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Medianeira UTFPR – UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Medianeira – PR DAMAT – Departamento de Matemática e Estatística Curso: ENGENHARIA DE ALIMENTOS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – 2019/1 Prof: Lucas S. Ribeiro Viver a vida sabiamente Alegra-te, jovem, na tua mocidade, e recreie-se o teu coração nos dias da tua mocidade, e anda pelos caminhos do teu coração, e pela vista dos teus olhos; sabe, porém, que por todas estas coisas te trará Deus a juízo. Lembra-te também do teu Criador nos dias da tua mocidade, antes que venham os maus dias, e cheguem os anos dos quais venhas a dizer: Não tenho neles contentamento; Eclesiastes 11: 9 e 12: 1 Agosto, 2019 Lucas Texto digitado http://www.md.utfpr.edu.br/professores/index.php?idusuario=193 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 2 CONTEÚDO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS ......................................................................................................... 4 1.1 INTERVALOS NUMÉRICOS ................................................................................................ 5 2. FUNÇÕES ....................................................................................................................................... 6 2.1 FUNÇÕES ALGÉBRICAS ..................................................................................................... 7 2.1.1 FUNÇÃO POLINOMIAL ................................................................................................ 7 2.1.2 FUNÇÃO MODULAR ................................................................................................... 11 2.2 FUNÇÕES TRANSCENDENTES ........................................................................................ 15 2.2.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................... 15 2.2.2 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ....................................................................................... 15 2.2.3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................... 17 2.2.4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: ........................................................................................ 23 2.3 FUNÇÃO INVERSA ............................................................................................................. 32 2.4 FUNÇÃO COMPOSTA ......................................................................................................... 37 3. LIMITE ......................................................................................................................................... 45 3.1 LIMITES LATERAIS ............................................................................................................ 47 3.2 LIMITES NO INFINITO ....................................................................................................... 48 3.3 LIMITES INFINITOS ........................................................................................................... 50 3.4 CÁLCULO DE LIMITES: LIMITES INDETERMINADOS ............................................... 52 3.5 LIMITES NOTÁVEIS OU FUNDAMENTAIS .................................................................... 57 3.6 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO ............................................................................... 59 4. DERIVADA .................................................................................................................................. 65 4.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E GERAL DA DERIVADA ..................................... 66 4.2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO ........................................................................................ 67 4.3 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) .................................... 73 Derivada da composta da função logaritmo natural ................................................................... 75 4.4 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA .......................................................................................... 80 4.5 DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA ................................................................................ 81 4.6 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA ..................................... 84 4.7 DERIVADAS DE ORDERM SUPERIOR OU SUCESSIVAS - f(n): Derivada de ordem n. 86 4.8 DIFERENCIAIS E INCREMENTOS .................................................................................... 90 4.9 TAXAS RELACIONADAS .................................................................................................. 92 4.10 APLICAÇÕES DA DERIVADA: TEOREMAS SOBRE FUNÇÕES DERIVÁVEIS ......... 98 4.10.1 REGRAS DE L’HSOPITAL .......................................................................................... 98 4.10.2 TEOREMA DE ROLLE ............................................................................................... 105 4.10.3 TEOREMA DO VALOR MÉDIO (OU DE LAGRANGE) ......................................... 107 4.11 EXTREMOS DE FUNÇÕES: MÁXIMOS E MÍNIMOS ................................................... 109 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 3 4.12 ASSÍNTOTAS ..................................................................................................................... 114 4.13 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ..................................................................................... 116 5. ANTIDERIVADA OU INTEGRAL INDEFINIDA ................................................................... 124 5.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA .............................. 125 5.2 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL ..................... 128 5.3 INTEGRAL POR PARTES ................................................................................................. 133 5.4 INTEGRAÇÃO DAS DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 135 5.5 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA EM INTEGRANDOS TRIGONOMÉTRICOS 139 5.6 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES SENO E COSSENO DE ARCOS DIFERENTES .......... 143 5.7 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR MEIO DE FUNÇÕES PARCIAIS ... 144 6. INTEGRAL DEFINIDA ............................................................................................................. 151 6.1 SOMA DE REIMANN ........................................................................................................ 154 6.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ................................................................ 157 6.3 COMPRIMENTO DE ARCO .............................................................................................. 160 6.4 VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO .................................................................... 166 6.5 ÁREA DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO ..................................................................... 168 6.6 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ................................................................................................ 