Estudo diagnóstico sobr as dificuldades em Matrizes

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UM ESTUDO DIAGNÓSTICO SOBRE AS DIFCULDADES EM MATRIZES 
 
Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias 
Pedro Franco de Sá 
Rubens Vilhena Fonseca 
Universidade do Estado do Pará 
alice.messias@gmail.com 
psa@digi.com.br 
rubens.vilhena@gmail.com 
 
1. Introdução 
A dificuldade em aprender matemática tornou-se motivo de constantes 
discussões em meio à comunidade científica. Isso porque, o baixo desempenho dos 
alunos - apesar de se estender pelas diversas disciplinas - apresenta-se em matemática 
de forma ainda mais preocupante. Essa dificuldade tem sua origem nas séries iniciais e 
se estende até o segmento superior de ensino. Mas, afinal, por que desempenhos tão 
baixos na disciplina? Muitos estudiosos acreditam que o ensino repleto de 
conservadorismo é um fator relevante, já que os professores ensinam a partir de 
definições e exercícios de fixação, técnica respaldada pela maioria dos livros didáticos. 
 Segundo autores como Sanches (2002), D’Ambrósio (1999) e Coll (apud 
Sanches, 2002), para obter uma aprendizagem mais significativa de matemática, é 
necessário que saibamos manipular a natureza dos conteúdos matemáticos. Sanches 
(2002) ressalta a importância do conhecimento expressivo de conceitos, princípios, 
procedimentos e estratégias para resolver problemas, do desenvolvimento de 
competências e habilidades e da relação da matemática com outras áreas de 
conhecimento, entre outras. D’Ambrósio (1999) destaca a importância de recuperar a 
presença de idéias matemáticas em todas as ações humanas devido à necessidade de 
descobrir que há uma forma matemática de estar no mundo. Coll (2000) apud Sanches 
(2002) afirma que: 
“(...) os conteúdos são elementos altamente relevante, já que 
constituem o eixo em torno do qual se estruturam as relações 
mútuas entre professores e alunos e são os elementos cultural 
mediador do desenvolvimento e da aprendizagem (...)” 
 
 2 
Ao considerarmos o processo de ensino-aprendizagem em álgebra, percebemos 
que o tradicionalismo em meio ao uso abusivo de simbologias matemáticas em 
problemas algébricos é um dos principais responsáveis (senão o maior) pela descrença 
de que os conteúdos matemáticos possam de alguma forma, auxiliar indivíduos em 
circunstâncias cotidianas. 
No que concerne ao processo de ensino-aprendizagem de matrizes, podemos 
inferir que este se caracteriza pela utilização de regras que, de um modo geral, 
apresentam-se completamente desvinculadas da realidade dos alunos. Para Sanches 
(2002, p.6) o ensino de matrizes apresenta-se em “total descompasso com os avanços 
tecnológicos e com os estudos já realizados pela Psicologia Educacional”. 
 Percebemos ainda, que poucos são os livros didáticos adequados para auxiliar o 
ensino de matemática, particularmente de matrizes, dado que muitos apresentam 
confusões conceituais, linguagem inadequada, raras contextualizações e exercícios 
repetitivos, o que prejudica o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático dos 
educandos. 
Considerando a importância de uma aprendizagem mais significativa de 
matemática e centrando o foco do estudo no conceito e operações básicas com matrizes, 
propusemo-nos a realizar uma pesquisa que visou responder duas questões centrais: 
 Qual o procedimento mais adotado para ensinar matrizes? 
 Quais as principais dificuldades apresentadas pelos alunos ao resolver 
questões referentes a matrizes? 
 
2. Metodologia 
 A amostra desta pesquisa contou com a participação de 109 universitários – 22 
do 1º ano do curso de licenciatura em matemática da Universidade do Estado do Pará 
(UEPA) - 31 do 1º ano o curso de bacharelado em sistema de informação e 56 do 1º ano 
do curso de bacharelado em ciência da computação, ambos do Centro Universitário do 
Pará (CESUPA). A aplicação dos questionários foi realizada no período de 5 à 15 de 
Novembro de 2006. 
 Optamos pelos alunos dos cursos citados acima devido ao fato deles terem 
estudado o assunto matrizes no ano anterior (3º ano do ensino médio) e porque o estudo 
de matrizes é muito importante para álgebra linear, disciplina estudada ao longo dos três 
cursos. 
 3 
A pesquisa foi realizada por meio das seguintes etapas: levantamento 
bibliográfico, formulação de protocolos de pesquisa, aplicação dos protocolos e 
sistematização dos resultados. 
 A primeira etapa consistiu na realização de um levantamento bibliográfico com 
o intuito de (re) conhecer estudos voltados para o processo de ensino – aprendizagem 
em matemática. Nesse sentido, destacamos estudos como os de Lopes (2000) e Sanches 
(2002). 
 A segunda etapa consistiu na formulação de protocolos de pesquisa a partir do 
referencial teórico e de nossa experiência na prática docente. O protocolo apresentava 9 
itens (5 de cunho pessoal e 4 de cunho específico, em que foram propostas algumas 
questões referentes ao assunto). 
 A quarta etapa consistiu na sistematização dos resultados que foram dispostos 
em quadros e gráficos que serão apresentados em tópicos posteriores. 
 
