipamento X durante uma semana: 10 – 14 – 13 – 15 – 16 
– 18 -12 
1º Determinar a média )(x 
 
2º Determinar os desvios da produção 
 xxd ii −= 
d1 = 
d2 = 
d3 = 
d4 = 
d5 = 
d6 = 
d7 = 
 
Dados Agrupados: 
 
i
ii
m
f
fxx
d
.−
=
∑
 
 
 
Exemplo : Dados a coleta das estaturas dos 40 alunos da sala D: 
 
ESTATURA DOS ALUNOS SALA D 
Cm fi xi xi.f I xxi − ii fxx .− 
 
150 ├ 155 
 
155 ├ 160 
 
160 ├ 165 
 
165 ├ 166 
 
170 ├ 175 
 
 
5 
 
10 
 
19 
 
5 
 
1 
 
 
 ∑=40 
 
 
 
 
 
 
 41
VARIÂNCIA 
 
Variância Populacional – É a média aritmética dos quadrados dos desvios: 
 
n
fxx i∑ −
=
.)( 22σ 
Variância Amostral : 
 
 
1
.)( 22
−
−
=
∑
n
fxx i
ς 
 
DESVIO PADRÃO: Determina a dispersão dos valores em relação a média. É a 
medida mais utilizada na comparação de diferenças entre grupos, por ser mais 
precisa. 
 
Obs. é a raiz quadrada, com sinal positivo, da variância. 
 
Desvio Padrão Populacional: 
2σσ = 
 
Desvio – Padrão Amostral 
2ςς = 
 
COEFICIENTES DE VARIAÇÃO (CV): 
 
Medida relativa de dispersão útilizado para comparação em termos relativos do grau 
de concentração em torno da média de séries distintas. O coeficiente de variação é 
expresso em porcentagens. 
 
 Coeficiente de Variação Populacional : 
 
CV = 100.
x
σ
 
 
Coeficiente de Variação Amostral 
 
CV = 100.
x
ς
 
 
Obs. Quanto maior for o coeficiente de variação significa maior dispersão em torno 
da média; 
 
altaCV
médiaCV
BaixaCV
→≥
→≤≤
→≤
%30
%30%15
%15
 
 
 42
EXEMPLO: 
 Dois grupos (A e B), com 8 atiradores cada um, competiram em um campeonato de 
tiro ao alvo e obtiveram os seguintes resultados: 
 
Grupo A : 8 – 9 – 10 – 8 – 6 – 11 – 7 - 13 
 
Total de acertos= 
Total de atiradores= 
Média de acertos = 
 
Grupo B :7 – 3 – 10 – 6 – 5 – 13 – 18 - 10 
 
Total de acertos= 
Total de atiradores= 
Média de acertos = 
 
PERGUNTA-SE: 
 
- Qual dos grupos de atiradores é mais estável? ou, em qual dos grupos a variação 
entre os desempenho é menor? 
 
Resolução: Recorrer a Média Aritmética dos acertos não resolve pois para os 2 
grupos a média de acertos é igual. 
 Dizer que são igualmente estáveis também não dá, pois : 
 
ATA= 13 – 6 = 7 acertos e ATB= 18 – 3 = 15 acertos 
 
Devemos recorrer ao Desvio – Padrão. 
 
 GRUPO A 
xi fi (xi. – x) (xi. – x)
2 (xi. – x)
2 fi 
 
08 
 
09 
 
10 
 
08 
 
06 
 
11 
 
07 
 
13 
 
∑= 
 
 GRUPO B 
xi fi (xi. – x) (xi. – x)
2 (xi. – x)
2 fi 
 
07 
 
03 
 
10 
 
06 
 
05 
 
13 
 
18 
 
10 
 
 ∑= 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1º Dada a amostra 2 – 3 – 4 – 5 –7 – 10 e 12, calcule a variância, o desvio- padrão e 
coeficiente de variação. 
 