173 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 4 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Os primeiros números conhecidos foram os números contáveis, ou seja, o conjunto dos Números Naturais, representado por IN, isto é: N = {0, 1, 2, 3, ...} A = {x / x N} As operações com os números naturais foram responsáveis pela criação dos números negativos, assim: x + a = b => x = b – a, onde a e b são números naturais. Estes números, juntamente com os números naturais formam o conjunto dos NúmerosInteiros, representado por Z, isto é: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} A = {x / x Z} A resolução de equações do tipo bx = a => b ax com a e b números inteiros onde b ≠ 0, pode levar ao surgimento de números não inteiros. Desta forma, os números da forma b a com a e b números inteiros e b ≠ 0 formam um conjunto de números, denominado Números Racionais, representado por Q. E os números (frações) decimais infinitos não periódicos são denominados Números Irracionais, representados por I. São exemplos de números irracionais: , e, 2 , 3 , 5 , ... Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribuídos números. Temos, então que, a reunião dos números racionais com os números irracionais se denomina conjunto dos Números Reais, representado por R. Como o cálculo envolve números reais, vejamos algumas definições e propriedades fundamentais destes números, embora não tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades são tiradas dos axiomas e teoremas. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 5 1) Comutativa: a, b R => abba abba 2) Associativa: a, b e c R => cbacba cbacba )()( )()( 3) Existência de elemento neutro: aaaRRa aaaRRa 11/1, 00/0, 4) Elemento oposto: 0)()(/)(, aaaaRaRa 5) Elemento inverso: 1)()(/)(, 111 aaaaRaRa 6) Distributiva: cabacbaRcba )(,, 1.1 INTERVALOS NUMÉRICOS Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente, correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, se a < b, então o intervalo aberto de a até b, denotado por (a , b), é o segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos; e o intervalo fechado de a até b, denotado por [a , b], é o segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se os extremos. Estes intervalos podem ser expressos na notação de conjuntos como (a , b) = {x R / a < x < b} [a , b] = {x R / a < x < b} . Um intervalo pode incluir um extremo, mas não outro. Estes intervalos são chamados semi- abertos (ou, algumas vezes, semi-fechados). Além disso, é possível um intervalo estender-se indefinidamente em uma ou em outra direção, escrevemos + no lugar do extremo direito, e para indicar que o intervalo se estende indefinidamente na direção negativa, escrevemos -, no lugar do extremo esquerdo. Os intervalos que se estendem entre dois números reais são chamados de intervalos finitos, enquanto que os que se estendem indefinidamente em uma ou em ambas as direções são chamados de intervalos infinitos. Notação de intervalo Notação de conjunto Representação geométrica [a , b] {x R / a < x < b} [a , b[ {x R / a < x < b} ]a , b[ {x R / a < x < b} ]- , b] {x R / x < b} ]a , [ {x R / x > a} ]- , [ {x / x R} UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 6 2. FUNÇÕES SITUAÇÕES - PROBLEMA Identifique as variáveis envolvidas em cada situação e analise a veracidade das afirmações: 1- A área de um círculo depende da medida do raio da circunferência. Isto é, A = r². Portanto, dizemos que A é uma função de r. 2- A população P de um país depende do tempo t. Isto é, com o passar do tempo a população pode aumentar ou diminuir, então, dizemos que P é função de t. 3- Durante uma viagem de automóvel é feita uma tabela associando a cada hora a distância percorrida pelo carro desde o início do percurso, medida em quilômetros marcados no odômetro. Isso significa que a distância percorrida é função do tempo gasto no percurso. td 80 5- A medida do lado de um quadrado determina sua área, isto é, a área do quadrado é função da medida do lado, ou seja, 2A . Definição: Uma função f é uma lei (uma relação) para a qual cada elemento x de um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. Exemplos: a) b) c) d) O termo função significa que há uma correspondência única e exprime uma relação de dependência entre as grandezas. Na prática, identificamos as grandezas com seus valores e dizemos que a variável y é função da variável x. Muitas vezes, traduzimos a expressão y é função de x por: y depende de x; x determina y ou ainda a cada x é associado um único y. Muitas situações reais envolvem várias grandezas. Para expressarmos uma das grandezas em função da outra, é necessário fixar (considerar constantes) as demais. Assim, o gráfico de uma função y = f(x), é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)), e para cada valor de x existe um único correspondente f(x). A B 1 3 5 1 3 5 A B 2 -3 1 5 A B 1 3 -3 1 4 9 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 7 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Para identificarmos o domínio de uma função y = f(x), analisamos os valores que a variável independente pode assumir, isto é, se ela tem alguma restrição ou não. O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas. CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES As funções são classificadas em: inversasediretasasHiperbólic lg inversasediretasricasTrigonomét asLogarítmic lExponencia ntesTranscende sIrracionai asFracionári Inteiras Racionais sPolinomiai ébricasA 2.1 FUNÇÕES ALGÉBRICAS 2.1.1 FUNÇÃO POLINOMIAL Seja f : R ––> R definida por f(x) = anxn + an–1xn – 1 + ... + a0, com ai, i = 0; 1; ... ; n, constantes reais, an ≠ 0, n N e n é o grau do polinômio. As funções constante, identidade, lineares e quadráticas são exemplos de funções polinomiais. Função do 1º grau. f(x) = ax + b * O gráfico corta o eixo y em b. * Se, a > 0, a função é crescente e o gráfico é inclinado p/ direita. y = -x + 1 y = x – 1 y I y1 M y0 A y2 G E y3 M x0 x1 x2 x3 x DOMÍNIO UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 8 * Se, a < 0, a função é decrescente e o gráfico é inclinado p/ esquerda. Função do 2º grau: f(x) = ax² + bx + c * O gráfico corta o eixo y em c. * Se, a > 0, a parábola tem concavidade para cima. * Se, a < 0, a parábola tem concavidade para baixo. * a bxv 2 e a y v 4 * f(x) = 0, tem-se as raízes ou zeros da função É possível também expressar x = f(y) e, neste caso, a função passa a ser escrita como x = ay2 + by + c cujo gráfico tem a forma: x = y2 +1 x = y2 – 2y – 3 Aplicações práticas das parábolas Faróis de carros e/ou lanternas: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contém o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental. y= x2 + 2x – 3 y = -x² – 2x + 3 a > 0 a < 0 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 9 Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente. Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis. Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena. Resistência dos materiais: O diagrama do momento fletor de uma viga submetida a uma caga uniforme é uma parábola. