Unidade 3

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS 
UIA 3 | TIPOS DE RENDAS (ANUIDADES) E ANÁLISE DE 
INVESTIMENTOS 
 
! VERSÃO PARA IMPRESSÃO 
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Este material é destinado exclusivamente aos alunos e professores do Centro Universitário IESB, contém 
informações e conteúdos protegidos e cuja divulgação é proibida por lei. O uso e/ou reprodução total ou 
parcial não autorizado deste conteúdo é proibido e está sujeito às penalidades cabíveis, civil e 
criminalmente. 
 
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SUMÁRIO 
 
Aula 13 | Desconto Composto ..................................................................................................... 4!
13.1. Introdução ...................................................................................................................................... 4!
13.2. Elementos de uma Operação de Desconto .................................................................................. 4!
13.3. Desconto Composto Racional (Por Dentro) ................................................................................ 7!
13.4. Desconto Composto Comercial (Por Fora) ............................................................................... 10!
13.5. Desconto Composto Bancário ................................................................................................... 12!
Aula 14 | Equivalência Composta de Capitais ......................................................................... 14!
14.1. Introdução ................................................................................................................................... 14!
14.2. Equivalência Composta de Capitais .......................................................................................... 14!
14.2.1. Data Focal (DF) ....................................................................................................................................................... 15!
Aula 15 | Classificação de Rendas Certas ou Anuidades ......................................................... 20!
15.1. Introdução ................................................................................................................................... 20!
15.2. Classificações das Rendas Certas ou Anuidades ...................................................................... 21!
15.3. Modelo Básico de Rendas Certas ou Anuidades ...................................................................... 22!
15.4. Modelo Básico de Amortização ................................................................................................. 26!
15.4.1. Introdução ................................................................................................................................................................ 26!
Aula 16 | Tipos de Anuidades ................................................................................................... 29!
16.1. Rendas Certas (Anuidades): Valor Atual no Modelo Básico .................................................... 29!
16.2. Rendas Certas (Anuidades) diferidas – Modelo Geral ............................................................. 31!
16.3. Rendas Certas (Anuidades) – Composta ................................................................................... 34!
16.4. Rendas Certas (Anuidades) – Perpétua .................................................................................... 34!
16.5. Rendas Certas (anuidades): Variáveis ....................................................................................... 35!
Aula 17 | Análise de Investimento (Parte 1 de 2) .................................................................... 37!
17.1. Introdução ................................................................................................................................... 37!
17.2. Métodos de Análise de Investimentos ...................................................................................... 39!
17.2.1. Payback – Método do Prazo de Retorno ....................................................................................................... 39!
17.2.2. Método do Valor Presente Líquido ................................................................................................................. 41!
Aula 18 | Análise de Investimento (Parte 2 de 2) .................................................................... 43!
18.1. Taxa Interna de Retorno (TIR) .................................................................................................... 43!
18.2. Comparação entre os Métodos VPL e TIR ................................................................................. 46!
18.3. Escolha o Método de Investimento mais Adequado ............................................................... 49!
Referências ................................................................................................................................. 50!
Glossário .................................................................................................................................... 50!
 
! !
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Aula 13 |!DESCONTO COMPOSTO 
 
Estudantes, nesta aula estudaremos os descontos compostos. Essas noções são 
essenciais para o dia a dia profissional e para o estudioso(a) da área. Boa aula! 
 
13.1.!INTRODUÇÃO 
A operação de desconto composto ocorre quando se quer resgatar determinado 
título antecipando seu vencimento. Ao aplicarmos um capital, seu vencimento é 
predeterminado e recebemos um título que comprova a operação. Esse título pode 
ser nota promissória, certificado de depósito bancário (CDB), letra de câmbio, entre outros. 
Numa operação de desconto, resgatamos o capital principal aplicado acrescido dos juros rendidos até a 
data do resgate. Em outras palavras, uma operação de desconto é aquela em que projetamos para o dia 
de hoje um valor monetário conhecido em data futura. 
As operações de descontos1 mais utilizadas no mercado financeiro são: 
•! Desconto racional2, conhecido como desconto “por dentro”; 
•! Desconto comercial, conhecido como desconto “por fora”; e 
•! Desconto bancário3. 
 
13.2.!ELEMENTOS DE UMA OPERAÇÃO DE DESCONTO 
 
O Valor Nominal (N), também chamado de valor de face de um título ou de uma 
obrigação com vencimento para data futura, corresponde ao valor monetário 
conhecido na data futura. Note que o valor nominal é análogo ao montante. 
Já o Valor Atual (A), também chamado de valor líquido ou valor descontado, 
corresponde ao valor futuro projetado para uma data anterior. Note que o valor 
descontado é análogo ao capital. 
 
Observação: Podemos definir o valor nominal4 como o valor de face de um título 
expresso nele mesmo, esse valor tende a variar na data do seu vencimento. O valor 
atual5 é o valor presente de um título numa data anterior à data do seu vencimento. 
 
! 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 Processo de resgate no qual são apurados o principal e os juros de direito do investidor correspondentes ao tempo já aplicado até 
aquela data. 
2 É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal de um título e o valor de um determinado compromisso que deve ser 
resgatado (ou saldado) n períodos antes do seu vencimento (MATHIAS; GOMES, 2011). 
3 É baseado no desconto comercial, acrescido de uma taxa (h) cobrada sobre o valor nominal. 
4 Significa quanto vale o seu compromisso na data do vencimento, numa data futura. 
5 É quanto vale o seu compromisso numa data anterior à data do vencimento. 
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5 
Analise o diagramaa seguir. 
 
Gráfico 2. Valor Nominal (N) 
 
O valor nominal de um título é uma data posterior à que estamos considerando atualmente. No 
diagrama anterior, estamos admitindo a data focal em n2, sendo assim, o valor nominal é denominado 
por N, o capital (C) é o valor aplicado e o valor atual corresponde ao valor descontado (A). 
 
Tempo (n): representa a distância na linha do tempo entre o valor nominal e o valor 
atual. É interpretado como o tempo em que se antecipa o pagamento da obrigação. 
Desconto (D): é a diferença entre o valor nominal e o valor atual. 
Dessa forma apresentamos a nossa primeira equação deste assunto: 
D N A= ! 
 
Perceba que o desconto é análogo ao juro. Lembra-se o que foi aprendido no 
desconto simples? A fórmula DNA pode e deve ser utilizada em qualquer 
modalidade de desconto. 
 
 
Taxa (i): é o elemento que vai fazer com que o valor nominal fique menor quando 
projetado para trás ao longo do tempo. É como se fosse o fermento do bolo. A taxa 
pode estar na forma percentual (isto é, por cem) ou na forma unitária. 
Vamos, então, conceituar os principais produtos existentes disponíveis no mercado financeiro: 
•! Duplicata – são papéis de crédito utilizados em transações comerciais envolvendo 
tanto pessoas jurídicas, como físicas. 
•! Nota Promissória – é um título com vencimento predeterminado, é muito comum 
em transações entre pessoas jurídicas e físicas. 
•! Letra de câmbio – são títulos emitidos ao portador por agentes financeiros credenciados 
com vencimento preestabelecido e referentes a uma determinada aplicação. 
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Assim como no estudo sobre juros, o desconto está inserido no regime simples ou no regime composto. 
Dessa forma, sempre que percebermos que estamos diante de uma operação de desconto, devemos 
estar atentos em identificar se a operação será realizada no regime simples ou composto. 
Assim, pergunta-se: Como se faz para identificar se a operação é de desconto composto? 
 
Existem duas maneiras de identificar se uma questão de desconto é composta: a 
primeira é quando o enunciado da questão revelar que se trata de desconto 
composto. A segunda maneira é quando o enunciado da questão indicar a presença 
de uma taxa nominal. Combinado!? 
Nas operações de desconto além dos regimes (simples/composto) nós devemos ter outro cuidado que é o de 
identificar a modalidade da operação que resulta das três modalidades de desconto que devemos estar atentos: 
•! desconto racional, também conhecido como desconto por dentro. 
•! desconto comercial ou por fora; 
•! desconto bancário. 
Pois bem, após a identificação de que se está diante de uma operação de desconto composto, o próximo 
passo será o de identificar a modalidade da operação de desconto. Apenas após essa identificação é que 
se pode dar início à resolução da questão de desconto. 
Mas, então, como se faz para identificar a modalidade da operação de 
desconto composto? 
No regime composto, a modalidade será revelada pelo enunciado da questão. Basicamente, o que a 
questão de desconto composto quer saber é se você sabe fazer o uso correto das fórmulas. No entanto, 
se nada for dito no enunciado e aparecer uma taxa nominal, resolve-se a questão pela modalidade de 
desconto composto simples por dentro. 
Três pontos a serem levados em consideração: 
•! Esses tipos de descontos diferenciam-se porque os elementos de referência das 
fórmulas são diferentes. 
•! Assim como na operação de juros, nas operações de desconto, taxa e tempo devem 
obrigatoriamente estar sempre na mesma unidade. Caso elas não estejam, devemos 
fazer isso usando o conceito de taxas equivalentes. 
•! Na hora de colocar a taxa na fórmula é preciso que ela esteja em sua forma unitária. 
Nossa linha do tempo pode agora ser representada da seguinte maneira: 
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Gráfico 3. Descontos 
 
13.3.!DESCONTO COMPOSTO RACIONAL (POR DENTRO) 
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal de um título 
e o valor de um determinado compromisso que deve ser resgatado 
(ou saldado) n períodos antes do seu vencimento (MATHIAS; GOMES, 
2011). O desconto racional faz a atualização do valor do desconto 
para a data atual do resgate, descontando os juros correspondentes 
ao período da antecipação. 
Numa operação de desconto racional, considera-se a taxa de juros (i) 
e o prazo de antecipação de n períodos. 
A equação fundamental do desconto composto racional (por dentro) 
é dado pela seguinte equação: 
( )niAN += 1 
Se observar bem, é fácil perceber que a fórmula para o cálculo do montante em juros compostos é a 
mesma fórmula para o desconto composto racional por dentro com as suas devidas convenções. 
Caso o enunciado da questão de desconto composto racional por dentro solicite que você encontre o valor 
atual, basta isolar o valor atual da equação acima e temos: 
( )ni
NA
+
=
1 
 