3. Sistematização dos resultados 
Houve predominância de alunos do sexo masculino, com 79,81% e o restante 
(20,19%), do sexo feminino. A média de idade desses alunos era de 19 anos. 
Quanto à formação, a maioria dos alunos afirmou ter concluído o ensino médio 
em escola particular (68,8%), sendo que 85,32% dos alunos estudaram matrizes na 3ª 
série do ensino médio, como podemos verificar nos gráficos 1 e 2, respectivamente. 
 
Gráfico 1: Tipo de Escola
68,80%
31,20%
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Escola
P
o
r
c
e
n
ta
g
e
m
Escola Particular
Escola Pública
 
Fonte: Pesquisa de campo, 2006. 
 4 
Gráfico 2: Série que estudou matrizes
1,84%
12,84%
85,32%
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
Série
P
o
r
c
e
n
ta
g
e
m
1º ano de ensino médio
2º ano do ensino médio
3º ano do ensino médio
 
Fonte: Pesquisa de campo, 2006. 
 
No que concerne à dificuldade em matrizes, mais da metade dos alunos afirmou 
que matrizes não é um assunto fácil, como podemos perceber no gráfico abaixo: 
Gráfico 3: Classificação do assunto
58,71%
41,29%
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
Matrizes
P
o
rc
en
ta
g
em
Difícil
Fácil
 
Fonte: Pesquisa de campo, 2006. 
No que se refere ao domínio ou lembrança dos conteúdos relacionados ao 
assunto, verificamos que poucos alunos acreditam, de fato, ter domínio acerca dos 
tópicos destacados, apesar de a maioria deles ter estudado os assuntos no ano anterior 
(3º ano do ensino médio). Alguns alunos não marcaram nenhuma das alternativas 
apresentadas. Dessa forma, consideramos que eles sequer lembraram ter estudado os 
tópicos. Os dados referentes a este item estão destacados no gráfico abaixo: 
 5 
Gráfico 4: Conhecimento de matrizes
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
D
ef
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a
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at
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D
et
er
m
in
an
te
Lembro ter estudado
Acredito ter domínio
 
Fonte: pesquisa de campo, 2006. 
Quanto à metodologia utilizada no ensino de matrizes, os alunos tiveram a 
oportunidade de optar pela alternativa que melhor descrevia a metodologia utilizada 
pelos professores ao ensinar o conteúdo. A maioria dos alunos afirmou que o assunto 
fora apresentado partindo da definição, seguindo de exemplos, propriedades e 
exercícios. Os dados referentes a este item se encontram no gráfico abaixo: 
Gráfico 5: Metodologia aplicada
89,90%
2,75%
7,30%
0,05%
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Matrizes
P
o
r
c
e
n
ta
g
e
m
Definição-Exemplos-
Exercícios
Situação-problema -
Formalizar
Modelando situações
reais
Outras possibilidades
 
 Fonte: Pesquisa de campo, 2006. 
 
Diante do gráfico 5, percebemos que o assunto (matrizes) foi abordado de 
maneira tradicional, isto é, explorando o rigor e abstração da matemática. 
 No item que os alunos deveriam optar pela alternativa que melhor definia uma 
matriz, propusemos as seguintes definições: 
a) “Denomina-se uma matriz uma tabela retangular com números reais em que é 
possível calcular valores das diagonais e do determinante.” 
 6 
b) “Matriz é um conjunto de linhas e colunas mxn dispostas de tal forma que o 
sistema formado por elas seja homogêneo.” 
c) “Denomina-se uma matriz mxn uma tabela retangular formada por mxn números 
reais, dispostos em m linhas e n colunas.” 
d) “Denomina-se matriz mxn os elementos retangulares aij dispostos em m colunas 
e n linhas.” 
e) “Matriz é um conjunto do tipo mxn em que cada resultado é obtido operando os 
elementos das m linhas com os elementos da n colunas correspondentes.” 
A resposta mais coerente seria a da alternativa “c”. Entretanto, como podemos 
constatar no gráfico abaixo, a maioria dos alunos optou por outras alternativas. 
Gráfico 6: Definição de matrizes 
2,75%
15,59%14,67%
44,03%
22,93%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
45,00%
50,00%
Matrizes
P
o
r
c
e
n
ta
g
e
m
Definição a
Definição b
Definição c
Definição d
Definição e
 
Fonte: Pesquisa de campo, 2006. 
 