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 10 Relação entre o discriminante e a concavidade Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial. Delta A parábola no plano cartesiano a > 0 concavidade (boca) para cima a < 0 concavidade (boca) para baixo > 0 Corta o eixo horizontal em 2 pontos = 0 Toca em 1 ponto do eixo horizontal < 0 Não corta o eixo horizontal Exemplos) y = x3 – x y = x4 – 5x² + 4 Aplicação da função Cúbica: Considere uma caixa em forma de paralelepípedo formada por cortes de quadrados nos cantos de uma folha retangular medindo 16 por 30. Solução: x = comprimento dos lados dos quadrados cortados V = volume (em cm³) da caixa resultante V(x) = 480x – 92x² + 4x³ UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 11 2.1.2 FUNÇÃO MODULAR O módulo de um nº é dado por 0, 0,|| xsex xsex x Exemplo f(x) = | x + 1| = 1,1 1,1 xsex xsex Exemplo y = | x² – 4| = 22,4 22,4 2 2 xsex xouxsex Exemplo f(x) = -| x – 2| = 2,2 2,2 xsex xsex UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 12 2.1.3 FUNÇÃO RACIONAL São funções definidas como o quociente de duas funções polinomiais, isto é, )( )()( xq xpxf , onde q(x) ≠ 0. O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo todos os valores de x tais que q(x) ≠ 0: Aplicações da função racional: 1) Considere uma caixa de base quadrada (paralelepípedo) com tampa de forma que, cheia, tenha V = 3m³ de água. Determine a função que calcula a área total desta caixa. Solução: At = 2x2 + 4xy; V = x2y = 3 32 12 ( )t xA f xx 2) Se uma lata fechada com volume de 16 cm³ deve ter a forma de um cilindro circular reto, Determine a função que calcula a área total da lata. Solução: At = 2πr2 + 2πrh; V = πr2h = 16π 32 32 ( )t rA f rr Função Crescente: Diz-se que uma função y = f(x) é crescente em um intervalo x ϵ [a, b], se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [a, b] tem-se: x2 > x1, f(x2) > f(x1). Isto é, as variáveis são diretamente proporcionais. Função Decrescente: Diz-se que uma função y = f(x) é decrescente em um intervalo x ϵ [a, b], se, e somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao intervalo [a, b] tem-se: x2 > x1, f(x2) < f(x1). Isto é as variáveis são inversamente proporcionais. Função Par: Uma função f : A B é par se, para qualquer x pertencente A, tem-se f(x) = f(-x). Numa função par, para valores simétricos do domínio, obtém-se a mesma imagem, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 13 Função Ímpar: Uma função f : A B é ímpar se, para qualquer x pertencente A, tem-se f(-x) = - f(x). Numa função ímpar, para valores simétricos do domínio, obtém-se imagens opostas, o gráfico é simétrico em relação à origem. Exemplo1) Seja 1(x)f x . Exemplo2) Seja f(x) = x2 + 1. Propriedades Proposição 1: Toda função f cujo domínio é ℝ ou um intervalo I simétrico em relação à origem, pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar. Demonstração: Sejam g e h duas funções obtidas de f e dadas por: ( ) ( )( ) 2 f x f xg x e ( ) ( )h( ) 2 f x f xx Note que ( ) ( )( ) ( )2 f x f xg x g x E que h(-x) = h(x). Assim, g é uma função ímpar e h é uma função par. Para encerrar a prova note que f(x) = g(x) + h(x). Uma função ímpar. D = ℝ e im = ሾ1, ∞ሾ Para x < 0, x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1), logo, a função dada é decrescente. Para x > 0, x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1), logo, a função dada é crescente. f(-x) = (-x)2 + 1 = x2 + 1 = f(x) Logo, a função dada é par. D = ℝ∗ e im = ℝ∗ x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1), logo, a função dada é decrescente em D. 1 1( x) ( ) (x)( )f f x fx x Logo, a função dada é ímpar. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 14 Proposição 2: A soma de duas funções de mesma paridade mantém a paridade. Demonstração: Sejam f e g duas funções ímpares definidas em ℝ ou um intervalo I simétrico em relação à origem. Assim, (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) – g(x) = -(f + g)(x) De modo análogo, se f e g são duas funções pares, (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) Proposição 3: O produto de duas funções f e g de mesma paridade é uma função par, isto é, se f e g são funções pares ou ímpares, então a função h(x) = (f g)(x) é uma função par. Demonstração : Sejam f e g duas funções ímpares definidas em ℝ ou um intervalo I simétrico em relação à origem. Assim, f(-x) = -f(x) e g(-x) = -g(x), logo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x f x g x De modo análogo, se f e g são duas funções pares, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x Proposição 4: O produto de duas funções f e g de paridades distintas é uma função ímpar. Demonstração: Sejam f e g duas funções ímpares definidas em ℝ ou um intervalo I simétrico em relação à origem. Assim, f(-x) = f(x) e g(-x) = -g(x), logo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x g x f x g x Proposição 5: A derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de uma função ímpar é uma função par. Demonstração: Seja f uma função par e considere a função g(x) = f’(x). Sendo f uma função par, f(-x) = f(x) para todo 𝑥 ∈ ℝ. Derivando ambos os lados desta expressão, tem-se: f '(-x) = f’(x) => -f’(-x) = f’(x) => -g(-x) = g(x) ou seja, g(x) é uma função ímpar. A segunda parte da proposição é análoga. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof.Lucas S. Ribeiro 15 2.2 FUNÇÕES TRANSCENDENTES 2.2.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real “a”, tal que a > 0 e a 1, chamamos função exponencial de base “a” a função f de R em R que associa a cada “x” real o número ax. f : R R. f(x) = k ax + b, com k e b R, sendo y = b assíntota horizontal. 2.2.2 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS Considerando-se dois números “x” e “a” reais e positivos com a 1, a > 0 e x > 0, existe sempre um número “y” tal que: ay = x. A esse expoente “y” damos o nome de logaritmo de “x” na base “a” e definimos como: y = loga (x) ay = x De modo geral: y = k loga (x) + b, em que k e b R, sendo x = b assíntota vertical. Aplicações de funções exponenciais e logarítmicas: a) JURO COMPOSTO: Se a taxa de juros é de i por cento ao ano, pagável (isto é, composta) k vezes ao ano, uma quantia C de dinheiro torna-se após n anos: 1 n kiM C k . UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 16 Exemplo 1) Um homem deposita R$ 5000,00 a juros de 6% a.a. Em quanto tempo ele terá um montante de R$ 8954,24. a) se o juro é pagável anualmente; b) se o juro é pagável trimestralmente? b) CRESCIMENTO BIOLÓGICO Muitas leis de crescimento biológico são representadas pela equação to RNN , onde N é o número de indivíduos de uma população no instante t, No é o número inicial de indivíduos da população no instante zero e R > 0 é a taxa de crescimento. Exemplo 2) O número de indivíduos de uma população de bactérias no instante t é definido pela função f (t) = 30.31095t, sendo t o tempo dado em minutos. Em quanto tempo esta população chegará a 11100 bactérias? Solução a) M = 5000(1 + 0,06)t 8954,24 = 5000(1,06)t logo t 10 anos b) M = 5000(1+ 0,06/4)4t 8954,24 = 5000(1 + 0,015)4t logo t 9 anos e 9 meses Solução 11.100 = 30 (31095 t) 370 = 31095t log(370) = 1095t.log(3) 1095 t = log(370)/log(3) t 0,29 s UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 17 Exemplo 3) Certo tratamento médico consiste na aplicação, no paciente, de uma determinada substância. A quantidade Q da substância que permanece no paciente, t horas após a aplicação, é dada, em miligramas, por tQ 1,01250 . Determine: (1,0 ponto) a) A quantidade de substância em mg aplicada ao doente; Q(0) = 250 mg b) A quantidade de substância em mg que permanece no paciente após 8 h. Q(8) = 3,017 mg 2.2.3 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Definição (Função Trigonométrica): Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chama-se de função seno ou função cosseno a função que associa a cada 𝑥 ∈ ℝ uma única imagem chamada f(x) e indica-se por: f(x) = sen(x) ou f(x) = cos(x). com D = ℝ e Im = [-1 , 