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Exemplo: Um título é descontado por $10.000,00 quatro meses antes da sua data de 
vencimento. Calcule o valor de face desse título considerando que foi aplicado um 
desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. 
Solução: 
Passo 1: Note que no enunciado da questão acima trata-se de uma antecipação de 
pagamento de um título 4 meses antes de seu vencimento. Logo de cara sabemos que 
estamos diante de uma questão de desconto. 
Passo 2: Vimos também que a matemática financeira está dividida em dois grandes 
regimes. O regime simples e o regime composto: a primeira é quando o enunciado da 
questão revelar que se trata de desconto composto. A segunda maneira é quando o 
enunciado da questão indicar a presença de uma taxa nominal. 
Passo 3: A questão agora é identificar a modalidade do desconto. Vimos que no desconto 
composto o que a questão quer saber é se você sabe aplicar a fórmula. No entanto, nada 
dito no enunciado e apareceu uma taxa nominal resolve-se a questão pela modalidade de 
desconto composto simples por dentro. No nosso exercício acima, o enunciado da 
questão revelou explicitamente a modalidade do desconto. 
Passo 4: Precisamos que a taxa e o tempo esteja na mesma unidade. No exercício acima a 
taxa e o tempo estão na mesma unidade. 
Atenção: Não podemos esquecer que para alimentar a fórmula é 
preciso transformar a taxa percentual em unitária dividindo por 100. 
Logo 3/100 = 0,03. 
Passo 5: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, 
substituindo as informações na fórmula e em seguida, fazer uma análise dos resultados 
encontrados. 
( )niAN += 1 ! 4)03,01(000.10 +=N ! 08,255.11$=N 
"#$%&$'()!"!#$%&'!(&)*($%!+,'-!.,!/01123445672 
O desconto racional ( rD ) é calculado pela fórmula a seguir: 
!" # $% & '
&
(& ) *+,
 
 
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Exemplo: Um investidor pretende quitar um título que vale R$ 8.200,00, antecipando seu 
vencimento em quatro meses. Se a taxa de juros praticada é de 15% a.a., determine o valor 
do desconto racional e o valor do resgate recebido por esse investidor. 
Resolução: 
?
$8.200,00
15% . .
4
rD
N R
i a a
n meses
=
=
=
= 
Como a taxa de juros está expressa em anos e o período em meses, é necessário 
compatibilizar as unidades de tempo. 
?
$8.200,00
15%
44
.
12
.
r
n mese
D
N R
i a a
s anos= =
=
=
=
!
Aplicação da fórmula: 
( )
( )
( )
4
12
11
1
18.200 1
1 0,15
8.200 1 0,9549
$369,59
369,59 8.200
$7.830,40
r n
r
r
r
D N
i
D
D
D R
D N A
A
A R
! "
= #$ %$ %+& '
! "
$ %= #$ %$ %+& '
= #
=
= #
= #
= !
"#$%&$'(8!9$:,)&+!;<,!&!#$%&'!.&!',+=$>,!?!&:>*.&!;<$(.&!+<:>'$@)&+!&!#$%&'!.&!.,+A&(>&!
.&! #$%&'! (&)*($%2! B(>C&5! /0! 72366566! D! /0! EFG54G!,(A&(>'$)&+! &! #$%&'! .&! ',+=$>,! .,! /0!
H27E65I62 
 
! 
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13.4.!DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL (POR FORA) 
 
O desconto composto comercial6 ou por fora caracteriza-se pela incidência 
sucessiva de taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é 
deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores 
(ASSAF NETO, 2009). 
Numa operação de desconto comercial (por fora), considera-se a taxa de juros (i) e o prazo de 
antecipação de n períodos. 
A equação fundamental do desconto composto comercial (por dentro) é dado pela seguinte equação: 
( )niNA != 1 
Caso o enunciado da questão de desconto composto racional por dentro solicite que você encontre o 
valor atual, basta isolar o valor atual da equação acima e temos: 
( )ni
AN
!
=
1 
 
 
Exemplo: Um título é descontado por $10.000,00 quatro meses antes da sua data de 
vencimento. Calcule o valor de face desse título considerando que foi aplicado um 
desconto composto comercial a uma taxa de 3% ao mês. 
Solução: 
Passo 1: Note que o enunciado da questão acima trata de uma antecipação de 
pagamento de um título 4 meses antes de seu vencimento. Logo de cara sabemos que 
estamos diante de uma questão de desconto. 
Passo 2: Lembrando que a matemática financeira está dividida em dois grandes regimes: 
o simples e o composto – o primeira é quando o enunciado da questão revela que se trata 
de desconto composto; o segundo é quando o enunciado da questão indicar a presença 
de uma taxa nominal. 
Passo 3: A questão agora é identificar a modalidade do desconto. Vimos que no desconto 
composto o que a questão quer saber é se você sabe aplicar a fórmula. No entanto, nada 
foi dito no enunciado e apareceu uma taxa nominal, então resolve-se a questão pela 
modalidade de desconto composto simples por dentro. No exercício acima, o enunciado 
da questão revelou explicitamente a modalidade do desconto, que é comercial por fora. 
Passo 4: Precisamos que a taxa e o tempo estejam na mesma unidade. No exercício acima 
a taxa e o tempo estão na mesma unidade. 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
6 Caracteriza-se pela incidência sucessiva de taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos 
descontos obtidos em períodos anteriores (ASSAF NETO, 2009). 
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Atenção: Não podemos esquecer que para alimentar a fórmula é 
preciso transformar a taxa percentual em unitária dividindo por 100. 
Logo 3/100 = 0,03. 
Passo 5: Devemos agora resolver o problema de forma organizada e estruturada, 
substituindo as informações na fórmula e em seguida, fazer uma análise dos resultados 
encontrados. 
( )ni
AN
!
=
1 ! ( )
403,01
00,000.10
!
=A
! 60,295.11$=N 
"#$%&$'()!"!#$%&'!(&)*($%!+,'-!.,!/01123G45F62 
O desconto composto comercial por fora ( cD ) é calculado pela fórmula a seguir: 
( )1 1 ncD N i! "= # #$ % 
Onde cD é desconto comercial, ( )N valor nominal taxa de juros, ( )i taxa de juros e n o 
prazo da antecipação de períodos. 
 
 
Exemplo: Um comerciante deseja quitar um determinado 
título que vale R$ 8.200,00, antecipando seu vencimento 
em seis meses. A taxa de juros é de 2% a.m. Qual o valor do 
desconto comercial composto e o valor do resgate que esse 
comerciante receberá de resgate? 
Resolução: 
Como há compatibilidade entre as unidades de tempo, 
aplica-se a fórmula sem necessidade de conversão: 
?
$8.200,00
2% . .
6
cD
N R
i a m
n meses
=
=
=
= !
Aplicação da fórmula: 
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12 
( )
( )
( )
6
6
1 1
8.200 1 1 0,02
8.200 1 0,98
$936,09
936,09 8.200
$7.263,90
n
c
r
r
r
D N i
D
D
D R
D N A
A
A R
! "= # #$ %
! "= # #$ %
! "= #$ %
=
= #
= #
= !
"#$%&$'(8!9$:,)&+!;<,!&!#$%&'!.&!',+=$>,!?!&:>*.&!;<$(.&!+<:>'$@)&+!&!#$%&'!.&!.,+A&(>&!
.&!#$%&'!(&)*($%5!>,)&+5!,(>C&5!/0!72366566!D!/0!GEF56G!,!,(A&(>'$)&+!&!#$%&'!.&!',+=$>,!
.,!/0!H23FE5G62 
 
 
Aprenda um pouco mais sobre desconto comercial composto 
assistindo à videoaula disponível no link a seguir. 
http://tinyurl.com/glzgm5j 
 
13.5.!DESCONTO COMPOSTO BANCÁRIO 
A operação de desconto bancário baseia-se no desconto comercial, com o 
acréscimo de uma taxa (h) que incide sobre o valor nominal. Calculamos o 
valor do desconto bancário utilizando a fórmula abaixo: 
b cD D Nh= + !
Onde: 
(-.) = Desconto bancário 
(-/) = Desconto composto comercial (por fora) 
(0) = Valor nominal 
(1) = Taxa de juros 
(2) = Taxa administrativa cobrada pela instituição financeira 
(3+ #%Prazo de antecipação de períodos, considerando a taxa administrativa cobrada pela 
instituição financeira. 
 
! 
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Exemplo: Um comerciante deseja quitar um título que vale R$ 8.200,00 antecipando o seu 
vencimento em 6 meses. Sabe-se que a taxa de juros é de 2% a.m. e a taxa administrativa 
cobrada pelo banco é de 2%, calcule o valor do desconto composto bancário e o valor do 
resgate que o comerciante receberá de resgate. 
 
Resolução: 
?
$8.200,00
2% . .
6
2%
$936,09c
Db
N R
i a m
n meses
h
D R
=
=
=
=
=
= !
Aplicando a fórmula: 
cDb D Nh= + !
936,09 8.200,00 0,02 $1.100,09
1.100,09 8.200,00 $7.099,91
b b
b
D D R
D N A A A R
= + ! " =
= # " = # " = 
"#$%&$'(8!9<:>'$*(.&!&!#$%&'!.&!.,+A&(>&!.,!/0!1266656G!.&!#$%&'!(&)*($%!/0!723665665!&!
A&),'A*$(>,!',A,:,'-!J,%&!',+=$>,!&!#$%&'!.,!/0!H26GG5G12 
 
 
Assista à curta entrevista de Alexandre Assaf Neto, um dos grandes 
autores de livros sobre Matemática Financeira citados neste material, na 
XXI Bienal Internacional do Livro de São Paulo em 2010. Confira através 
do link a seguir. 
http://tinyurl.com/l3tof8u 
 
Os conceitos apreendidos aqui têm grande valia para a formação nessa área. Continue estudando! 
! 
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14 
Aula 14 |!EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS 
 
Caro(a) estudante, os conceitos apreendidos aqui têm grande valia para a 
formação nessa área. Continue estudando! 
 