 
 
xi fi (xi. – x) (xi. – x)
2 (xi. – x)
2 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑= 
 
 
2º Para a série 5 –5 – 5 – 6 – 6 – 6 - 6 –7 –7 – 7 – 7 –7 –7 – 8 – 8 – 8 - 9 –9 , 
calcule o coeficiente de variação populacional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44
3º Calcular para a Distribuição abaixo a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de 
variação.amostral. 
Classes fi xi xi.f i (xi. – x) (xi. – x) 
2 (xi. – x) 
2 .fi 
 
2 ├ 4 
 
4 ├ 6 
 
6 ├ 8 
 
8 ├ 10 
 
10 ├ 12 
 
 
3 
 
5 
 
8 
 
6 
 
3 
 
 
∑= 25 
 
4º Calcular para a Distribuição abaixo a variância, o desvio-padrão e o 
coeficiente de variação.populacional. 
Salários fi 
 
500 ├ 700 
 
700 ├ 900 
 
900 ├ 1100 
 
1100 ├ 1300 
 
1300 ├ 1500 
 
1500 ├ 1700 
 
1700 ├ 1900 
 
 
8 
 
20 
 
7 
 
5 
 
2 
 
1 
 
1 
 
∑= 44 
 
5º Calcular para a Distribuição abaixo a variância, o desvio-padrão e o 
coeficiente de variação.amostral. 
Salários fi 
 
45 ├ 58 
 
58 ├ 71 
 
71 ├ 84 
 
84 ├ 97 
 
97 ├ 110 
 
110 ├ 123 
 
 
9 
 
7 
 
7 
 
6 
 
3 
 
81 
 
∑= 40 
 
 45
6º A distribuição abaixo possui desvio-padrão populacional igual a 3,02. Determine o 
valor do coeficiente de variabilidade. 
 
CLASSES 0├ 4 4├ 8 8├ 12 
fi 2 3 2 
xi 
xi.fi 
 
 
 
7º Na empresa WB, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, com desvio-
padrão de R$ 1,500,00. O das mulheres é em média de R$ 3.000,00, com desvio-
padrão de R$ 1.200,00. Calcule: 
 
a) O coeficientes de variaçãopara ambos 
 
b) Qual dos sexos apresenta maior dispersão. 
 
 
8º Tomados os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um 
determinado grupo de pessoas, calcule o coeficiente de variação para cada unidade 
(peso e estatura). 
 
 . x s 
 Estatura 175 cm 5,0 cm 
 Peso 68kg 2,0 kg 
 
 
 
ASSIMETRIA E CURTOSE 
 
 
MEDIDAS DE ASSIMETRIA – Utilizada para o estudo da posição relativa da Média, 
Mediana e Moda: 
 
Distribuição Simétrica 
 
 
 
 
 
 
 MoMdx == 
 
Distribuição Assimétrica Positiva ou Assimétrica à Direita 
 
 
 
 
 
 
 Mo < Md < x 
 
 
 
 46
Distribuição Assimétrica Negativa ou Assimétrica à Esquerda: 
 
 
 
 
 
 
 x < Md < Mo 
 
 
Baseando-se nessas relações podemos utilizar a relação entre a Média e a Moda 
para determinarmos o tipo de assimetria 
 
 x – Mo = 0 → simetria 
 x – Mo > 0 → assimetria positiva 
x – Mo < 0 → assimetria negativa 
 
COEFICIENTE DE PEARSON: 
 
σ
MOX
AS
−
= 
ς
MOX
AS
−
= 
 
 AS = 0 Distribuição é Simétrica 
AS > 0 Distribuição é Assimétrica Positiva 
AS < 0 Distribuição é Assimétrica Negativa 
 
MEDIDAS DE CURTOSE 
 
Denomina-se curtose o grau de achatamento da distribuição: 
 
- Distribuição Mesocúrtica – (curva normal) nem chata nem delgada. 
 
 
 
 
 
 
-Distribuição Leptocúrtica: Delgada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47
Distribuição Platicúrtica; achatada 
 
 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE DE CURTOSE 
 
Essa fórmula é conhecida como Coeficiente Percentílico de Curtose. 
 