Verificamos anteriormente que pouco mais de 12% dos alunos acreditavam ter 
domínio acerca da definição de matrizes (gráfico 4). No gráfico acima obtivemos a 
confirmação deste fato, já que apenas 14,67% dos alunos assinalaram a alternativa 
correta. 
 A dificuldade em definir “matrizes” pode ser um reflexo da forma como os 
conceitos são, normalmente, apresentados aos alunos que atuam como seres passíveis 
no processo de aprendizagem e cujos conceitos naturais são previamente ignorados. 
No item 9 do protocolo de pesquisa apresentamos as matrizes A e B destacadas 
abaixo: 
 
8 0
A = 3 2
5 3
 
 
 
 
 
3
1
5
B = 
2
6
3
 
  
 
 
  
 
 7 
Posteriormente, os alunos deveriam resolver as operações que lhes eram 
propostas a partir das matrizes A e B. Para facilitar a visualização dos resultados, 
dividimos o item 9 em três subitens (adição de matrizes, produto entre matrizes e 
cálculo de determinante). 
3.1. Adição de matrizes 
Os alunos deveriam resolver A+B e, posteriormente, assinalar a alternativa 
correta. As alternativas propostas foram as seguintes: 
 
a)
8 0
5
4
8
 
 
 
 
 b) 
3
9
5
19 16
15 3
 
  
 
 
  
 c) 
3
9
5
1 4
3 3
 
 
 
 
  
 d) 
3
9
5
16 19
3 5
 
 
 
 
  
 e) 
3
8
5
2 19
9 5
 
 
 
 
  
 
A resposta mais coerente seria a da alternativa “b”. A maioria dos alunos 
assinalou a alternativa correta, como podemos visualizar no gráfico abaixo: 
Gráfico 7: Adição de matrizes
1,85%
79,81%
9,17%
2,75%
6,42%
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
Adição de matrizes
P
o
r
c
e
n
ta
g
e
m
Alternativa a
Alternativa b
Alternativa c
Alternativa d
Alternativa e
 
 Fonte: Pesquisa de campo, 2006. 
Os dados referentes à questão acima mostrou que a grande maioria dos alunos 
não apresenta dificuldade quando se depara com itens relacionados à adição de 
matrizes. 
 
3.2. Produto entre matrizes 
Os alunos deveriam resolver AxB e, posteriormente, assinalar a alternativa 
correta. As alternativas propostas foram as seguintes: 
 8 
a) 
8 0
2
4
5
 
 
 
 
 b) 
9
8
25
4 18
9 5
 
  
 
 
  
 c) 
24
8
5
47 59
45 25
 
  
 
  
  
 
 d) 
24
8
5
47 109
45 25
 
 
 
  
  
 e) 
4
8
5
7 9
45 25
 
 
 
 
  
 
 
 A resposta mais coerente seria a da alternativa “d”. No entanto, como podemos 
perceber no gráfico abaixo, a maioria dos alunos optou por outras alternativas: 
Gráfico 8: Produto entre matrizes
41,28%
0%
7,33%
34,88%
16,51%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
45,00%
Produto entre matrizes
P
o
r
c
e
n
ta
g
e
m
Alternativa a
Alternativa b
Alternativa c
Alternativa d
Alternativa e
 
Fonte: Pesquisa de campo, 2006. 
 Apesar de mais de 30% dos alunos terem assinalado a resposta correta, os dados 
da questão acima ainda são preocupantes, pois um total de 65,12% optou por outras 
alternativas. Portanto, os alunos apresentam dificuldades no que concerne à resolução 
de itens relacionados ao produto entre matrizes. 
 Os alunos confundem as operações com matrizes, principalmente o produto 
entre matrizes, porque muitos não analisam o número de linhas e colunas das matrizes – 
para verificar se há ou não possibilidade de resolver a operação – nem os artifícios para 
multiplicar os elementos das linhas e colunas (elementos da 1ª linha da matriz A com os 
elementos da 1ª coluna da matriz B e assim sucessivamente). 
 