14.1.!INTRODUÇÃO 
É muito comum em operações financeiras a necessidade de mudar a 
forma original de pagamento de uma obrigação. Pode ser porque se 
deseja antecipar ou até mesmo prorrogar o pagamento de uma dívida. 
Outras vezes, deseja-se mudar a forma de pagar uma dívida contraída. 
Pode acontecer também de uma pessoa necessitar substituir o pagamento de vários títulos em um único 
título ou vice-versa. 
Segundo Mathias e Gomes (2011, p. 132), “[...]é frequente a necessidade de antecipar ou de prorrogar 
títulos nas operações financeiras. Às vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. 
Podemos também ter vários títulos que queremos substituir por um único ou por vários”. Ainda de 
acordo com os autores, tais questões dizem respeito à comparação de valores diferentes referidos a datas 
diferentes, considerando uma dada taxa de juros. 
 
14.2.!EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS 
 
Segundo Penido (2007, p. 110), “dois ou mais capitais, resgatáveis em datas 
distintas, serão equivalentes se, levados para uma determinada data focal à 
mesma taxa de juros, resultarem em valores iguais”. 
Assim como no regime simples, estaremos diante de uma operação de equivalência de capitais quando: 
•! Houver duas formas diferentes de quitar uma mesma obrigação; e 
•! Quando estivermos em uma situação de empréstimo. 
Exemplo: Suponha que eu tenha comprado uma smart TV e tenha me comprometido a 
pagá-la da seguinte maneira: uma parcela no valor de R$ 1.000,00, a vencer daqui a 30 
dias, e outra parcela no valor de R$ 2.000,00 daqui a 60 dias. Infelizmente, estousem 
dinheiro no momento. Assim, preciso mudar a forma originalmente acordada de 
pagamento. Eu proponho pagar a minha dívida de uma maneira diferente, posso pagar 
em duas parcelas de mesmo valor a vencer daqui a 90 e 120 dias. Assuma na operação a 
taxa de juros compostos de 10% ao mês e calcule o valor das novas parcelas. 
! 
Fonte: http://tinyurl.com/jt9cgxx 
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15 
Vamos visualizar abaixo graficamente essa situação. 
 
Vocês perceberam que eu comprei uma smart TV e combinei de pagar de uma maneira, mas devido a um 
imprevisto, tive que propor outra forma de pagamento? Pois é, toda vez que estivermos diante de uma 
situação de empréstimo e houver uma mudança da forma de pagamento originalmente contratada, 
estaremos diante de uma operação de equivalência de capitais. 
Em outras palavras, uma operação de equivalência de capitais serve para que eu, 
devedor, não saia perdendo e para que o meu credor também não. Dessa forma, 
precisamos garantir que a nova forma de pagamento proposta seja equivalente à 
primeira, por isso o nome equivalência de capitais. 
 
14.2.1.!DATA FOCAL (DF) 
 
Segundo Penido (2007, p. 50), “data focal é a data que se considera como base 
de comparação dos valores referidos a datas diferentes, ou seja, é a data para 
onde serão transportados os valores de entrada e saída de dinheiro como o 
objetivo de avaliação”. A data focal pode ser chamada também de data de 
avaliação ou data de referência. Em outras palavras, a data focal nada mais é que 
uma data de referência (comparação), para a qual iremos projetar todas as 
parcelas do desenho, por meio de operações de desconto composto racional. 
 
Mas como eu devo utilizar a data focal? 
Diferente do que aprendemos na equivalência simples de capitas, no regime 
composto você tem a liberdade para escolher a data focal que preferir. Eu sempre 
sugiro aos meus estudantes escolherem a data focal mais à direita possível do 
desenho (gráfico), pois assim, você utiliza uma única fórmula na hora de 
transportar os valores para a data focal. 
 
 
Exemplo: Pedro comprou hoje o novo iPhone 6S, e combinou de pagar por ele da 
seguinte maneira: uma parcela no valor de R$ 1.000,00 daqui a 30 dias e mais outra parcela 
no valor de R$ 2.000,00, 60 dias após a compra. Devido a grave crise financeira em que 
estamos vivendo, Pedro não possui dinheiro suficiente para quitar a sua dívida com a loja 
onde ele comprou o celular. Como ele não tem a intenção de dar um calote na empresa, 
Pedro solicitou alterar a forma de pagamento originalmente combinada. A nova proposta 
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16 
de pagamento de Pedro é a seguinte: ele se propõe a pagar duas parcelas iguais e de 
mesmo valor, uma a noventa e outra a cento e vinte dias após a data da compra. Vamos 
considerar uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Para que o credor e o devedor 
não saiam perdendo nessa transação, calcule o valor das novas prestações. 
 
Resolução: 
Passo 1: Temos que identificar o assunto que se refere a 
questão. Logo de cara identificamos que se trata de uma 
operação composta de capital. O enunciado foi direto e 
nos revelou duas formas diferentes de pagar uma 
obrigação com vencimento futuro por meio de juros 
compostos. Trata-se de uma operação de equivalência 
composta de capitais. 
Passo 2: Faça o desenho (gráfico) da questão. É muito útil e facilita muito a compreensão 
e a resolução do exercício. O desenho nada mais é que a linha do tempo com as 
respectivas informações do enunciado da questão. É importante que você faça o retrato 
fiel do problema. No nosso caso o desenho fica assim: 
 
 
Passo 3: Nesse mesmo gráfico, é necessário identificar o que é a primeira forma de 
pagamento originalmente acordada (I) e o que é a nova forma de pagamento, que 
chamaremos de segunda forma de pagamento (II), para que possamos definir as parcelas 
que deverão ser equivalentes. 
 
 
Passo 4: Devemos sempre satisfazer essa exigência da matemática financeira de que taxa 
e tempo devem sempre estar na mesma unidade. No exercício acima, a taxa fornecida é 
mensal (10% a.m.) e o tempo está em dias (30, 60, 90 e 120). Sabemos que 30 dias é igual a 
1 mês, 60 dias igual a 2 meses, 90 dias igual a 3 meses e 120 dias igual a 4 meses. Logo 
podemos representar o nosso desenho da seguinte maneira: 
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17 
 
 
Passo 5: Aqui vem o primeiro facilitador porque na equivalência composta utilizaremos 
sempre a modalidade de desconto composto racional (por dentro). 
Passo 6: Temos que identificar a data focal, ou seja, temos que definir a data que servirá 
de referência para a qual todas as parcelas do desenho serão projetadas via operações de 
desconto. Temos agora o nosso segundo facilitador. Na equivalência composta de capitais 
você é livre para decidir a data focal a ser adotada. É sempre recomendável que se utilize a 
data focal mais à direita do seu desenho (gráfico). Isso facilita no sentido de que você só 
precisa usar uma única fórmula. 
 
Passo 7: A partir de agora podemos dar início à resolução efetiva da questão. Precisamos 
projetar todas as parcelas do desenho para a data focal por meio de operações de 
desconto composto racional (por dentro). 
 
Iniciaremos transportando o valor de R$ 1.000,00 para a data focal. Mas atenção, tenha 
muito cuidado a um erro muito comum. Observem que a distância da primeira parcela e a 
data focal é de 3 meses e não de 4 meses. A letra E é a incógnita que estamos interessados. 
Ela é utilizada apenas para fins didáticos. Poderia ser qualquer letra do alfabeto. 
 
 
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18 
( ) 3)10,01(10001 +=!+= NiAN n ! 00,1331=N , para fins didáticos escreveremos 
$1.331,00E = . 
 
 
( ) 2)10,01(20001 +=!+= NiAN n ! 00,2420=N , para fins didáticos escreveremos 
 $ 2.420,00F R= . 
 
 
( ) 1)10,01(1 +=!+= XNiAN n ! XN 10,1= , para fins didáticos escreveremos G = 
R$ 2.420,00. 
 
 
A última parcela já está sobre a data focal, logo, o valor da última parcela é o próprio X. 
Portanto, H = X. 
Passo 8: Chegamos então ao último passo. A partir de agora iremos aplicar a fórmula de 
equivalência de capitais. 
( ) ( )DfDf !!"=!" 
Essa equação nos diz que o somatório das parcelas referentes à primeira obrigação após 
serem projetadas para a data focal, devem ser igual à soma das parcelas da segunda 
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obrigação transportadas para a data focal. 
Logo temos: 
( ) ( )DfDf !!"=!" 
 E F G H+ = + 
1.331 2.420 1,10X X+ = + ! 3.751 2,10X= ! X = 3.751
2,10
! X =1.786,19 
Resposta: 
K&'>$(>&5! K,.'&!.,#,'-!J$=$'!.<$+!J$'A,%$+!(&! #$%&'!.,!/0!12H7F51G!(&! >,'A,*'&!,!;<$'>&!
)L+!',+J,A>*#$),(>,2 
 
Viram como é fácil? Basta apenas seguir o passo a passo acima e você estará apto a 
resolver qualquer questão de equivalência composta de capitais. 
 
 
Veja alguns exercícios resolvidos de equivalência composta de capitais 
e aprenda mais acessando o link a seguir. 
http://tinyurl.com/gpozjgv 
 
Para tirar a prova, eu convido você a resolver a seguinte questão abaixo, seguindo 
os passos descritos acima. 
 