1]. Genericamente escreve-se: f(x) = a sen(bx + c) + d ou f(x) = a cos(bx + c) + d A função é periódica e o período é b P 2 b => é a frequência da função d => é o deslocamento vertical c => é o deslocamento horizontal UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 18 Exemplo1) f(x) = 2sen(x) + 1 D = R; A = 2; im = [-1, 3] Exemplo 2) )cos( )()( x xsenxtgy ZkkxRxD ,2/ e im = ℝ período = Exemplo 3) cos( )( ) ( ) xy cotg x sen x / ,D x R x k k Z e im = ℝ período = UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 19 Exemplo 4) 1sec( ) cos( )y x x período = π ZkkxRxD ,2/ e im = ሿ െ ∞, 1ሿ ∪ ሾ1, ∞ሾ Exemplo 5) 1cossec( ) s ( )y x en x período = π ZkkxRxD ,2/ e im = ሿ െ ∞, 1ሿ ∪ ሾ1, ∞ሾ UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 20 Aplicações de funções trigonométricas: Exemplo1) Exemplo 2) Exemplo 3) Conforme mostra a figura em anexo, uma câmera é montada em um ponto a 900 da base de um foguete. Quando lançado, o foguete sobe verticalmente e o ângulo de elevação da câmera é constantemente ajustado para seguir a base dele. a) Expresse a altura como uma função do ângulo de elevação. x = 900tg() b) Determine o domínio e a imagem da função. c) Calcule a altura do foguete quando seu ângulo de elevação for /3. x = 1558,84m UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 21 Exemplo 1) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y = 2x + 4. Solução: Neste caso não há nenhuma restrição para a variável x, que é a variável independente, portanto: D = {x R / x = R} ou D = R Im = {y R / y = R} ou Im = R Exemplo 2) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 2 1 xy . Solução: Aqui temos uma função racional, isto é, a variável independente está no denominador. A restrição que temos é que: x + 2 0 => x -2 D = {x R / x -2} ou D = R – {2} Im = {y R / y = R*} Exemplo 3) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 42 xy . Solução: Neste caso, temos uma função irracional, isto é, a variável está no radicando. A restrição é que: 2x – 4 0 => x 2 D = { x R / x 2} ou D = [2 , ) Im = {y R / y 0} ou Im = [0 , ) UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 22 Exemplo 4) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y² = x + 5. Solução: Aqui temos que: 5 xy x + 5 0 => x -5 D = { x R / x -5} ou D = [-5 , ) Im = {y R / y = R} ou Im = R ou Im = (- , ) EXERCÍCIOS 1) Analise as seguintes funções determinando o domínio, a imagem e esboço do gráfico. a) y = 8 5x b) y = x2 16 c) y = x x2 5 4 d) y = 5x 1 2 e) x xf 2)( f) 82 1)( 2 xxf g) f(x) = 6 – 5x + x² h) y = ex + 1 i) f(x) = 2sen(x) j) f(x) = sen(2x) k) y = 3cos(x) l) f(x) = cos(3x) UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 23 2.2.4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS: Certas combinações de ex e e-x aparecem frequentemente em aplicações da matemática que recebem nomes especiais. Três destas funções são: seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica. Os valores destas funções estão relacionados com as coordenadas dos pontos de uma hipérbole equilátera. E vale salientar que estas funções não são periódicas. Deve-se lembrar que as equações paramétricas cos( )( ) x t y sen t , com 𝑡 ∈ ሾ0 , 2𝜋ሿ, representam um círculo de raio unitário x² + y² = 1, pois x² + y² = cos²(t) + sen²(t) = 1. Analogamente, as equações cosh( )( ) x t y senh t , com 𝑡 ∈ ሿ െ ∞ , ∞ሾ, representam uma parte (metade direita) da curva x² – y² = 1 chamada hipérbole equilátera unitária. Esta é a razão pela qual estas funções são chamadas de funções hiperbólicas. Função Cosseno Hiperbólico: definida por cosh( ) 2 x xeey x , onde o D = ℝ e Im = [1, +[. Função Seno Hiperbólico: definida por ( ) 2 x xe ey senh x , onde o D = ℝ e Im = R. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 24 OBSERVAÇÃO: Relação entre as funções exponenciais, com base e, e as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico. 2 xey ; 2 xey e y = senh(x); 2 xey ; 2 xey e y = cosh(x); Função tangente hiperbólica: definida por ( ) x x x x e ey tgh x e e , onde D = ℝ e Im = ]-1, 1[. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 25 Função Cotangente Hiperbólica: definida por cot ( ) x x x x e ey gh x e e , onde D = ℝ * e Im = ]-, -1[ ]1, +[. Função Secante Hiperbólica: definida por 2sec ( ) x xy h x e e , onde D = ℝ e Im = ]0, 1]. Função Cossecante Hiperbólica: definida por 2cossec ( ) x xy h x e e , onde D = ℝ * e Im = ]-, 0[ ]0, +[. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 26 Identidades das funções hiperbólicas: i) cosh²(x) – senh²(x) = 1 ii) senh(x) + cosh(x) = ex iii) cosh(x) – senh(x) = e-x iv) 1 – tgh2(x) = sech2(x) v) 1 – cotgh2(x) = cossech2(x) vi) senh (x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y) vii) cosh (x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y) viii) senh(2x) = 2senh(x) cosh(x) ix) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x) x) 2 1)2cosh()(2 xxsenh xi) 2 1)2cosh()(cosh 2 xx Aplicações das funções hiperbólicas: As funções hiperbólicas surgem em movimentos vibratórios, dentro de sólidos elásticos, e mais genericamente, em muitos problemas nos quais a energia mecânica é gradualmente absorvida pelo meio ambiente. Elas também ocorrem quando um cabo flexível e homogêneo é suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes. Tais cabos formam uma curva chamada catenária (em latim, catena significa “cadeia ou corrente”). O CABO SUSPENSO Um cabo flexível homogêneo é suspenso por suas extremidades em dois pontos de altura igual e a única força atuando sobre ele é seu próprio peso. É claro que o cabo descreve uma curva, como mostra a figura abaixo, obtida no site: http://teachers.sduhsd.k12.ca.us/Activities/Matching/answers/Catenary.htm. Qual a equação desta curva? UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 27 Galileu (1564-1642) achava que era uma parábola. Jungius, em 1669, argumenta que Galileu estava errado. Mas só em 1691 é que Leibniz, Huyghens e Johann Bernoulli dão sua equação, respondendo a um desafio colocado por Jacob Bernoulli. Leibniz a chama de catenária (do latim catena que quer dizer corrente). A catena´ria, que e´ a curva descrita pelo cabo suspenso, e´ enta˜o o gra´fico do cosseno hiperbo´lico: ( ) cosh xf x a b a a onde Ha g e sendo a densidade de massa do cabo; g a aceleração da gravidade e H é a tensão no ponto mais baixo da curva. Alguns exemplos da “natureza” GRÁVIDA OVO UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 28 TEIA DE ARANHA Aplicações da curva catenária para Física e Engenharia: Ponte Hercílio Luz, Florianópolis, Brasil TÚNEIS UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 29 LÂMPADAS IOGURTES E FERMENTOS FUNDOS DE LATAS UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 30 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES Função Injetora Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, dois elementos distintos quaisquer do domínio de f possuem imagens distintas em B. Sendo x1 A e x2 A, temos: x1 x2, f(x1) f(x2). Função Sobrejetora Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B, onde B é CD(f ). Função Bijetora Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, é injetora e sobrejetora. Reconhecimento de função injetora, sobrejetora ou bijetora através do gráfico Devemos analisar o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x, conduzidas por cada ponto (0, y) em que y B (contradomínio de f) 1º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então a função é injetora. Exemplo 5) f: R R b) f: R+ R f(x) = x f(x) = x2 