).(2 1090
13
PP
QQ
K
−
−
= 
 
K = 0.263 → Curva Mesocúrtica 
K > 0,263 → Curva Platicúrtica 
K < 0,263 → Curva Leptocúrtica 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1º Determinar o coeficiente de Pearson. 
CLASSES 0├ 4 4├ 8 8├ 12 
fi 2 3 2 
 
 
 
 
 
2º Determinar o coeficiente de curtose e classifique 
CLASSES fI 
 0 ├ 4 
 
 4 ├ 8 
 
 8 ├ 12 
2 
 
3 
 
2 
 
 ∑=7 
 
 
 
 
3º Dada a distribuição amostral,, calcular o coeficiente de Pearson e o de curtose 
 
CLASSES fi 
 30 ├ 50 
 
50 ├ 100 
 
 100 ├ 150 
80 
 
50 
 
30 
 
 ∑=160 
 
 
 
 48
4º Para a tabela abaixo, pede-se calcular coeficiente de Pearson e o de curtose 
Notas fi 
150 ├ 200 
 
200 ├ 250 
 
250 ├ 300 
 
300 ├ 350 
 
350 ├ 400 
 
400 ├ 450 
 
450 ├ 500 
5 
 
16 
 
21 
 
28 
 
19 
 
8 
 
3 
 
 ∑=100 
 
5º Para a tabela abaixo, pede-se calcular coeficiente de curtose, classificando-a 
Notas fi 
0 ├ 20 
 
20 ├ 40 
 
40 ├ 60 
 
60 ├ 80 
 
80 ├ 100 
 
100 ├ 120 
6 
 
16 
 
12 
 
11 
 
8 
 
7 
 
 ∑=60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49
 
 
UNIC - SINOP 
ESTATÍSTICA 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
OBS: 1) Organize a lista de modo que fique claro, para cada item pedido sua 
respectiva resposta; 
 2) Arredondar as respostas com apenas duas casas decimais, segundo o 
critério do IBGE (Res. 866/66). 
Dada a amostra de 60 rendas (em S.M.) de uma determinada região. Dado: log 
60 = 1,78. 
Sugere-se agrupar os dados, iniciando a primeira classe em 1. 
 2 10 6 3 12 5 5 2 11 1 
 11 12 19 4 7 3 8 4 10 19 
 17 7 16 3 11 1 9 2 4 8 
 10 20 3 2 10 4 4 20 20 6 
 21 3 21 21 9 20 21 2 4 21 
 20 8 12 4 3 1 7 21 3 19 
Pede-se: 
 
1) O rol; 
2) A amplitude total; 
3) O número de classes; 
4) A amplitude das classes; 
5) A distribuição em classes; 
6) A distribuição de freqüência simples; 
7) A distribuição de freqüência acumulada; 
8) A distribuição de freqüência relativa (%); 
9) A distribuição de freqüência relativa acumulada (%); 
10) O histograma; 
11) A média aritmética; 
12) A variância amostral; 
13) O desvio padrão amostral; 
14) O coeficiente de variação amostral; 
15) A moda; 
16) A mediana; 
17) O 1º quartil; 
18) O 3º quartil; 
19) O 10º percentil; 
20) O 90º percentil; 
21) O coeficiente de assimetria; 
22) O coeficiente de curtose. 
 
 
 
 
 50
CORRRELAÇÃO 
 
É o estudo em torno de duas ou mais variável e as possíveis relações existentes 
entre elas. 
 
Exemplo: num grupo de pessoas pode-se estudar o peso e a altura, o uso de cigarro 
e a incidência de câncer, aumento dos números de crimes e o aumento da taxa de 
desemprego, etc. Precisam verificar se há uma relação entre essas variáveis e qual 
o grau dessa relação. 
 
Sendo o estudo de natureza quantitativa, o instrumento para descobrirmos e 
medirmos essa relação é a Correlação. 
 
Correlação Linear Simples: Relação em dois sentidos, isto é, estatisticamente ocorre 
quando duas variáveis estão ligadas por uma relação (força que mantém unidos dois 
conjuntos de valores). 
 
Diagrama de Dispersão – é o gráfico que nos permite visualizar a relação entre as 
duas variáveis, através da observação da direção e da dispersão dos pontos: 
 
Para estudar a relação entre duas variáveis devemos partir da coleta de uma 
amostra de pares de observações. Para isto, é necessário realizar um experimento 
em que se faz simultaneamente medidas de duas variáveis x e y. Sejam (x1,y1), 
(x2,y2), ... , (xn,yn) os n pares de observações. 
 
Um procedimento para visualizarmos a forma da relação entre as variáveis x 
e y é o diagrama de dispersão, que nada mais é do que a representação dos pares 
de valores num sistema cartesiano. Ou seja, o diagrama de dispersão é a forma 
gráfica (qualitativa) de representar a correlação existente entre um par de variáveis. 
 