 
Exemplo: Joãozinho acaba de fazer uma dívida com o Banco G. A primeira parcela que 
Joãozinho deverá pagar será no valor de R$ 2.000,00 com vencimento para daqui a seis 
meses. A segunda parcela vencerá daqui a dois anos no valor de R$ 4.400,00 e a taxa de 
juros será de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente. Suponha agora que Joãozinho 
conseguiu um novo emprego com um bom salário e ele deseja substituir a sua dívida 
antiga por uma nova pagandouma única parcela a vencer daqui um ano e meio. Para que 
o banco credor não saia perdendo e Joãozinho tampouco, de quanto será o valor dessa 
parcela? 
 
"#$%&$'()!M!N!/0F2I315HF 
 
 
Aprenda mais sobre equivalência composta de capitais assistindo à 
excelente videoaula do curso de Matemática da Universidade Estadual 
da Bahia, disponível no link a seguir. 
http://tinyurl.com/hqpy99u 
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Ficou com alguma dúvida? Retorne ao conteúdo ou busque esclarecimentos no Fórum de Dúvidas. Senão, 
passe para a unidade seguinte. Até lá. 
 
Aula 15 |!CLASSIFICAÇÃO DE RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 
 
Olá, estudante, veremos aqui os tipos de rendas e análise de investimentos. Boa aula! 
 
15.1.!INTRODUÇÃO 
Vimos que a Matemática está dividida em dois grandes blocos. Então, antes 
de iniciarmos a resolução de qualquer problema de Matemática Financeira, 
devemos identificar o regime da operação. Aprendemos também que, 
quando nos deparamos com uma única parcela e o nosso desejo é projetá-la 
para uma data posterior, realizamos uma operação de juros. Entretanto, 
vimos que, quando temos uma única parcela numa data posterior e 
desejámos projetá-la para uma data anterior, estamos diante de uma 
operação de desconto. 
O capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de sucessão de pagamentos ou 
recebimentos. Como foi visto anteriormente, quando o objetivo é constituir um capital em uma data 
futura, tem-se o processo de capitalização; caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se o 
processo de amortização (MATHIAS; GOMES, 2011). 
Esses processos caracterizam dois tipos de rendas ou anuidades: rendas certas 
ou determinísticas e rendas aleatórias ou probabilísticas. As rendas certas ou 
determinísticas são aquelas cujos pagamentos e a duração são 
predeterminados, não dependendo de condições externas. São as séries de 
recebimentos ou pagamentos estudados em Matemática Financeira. Os 
exemplos disso podem ser os empréstimos pessoais, financiamentos de imóveis 
ou de veículos, utilização do cartão de crédito, pagamento de aluguéis, etc. 
As rendas aleatórias ou probabilísticas são as séries de recebimentos ou pagamentos cujos valores ou 
datas podem acontecer de forma aleatória. Para tratar desse assunto, foi criada a ciência chamada 
Atuarial. Como exemplo, temos os seguros de vida, seguros de veículos, planos de saúde, planos de 
previdência, etc. 
Nesta UIA, iremos estudar os modelos que auxiliam o processo de capitalização 
e/ou amortização através do uso de rendas certas ou anuidades. Estudaremos 
também conceitos, técnicas e aplicações relacionados à análise de investimentos 
como ferramenta na tomada de decisões em diversos projetos ou investimentos no 
mercado de capitais. 
! 
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21 
15.2.!CLASSIFICAÇÕES DAS RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 
Para iniciar a definição de rendas certas ou anuidades, observe a seguinte série de capitais no Gráfico 1. 
 
Gráfico 1: Série de capitais 
 
No gráfico, P representa o valor de cada uma das parcelas (P) e são também denominados de termos. O 
intervalo de tempo entre dois termos é chamado de períodos (t). E a soma dos períodos define a duração 
das rendas certas (anuidades). 
Por sua vez, as anuidades podem ser classificadas da seguinte forma (MATHIAS; GOMES, 2011): 
a.! Quanto ao prazo: 
Temporárias: com duração limitada. 
Perpétuas: com duração ilimitada. 
b.! Quanto ao valor dos termos: 
Constante: quando os termos são iguais. 
Variável: quando os termos não são iguais entre si. 
c.! Quanto à forma de pagamento ou recebimento da renda: 
Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. 
Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o 
primeiro período. 
 
A forma imediata ou diferida de pagamento ou recebimento (termo) pode sofrer 
uma derivação ao interpretar se o evento ocorre no início ou no final dos períodos. 
Assim, se os termos forem exigidos no final de cada período, denomina-se que a renda 
é postecipada (ou vencida), e, se forem exigidos no início de cada período, denomina-
se que a renda é antecipada. Dessa forma podemos ter a seguintes combinações: 
Pagamento ou Recebimento Ocorrência no período 
Imediatas 
Postecipada (ou vencida) 
Antecipada 
Diferidas Postecipada (ou vencida) 
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Antecipada 
d.! Quanto a periodicidade: 
Periódica: se todos os períodos são iguais. 
Não periódica: se os períodos não são iguais entre si. 
O Gráfico 2 apresenta o encadeamento para a classificação das anuidades. 
 
Gráfico 2: Quadro resumo da classificação de rendas certas (anuidades) 
Fonte: Mathias e Gomes (2011) 
 
15.3.!MODELO BÁSICO DE RENDAS CERTAS OU ANUIDADES 
Se, em vez de projetarmos uma única parcela conhecida na data de 
hoje para uma data posterior, estivermos interessados em transportar 
uma série de pagamentos para uma data posterior, estaremos diante 
de uma operação de rendas certas ou anuidades. 
Mas então, como eu saberei que estou diante de 
uma operação de rendas certas ou anuidades? 
Muito fácil! 
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Toda vez que você estiver diante de uma série de pagamentos de mesmo valor (constantes) desejando 
projetá-las todas para uma única data no futuro, dispostas em intervalos de tempos idênticos 
(periódicas), e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos estaremos diante de uma operação de 
rendas certas (anuidades). Perceberam juros compostos? Querem saber por quê? Porque rendas certas 
ou anuidades só existem no regime composto. 
Em suma, admitem-se como modelo básico de rendas certas ou anuidades os pagamentos ou 
recebimentos que possuem simultaneamente as características: periódicas (mesmo intervalo de tempo), 
temporárias (duração limitada), constantes (parcelas de mesmo valor), imediatas (não há período de 
carência) e taxa de juros compostos referidos ao mesmo período de tempo. 
Assim, podemos fazer o nosso desenho da seguinte forma: 
 
Gráfico 3: Montante no modelo básico 
 
Vamos chamar esse gráfico de modelo básico das rendas certas. Memorize-o! Vai 
ser útil mais adiante. 
Diz-se que o montante de uma anuidade é a soma dos valores capitalizados dos seus termos (P’s), para 
uma mesma data focal futura à mesma taxa de juros compostos. 
Dessa forma, conforme se pode observar no gráfico acima, as rendas são capitalizadas para a data focal 
45. O valor de T representa a soma dos montantes de cada um dos termos a uma taxa de juros compostos 
6 considerada para os respectivos períodos. Assim, podem se somar essas rendas na data focal 45 da 
seguinte forma: 
7 # 8% & ) 1 9 ) 8% & ) 1 : ) 8% & ) 1 ; ) %<) 8% & ) 1 =>:% 
Logo: 
7 # %8% & ) 1 9 ) 8% & ) 1 : ) 8% & ) 1 ; ) %<) %8% & ) 1 =>:% 
Vamos considerar agora que: 
?=@A # & ) 8(& ) 1+: ) 8(& ) 1+; ) B) 8(& ) 1+=>: 
Temos que o valor de ?=@A pode ser obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica7. Assim, 
a aplicando-se a progressão geométrica aos termos para uma razão :
(:CA+
, obtemos os seguinte 
resultados: 
D=@A #
& ) 1 = ' &
1
 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
7 Progressão geométrica é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por 
uma constante. 
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Assim, obtivemos o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Dessa maneira, 
podemos agora escrever a equação das rendas certas: 
7 # 8E?=@A 
Onde: 
T = é o valor de resgate de todas as parcelas das rendas certasna data da última parcela. 
Cuidado. A data em que o T aparece é sempre a data da última parcela. Não se esqueça 
disso. Olhar o gráfico montante no modelo básico para uma melhor visualização. 
P = É o valor das parcelas individuais. 
F5@6 = É o fator de rendas certas chamado de fator de acumulação de capital de uma série 
de pagamentos. 
n = representa o número de parcelas da operação. 
i = taxa de juros compostos. 
Observação 1: Não podemos esquecer jamais que taxa e tempo caminham juntas; logo, taxa e tempo 
devem sempre estar na mesma unidade que o intervalo de tempo das parcelas. 
Observação 2: Se as parcelas são mensais, e supondo que a taxa esteja em uma outra unidade, então, 
utilizaremos o conceito de taxas equivalentes já aprendido na UIA 2. Lá vimos que toda vez que 
estivermos diante de uma operação no regime composto e desejamos transformar uma taxa efetiva em 
outra taxa efetiva, utilizaremos o conceito de taxas equivalentes. Combinado!? 
 
Exemplo 1: Pedro foi aprovado no concurso público para juiz. Muito contente com o novo 
emprego, Pedro foi ao banco abrir uma conta de poupança e resolveu que faria 12 
depósitos mensais no valor de R$ 10.000,00 todos os meses e na mesma data. 
Considerando que todas as aplicações estão sujeitas a uma taxa de juros compostos no 
valor de 2% ao mês, qual será o valor a ser resgatado ao final dessas 12 aplicações na data 
da última parcela? 
 