2º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos, então a função é sobrejetora. Exemplo 6) f: R R b) f: R R+ f(x) = x -1 f(x) = x2 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 31 3º) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a função é bijetora. Exemplo 7) f: R R b) f: R R f(x) = 2x f(x) = x3 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 32 2.3 FUNÇÃO INVERSA Seja uma função f bijetora, isto é, injetora e sobrejetora simultaneamente. A sua inversa denotada por existe se o ponto (a , b) estiver no gráfico de f e o ponto (b , a) estiver no gráfico de . Os ponto (a , b) e (b , a) são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, os gráficos de f e são simétricos em relação à reta bissetriz y = x, e então o domínio de f torna- se a imagem de e a imagem de f torna-se o domínio de . MODO PRÁTICO: Para obtermos a inversa procedemos da seguinte forma: a) trocamos x por yna função f ; b) isolamos y. IMPORTANTE: Função inversa não é inverso da função, isto é: . Exemplo 8) Determinar a função inversa de f(x) = senh(x). )()( ysenhxxsenharcy 22 yyyy eexeesenhyx 2x = ey – e-y => 2x – ey + e-y = 0 ( ey) e2y – 2xey –1 = 0 => 2 )1.(1.4)2(2 2 xxe y 1xxe 2y 1xxe 2y => )1xx(lneln 2y )()1(ln 12 xfxxy UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 33 Exemplo 9) Seja y = 2x + 3. Determine a sua inversa, se existir. x = 2y + 3 2 31 xy logo 2 3)(1 xxf Gráficos de outras inversas Funções Trigonométricas Inversas y = sen(x) f -1(x) = arcsen(x) 2,2 D e im = [-1 , 1] 2,2 im e D = [-1 , 1] y = x f f -1 3 xy y = x3 y = log(x) y = 10x UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 34 y = sen(x) f-1(x) = arcsen(x) 2,2 D e im = [-1 , 1] im = R e D = [-1 , 1] y = tg(x) f -1(x) = arctg(x) 2,2 D e im = ]- , [ D = ]- , [ e 2,2 im UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 35 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS Função Arg Seno Hiperbólico: é definida por y = argsenh(x) = )1(ln 2 xx , onde o D = R e a Im = R. Função Arg Cosseno Hiperbólico: é definida por y = argcosh(x) = )1(ln 2 xx , onde o D = [1, [ e a Im = [0, [. Função Arg Tangente Hiperbólica: é definida por y = argtgh(x) = x x 1 1ln , onde o D = ]-1, 1[ e a Im = R. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 36 Função Arg Cotangente Hiperbólica: é definida por y = argcotgh(x) = 1 1ln x x , onde D = ]-, -1[ ou ]1, [ e a Im = R-{0} Função Arg secante Hiperbólica: é definida por y = argsech(x) = x x 211ln , onde D = ]0, 1[ e a Im = R Função Arg cossecante Hiperbólica: é definida por y = argcossech(x) = || 11ln 2 x x , onde D = R* e a Im = R* UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 37 2.4 FUNÇÃO COMPOSTA Existem muitas situações em que uma função depende de uma variável que, por sua vez, depende de outra, e assim por diante. Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de monóxido de carbono na atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros que trafega por ela, porém a quantidade de carros varia com o tempo. Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo. Na linguagem de função dizemos que: a concentração de monóxido de carbono na atmosfera é uma função da quantidade de carros, a quantidade de carros é uma função do tempo e, portanto, a concentração de monóxido de carbono na atmosfera é uma função do tempo. Dessa maneira, a concentração de monóxido de carbono na atmosfera, como função do tempo, é uma função composta. Nessas situações, compondo-se as funções de modo apropriado, podemos expressar a quantidade original como função da última variável. Definição: Sejam g: A B e f: Im(g) C. Definimos a composta de f com g e denotamos por f g , à função dada por ( ) ( )f g x f g x . A função ( ) ( )h x f g x é, então, denominada função composta de f com g, aplicada em x . UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 38 Exemplo 1) Se vaza óleo de um navio tanque, a área da superfície do óleo aumenta com o tempo. Supondo que o óleo se espalha formando sempre um círculo perfeito, a área de superfície do óleo é função de seu raio r. A = π r2 = f(r) Como o raio aumenta à medida que mais óleo vaza, o raio também é uma função do tempo t. Vamos então supor que que o raio seja dado pela função: r = t + 2 = g(t) Então, a área de superfície do óleo pode ser escrita como função do tempo pela substituição de r = t + 2 na expressão da área A = π r2. A = f(t + 2) = π (t + 2)2 Neste caso estamos pensando em A como uma “função composta” ou uma “função de uma função” que é escrito como: 2 2 2 g(t) (t) 2 ( ) 2 A f g t A t t IMPORTANTE: A variável independente é dita argumento da função, assim, uma função apenas da variável independente não pode der dita função composta. ( )f x x não é função composta f (x) = cos(x) não é função composta Exemplo 2) Sejam ( )f x x e g(x) = x2 – 1, determine: a) h(x) = f(g(x)) 2 2( ) 1 1h x f x x => D = [1 , +∞[ b) h(x) = g(f(x)) 2( ) 1 ( ) 1 h x g x x h x x => D = [0 , +∞[ UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 39 Exemplo 3) Vamos supor que certo organismo tenha forma esférica. Seu volume V pode ser obtido a partir de seu raio r (em mm), isto é 3r3 4)r(VV mm3. Suponhamos, ainda, que o raio varie com o tempo (em s) e que a relação entre r e t seja dada por r = r(t) = 0,02t2. Então o volume V é função de t, mediante 632 t000008,03 4)t02,0(3 4)t(VV Exemplo 4) Imaginemos que uma mancha de óleo sobre uma superfície de água tenha a forma de um disco de raio r (em cm). Então, sua área A (em cm2) é função do raio, sendo dada por: A =A(r) =r2cm2 Por outro lado, considere que o raio cresça em função do tempo t (em min), obedecendo à seguinte relação r = r(t) = 15t + 0,5cm. Sem dificuldades, usando a noção de função composta, pode-se determinar a área ocupada pela mancha em função do tempo. De fato, quando t varia a partir do instante inicial (t = 0), o raio passa a crescer a partir de ro = 0,5cm. Como A = A(r) está definida para todos os valores de r 0, podemos calcular a função composta: A(t) = (15t + 0,5)2cm2 Exemplo 5) Dadas as funções f(x) = 4x – a e g(x) = 3x + 4. Calcule o valor de a para que f(g(x)) = g(f(x)). Solução: para que f(g(x)) = g(f(x)) 4(3x + 4) – a = 3(4x – a) + 4 => a = -6 Exemplo 6) Seja f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x – 5. Calcule f -1(g(x)). Solução: Neste caso, devemos fazer a composta e depois a inversa f(g(x)) = 3(2x – 5) + 2 => f(g(x)) = 6x – 13 6 13))((1 xxgf UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 40 EXERCÍCIOS: Achar o domínio e imagem das funções e esboçar o gráfico: 1) y = 2x + 1 2) 3 92 x xy 3) xse xse xse y 24 211 13 4) 3 xy 5) 92 xy 6) 22 xxy 7) xsex xsex y 1 123 2 8) y = x2 – 3x + 2 9) 5 2 2 x xy 10) y = 2x + 1 11) 2 xy 12) y = 3cos(x) – 1 p/ 0 < x < 2 13) x2 + y2 = 4 14) 2 1 x y 15) y = x3 + 2 16) xy 3 17) x y 1 18) 62 xxy 19) 2 42 x xy 20) y = ln(x – 1) EXERCÍCIOS GERAIS 1) Ache a equação da reta que passa pelos pontos (3,4) e (-5,2) 2) Ache o ponto de intersecção das retas representadas pelas equações 3x – 4y + 6 = 0 e x – 2y – 3 = 0 3) Calcular f -1(x), de y = 2x –1 e representá-las graficamente no mesmo plano cartesiano. 