MÓDULO 3 ANÁLISE DE SISTEMAS DE 1ª E 2ª ORDEM COM SUPORTE DO MATLAB 2

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Aula 05 – Resposta Dinâmica de Sistemas Lineares de Primeira Ordem 
Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 1 
 
INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE 
 
AULA 05 – RESPOSTA DINÂMICA DE SISTEMAS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 
 
Todas as aulas anteriores foram dedicadas à determinação do modelo dinâmico de sistemas lineares, 
porém, até este momento não estudamos a resposta destes sistemas a um determinado estímulo. 
Nesta aula primeiramente será apresentado às entradas características mais usuais, em seguida será 
apresentado como se calcular a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada 
característica. 
1. SINAIS TÍPICOS DE ENSAIOS 
Apesar de ser possível verificar a resposta de um sistema a qualquer tipo de sinal de entrada, 
normalmente verifica-se a saída deste sistema a certos tipos de entradas características, sendo elas: 
 Impulso Unitário: Também conhecido como Delta de Dirac é uma função dada por 
 
0, para 0
, para 0
t
t
t


 
 
, com 
  1t dt



. A Figura 1 apresenta o gráfico que representa a 
função impulso. 
 
Figura 1: Impulso unitário ou Delta de Dirac 
 
 Degrau Unitário: É função dada por 
 
0, para 0
1, para 0
t
f t
t

 

, porém, é extremamente 
comum utilizar um degrau de amplitude A, onde a função é dada por
 
0, para 0
.
, para 0
t
f t
A t

 

 
A Figura 2 apresenta a função degrau unitário e a função degrau de amplitude A é 
apresentada na Figura 3. 
 t
0 t
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Figura 2: Degrau unitário 
 
Figura 3: Degrau de amplitude A 
 Rampa Unitária: É função dada por 
 
0, para 0
, para 0
t
f t
t t

 

, como se pode observar esta 
reta possui coeficiente angular igual a 1, porém, é possível obter uma rampa com inclinação 
igual a v0, onde a função é dada por 
 
0
0, para 0
.
, para 0
t
f t
v t t

 

 A Figura 4 apresenta a função 
rampa unitária e a variação da função rampa unitária, onde se tem uma rampa com 
coeficiente angular igual a v0 é apresentada na Figura 5. 
 
Figura 4: Rampa unitária 
 
 
Figura 5: Rampa com coeficiente angular igual a v0 
 
 Parábola de aceleração: Dada pela função 
 
20
0, para 0
, para 0
2
t
f t a
t t


 

, sua representação 
gráfica pode ser observada na Figura 6. 
 
Figura 6: Parábola de aceleração 
Conhecida os sinais de entrada tipicamente utilizados nos ensaios de sistemas dinâmicos, torna-se 
possível calcular as respostas de um sistema a cada uma destas entradas. 
0
1
1 t0 1 t
0
2
a
0 1 t
t0
A
0 t
1
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2. SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
Um sistema de primeira ordem sem zeros
1
 possui função de transferência dada por: 
 
 
 
0
0
Y s b
G s
R s s a
 

 (1) 
Outra forma de representar um sistema de primeira ordem mais comumente utilizada é dada por: 
 
 
 
  1
Y s K
G s
R s Ts
 

 (2) 
onde K é a constante de ganho estático do sistema e T é a constante de tempo. 
Resposta ao impulso unitário de um sistema de primeira ordem: A transformada de Laplace do 
impulso unitário é dada por 
   1t L
 e sabemos que 
     Y s G s R s 
, portanto, substituindo 
o valor de R(s) por 1 e G(s) pela função de transferência característica de um sistema de primeira 
ordem apresentada na Equação 2, temos: 
  1
1 1
K K
Y s
Ts Ts
  
 
 
Para se obter a resposta no domínio do tempo deve-se calcular a transformada inversa de Laplace, 
que é dada por: 
    1 para 0
t
T
K
y t Y s e t
T

     
 
L 
A Figura 7 apresenta a curva de resposta a um impulso unitário de um sistema de primeira ordem. 
 