Solução: A primeira coisa que fazemos numa questão de Matemática Financeira é 
desvendar do que se trata a questão. No caso acima, nós temos uma pessoa (Pedro) que 
fez o compromisso de depositar no valor de R$ 10.000,00, 12 parcelas do seu salário a uma 
taxa de juros compostos de 2% ao mês e deseja saber que valor ele irá resgatar na data da 
última parcela. Ótimo, o enunciado foi direto e revelou todas as características de uma 
operação de rendas certas. Perceberam!? Em seguida, faça o desenho dessa questão, ele 
vai ajudar bastante na hora de resolver o exercício. Qualquer dúvida volte ao início dessa 
seção e faça uma releitura. O próximo passo é fazer o uso da equação das rendas certas 
para descobrir o valor do resgate. 
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7 #%G 
8 # HI&JKJJJ@JJ% 
1 # %LM%NKOK 
3 # %&L% 
Aplicação da fórmula: 7 # %8E?=@A 
Primeiro, calcula-se: 
?=@A #
& ) 1 = ' &
1
 
?:;@;M %#
& ) J@JL :; ' &
J@JL
# %&P@Q&LJ% 
logo: 
7 # &JKJJJ@JJE&P@Q&LJ% R 7 # %HI%&PQK&LJ@JJ 
Viram como é simples!? Então, eu convido vocês a resolver o exemplo a seguir: 
 
Exemplo 2: Um casal pretende adquirir um apartamento no prazo de 10 anos, o valor 
desse apartamento é de R$ 500.000,00 sem entrada. Uma instituição financeira oferece 
aplicações em caderneta de poupança à taxa de juros de 0,8% a.m. Qual o valor das 
parcelas que essa pessoa deverá depositar mensalmente? 
 
Resposta: O casal depositará mensalmente o valor de R$ 2.497,28. 
 
 
Aprenda mais sobre rendas certas assistindo à videoaula, disponível no 
link a seguir, contendo a resolução de exercícios da disciplina Matemática 
Financeira, produzido pelo Grupo DeVry Brasil. 
http://tinyurl.com/htzzsmh 
 
! 
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26 
15.4.!MODELO BÁSICO DE AMORTIZAÇÃO 
15.4.1.!INTRODUÇÃO 
Vimos que, quando nos deparamos com uma única parcela e o nosso desejo é projetá-la para uma data 
posterior, realizamos uma operação de juros. Vimos também que, quando temos uma única parcela numa 
data posterior e desejamos projetá-la para uma data anterior, estamos diante de uma operação de desconto. 
Acabamos de aprender que, quando estamos diante de uma série de pagamentos de mesmo valor 
(constantes), desejando projetar todas para uma única data futura, dispostas em intervalos de tempos 
idênticos (periódicas), e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos, estaremos diante de uma 
operação de rendas certas (anuidades). 
Agora iremos aprender que, quando nos depararmos com uma situação na qual há várias parcelas de 
mesmo valor (constantes) e desejamos projetar todas para uma data anterior, dispostas em intervalos de 
tempos idênticos (periódicas), e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos, estaremos diante de uma 
operação de amortização. 
Amortização nada mais é que meios de se pagar uma dívida. A amortização é uma 
operação irmã das rendas certas. Grave essa informação! 
Vejamos o gráfico a seguir que expressa essa situação: 
 
Gráfico 4: Valor total a ser amortizado no modelo básico de amortização 
 
Vamos chamar esse gráfico de modelo básico da amortização. Memorize-o! Vai ser útil mais adiante. 
Dessa forma, conforme se pode observar no gráfico, as parcelas de uma compra a prazo são atualizadas 
para a data focal%S9. O valor de T representa a soma de todas as parcelas na data focal S9. Em outras 
palavras, T é o preço à vista do produto comprado a prazo. 
Seja, então, um principal 7 a ser pago em 3 parcelas (termos) iguais a 8, imediatas, postecipadas e 
periódicas (conforme mostra o gráfico acima), com uma taxa de juros compostos 1, considerados para os 
respectivos períodos dos termos, pode-se somar essas rendas na data focal S9 da seguinte forma: 
7 # %
8
& ) 1 :
) %
8
& ) 1 ;
) %
8
& ) 1 T
) %<)%
8
& ) 1 =
 
 
7 # %8%
&
& ) 1 :
) %
&
& ) 1 ;
) %
&
& ) 1 T
) %<)%
&
& ) 1 =
 
Vamos considerar agora que: 
N=@: #
&
(& ) 1+:
)
&
(& ) 1+;
)
&
(& ) 1+T
) B)
&
(& ) 1+=
 
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27 
Temos que o valor de N=@A%pode ser obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica. Assim, 
a aplicando-se a progressão geométrica aos termos, para uma razão :
(:CA+
, obtemos os seguinte 
resultados: 
N=KA #
(& ) 1+= ' &
1(& ) 1+=
 
Assim, tem-se a fórmula reduzida para o cálculo do valor atual de anuidades, também chamada de fator 
de amortização. Assim, podemos escrever a equação da amortização da seguinte maneira: 
7 # 8EN=@A 
Onde: 
T = é o valor total que será amortizado do total de parcelas da dívida. Ou seja, o T é o preço 
à vista. Muito cuidado. A data em que o T aparece é sempre um período antes da primeira 
parcela. E a razão é bem óbvia. Sempre que você compra um produto, a primeira parcela 
costuma vir um período após a compra. Não se esqueça disso. Olhe o gráfico valor total a 
ser amortizado acima para uma melhor visualização. 
P = É o valor das parcelas individuais. 
U5@6 = É o fator de amortização. 
n = representa o número de parcelas da operação. 
i = taxa de juros compostos. 
Observação 1: Não podemos esquecer jamais que taxa e tempo caminham juntas; logo, taxa e tempo 
devem sempre estar na mesma unidade que o intervalo de tempo das parcelas. 
 
Exemplo 1: Fernando quer comprar um novo Iphone 
6S. Só que o telefone custa R$ 4.000 à vista, e ele não 
dispõe de todo esse dinheiro. Dessa forma, ele faz a 
opção de comprar o telefone em 12 prestações iguais e 
mensais, vencendo a primeira delas 30 dias após a 
compra. Considerando uma taxa de juros compostos 
de 2% a.m., qual é o valor das prestações? 
 
Solução: A primeira coisa que fazemos numa questão de Matemática Financeira é 
desvendar do que se trata a questão. No caso acima, nós temos uma pessoa (Fernando) 
querendo comprar um telefone, mas que não dispõe de todo o numerário para realizar 
uma compra à vista. Então, ele faz o compromisso de comprar o telefone em 12 prestações 
de mesmo valor todo mês, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra à taxa de 
juros compostos de 2% ao mês. Qual será o valor das prestações? Ótimo, o enunciado foi 
direto e revelou todas as características de uma operação de amortização ou de valor atual 
de rendas certas. Perceberam!? 
Em seguida, faça o desenho dessa questão, ele vai ajudar bastante na hora de resolver o 
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exercício. Qualquer dúvida volte ao início dessa seção e faça uma releitura. O próximo 
passo é fazer o uso da equação da amortização para descobrir o valor das prestações. 
 
7 # %HI%QKJJJ@JJ%!
1 # %LM%NKOK!
3 # &L%OV?V?%!
8 #%G!
Aplicação da fórmula: 7 # %8EN=@A 
Primeiro, calcula-se: 
N=@A #
& ) 1 = ' &
1 & ) 1 =
 
N:;@;M %#
& ) J@JL :; ' &
J@JL% & ) J@JL :;
# &J@WXWP 
logo: 
QKJJJ@JJ # %8E&J@WXWP% R 8 # %
QKJJJ@JJ
&J@WXWP%
# PXY@LQ 
Resposta: O valor individual das 12 prestações será de R$ 378,24. 
Viram como é simples!? Vamos para mais um exemplo? 
 
Exemplo 2: Um computador de última geração está sendo ofertado em uma loja no valor 
de R$ 3.500,00. O plano de vendas oferece as seguintes condições: uma entrada de R$ 
500,00 e o restante pagos em 6 prestações iguais de R$ 550,00. Sabendo-se que o valor 
dos juros cobrados na loja é de 1,2% a.m., calcule o preço à vista do computador. 
 
Resposta: O preço à vista desse computador será de R$ 3.713,56. 
 
 
Leia a reportagem, disponível no link a seguir, sobre os hábitos 
atuais do brasileiro em relação ao uso do cartão de crédito. Será 
que a compra parcelada é comum entre os brasileiros? 
http://tinyurl.com/o3ahxee 
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29 
 
Introduzimos conceitos que serão importantes ao longo da unidade. Continue os estudos desta disciplina e 
até breve! 
 
Aula 16 |!TIPOS DE ANUIDADES 
 
Vimos sobre a classificação de rendas certas ou anuidades, nos aprofundaremos, investigando, aqui, os seus 
diferentes tipos. Continue os estudos desta disciplina e boa aula! 
 
16.1.!RENDAS CERTAS (ANUIDADES): VALOR ATUAL NO MODELO BÁSICO 
Diz-se que o valor atual de uma anuidade é a soma dos valores atuais dos seus termos (P’s), numa mesma 
data focal à mesma taxa de juros. 
 