4) Uma panela, contendo uma barra de gelo a –400C, é colocada sobre a chama de um fogão. Nestas condições, o gráfico abaixo nos mostra a evolução da temperatura da água em função do tempo. Pergunta-se: a) Qual é a lei que descreve essa evolução nos dois primeiros minutos? E nos oito minutos seguintes? E nos dez minutos que se seguem? b) O que significam as diferentes inclinações dos três segmentos que compõem o gráfico? UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 41 5) Os cabos de um lado de uma ponte com cargas uniformemente distribuídas tomam a forma de uma parábola. As torres de suporte dos cabos têm 60 m de altura e o intervalo entre as torres é de 600 m. O ponto mais baixo fica a 18 m do nível da ponte (conforme figura). Determine a função que descreveo comprimento (L) dos fios e determine o comprimento de um dos fios de sustentação situado a 100 m do centro da ponte. L = 22,67m 6) Na fabricação de um determinado artigo, verificou-se que o custo total foi obtido através de uma taxa fixa de R$ 4.000,00, adicionada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Determinar: a) a função que representa o custo total em relação à quantidade produzida; b) o gráfico dessa produção; c) o custo de fabricação de 15 unidades; d) quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 5.250,00. 7) Um vendedor de carros recebe um ordenado fixo calculado em 5 salários mínimos mais uma comissão de 2 salários para cada carro vendido. a) Num dado mês qual foi seu ordenado total bruto? b) No mês de abril ele recebeu 13 salários mínimos. Quantos carros ele vendeu neste mês? 8) João Carvoeiro e sua família trabalham para uma fábrica de carvão. O patrão paga R$ 0,20 por saco de carvão produzido. Toda a comida da família é comprada no armazém do patrão, e dá um total de 120,00 u.m. por mês. Quantos sacos de carvão a família terá de produzir para pagar a conta do armazém? 9) O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função de x, com x 0, cujo gráfico está representado abaixo: UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 42 Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? 10) Um homem deposita R$ 5000,00 a juros de 6% a.a. Em quanto tempo ele terá um montante de R$ 8954,24. a) se o juro é pagável anualmente; t 10 anos b) se o juro é pagável trimestralmente? t 9 anos e 9 meses Solução a) M = 5000(1 + 0,06)t 8954,24 = 5000(1,06)t logo t 10 anos b) M = 5000(1+ 0,06/4)4t 8954,24 = 5000(1 + 0,015)4t logo t 9 anos e 9 meses 11) Uma determinada população de bactérias no instante t é dado por P(t) = 3031095 t, sendo t o tempo dado em minutos. Em quanto tempo esta população chegará a 11100 bactérias? t 0,29 s 12) Nível sonoro (N) de um som é o quociente entre suas intensidades i e i0, onde i0 é a menor intensidade do som detectável pelo ouvido humano dado por N = 10 log 0i i . A unidade do nível sonoro é o decibel (dB), sendo i (W/m2) a intensidade sonora. Submetido a níveis sonoros superiores a 80 dB, o ouvido humano pode perder irrecuperavelmente a sensibilidade auditiva. No interior de um consultório dentário, os motores funcionam de forma inadequada e o nível sonoro é de 100dB. Considerando que a mínima intensidade sonora audível é i0 = 10-12 W/m2, determinar, a intensidade sonora (i). logo, i = 10-2W/m2 13) Há dois sistemas comum para medir temperatura, Celsius e Fahrenheit. A água congela a 0 ºC e a 32 ºF, e ferve a 100 ºC e 212 ºF. a) Sendo as temperaturas Celsius (Tc) e Fahrenheit (Tf) expressas como uma função linear, encontre Tc em função de Tf. 9 1605 xTC b) Qual é a temperatura na qual a leitura em Celsius e Fahrenheit é a mesma? -40º c) A temperatura normal do corpo humano é 98,6 ºF. Quanto é em ºC? TC = 37 ºC d) Esboce o gráfico de Tc versus Tf e determine o domínio e a imagem. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 98 520 400 C(x) x (litros) UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 43 14) Conforme mostra a figura em anexo, uma câmera é montada em um ponto a 900 da base de um foguete. Quando lançado, o foguete sobe verticalmente e o ângulo de elevação da câmera é constantemente ajustado para seguir a base dele. 15) O centro de gravidade de um golfinho saltador descreve uma parábola conforme o desenho. Sendo assim, determine a altura máxima atingida pelo mesmo. 3,2 m 16) Um foguete experimental é disparado do topo de uma colina, toca a extremidade superior de uma árvore, sem mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura anexa. Determine a altura máxima atingida. 17) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação: tPtP 25,04)0()( . Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à metade. R: 2 anos 18) O lucro de uma empresa é expresso pela função L(x) = 100(10 – x)(x – 2), em que x é a quantidade vendida num mês qualquer. Determine a quantidade vendida para maximizar o lucro, diga qual é o lucro máximo obtido e faça um esboço completo do gráfico. R: 1600,00 19) Uma escada está encostada numa parede vertical formando com ela um ângulo de 60°. Sabendo que o pé da escada está a uma distância de 5m da parede. Calcule o comprimento da escada. R: 5,77m a) Expresse a altura como uma função do ângulo de elevação. x = 900tg() b) Determine o domínio e a imagem da função. c) Calcule a altura do foguete quando seu ângulo de elevação for /3. x = 1558,84m UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 44 20) Combine cada função com seu gráfico correspondente: a) 5 x ; b) y = 2x5 ; c) 81xy ; d) y = 8x; e) 4 2 xy ; f) xy 8 1 21) Sejam as funções f(x) = x² + 3 e g(x) = x . Determine f(g(x)) e g(f(x)). 22) Sejam as funções f(x) = ln(x), g(x) = x e h(x) = sen(x² + 1). Determine f(g(x)) e g(f(h(x))). 23) Seja )1(2)( x xxf . Verifique se f(x + 1) = f(x) + x. 24) Seja f(x) = ln(x), verifique se: a) f(x) + f(y) = f(xy) b) )(2)(2 vfuf u vf v uf UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 45 3. LIMITE Limite é um tema que está relacionado com todos os aspectos da nossa vida. Nós temos limites tanto físicos quanto psicológicos, emocionais, etc. Matematicamente o estudo de limite de uma função é muito importante, pois, possibilita a análise de uma serie de informações sobre o comportamento do gráfico desta função, na “vizinhança” de um ponto, por exemplo. Na vida prática tem muita relevância. Por exemplo: considere o custo (y) de uma conta de energia elétrica, sendo R$ 0,40 por kw/h o custo num determinado mês. Suponha que, no mês de março, deseja-se ter uma conta de R$ 40,00 com uma tolerância de R$ 5,00 para mais ou para menos. Qual a faixa de consumo x de energia elétrica em kw para que a conta fique dentro da tolerância do custo estabelecido? Solução: x = consumo de energia em kw; y = custo final da conta de energia A função custo é: y = 0,4x com 35 < y < 45 e a < x < b f(a) = 35 => 0,4a = 35 => a = 87,5 f(b) = 45 => 0,4b = 45 => b = 112,5 Conta (y) 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Consumo (x) 87,5 90 92,5 95 97,5 ? 102,5 105 107,5 110 112,5 Pode-se observar que há uma relação direta entre a tolerância do valor da conta de energia () com a tolerância do consumo de energia elétrica (). Sendo assim, podemos escrever: seja uma tolerância > 0 (na conta y), é possível determinar uma tolerância > 0 (consumo de energia) tal que: | y – 40 | < sempre que | x – 100 | < Nota-se que à medida que x se aproxima de 100, y se aproxima de 40, ou seja, quando x tende para 100 (x 100), y tende para 40 (y 40). Simbolicamente escreve-se: 404,0lim100 xx Vemos que é possível fazer o valor de f(x) tão próximo de 40 quanto desejarmos, tornando x suficientemente próximo de 100, isto é, podemos tornar o valor absoluto da diferença entre f(x) e 40 tão pequeno quantodesejarmos, tornando o valor absoluto da diferença entre x e 100 suficientemente pequeno. x [87,5 ; 112,5] UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 46 DEFINIÇÃO: Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos, Lxf ax )(lim se para todo > 0, existe um > 0, tal que Lxf )( sempre que ax . Exemplo 1) Provar que 2)13(lim 1 x x 2)13( x sempre que 10 x 33x )1(3 x 331 x então, 2)13( x sempre que 10 x . Exemplo 2) Provar que )13(lim2 xx 7 Exemplo 3) Provar que 3 9lim 2 3 x x x 6 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 47 3.1 LIMITES LATERAIS Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o limite à direita da função f quando x tende para "a" pela direita, e escrevemos: Lxf ax )(lim isto é, todos os valores de x são sempre maiores do que "a". Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o limite à esquerda da função f quando x tende para "a" pela esquerda, e escrevemos: Lxf ax )(lim isto é, todos os valores de x são sempre menores do que "a". TEOREMA: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então: Lxf ax )(lim se e somente se: Lxfxf axax )(lim)(lim Lê-se: limite de f de x, quando x tende a a é L Exemplos 4) Verifique se existe o limite da função f(x) = x² + 1, quando x tende a 1. Solução: 1lim 2 1 xx = (1)² + 1 = 2 1lim 2 1 xx = (1)² + 1 = 2 Como 2)(lim)(lim 11 xfxf xx , logo, 21lim 2 1 xx UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 48 Exemplo 5) Verifique se existe o limite de 1,2 1,1)( xsex xsex xf , em x = 1. Solução: 1lim 1 xx = 1 + 1 = 2 x x 2lim1 = 2 – 1 = 1 Como )(lim)(lim 11 xfxf xx , Logo, existenãoxf x )(lim1 3.2 LIMITES NO INFINITO Uma função f(x) tem limite b quando x tende ao infinito positivamente, se para qualquer número positivo por pequeno que seja, é possível indicar um M positivo, tal que, para todo x que satisfaz x > M se verifica | f(x) – b | < . Isto é, MxsebxfquetalMbxf x |)(|0,0)(lim Geometricamente: Uma função f(x) tem limite b quando x tende ao infinito negativamente, se para qualquer número positivo por pequeno que seja, é possível indicar um N negativo, tal que, para todo x que satisfaz x < N se verifica | f(x) – b | < . Isto é, NxsebxfquetalNbxf x |)(|0,0)(lim Geometricamente: UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 49 Exemplo 6) Considere a função 1)( x xxf . Pelo gráfico de f(x) podemos notar que o limite é aproximadamente igual a 1. Este fato é escrito da seguinte forma 11lim x x x Solução: > 0, N < 0 tal que | f(x) – 1 | < se x < N. |1| 1 1 1 11 x x Nxse x x 1111 : 1|1| xx módulodeepropriedadPor x Como x < N, logo, 11N Se, = 0,01 => N = -101 DEFINIÇÃO: Seja f: B R uma função, B um conjunto que não é limitado superiormente (inferiormente) e L R. Dizemos que Lxfxf xx )(lim)(lim UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 50 3.3 LIMITES INFINITOS Uma função y = f(x) torna-se infinitamente grande positivamente quando x a se o valor de f(x) se torna e permanece maior do que qualquer número positivo M devidamente escolhido, por maior que seja. Isto é, ||)(0,0)(lim axquesempreMxfquetalMxfax Geometricamente: Uma função y = f(x) torna-se infinitamente grande negativamente quando x a se o valor de f(x) se torna e permanece menor do que qualquer número negativo N devidamente escolhido, por maior que seja. Isto é, ||)(0,0)(lim axquesempreNxfquetalNxfax Geometricamente: UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 51 Exemplo 7) Determine 1 2lim1 xx Solução: ||)(0,0)(lim axquesempreMxfquetalMxfax MM x xquesempreM x 22|1| |1|1 2 se = 0,01 => M = 200 0 2 11 2 1 2lim 1 xx Propriedades dos Limites P1) cc ax lim P2) ax ax lim P3) )(lim)(lim xfcxfc axax P4) )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax P5) )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf axaxax P6) )(lim )(lim )( )(lim xg xf xg xf ax ax ax P7) n ax n ax xfxf )(lim)(lim P8) n ax n ax xfxf )(lim)(lim P9) )(limlog)(loglim xfxf axbbax com f(x) > 0 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 52 3.4 CÁLCULO DE LIMITES: LIMITES INDETERMINADOS No estudo do limite de uma função é considerada uma indeterminação quando ocorrer uma das seguintes situações: 0,,1,,0 0,0 e 00. Para evitarmos (ou sairmos de) uma indeterminação de limite devemos simplificar a função. Exemplo 8) Calcule o limite de 4 168lim 2 4 x xx x . Solução: 0 0 44 16)4(8)4(lim 2 4 x indeterminação. 0444lim4 )4(lim4 168lim 4 2 4 2 4 x x x x xx xxx Exemplo 9) Calcule 4 2lim 4 x x x . Solução: 0 0 44 24lim 4 x indeterminação. 4 1 22 1 2 1lim)2)(4( 4lim2 2 4 2lim 444 xxx x x x x x xxx UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 53 Exemplo 10) Calcule 1 1lim 3 1 x x x Solução: 0 0 1 1lim 3 1 x x x indeterminação Definindo x = t6. Se x 1, então, t 1, assim: 3 2 1 1lim1 1lim 1 1lim 213 2 16 3 6 1 tt t t t t t ttt Exemplo 11) Calcule xx x x 35 52lim 2 2 Solução: xx x x 35 52lim 2 2 indeterminação Colocando x² em evidência, obtemos: 5 2 35 52 lim 2 x x x Exemplo 12) Calcule 3 21lim 3 x x x Solução: 0 0 3 21lim 3 x x x indeterminação Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado, obtemos: 22 1 )21()3( 3lim21 21 3 21lim 33 xx x x x x x xxUTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 54 EXERCÍCIOS 1) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine: a) )(lim 3 xf x = b) )(lim 3 xf x = c) )(lim3 xfx = d) f(3) = e) )(lim xf x = f) )(lim xfx = 2) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine: a) )(lim 0 xf x = b) )(lim 0 xf x = c) )(lim0 xfx = d) f(0) = e) )(lim xf x = f) )(lim xfx = 3) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine: a) )(lim 0 xf x = b) )(lim 0 xf x = c) )(lim0 xfx = d) f(0) = e) )(lim xf x = f) )(lim xfx = 4) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine: a) )(lim 4 xf x = b) )(lim 4 xf x = c) )(lim4 xfx = d) f(-4) = e) )(lim xf x = f) )(lim xfx = 5) 1,2 1,1 )( 2 xsex xsex xf )(lim1 xfx resp: ñ existe 6) 0,0 0,12)( xse xsex xf )(lim0 xfx resp: ñ existe 7) 2 4lim 2 2 x x x resp: 4 8) x x x 1 1lim 2 1 resp: 2 9) 2, 2,2)( 2 xsex xsex xf )(lim2 xfx resp: 4 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 55 10) 2 2lim 2 2 x xx x resp: -2 11) xx xx x 2 3 0lim resp: -1 12) 2 652lim 23 2 x xxx x rep: 15 13) xx xxxx x 2 234 1 252lim resp: 3 14) 832lim 241 xxxx resp: -8 15) 52 12lim 2 1 x xx x resp: 4/7 16) 4 6lim 2 2 2 x xx x resp: 5/4 17) 112lim 22 xxx resp: 18) 1 1lim 3 1 x x x resp: 3 19) 8 4lim 3 2 2 x x x resp: 1/3 20) xx x x 3 24lim 2 2 0 resp: 0 21) 64 )4( 12lim x x x resp: 22) 1 142lim 23 23 xxx xx x resp: 2 23) 12 3lim 2 x xx x resp: ½ e -½ 24) 3 1lim 3 3 x xx x resp: 1 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 56 25) xxx x x 3 3lim 2 resp: 1/2 26) )(lim xarctg x resp: /2 27) xxx 1 3 1 1lim 1 resp: 28) 1 1lim 4 3 1 x x x resp: 4/3 29) 2 33 2 1 )1( 12lim x xx x resp: 1/9 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 57 3.5 LIMITES NOTÁVEIS OU FUNDAMENTAIS Os limites fundamentais auxiliam no cálculo de limites indeterminados do tipo 0 0 , 1 e 0. I) Proposição 1)sen(lim0 x x x TEOREMA DO CONFRONTO OU SANDUÍCHE: Suponhamos que g(x) < f(x) < h(x) para qualquer x em um intervalo aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também que: Lxhxg cxcx )(lim)(lim , então, Lxfcx )(lim Para mostrarmos que a proposição I é verdadeira vamos considerar 20 x , com x = . Área OAP < área do setor OAP < área OAT Pode-se expressar as áreas em termos de da seguinte maneira: Área OAP = )sen(2 1)sen()1(2 1 2 1 hb Área do setor OAP = 2 1)1(2 1 2 1 2 r Área OAT = )(2 1)()1(2 1 2 1 tgtghb Logo, )(2 1 2 1)sen(2 1 tg multiplicando por 2, obtém-se: sen() < < tg() => )cos( )sen()sen( dividindo por sen(), obtemos: )cos( 1 )sen(1 invertendo as frações, temos: )cos()sen(1 Aplicando o limite, obtemos: 