Esta representação é feita num sistema coordenado cartesiano ortogonal, 
onde os pares ordenados (xi, yi) são plotados, obtendo-se uma nuvem de pontos. 
 
A nuvem de pontos nos fornece uma idéia de maneira grosseira da correlação 
existente entre as variáveis. 
 
Ex.: Considerando uma amostra de dez alunos de uma classe de uma 
faculdade A e pelas notas obtidas por eles em Matemática e Estatística, podemos 
representar estes pares de notas num diagrama com segue: 
 
 
N° do aluno Matemática (xi) Estatística (yi) 
01 5,0 6,0 
08 8,0 9,0 
24 7,0 8,0 
38 10,0 10,0 
44 6,0 5,0 
58 7,0 7,0 
59 9,0 8,0 
72 3,0 4,0 
80 8,0 6,0 
92 2,0 2,0 
 
 
 51
 
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10X
Y
 
 
A maneira de se verificar a existência de uma correlação entre duas variáveis 
através de um diagrama é tentar visualizar se os pontos dos pares de variáveis 
estão próximos a curva de alguma função. Ou seja se os pontos formam a imagem 
desta curva. Então poderia dizer-se que a relação entre as duas variáveis em 
questão seria explicada pela equação matemática daquela função. 
 
Então, uma correlação pode ser linear, quando os pontos se aproximam de 
uma reta (fig 1a, 1b e 1c) ou não linear quando os pontos não se aproximam de 
uma reta ou quando não se aproximam de nenhuma curva (fig. 1d e 1e). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1a - Correlação linear positiva – reta ascendente; 
 
 
a) r > 0
X
Y
-4
2
8
14
20
26
32
0 2 4 6 8 10 12 14 16
 
 
 52
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1c – relação perfeita (funcional) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1c – correlação linear negativa – reta descendente 
 
b) r=1
X
Y
4
8
12
16
20
24
28
32
0 2 4 6 8 10 12 14 16
 
c) r < 0
X
Y
 
 
 53
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1d – correlação não linear – imagem de curva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1e – Dados não correlacionados – sem imagem 
 
 
 
 
 
 
X 
Y 
 e) r
X
Y
≅ 0 
 
 
 54
Coeficiente de Correlação Linear 
 
 O coeficiente de correlação é a maneira quantitativa de se verificar a 
existência de correlação linear entre duas variáveis. Este coeficiente indica o grau de 
intensidade que duas variáveis se correlacionam, bem como em que sentido estas 
se relacionam (positivo ou negativo). 
 O coeficiente de correlação de Pearson é um método, entre vários existentes, 
simples que avalia a existência de correlação linear entre duas variáveis X e Y, e é 
dado por: 
 
 
 
 
Onde n é o número de pares de observações.Os limites de r são –1 e +1, ou seja –1 ≤ r ≤ 1, isto é r pertence ao intervalo [-
1, +1]. 
Se: 
r = +1 A correlação linear entre X e Y é perfeita positiva (figura 1c) 
r = -1 A correlação linear entre X e Y é perfeita negativa. 
r = 0 Não existe correlação linear entre X e Y. (figura 1d e 1e) 
 
Quanto a intensidade da correlação linear, ou seja o quão bem os dados se ajustam 
a reta, temos: 
0,6 ≤≤≤≤ r  <1 Dados fortemente correlacionados. 
0,3 ≤≤≤≤ r  < 0,6 Correlação relativamente fraca entre as variáveis. 
0 < r  < 0,3 Correlação muito fraca, pouco se pode concluir sobre esta 
relação. 
 
Portanto, o COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO indica o grau de intensidade da 
correlação entre duas variáveis e o sentido ( positivo ou negativo). 
 
Os coeficientes de Correlação recebem nomes especiais, conforme estejam 
próximos ou distantes do zero. 
 -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0 0,25 0,50 ,075 1,00 
 
 
 Correlação Positiva Perfeita 
 Correlação Positiva Forte 
Correlação Positiva Média 
Correlação Positiva Fraca 
Correlação Inexistente 
 Correlação Negativa Fraca 
 Correlação Negativa Média 
 Correlação Negativa Forte 
Correlação Negativa Perfeita 
Exemplo: 
 
Numa pesquisa efetuada num centro urbano foram entrevistadas cinco pessoas 
adultas, com mais de 30 anos, e a cada uma foram feitas as seguintes perguntas: 
 
1º Durante quantos anos você freqüentou a escola regular? 
 