Gráfico 5: Valor atual no modelo básico 
 
Dessa forma, conforme podemos observar no gráfico anterior, as rendas são atualizadas para a data 
foca%S9. O valor de T representa a soma de todas as rendas na data focal%S9. 
Seja, então, um principal T a ser pago em n parcelas (termos) iguais a P, imediatas (não há carência), 
postecipadas (ocorrem no final de cada período) e periódicas (mesmo intervalo de tempo), conforme 
mostra o gráfico, com uma a taxa de juros compostos i considerada para os respectivos períodos dos 
termos, pode-se somar essas rendas na data focal %S9 da seguinte forma: 
7 # %
8
& ) 1 :
) %
8
& ) 1 ;
) %
8
& ) 1 T
) %<)%
8
& ) 1 =
 
Logo: 
7 # %8%
&
& ) 1 :
) %
&
& ) 1 ;
) %
&
& ) 1 T
) %<)%
&
& ) 1 =
 
Vamos considerar agora que: 
N=@A #
&
& ) 1 :
) %
&
& ) 1 ;
) %
&
& ) 1 T
) %<)%
&
& ) 1 =
 
Temos que o valor de N=@A%pode ser obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica. Assim, 
a aplicando a progressão geométrica aos termos, para uma razão :
(:CA+
, obtemos o seguinte resultado: 
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30 
N=@A #
(& ) 1+= ' &
1(& ) 1+=
 
Assim, temos a fórmula reduzida para o cálculo do valor atual de anuidades: 
7 # 8EN=@A 
Observação 1: a operação de valor atual das rendas certas é idêntica à operação de amortização. 
Onde: 
T = equivale à soma dos valores atuais de cada uma das rendas certas. Ou seja, é o valor atual de uma 
série de rendas certas. 
P = É o valor das parcelas individuais. 
U5@6 = É o fator de valor atual de uma série de pagamentos iguais. 
n = representa o número de parcelas da operação. 
i = taxa de juros compostos. 
Observação 2: Não podemos esquecer jamais que taxa e tempo caminham juntas; logo, taxa e tempo 
devem sempre estar na mesma unidade que o intervalo de tempo das parcelas. 
 
Exemplo 1: Suponha uma pessoa que deseja comprar uma casa no valor de R$ 
100.000,00, sem entrada. Uma determinada instituição financeira oferece financiamentos à 
taxa de juros de 1% a.m. com pagamentos mensais e sucessivos durante o prazo de 5 
anos. Nesse contrato, a primeira parcela vence a partir do mês seguinte ao de sua 
assinatura. Pergunta-se, qual o valor das parcelas que essa pessoa pagará mensalmente? 
 
Solução: Vamos desvendar do que se trata a questão. Nesse caso, nós temos uma pessoa 
querendo comprar uma casa sem dar entrada. Então, uma instituição financeira oferece 
um financiamento a essa pessoa da seguinte maneira: financia o imóvel em 5 anos com 
pagamentos mensais e sucessivos, vencendo a primeira delas 30 dias após a assinatura do 
contrato a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. Dessa forma, qual será o valor das 
prestações? Ótimo, o enunciado foi direto e revelou todas as características de uma 
operação de amortização ou de valor atual das rendas certas. Vocês lembram quando nós 
dissemos que amortização é uma operação irmã das rendas? Então, exatamente por isso! 
 
Perceberam!? Em seguida, faça o desenho dessa questão, ele vai ajudar bastante na hora 
de resolver o exercício. Qualquer dúvida volte ao início dessa seção e faça uma releitura. O 
próximo passo é fazer o uso da equação da amortização para descobrir o valor das 
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31 
prestações. 
 
Resolução 
7 # %HI%&JJKJJJ@JJ%!
1 # %&M%NKOK!
3 # %W%N3Z? # W%E&L # [J%OV?V?%!
8 #%G!
Aplicação da fórmula: 7 # %8EN=@A . 
Primeiro, calcula-se: 
N=@A #
& ) 1 = ' &
1 & ) 1 =
 
N\9]:M %#
& ) J@J& \9 ' &
J@J&% & ) J@J& \9
# QQ@^WWJQ 
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&JJKJJJ@JJ
QQ@^WWJQ%
# LKLLQ@QQ 
Resposta: O valor da parcela paga mensalmente pela pessoa será de R$ 2.224,44. 
 
 
Não deixe de ler a reportagem disponível no link a seguir. Nela, 
podemos ler sobre a renda necessária para financiar um imóvel em 20 
cidades. O texto é de fevereiro de 2016. 
http://tinyurl.com/jedafas 
 
16.2.!RENDAS CERTAS (ANUIDADES) DIFERIDAS – MODELO GERAL 
Rendas certas (anuidades) diferidas são aquelas em que os termos são exigíveis a partir de uma data que 
não seja o primeiro período. Em outras palavras, o período de carência constitui-se um prazo que separa 
o início da operação do período de pagamento da primeira parcela. O gráfico a seguir mostra essa 
defasagem com um período para o início do pagamento das rendas. 
 
Gráfico 6: Defasagem com um período para o início do pagamento das rendas 
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32 
 
 
Exemplo 1: Fernando está à procura de um imóvel para 
alugar por um período de 1 ano. Ficou combinado que as 
prestações seriam no valor de R$ 1.500,00 e que o contrato 
entraria em vigor 3 meses após a sua assinatura. 
Considerando uma taxa de juros compostos de 1% a.m., 
calcule o valor atual desse contrato na data de hoje. 
 
Solução: Vamos desvendar do que se trata a questão. No caso acima, nós temos uma pessoa 
(Fernando) querendo alugar um imóvel, e o pagamento do aluguel iniciará 3 meses após 
assinatura do contrato. O contrato será de 1 ano a contar após o início do período de 
carência. A taxa de juros compostos de nessa operação é de 1% ao mês. Deseja-se saber qual 
será o valor atual do contrato na data de hoje. Ótimo, o enunciado foi direto e revelou todas 
as características de uma operação de valor atual de rendas certas diferidas. 
 
Perceberam!? Em seguida, faça o desenho dessa questão, ele vai auxiliar bastante na hora 
de resolver o exercício. Qualquer dúvida volte ao início dessa seção e faça uma releitura. O 
próximo passo é fazer o uso das equações para solucionar o problema. Vejam como é fácil! 
7 #%G%!
1 # %&M%NKOK!
3 # %&%N3Z # &%E&L # &L%OV?V?%!
8 #%G 
 
Aplicação da fórmula: 7 # %8EN=@A 
Primeiro, calcula-se: 
N=@A #
& ) 1 = ' &
1 & ) 1 =
 
N:;]:M %#
& ) J@J& :; ' &
J@J&% & ) J@J& :;
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7 # %&KWJJ@JJE&&@LL&L% R 7 # %
&KWJJ@JJ
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# &[KYP&@YW 
Percebam que essa ainda não é a resposta final, porque o enunciado deseja saber o valor 
do contrato na data de hoje que é anterior ao início do pagamento da primeira parcela (3 
meses antes). Viram? Assim, uma vez que nós sabemos o valor de T, a questão agora é 
transportá-lo para uma data anterior. Nós já aprendemos que, quando temos um único 
valor no regime composto e desejamos projetá-lo para uma data anterior, faremos isso por 
meio de uma operação de desconto racional composto. Teremos: 
 
 
( )niAN += 1 => ( )ni
NA
+
=
1
 => 
( )301,01
85,831.16
+
=A => 84,336.16$RA = 
 
Resposta: O valor atual do contrato na data de hoje será de R$ 16.336,84. 
Fácil, não é, pessoal?! Agora vamos testar se vocês realmente aprenderam? Resolvam o exemplo a seguir! 
 
Exemplo 2: Rogério teve um aumento salarial e decidiu que aplicaria seis parcelas iguais 
no valor de R$ 5.000,00 cada uma. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% a.m., 
qual o valor a ser resgatado 4 meses após a última aplicação? 
 
Resposta: R$ 34.139,54 
 
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Aprenda um pouco mais sobre anuidades diferidas acessando a 
videoaula disponível no seguinte link. 
http://tinyurl.com/jaddtbm 
 
16.3.!RENDAS CERTAS (ANUIDADES) – COMPOSTA 
A anuidade é considerada composta quando existe mais de uma anuidade diferida no fluxo financeiro. 
Como exemplo, vamos ver o caso em que existem duas anuidades diferidas em sequência: 
 
Gráfico 7: Duas anuidades diferidas em sequência 
 
O conceito para a solução desses casos é o mesmo visto no modelo básico, com a diferença que se deve 
tratar, primeiramente, o valor presente da anuidade para cada data focal. No caso do gráfico anterior, 
têm-se dois momentos, 7\%e 7:;, em que se deve calcular o valor atual de cada anuidade e depois levar 
esses dois montantes para a data focal S9, obtendo-se, assim, o valor presente das duas anuidades. 
Resumindo: precisamos calcular o valor atual para cada data focal e depois levar esses dois montantes 
para a data focal S9, obtendo, assim, o valor presente das anuidades. 
 
16.4.!RENDAS CERTAS (ANUIDADES) – PERPÉTUA 
São anuidades de duração ilimitada. Nesse perfil de anuidades, só tem coerência o cálculo do valor 
presente da anuidade, pois a sua série é ilimitada. 
Exemplo: Faça o cálculo do valor de um imóvel, considerando que este tem um horizonte de 
aproveitamento infinito. Nesse exemplo, a taxa de juros i corresponde ao custo de oportunidade do 
negócio para um determinado aluguel praticado no mercado (P). Assim, pode-se calcular o valor de 
aquisição do imóvel (T) através da seguinte expressão: 
7 #
8
1
 
Onde: 
T = o valor atual da soma dos aluguéis descontados; 
P = valor do aluguel, ou seja, o pagamento pela utilização do capital; 
i = taxa de juros compostos. 
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Exemplo 3: Suponha que Jonas tem uma quitinete, 
cujo valor do aluguel lhe rende R$ 900,00 por mês, e a 
taxa de melhor aplicação no mercado financeiro é de 
0,5% ao mês. Jonas já mora nesse imóvel a mais de 20 
anos e não tem planos de mudança. Qual seria a 
primeira estimativa do valor do imóvel? 
 
Solução: Veja o que enunciado do exercício nos deu uma dica de que o valor do aluguel é 
por tempo ilimitado e que o valor do aluguel é o mesmo, ou seja, constante e com a 
mesma periodicidade. Não resta dúvida que estamos diante de uma operação de rendas 
certas perpétuas. Logo, basta aplicarmos a fórmula para obter uma estimativa do valor do 
imóvel! 
7 #
^JJ
J@JJW
_ 7 # HI&YJKJJJ@JJ 
 
Resposta: Numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado em 180 mil reais. 
 