Figura 7: Resposta ao impulso unitário de um sistema de primeira ordem de ganho DC unitário 
 
1
 Define-se zeros como sendo as raízes do polinômio do numerador de uma função de transferência, assim, como 
define-se como polos as raízes do polinômio do denominador de uma função de transferência. Cabe relembrar que o 
número de polos de um sistema define a ordem deste sistema. 
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Resposta ao degrau unitário de um sistema de primeira ordem: Para o degrau unitário temos 
 
1
R s
s

, portanto a resposta de um sistema de primeira ordem a um degrau unitário é dada por: 
 
 
1
1 1
K K
Y s
Ts s s Ts
  
 
 
Expandindo em funções parciais temos: 
 
   1 1/
K K K
Y s
s Ts s s T
  
 
 
Calculando a transformada inversa de Laplace, temos: 
    1 1 para 0
t
Ty t Y s K e t

      
 
L (3) 
 
A primeira parcela da resposta temporal expressa pela equação 3 (K) é obtida pelo sinal de entrada 
 R s
, como o sinal de entrada não decai com o passar do tempo, ou seja, mantém-se constante, esta 
parte da resposta é denominada resposta forçada ou resposta de estado estacionário. A segunda 
parcela da equação 3 t
TKe
 
 
 
 é gerada pelo polo da função de transferência 
 G s
, sendo 
denominada resposta natural ou resposta transitória, uma vez que esta parcela decai a zero com 
o passar do tempo. 
A Figura 8 apresenta a curva de resposta a um degrau unitário de um sistema de primeira ordem. 
 
Figura 8: Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem 
 
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No gráfico apresentado acima é possível se obter algumas medidas que serão importantes quando 
começarmos a discutir desempenho de sistemas dinâmicos. A seguir são apresentados os 
parâmetros mais importantes que podem ser medidos na resposta a um degrau unitário de um 
sistema de primeira ordem: 
 Valor final ou valor de estado estacionário: é o valor da resposta do sistema para quando 
o tempo tende a infinito, ou seja, 
 lim
t
y t K


; 
 Tempo de subida (Tr): tempo necessário para o sistema sair de 10% e chegar a 90% do 
valor de estado estacionário; 
 Tempo de assentamento ou tempo de estabelecimento (Ts): tempo necessário para o 
sistema permanecer numa faixa de 
 2%
do valor de estado estacionário, ou o tempo igual a 
quatro constante de tempo (T); 
 Ganho DC: A resposta de estado estacionário a uma entrada em degrau pode ser 
determinada para sistemas de qualquer ordem descritos por funções de transferência 
     G s Y s R s
. Para tanto, basta aplicar o teorema do Valor Final da transformada de 
Laplace. Assim: 
         
0 0 0
1
t s s s
lim y t lim s G s R s lim s G s lim G s
s   
  
 
 
 
Figura 9: Constantes de desempenho 
 
rT
sT
T
 
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3. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Determine a resposta de um sistema característico de primeira ordem a uma entrada rampa 
unitária. 
2. Determine a resposta de um sistema característico de primeira ordem a uma entrada parábola 
 
3
1
R s
s

. 
3. Sabe-se que a curva Temperatura x Tempo de um forno respeita a dinâmica de um sistema de 
primeira ordem sem zeros. Abaixo se encontra a respostadinâmica de um forno obtida por meio de 
ensaio prático. 
 
Pede-se: 
a) Qual a constante de tempo (T) do forno ensaiado. 
b) Determine a temperatura deste forno quando o tempo igual a 2500 s? 
4. Consideremos um motor de corrente contínua (C.C.) como sendo um sistema de 1ª ordem, cuja 
entrada é a tensão aplicada e a saída é a velocidade de rotação 
 t
 em rpm. Para uma tensão de 20 
V, a velocidade final adquirida pelo motor é de 500 rpm. Além disso, verificou-se que decorrem 25 
s para que a rotação atinja 316 rpm. Determine a função de transferência do motor. Escreva também 
a equação da rotação (em rpm), em função do tempo. 
Obs.: Note que 316 rpm é 63,2% da velocidade de rotação final do motor.