3.3. Cálculo de determinante 
 9 
 Os alunos deveriam efetuar o cálculo do determinante da matriz B e, 
posteriormente, assinalar a alternativa correta. As alternativas propostas foram as 
seguintes: 
 
a) 
6
5
 b) 
58
25
 c) – 6 d) 
28
5
 e) 
8
5
 
 
 A resposta mais coerente seria a da alternativa “d”. Entretanto, como podemos 
perceber no gráfico abaixo, alguns alunos optaram por outras alternativas. 
Gráfico 9: Cálculo de determinante
10,09%
4,58%
38,53%
35,80%
11%
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
45,00%
determinante
P
o
r
c
e
n
ta
g
e
m
Alternativa a
Alternativa b
Alternativa c
Alternativa d
Alternativa e
 
Fonte: protocolo de pesquisa, 2006. 
 Mais de 35% dos alunos assinalaram a alternativa correta, mas é importante 
destacar que um total de 64,2% optou por outras alternativas. Logo, a maioria apresenta 
dificuldade na resolução de questões que envolvam o cálculo de determinante, pois 
possivelmente, não estavam atentos para o “jogo de sinal” no decorrer da resolução da 
questão ou não lembravam como realizar o cálculo de determinante, já que apenas 
22,93% dos alunos afirmaram ter domínio do assunto (gráfico 4). 
4. Considerações Finais 
 Os resultados obtidos nesta pesquisa nos subsidiaram a responder as questões 
propostas inicialmente (Qual o procedimento mais adotado para ensinar matrizes? Quais 
as principais dificuldades apresentadas pelos alunos ao resolver questões referentes a 
matrizes?). 
Em resposta à primeira questão detectamos que o procedimento adotado pelos 
professores para ensinar matrizes foi desenvolvido em meio a uma abordagem que se 
inicia com definição, seguindo de exemplos, propriedades e exercícios. Isto confirma a 
predominância do ensino de matrizes por meio de uma metodologia tradicional. 
 10 
Em resposta à segunda questão, percebemos que muitos alunos apresentam 
dificuldades no que se refere ao conceito e resolução de operações com matrizes, 
principalmente o produto entre matrizes e cálculo de determinante. 
Os resultados também deixam claro que os estudantes chegam ao nível superior 
de ensino com significativas dificuldades em matemática. Essas dificuldades refletem a 
necessidade de novas metodologias para o ensino da disciplina em todos os níveis de 
ensino. 
O que fazer para melhorar esta situação? Acreditamos que se torna importante 
que os docentes encontrem novas alternativas para ensinar matemática e é nesse 
contexto que se encaixa a proposta de resolução de problemas. 
 Ao resolver um problema, o alunonão “constrói um conceito, mas um campo de 
conceitos que tomam sentido num campo de problemas” (SÁ, p.66, 2005) e por isso, 
acreditamos, assim como Onuchic e Allevato (2005, p.230), que esta “metodologia pode 
contribuir sobremaneira para uma aprendizagem mais efetiva da disciplina”. 
É claro que para que isso ocorra, o professor deve avaliar a realidade da sala de 
aula para que ele se certifique de qual seria a melhor decisão a ser tomada. Além disso, 
é necessário um estudo mais profundo no que concerne ao ensino de matrizes para que 
este se torne ainda mais agradável e eficaz. 
 
5. Referências 
 D’AMBRÓSIO, Ubiratan. A história da matemática: Questões historiográficas e 
políticas e reflexos na educação matemática. In: Pesquisa em educação matemática: 
concepções e perspectivas. São Paulo: Ed. UNESP, 1999, p.97 – 115. 
LOPES, J.A. Livro didático: concepção, seleção e possibilidades frente a descritores 
de análise e tendências em educação matemática. Tese (Doutorado em educação 
matemática) UNICAMP, Campinas (SP), 2000. 
 
ONUCHIC, L.R; ALLEVATO, N.S.G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem 
de matemática através da resolução de problemas. In: Educação matemática pesquisa 
em movimento. São Paulo, Cortez, 2005, p.213-231. 
 
SÁ, P. F. A resolução de problemas: Concepções e sugestões para aulas de matemática. 
In: Traços. Belém, v.7, n.16, p.61-78, 2005. 
 
 11 
SANCHES, M.H.F. Efeitos de uma estratégia diferenciada dos conceitos de matrizes. 
Dissertação (Mestrado em educação matemática) UNICAMP, São Paulo, 2002.