2º Quantos livros você tem em sua biblioteca ( estante, armário) ? 
 
 
 n . Σ xi yi – (Σ xi) . (Σ yi) 
 [n . Σ xi² - (Σxi)²] . [n . Σ yi² - (Σyi)²] 
 
 55
Obteve-se as seguintes respostas: 
 
PESSOAS ESCOLARIDADE( IX ) BIBLIOTECA( IY ) IIYX 
2
IX 
2
IY 
A 5 10 50 25 100 
B 8 30 240 64 900 
C 10 45 450 100 2.025 
D 12 50 600 144 2.500 
E 15 75 1.125 225 5.625 
∑ = 50 210 2.465 558 11.150 
 
anosX 10
5
50
== livrosY 42
5
210
== 
Observemos que a média nos leva a seguinte análise, se para cada 10 anos de 
estudo temos em média 42 livros, então quantos livros deveria ter uma pessoa que 
estudou 5 anos? A resposta, segundo a média, seria de 21 livros, no entanto temos 
pela pesquisa 10 livros. 
 
Ocorre que a média é insuficiente para exprimir a força que mantém unidas as 
variáveis x e y, nestes casos utilizaremos o Coeficiente de Correlação Linear. 
)210150.115()505585(
210050465.25
22 −−
−
=
xxx
xx
rxy 
 
)100.44750.55()500.2790.2(
500.10325.12
−−
−
=
x
rxy 
 
650.11290
825.1
x
rxy = 
500.378.3
825.1
=xyr 99,007,838.1
825.1
==xyr 
 
rxy ≈ 0,99 Resposta: rxy > 0 , portanto Correlação Linear Positiva Forte 
 
Exercícios: 
 
1º Determine o coeficiente de correlação para os itens abaixo: 
 
a) Consideremos uma amostra de aleatória , formada por 10 dez dos 100 alunos de 
determinada classe da Faculdade A e pelas notas obtidas por eles nos testes de 
História e Geografia: 
 
HISTÓRIA GEOGRAFIA iiYX 
2
iX 
2
iY 
5 6 
8 9 
7 8 
10 10 
6 5 
7 7 
9 8 
3 4 
8 6 
2 2 
∑ = 
 
 
 56
 b) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à 
variação de preço de venda, obteve a tabela; 
 
 
PREÇO DEMANDA IIYX 
2
IX 
2
IY 
38 350 
42 325 
50 297 
56 270 
53 256 
63 246 
70 238 
80 223 
95 215 
110 208 
∑ = 
 
 
 
 
 
REGRESSÃO 
 
 
Na CORRELAÇÃO vimos que o coeficiente rxy é capaz de medir a força que 
mantém unidas as variáveis x e y. 
 
REGRESSÃO é a lei segundo a qual as variáveis caminham juntas e é expressa por 
meio de uma relação matemática chamada Equação de Regressão ou Análise de 
Regressão. 
Esta lei explica como essas variáveis estão unidas e como é possível obter um dado 
desconhecido a partir de seu par conhecido, com razoável aproximação. 
 
Este estudo nasceu da observação de Francis Galton que comparou as estaturas de 
pais com as estaturas de seus respectivos filhos ( primogênitos) e verificou que; 
 
- Filho de pai alto, era também alto, mas não tão alto quanto o pai; 
- Filho de pai baixo, era também baixo, mas não tão baixo quanto o pai. 
 
Verificou que essas oscilações para mais ou para menos ocorriam dentro de certos 
limites, tendo a Média Aritmética da espécie como Ponto de Convergência. 
 
Era como se os sujeitos altos fossem perdendo estatura, de geração em geração, 
até o limite representado pela média da espécie ou como se os sujeitos baixos 
fossem ganhando estaturas, também de geração em geração, até alcançar a média 
da espécie, que é o limite para o qual convergem todas as estaturas. 
 
Esse fenômeno de retorno à média Galton deu o nome de Regressão. 
 