1)cos(lim1lim 00 0 tg() y 1 T x A(1,0) P cos() Q 1 sen() UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 58 Conclusão: 1)sen(lim0 De modo geral pode-se escrever: 1)( ))((lim 0)( xf xfsen xf II) Proposição 0)( ))((cos1lim 0)( xf xf xf Caso Particular: 0)cos(1lim 0 x x x Substituindo-se 1 – cos(x) = 22 2 xsen 2 2 2lim 2 2lim2 2 lim)cos(1lim 0 2 0 2 00 xsen x xsen x xsen x xsen x x xxxx 0012lim 2 2lim 00 xsen x xsen xx Finalmente: 0)cos(1lim0 x x x III) Proposição ex x x 11lim 0 IV) Proposição e x x x 11lim UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 59 V) Proposição )ln()( 1lim )( 0)( a xf a xf xf Caso Particular: )ln(1lim0 ax a x x Substituindo u = ax – 1 => ax = u + 1 ln(ax) = ln(u + 1) => x ln(a) = ln(u + 1) => )ln( )1ln( a ux se x 0, u 0, assim: )ln( )1ln(lim )ln(lim )1ln( )ln( )1ln( )ln( )1ln( )ln( )ln( )1ln(lim 1 0 0 10 a u a u a u u a u au a u u u u u u u Finalmente: )ln(1lim0 ax a x x 3.6 CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Continuidade de uma função num ponto Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto interior c do seu domínio quando: )()(lim)( )(lim)( )()( cfxfIII xfII cfI cx cx Continuidade num intervalo: Uma função y = f(x) é contínua à direita em x = a ou é contínua à esquerda em x = b, então a função é contínua no intervalo fechado x [a , b]. )()(lim)()(lim bfxfouafxf bxax UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 60 TEOREMA: Se a função f(x) não é definida para x = a e se o Lxf ax )(lim , então, a função f(x) será contínua em x = a se o valor L for atribuído à f(x) para x = a. Isto é: axseL axsexf xf , ,)()( Exemplos 16) Analise a continuidade da função 1 1)( 2 x xxf Solução: D = R – {1}. Não é definida em x = 1. 21lim1 )1()1(lim1 1lim 11 2 1 xx xx x x xxx )1()(lim1 fxfx , portanto, a função dada tem descontínua removível em x = 1. Redefinindo a função, obtemos: 1,2 1,1 1 )( 2 xse xse x x xf Exemplo 17) Analise a continuidade da função: 1,1 1,3)( xsex xsex xf Solução: Seja a R. se a > -1, temos f(a) = a + 3 33lim axax se a < -1, temos f(a) = -a + 1 11lim axax se a = -1, temos f(-1) = -1 + 3 = 2 23lim 1 xx , 21lim1 xx , logo, 2)(lim1 xfx A função dada é contínua em todos os pontos do seu domínio.UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 61 Exemplo 18) Analise a continuidade da função: 2,3 2,2 1 )( xse xse xxg Solução: D = R – {-2} 2 1lim 2 xx portanto, a função dada tem uma descontínua essencial em x = -2. UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 62 EXERCÍCIOS 1) Analise as seguintes funções, verificando a continuidade. a) 1,4 1,1)( 2 xsex xsexxf b) 2,2 2,3)( xse xsex xf c) 6 3)( 2 xxxf d) 2 1)( 2 xx xxf e) 4)( xxf f) 1 2 x xy g) x xy 1 2) Calcule os seguintes limites: a) x x x )5sen(lim0 resp: 5 b) )(cos.lim0 xecxx resp: 1 c) x x x 6senlim0 resp: 0 d) x xsen x 32lim resp: 2 3 e) )15sen( )9sen(lim 0 x x x resp: 5 3 f) )2sen( )8sen(lim 0 x x x resp: 4 g) x x x 7 )sen(lim0 resp: 0 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 63 h) 28 2cos3lim x x x resp: 2 23 i) x x x 21 3cos2lim resp: 0 j) 112lim 2x xsen x resp: 1,19 k) 30 )()(lim x xsenxtg x resp: ½ l) )ln()1ln(lim xx x resp: 0 m) 2 )2()(lim 2 x senxsen x resp: cos(2) n) x ex x x 2 1lim 2 0 resp: 3/2 o) 20 )2cos()cos(21lim x xx x resp: -1 p) )2( 1lim )( 0 xsen e xsen x resp: ½ q) )()cos( )(1lim 4 xsenx xtg x resp: 2 r) 1 1lim 55 22 1 x x x e e resp: 2/5 s) x xsenx x )(3lim 2 0 resp: -3 t) 3 )3ln()ln(lim 3 x x x resp: 1/3 u) )(cot2 0 2)(31lim x x xtg resp: e3 v) xxxxlim resp: ½ x) )()2( 52lim 0 xsenxsen xx x resp: 5 2ln UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 64 z) )( 5434lim 0 xsen xx x resp: 5 3ln4 aa) 1 16316lim 0 x x x e resp: 16 ln(3) bb) )1ln( 93lim 2 0 x x x resp: 9 ln(3) UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 65 4. DERIVADA Introdução: A reta tangente Seja f uma função contínua e P(x, f(x)) um ponto sobre a curva y = f(x). Analisaremos agora, o cálculo da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva traçada por f no ponto P. Para analisarmos esta questão, escolhemos um número pequeno x = x – xo, diferente de zero. Sobre o gráfico, marcamos o ponto Q(x+x, f(x+x)). Traçamos uma reta secante que passa pelos pontos P e Q. A inclinação desta reta é dada por: x xfxxfmPQ )()( (quociente de Newton) Vamos fixar o ponto P, e Q ao longo da curva, aproximando-se de P. Logo, x 0 (dizemos que x tende a 0). Note que a reta secante PQ se aproxima a uma posição limite. Desejamos que essa posição limite seja a reta tangente. Assim, caso a reta tangente à curva de f no ponto P exista, PQm também se aproxima do coeficiente angular desta reta: x xfxxfm x )()(lim 0 . Derivada de uma função y = f(x) num ponto em que x = x0 Considere a figura acima, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. A operação para encontrarmos a derivada de uma função chama-se diferenciação. Calculamos a derivada utilizando o conceito de limites: aplicando a fórmula: x xfxxfxf x )()(lim)(' 0 lê-se: derivada de f em relação a x. xo = valor inicial no eixo x; f(xo) = valor inicial no eixo y x = valor final no eixo x; f(x) = valor final no eixo y x = x - xo; y = f(x) - f(xo) variações de x e y UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 66 4.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E GERAL DA DERIVADA * Genericamente, a Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = xo pode ser entendida como a taxa instantânea da variação de y em relação a x no ponto (xo ; yo). * Geometricamente, a derivada de uma função f num ponto xo é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa xo. Notações para a derivada de uma função y = f(x): f'(x), fx(x), Dxf(x), y’ e dx dy Se a função é diferenciável em xo, então a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (xo , f(xo)) é: y = f’(xo)(x – xo) + f(xo) Exemplo 1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 3x2 – 12 no ponto (1 , -9). Solução: x xfxxfxf x )()(lim)(' 0 xxf xx x xxx x xxx x xxxxx x xxxxf xxx xx 6)(' )6(lim)6(lim)(6lim 12312)(63lim)123(12)(3lim)(' 00 2 0 222 0 22 0 f’(1) = 6(1) = 6 y = f’(xo)(x – xo) + f(xo) y = 6(x – 1) – 9 y = 6x - 15 UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 67 INTERPRETAÇÃO MECÂNICA DA DERIVADA Velocidade média Velocidade instantânea Aceleração média Aceleração instantânea t Sv dt ds t Sv t 0lim t va dt dv t va t 0lim 4.2 REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO Derivada da Função Constante y = k => y’ = 0 0lim' 0 x kky x Derivada da Função Identidade y = x => y’ = 1 1lim' 0 x xxxy x Derivada da Função Potência y = xn => y’ = n xn – 1 x xxxy nn x )(lim' 0 x xxxxnxxnnxxnx y xxxnxxnnxxnxxx quesetemNewtondebinômioPelo nnnnnn x nnnnnn )()(...)(2 )1( lim' )()(...)(2 )1()( : 1221 0 1221 11221 0 1221 0 )()(...)(2 )1(lim' )()(...)(2 )1( lim' nnnnn x nnnn x xnxxxnxxnnxny x xxxnxxnnxxn y Finalmente: 10 )(lim' n nn x xn x xxxy UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira Apostila de CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof. Lucas S. Ribeiro 68 Derivada do produto de uma constante por uma função Seja g(x) = k f(x) => g’(x) = k f’(x) )(')(' )()(lim)()(lim)()(lim)(' 000 xfkxg x xfxxfk x xfxxfk x xfkxxfkxg xxx Derivada da soma e diferença de funções Seja h(x) = f(x) g(x) => h’(x) = f’(x) g’(x) x xgxxg x xfxxfxh x xgxxgxfxxf x xgxfxxgxxfxh xx xx )()(lim)()(lim)(' )()()()(lim)()()()(lim)(' 00 00 Finalmente: h’(x) = f’(x) g’(x) Derivada do Produto de funções Seja f(x) = u(x)v(x)
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