16.5.!RENDAS CERTAS (ANUIDADES): VARIÁVEIS 
 
Anuidades variáveis são aquelas em que os termos não são iguais entre si, ou 
seja, as parcelas possuem valores diferentes. 
O seu cálculo é feito de forma individual para cada renda, calculando-se o valor atual como sendo a soma 
dos valores atuais de seus termos, conforme definição de anuidades vistas anteriormente. Fiquem 
atentos, vocês podem necessitar também fazer o cálculo dos montantes. Ou seja, montante é 
capitalizado através da soma dos montantes de cada termo. 
 
Exemplo 4: Uma pessoa compra um imóvel na planta 
para pagar em 7 prestações, da seguinte forma: 
a.! 3 prestações de R$ 40.000,00 a partir do mês 7 
da assinatura do contrato; 
b.! 4 prestações de R$ 30.000,00 a partir do mês 
13 da assinatura do contrato. 
A taxa de juros aplicada foi de 1,2% a.m. Qual o valor do imóvel à vista? 
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36 
!
Solução: Vamos desvendar do que se trata a questão. No caso acima, nós temos uma 
pessoa querendo comprar um imóvel e o pagamento ocorrerá por meio de 3 prestações 
no valor de R$ 40.000,00, a partir do sétimo mês da assinatura do contrato, e 4 prestações 
de R$ 30.000,00 a partir do décimo terceiro mês a uma taxa de juros compostos de 1,2% ao 
mês. Deseja-se saber qual será o valor atual do contrato na data de hoje. Ótimo, o 
enunciado foi direto e revelou todas as características de uma operação de valor atual de 
rendas certas, temporária (duração limitada), variável (parcela de valores diferentes), 
diferidas (valores diferentes) e postecipadas (ocorrem no final de cada período). 
 
Perceberam!? Em seguida, faça o desenho dessa questão, ele vai ajudar bastante na hora 
de resolver o exercício. Qualquer dúvida volte ao início dessa seção e faça uma releitura. O 
próximo passo é fazer o uso das equações para solucionar o problema. Vejam como é fácil! 
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1 # %&@LM%NKOK 
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Aplicação da fórmula: 7 # %8EN=@A e N=@A #
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Atualiza-se, então, os valores de ab e ade para a data focal af e calcula-se o valor à vista: 
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37 
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!
Resposta: O valor do imóvel a vista é de R$ 210.208,69. 
 
E aí, muito conteúdo? Continue estudando e bons estudos!. 
 
Aula 17 |!ANÁLISE DE INVESTIMENTO (PARTE 1 DE 2) 
 
Prezado estudante, apresentaremos agora os conceitos e princípios básicos que permeiam a análise de 
investimentos. Estudaremos os métodos mais tradicionais, relacionando a teoria ao campo de aplicação com 
exemplos práticos. Boa aula! 
 
17.1.!INTRODUÇÃO 
A análise de investimentos consiste na aplicação de técnicas como ferramentas, auxiliando os gestores na 
escolha do investimento mais adequado para uma determinada organização. 
 
De acordo com Kuhnen e Bauer (1996): “O conceito de análise de investimento 
pode hoje ser um conjunto técnicas que permitem a comparação entre 
resultados de tomada de decisões referentes a alternativas diferentes de uma 
maneira científica” (KUHNEN; BAUER, 1996). 
 
 
As análises possibilitam ao investidor considerar os riscos que envolvem tais 
operações. Segundo Gitman (2004, p. 184), “fundamentalmente, risco é a 
possibilidade de perda financeira. Os ativos mais arriscados são os que oferecem 
maiores possibilidades de perda financeira”. 
 
Ou seja, não se pode dissociar o investimento do risco. Afinal, quanto maior a 
expectativa de retorno ou ganho, maior será o risco do negócio. 
 
Na prática, o analista utiliza-se de equaçõesmatemáticas para verificar 
a existência ou não de rentabilidade8 no investimento em questão, 
estimando, inclusive, o retorno da operação. 
No dia a dia das empresas, seus gestores enfrentam dilemas, nas 
tomadas de decisões, relacionados à investimentos, como, por 
exemplo, lançar um novo produto ou serviço, abrir uma filial, ampliar 
sua capacidade produtiva, investir em novas tecnologias, reestruturar 
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
8 Diz-se da possibilidade da obtenção de receitas em relação ao capital investido. 
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38 
seu negócio, aumentando a produtividade visando aumento nos lucros, etc. 
Enfim, análise de investimentos busca responder: de que maneira deve-se realizar 
um investimento que atenda às necessidades da organização considerando o risco 
e a escassez eminente de recursos financeiros? 
Podemos responder essa questão a partir da utilização de técnicas de análise de viabilidade econômica 
de projetos de investimentos. 
A análise de investimentos possibilita a identificação e escolha dos projetos mais rentáveis, ou seja, 
define-se qual projeto escolher entre investimentos alternativos (projeto A ou projeto B). Logo, influencia 
diretamente na decisão de aceitação ou de rejeição de um projeto. 
Alguns princípios devem ser levados em consideração no processo de análise: 
•! A taxa de retorno do investimento deve ser maior do que a taxa mínima de atratividade, ou seja, 
deve gerar lucro. 
•! Deve-se considerar o valor do dinheiro no tempo. 
•! Deve-se analisar duas ou mais alternativas. 
•! O investidor deve ter capacidade financeira de executar a operação. 
Para que o processo de análise de investimentos se desenvolva de forma eficiente, é necessário que ele 
siga algumas etapas: 
•! Escolha do investimento. 
•! Estimativa dos fluxos de caixa, considerando os específicos de cada alternativa, analisando o 
custo do investimento inicial, principalmente, os custos e despesas relacionados ao projeto, 
fluxos de caixa esperados do projeto (receitas, inclusive o valor residual dos ativos ao final da vida 
útil do projeto), delimitando a duração de vida do projeto. 
•! Utilização dos principais métodos de análise de investimentos: Prazo de Retorno (Payback), Valor 
Presente Líquido (VPL), Taxa Interna de Retorno (TIR) etc. 
•! Tomada de decisão. 
Em suma, os projetos de investimentos buscam atingir os seguintes objetivos: 
•! Manter a atividade no seu nível atual. 
•! Modernizar a empresa ampliando suas atividades. 
•! Assegurar o crescimento da empresa, maximizando seus lucros, sendo necessário entender que 
todos os métodos de análise de investimentos apresentam algumas limitações, desde a obtenção 
de dados confiáveis até a estimativa de fluxo de caixa das entradas. 
A alteração do contexto político econômico e financeiro são fatores 
que influenciarão de alguma maneira no resultado do projeto. 
Os métodos de análise de investimentos que consideram o valor do 
dinheiro no tempo são, sem dúvida, os mais seguros. Todos esses 
métodos, de certa maneira, descontam os fluxos de caixa de projetos 
com uma taxa de desconto, são as taxas mínima de atratividade (TMA), 
que representam o mínimo que uma empresa está disposta a aceitar 
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em um investimento de risco (projeto empresarial) para abrir mão de um retorno seguro, num 
investimento sem risco, no mercado financeiro. 
 
17.2.!MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
Os métodos de análise de investimentos são divididos em dois tipos: métodos determinísticos e métodos 
práticos. 
a.! Métodos determinísticos consideram o valor do dinheiro no tempo e são mais precisos, 
consequentemente, os mais utilizados. São eles: os métodos do Valor Presente Líquido (VPL) e da 
Taxa Interna do Retorno (TIR). 
b.! Métodos práticos são imprecisos e podem levar a decisões equivocadas – o mais utilizado é o 
Payback. 
Estudaremos agora os três métodos mais utilizados em análise de investimentos: 
•! Prazo de Retorno (Payback); 
•! Valor Presente Líquido (VPL); 
•! Taxa Interna de Retorno (TIR). 
 
17.2.1.!PAYBACK – MÉTODO DO PRAZO DE RETORNO 
O método Payback define o prazo de retorno necessário para a empresa recuperar integralmente seu 
investimento inicial em um determinado projeto, a partir de projeções de entradas de caixa. Quando for 
uma série de pagamentos uniformes, pode-se obter o prazo de retorno dividindo o investimento inicial 
pelo fluxo de caixa anual (do período). 
Em outras palavras, todo empreendimento pode ser entendido como o tempo exato de retorno 
necessário para se recuperar um investimento inicial. 
Geralmente, a empresa fixa um prazo máximo tolerável para recuperação do capital inicialmente 
investido. Assim, os projetos cujo tempo de retorno for menor ou igual a esse limite poderão ser aceitos. 
Podemos escrever os critérios de decisão do método payback da seguinte maneira: 
i.! se o payback for menor que o payback máximo aceitável, aceita-se o projeto; 
ii.! se o payback for maior que o payback máximo aceitável, rejeita-se o projeto. 
A principal vantagem do método payback é pela sua facilidade de cálculo. As desvantagens desse método 
são: (i) não determina com exatidão o período de retorno do investimento, já que não leva em 
consideração o valor do dinheiro no tempo; e (ii) não considera o fluxo de caixa após o período do payback. 
 
