GAB ELEMENTOS da MATEMÁTICA 1 uni4

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Elementos da Matemática
U4
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Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
Elementos da Matemática: Unidade 4
Gabarito 1. Faça Valer a Pena – Seção 4.1
1. Alternativa correta: D
Resposta comentada: As alternativas para as quais temos os gráficos 1, 2 e 3 
a seguir não são funções, pois existe pelo menos um valor x no domínio para 
o qual estão associados dois ou mais valores na imagem (sai mais de uma 
flecha desse elemento do domínio para elementos na imagem. 
Gráfico 1
Gráfico 2
Gráfico 3
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2
A alternativa para a qual temos o gráfico 4 a seguir não é função, pois existe 
ao menos um elemento no domínio (nesse caso é o elemento x = 3 que não 
está associado a nenhum elemento na imagem).
2. Alternativa correta: C
Resposta comentada: Para determinar o domínio precisamos determinar 
o domínio da função g x x( ) = −5 7 , o domínio da função h x
x
( ) =
+
1
3
 e 
identificar a intersecção desses dois conjuntos. 
A função g x x( ) = −5 7 é uma função afim. Portanto, já vimos que seu domínio 
é o conjunto dos números reais. 
O domínio da função h x
x
( ) =
+
1
3
 é o conjunto dos números reais para os 
quais podemos efetuar a divisão h x
x
( ) =
+
1
3
. O único valor para o qual não 
podemos efetuar esse cálculo é o valor para o qual teríamos uma divisão por 
zero: x + =3 0 . Assim, o único número real que não pertence ao domínio é 
x = −3 . Portanto, D h( ) { }= − − 3 .
A intersecção dos dois domínios é D f( ) { }= − − 3 . 
Gráfico 4
A única relação que é função é a alternativa que apresenta o gráfico seguinte:
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3
3. Alternativa correta: D
Resposta comentada: Como o gráfico é uma reta, esta função é uma função 
afim: f x ax b( ) = + . 
Para x = −3 , temos que f ( )− =3 15 . Temos a equação: 15 3 3= − = ⋅ −( ) +f a b( ) .
Para x = 4 , temos que f ( )4 2= − . Temos a equação − = = ⋅ +2 4 4f a b( ) .
Temos o sistema de duas equações com duas incógnitas: 
15 3 3= − = ⋅ −( ) +f a b( )
− = = ⋅ +2 4 4f a b( )
Resolvendo esse sistema, temos a = −
17
7
 e b =
54
7
 .
A função fica f x x( ) = − +17
7
54
7
 
Gabarito 2. Faça Valer a Pena – Seção 4.2
1. Alternativa correta: D
Resposta comentada: Como a função demanda é p x= −160 2 , a função 
receita será R x p x x x( ) = ⋅ = −( ) ⋅160 2 .
A função lucro será:
 L x R x C x x x x x x( ) ( ) ( )= − = − − − = − + −160 2 300 3 2 157 3002 2 . 
A coordenada x
b
av
= −
2
 indica a quantidade que deverá ser vendida para que 
tenhamos lucro máximo. 
Temos xv = − ⋅ −( )
=
157
2 2
39 25, .
Como o preço está relacionado com a quantidade a ser vendida, 
p x= −160 2 , então, p = − ⋅ =160 2 39 25 81 5( , ) , unidades monetárias. 
2. Alternativa correta: B
Resposta comentada: Não temos restrição alguma para o numerador da 
função f. 
Os valores de x para os quais x x2 16 2 0−( ) +( ) = não pertencem ao domínio 
de f. 
Temos que x x2 16 2 0−( ) +( ) = se, e somente se, x2 16 0− = ou x + =2 0 . 
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Assim, devem ser excluídos do domínio os valores x x x= = − = −4 4 2; ; . 
Portanto, D f( ) { ; ; }= − − − 4 4 2 . 
3. Alternativa correta: B
Resposta comentada: Vamos estudar a lei de formação apresentada: 
f x x
x
( ) = −
−
10
5
.
Se fizermos x =10 nessa função, teremos f ( )10 10 10
10 5
0= −
−
= . Concluímos 
que x =10 é uma raiz dessa função, ou seja, seu gráfico corta o eixo x para 
x =10 . Com base apenas nessa informação, já poderíamos eliminar todas as 
alternativas apresentadas, exceto uma (que é a correta), mas ainda é possível 
obter mais informações sobre o gráfico desta função.
Observamos que essa função é racional e que não está definida para x = 5 . O 
domínio de definição dessa função é D f( )= −{ } 5 . Assim, essa função possui 
uma assíntota vertical para x = 5 . Com isso, temos certeza que a alternativa 
correta é a que apresenta o gráfico: 
Gabarito 3. Faça Valer a Pena – Seção 4.3
1. Alternativa correta: A
Resposta comentada: Para resolver esta questão, é necessário identificar cada 
valor numérico no gráfico. 
Do gráfico vemos que g( )3 2= − . Por sua vez, f ( )− = −2 2 . Então, 
−( ) ⋅ ( ) = −( ) ⋅ −( ) = −( ) ⋅ −( ) =3 3 3 2 3 2 6f g f( ) .
Também vemos que f ( )6 3= e que g 3 2( ) = − . Então:
 5 6 5 3 5 2 10⋅ ( ) = ⋅ ( ) = ⋅ −( ) = −g f g( ) .
Portanto: −( ) ⋅ ( ) + ⋅ ( ) = − = −3 3 5 6 6 10 4f g g f( ) ( ) . 
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2. Alternativa correta: D
Resposta comentada: f g x( )( ) :
f g x f g x g x x( ) = ( ) = [ ] − = −( ) −( ) ( ) ( )3 5 3 9 2 52 2 .
Elevamos ao quadrado e simplificamos a expressão anterior: 
Assim: f g x x x( ) = − +( ) 243 108 72 .
Observe que a composição f g x( )( ) , em geral, é diferente de g f x( )( ) . 
3. Alternativa correta: B
Resposta comentada: Façamos a inversão de f x x( ) = +2 53 .
Escrevemos y x= +2 53 . Trocamos y por x e x por y: 
x y= +2 53 .
Isolamos y: y
x
=
− 5
2
3 .
A função inversa é f x x− = −1 3 5
2
( ) .