Comentarios da prova I

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Questões de Estruturas Algébricas 1
Professor Francisco Luiz Rocha Pimentel
24 de julho de 2020
1) a) Como X = {0, 1, 2}, então X × X tem 9 elementos. O número de
subconjuntos ou relações em X (ou de X em X) é 29 = 512.
b) Dessas, as relações de equivalência esão dadas pelas partições de X, a
saber:
1){1, 2, 3}, que corresponde a 1 ≡ 2 ≡ 3. Ou ainda
R = X ×X.
2){1}, {2, 3}, que corresponde a 2 ≡ 3 (e 1 isolado). Ou
R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}.
3){2}, {1, 3}, que corresponde a 1 ≡ 3 (e 2 isolado). Ou
R = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3), (2, 2)}.
4){3}, {1, 2}, que corresponde a 1 ≡ 2 (e 3 isolado). Ou
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}.
5){1}, {2}, {3}, que corresponde à igualdade! Ou ainda:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Num total de 5. Esse é um problema resolvido em Combinatória. Se
X tem n elementos, o número de relações de equivalência em X, ou,
equivalentemente, o número de partições de X é Bn, o n−ésimo número
de Bell. Pode-se calcular Bn pela seguinte recorrência: B0 = 1 e
Bn+1 =
n∑
i=0
(
n
i
)
Bi, n ≥ 0.
c) As relações de ordem em X são 19, a saber:
1) 1 ≤ 2 ≤ 3, ou:
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3)}.
1
2)1 ≤ 3 ≤ 2, ou:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}.
. . .
6) 3 ≤ 2 ≤ 1, ou:
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.
(essas 6 são de ordem total)
7) 2, 3 ≤ 1, 2 e 3 não se comparam. Ou ainda:
R = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}.
8) 1 ≤ 2, 3, 2 e 3 não se comparam. Ou ainda:
R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 3)}.
Para obter as relações 9,10,11,12 troque 1 por 2 e 1 por 3 em 7 e 8.
13) 2 ≤ 3 e 1 não se compara com ninguém. Ou:
R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}.
14) 3 ≤ 2 e 1 não se compara com ninguém. Ou:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (3, 3)}.
Para obter as relações 15,16,17,18 troque 1 por 2 e 1 por 3 em 13 e 14.
19) Ninguém é comparável, ou
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}.
Contar o número de relações de ordem num conjunto finito é um problema
dif́ıcil de Combinatória (até onde sei, ainda não resolvido).
2) A relação | é de ordem parcial.
3) (i) As operações ⊕, � são associativas e comutativas, enquanto que �, •
não são nem uma coisa nem outra.
ii) Facilmente verificamos que 0 é elemento neutro tanto de ⊕ como de �.
As outras operações não possuem elemento neutro.
Se buscamos o inverso b de a com relação a ⊕, temos a+ b− ab = 0 e dáı:
b = a/(a − 1). Como estamos em Z, conclúımos que os únicos elementos
inverśıveis são a = 0 e a = 2 com inversos iguais, respectivamente, a 0 e
2. De forma semelhante, os elementos inverśıveis com relação a � são 0
e −2, cujos inversos são 0 e −2, respectivamente. Não faz sentido buscar
inversos com relação a � ou •.
4) Uma verificação simples permite concluir que ⊗ é comutativa. Não é
associativa nem possui elemento neutro. Em particular, não faz sentido a
existência do inverso.
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5) Em geral, vale o resultado: Sejam a1, a2, . . . , an elementos de Z, nem todos
nulos. Seja Ai = aiZ o ideal de Z gerados por ai, 1 ≤ i ≤ n. Então
A1 + A2 + · · ·+ An = MDC(a1, a2, . . . , an) Z.
No caso dado, 3 e 5 são primos entre si e A + B = 1.Z.
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