Exemplo 1: A empresa Delta necessita adquirir novos equipamentos em substituição aos 
atuais, que estão bastante ultrapassados. Após análise, o consultor responsável selecionou 
dois projetos, que chamaremos de projeto A e projeto B. O financiamento será feito por 
um banco com condições financeiras satisfatórias. De que maneira o gerente da empresa 
decidirá pelo projeto mais atrativo? Qual dos investimentos é mais atrativo conforme esse 
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40 
tipo de análise? 
 Projeto A Projeto B 
Investimento Inicial R$ 54.000,00 R$ 60.000,00 
Ano Fluxos de entradas de caixa (R$) 
1 18.000,00 30.000,00 
2 18.000,00 20.000,00 
3 18.000,00 20.000,00 
4 18.000,00 10.000,00 
5 18.000,00 10.000,00 
 
Resolução: Inicialmente, vamos aos cálculos do Payback para os projetos A e B. 
Calcularemos o fluxo de caixa cumulativo, ano a ano, até atingirmos o equilíbrio entre o 
investimento inicial e o fluxo de entrada de caixa. 
PROJETO A 
Ano Fluxo de Caixa 
(em R$) 
Fluxo de Caixa 
Cumulativo (R$) 
 
0 -54.000 -54.000 Investimento inicial 
1 +18.000 -36.000 
No primeiro ano, o projeto 
ainda não equilibrou. 
2 +18.000 -18.000 
No segundo ano, o projeto 
ainda não equilibrou. 
3 +18.000 0,00 
No terceiro ano, o projeto 
equilibra-se. 
 
Resposta: Perceba que somente ao final do terceiro ano equilibramos o investimento 
inicial do projeto A. Consequentemente, o prazo para recuperação do investimento foi de 
3 anos. Podemos obter o mesmo resultado se dividirmos o investimento inicial pelo fluxo 
de caixa anual: 54.000,00/18.000,00 = 3 anos. 
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41 
PROJETO B 
Ano Fluxo de Caixa 
(em R$) 
Fluxo de Caixa 
Cumulativo (R$) 
 
0 -60.000 -60.000 Investimento inicial 
1 +30.000 -30.000 
No primeiro ano, o projeto 
ainda não equilibrou. 
2 +20.000 -10.000 
Após o segundo ano, o projeto 
ainda não equilibrou. 
3 +20.000 +10.000 
O projeto equilibra-se entre o 
segundo e o terceiro ano. 
 
Ou seja, o Payback do projeto B é de 2 anos e alguns meses. Mas como encontrar esses 
meses? Muito fácil! Basta realizarmos uma simples regra de três e conseguiremos 
descobrir. 
R$ 20.000,00 -------- 1 ano 
R$ 10.000,00 -------- X 
Multiplicando cruzado e isolando o X, encontramos: 
X =½ ano = 6 meses. 
Sendo assim, prazo de retorno do projeto B é de 2,5 anos. Portanto, com base nos resultados 
apresentados, após análise dos dois projetos, o projeto B apresentou o Payback menor. 
 
 
Aprenda mais sobre análise de investimento acessando o link a seguir. 
http://tinyurl.com/hzntrq9 
 
17.2.2.!MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO 
Um dos métodos mais eficientes e utilizados nas análises de 
investimentos e aplicações financeiras é, sem dúvida, o Valor 
Presente Líquido (VPL). Esse é o método que considera o valor 
do dinheiro no tempo. 
O valor do método do VPL é obtido quando descontamos o fluxo de 
caixa aplicando uma taxa previamente especificada, trazendo os 
valores para a situação inicial, ou seja, a um valor presente líquido. 
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42 
Essa taxa normalmente corresponde a um retorno mínimo desejado que deve ser obtido por um projeto. Pela 
perspectiva do VPL, o projeto é considerado viável quando o resultado do cálculo for positivo, ou seja, maior do 
que zero. Isso indica que o projeto proporcionará uma rentabilidade maior do que a taxa especificada. 
O valor do VPL é obtido quando fazemos o somatório do valor presente de suas entradas de caixa 
subtraindo o valor presente de suas saídas de caixa. Para isso, calculamos o valor presente das entradas e 
saídas de caixa utilizando a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) como taxa de desconto. 
Observe a expressão utilizada para o cálculo do VPL: 
k8l #
mn:
& ) 1 :
)
mn;
& ) 1 ;
) B)
mno
& ) 1 o
' p 
k8l #
mno
& ) 1 o
=
oq:
' p 
Onde: 
I: representa o investimento inicial; 
FCt: o fluxo de caixa no t-ésimo período; 
i: taxa de desconto (taxa mínima de atratividade). 
 
Critérios para tomada de decisões 
VPL > zero O projeto é economicamente viável, pode-se aceitar a alternativa. 
VPL = Zero A taxa i de investimento coincide com a taxa mínima de atratividade aplicada. 
VPL < zero O projeto é economicamente inviável, não se pode rejeitar a alternativa. 
No processo de escolha, o melhor projeto de investimento será sempre aquele que apresentar o maior 
VPL. Observe o projeto a seguir, nele, vamos aplicar o método do VPL e verificar se o investimento é 
viável do ponto de vista econômico. 
 
Figura 1: Analisando projeto de investimento 
Fonte: http://tinyurl.com/jhb9jgq 
 
•! Orçamento do projeto: 10.000,00. 
•! Receita com a comercialização do produto/serviço no 1º ano: 2.000,00. 
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43 
•! Receita com a comercialização do produto/serviço no 2º ano: 2.500,00. 
•! Receita com a comercialização do produto/serviço no 3º ano: 3.000,00. 
•! Receita com a comercialização do produto/serviço no 4º ano: 3.500,00. 
•! Taxa de desconto (i): 2% ao ano. 
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LKJJJ
& ) J@JL :
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LKWJJ
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)
PKJJJ
& ) J@JL T
)
PKWJJ
& ) J@JL c
 
k8l # '&JKJJJ ) &K^[J@XY ) LKQJL@^L ) LKYL[@^X ) PKLPP@Q[ 
k8l # '&JKJJJ ) &JKQLQ@LP 
k8l ## QLQ@LP v J 
Como o valor o VPL foi maior do que zero, o projeto é considerado viável, podendo 
ser aceito. 
 
 
Leia o artigo, disponível no link a seguir e no acervo da disciplina, que 
buscou analisar os instrumentos utilizados na análise de investimentos 
pelas empresas de tecnologia para novos produtos. 
http://tinyurl.com/kjt4dm7 
 
Termina aqui a primeira parte do conteúdo sobre análise de investimento. Siga em frente e vá para a próxima 
aula, segunda parte do conteúdo referente ao nosso tema. Até breve! 
 
Aula 18 |!ANÁLISE DE INVESTIMENTO (PARTE 2 DE 2) 
 
Aqui continua a parte do conteúdo sobre análise de investimento. Siga em frente e termine os estudos. Boa 
aula! 
 
18.1.!TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é um método bastante utilizado na análise de projetos de investimento. 
A TIR é definida como a taxa de desconto de um investimento que torna seu valor presente líquido nulo, 
ou seja, ela iguala o valor presente de um investimento com os seus respectivos retornos futuros ou 
saldos de caixa. “A taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é a taxa de desconto que faz seu valor 
presente líquido ser igual a zero” (PUCCINI, 1999, p. 134). 
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é representada pela seguinte expressão: 
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Critérios de tomada de decisões 
Se a TIR é maior do que a Taxa Mínima de 
Atratividade (TMA), o investimento é 
economicamente viável. 
Se a TIR é menor do que a Taxa Mínima de 
Atratividade (TMA), o investimento é 
economicamente inviável. 
O cálculo da TIR só é válido para projetos independentes e, para 
facilitar os cálculos, é necessário o uso de uma calculadora 
financeira. Podemos também utilizar a técnica de tentativa para 
realizar esse cálculo. 
Para realizarmos o cálculo da taxa TIR, devemos projetar um fluxo de 
caixa que demonstre as entradas e saídas de dinheiro identificadas 
durante o investimento, considerando os seguintes componentes: 
•! programa de investimentos: capital fixo mais capital de giro; 
•! capital e custo de capital utilizado para realizar o investimento; 
•! benefícios estimados do investimento (receita menos gasto do projeto); 
•! vida útil do projeto normalmente expresso em número de anos; 
•! valor residual do investimento ao término da vida útil do projeto. 
Observação 1: O método para o cálculo da TIR é basicamente o mesmo do cálculo do Valor Presente 
Líquido (VPL). A diferença é que, nesse caso, o valor presente líquido é igual a zero. 
A solução da TIR pode ser obtida de duas maneiras: 
i.! pela utilização de programas computacionais disponíveis e ou calculadoras financeiras; 
ii.! pelo processo de tentativa e erro no cálculo do VPL seguido de interpolação linear. 
Observação 2: Geralmente, os problemas de TIR apresentam duas taxas sequenciais inteiras e informam 
que a TIR está situada no intervalo entre essas duas taxas. Assim, o método do cálculo do TIR consiste em 
três etapas: 
•! Etapa 1: Calcular o valor presente líquido da primeira taxa fornecida pelo enunciado. 
•! Etapa 2: Calcular o valor presente líquido da segunda taxa fornecida pelo enunciado. 
Observação 3: Supondo que as taxas não sejam fornecidas pelo enunciado da questão, na verdade, o 
que nós estamos procurando são duas taxas que resultem em VPLs com sinais contrários, ou seja, o 
último valor positivo e o primeiro valor negativo. 
•! Etapa 3: Cálculo da TIR pelo método da interpolação linear. 
 
Exemplo 1: João deseja fazer uma sociedade com Pedro em uma empresa de cosméticos 
com a seguinte previsão de lucro para os próximos 4 anos: 1º ano = R$ 9.000,00, 2º ano = 
R$ 9.000 e assim sucessivamente até o 5º ano. Sabendo-se que o capital investido foi no 
valor de R$ 27.000,00 e que a taxa mínima de atratividade é de 15% ao ano, calcule a TIR e 
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faça a análise de atratividade do negócio. 
Dica: a TIR situa-se entre 15% e 20%. 
Resolução: 
Etapa 1: Cálculo do VPL para a primeira taxa. 
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Etapa 2: Cálculo do VPL para a segunda taxa. 
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000.2752,915.26%)20( !=VPL 
048,84%)20( <!=VPL 
Etapa 3: Cálculo da TIR por interpolação linear. 
Notem que o VPL mudou de sinal entre 15% e 20%. Assim, o valor real da taxa está entre 
15% e 20%. Vamos calcular a TIR por meio da técnica