Verifica-se que a Correlação e Regressão são conceitos logicamente inseparáveis, 
isto é, uma não pode existir sem a outra. 
 
 
 57
 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 
Linear – porque a disposição dos pontos permite interpolar-lhes uma reta. 
 
Simples – porque só há duas variáveis envolvidas no processo. (x e y). 
 
 Portanto, encontrada uma relação entre duas variáveis (as variáveis estão 
correlacionadas), o próximo passo é definir uma função, de modo que uma variável 
independente explique uma variável dependente. Ou seja, se duas variáveis X e Y, 
estão sendo estudadas, e deseja-se definir uma função para explicar (estimar, 
calcular) Y de acordo com X , Y = f(X), faz-se uma regressão de Y para X. Da 
mesma forma para explicar X em função de Y, faz-se uma regressão de X para Y. 
 Numa regressão de Y para X, dizemos que X é a variável independente e Y a 
variável dependente. 
 
 A análise de regressão simples descreve através de um modelo matemático 
(função) a relação entre duas variáveis, utilizando para isso n pares de observações 
das mesmas. 
 
 Quando falamos de regressão linear, o que estamos fazendo e tentar adequar 
a equação de uma reta aos pares de valores que temos registros. Ou ajustar uma 
reta sobre os pontos do diagrama de dispersão, de modo que a partir de então esta 
reta represente a variação dos valores de X em relação a Y. 
 
Conclui-se que se trata de uma equação de 1º grau, uma função definida por: 
 
 
 
E é através dela que fazemos o ajustamento de reta. 
 
Denominamos x= variável independente e y = variável dependente e a e b são os 
parâmetros para calculá-los: 
 
∑ ∑
∑ ∑∑
−
−
=
22 )(
)).((
ii
iiii
XXn
YXYXn
a Obs: n = número de observações 
 
XaYb −= Obs: 
n
X
X
i∑
= e 
n
Y
Y
i∑
= 
 
O resultado é uma estimativa da verdadeira equação de regressão, pois estamos 
utilizando uma amostra. Ŷ = Y estimado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = ax + b 
 
 58
 
Exemplo: 
 
Dada as notas dos 10 alunos da Faculdade A nos testes de História e Geografia. 
 
HISTÓRIA GEOGRAFIA iiYX 
2
iX 
2
iY 
5 6 
8 9 
7 8 
10 10 
6 5 
7 7 
9 8 
3 4 
8 6 
2 2 
∑ = 
 
∑ ∑
∑ ∑∑
−
−
=
22 )(
)).((
ii
iiii
XXn
YXYXn
a 
 
 
XaYb −= 
 
 
logo, baXY +=ˆ 
 
 Para obtermos uma reta determinamos dois pontos: 
x = 0 e x = 5 
 
 
 
INTERPOLAÇÃO – Há interpolação quando o valor de x pertence ao conjunto. 
Exemplo x = 4 4 Є [2,10] 
 
 
EXTRAPOLAÇÃO – Há extrapolação quando o valor de x não pertence ao conjunto 
e uma norma fundamental no suo das equações de regressão é a de nunca 
extrapolar, exceto quando considerações teórica ou experimentais demonstrem a 
possibilidade de extrapolação. 
Exemplo: x = 1 1 Є [2, 10]. 
 
Exercícios: 
 
1º Pretendendo - se estudar a relação entre as variáveis”Consumo de Energia 
Elétrica ( xi ) e “ Volume de Produção nas Empresas Industriais” (yi ),computou-se 
numa amostragem com 20 empresas, os seguintes valores: 
 
 ∑xi = 11,34 
 
∑yi = 20,72 
 
 59
 
∑x2i = 12,16 
 
∑y2i = 84,96 
 
∑ xiyi = 22,13 
 
Calcular: 
a) O Coeficiente de Correlação 
b) A equação de regressão de y para x 
c) A equação de regressão de x para y .60
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fáil. Ed. Saraiva 
 
FONSECA.Jairo Simon da. Curso de Estatística. Ed. Atlas. 
 
MORETTIN, Pedro A. BUSSAB, Wilton de O. Estatística Básica. Ed. Saraiva. 
 
COSTA, Sérgio Francisco Costa. Introdução Ilustrada `a Estatística. Ed. Harbra 
 
VIEIRA, Sonia. Princípio de Estatística. Ed. Pioneira