1.09.COC Conjuntos numéricos

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Fundamentos de 
Matemática 
Givanildo Farias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
A necessidade leva o homem a descobrir coisas que facilitam sua vida. Assim, 
ele vem participando do processo histórico e construindo a ciência. Na Matemática 
isto não ocorreu de forma diferente, pois a evolução dos números se deu devido ao 
fato da necessidade de resoluções de situações problemas. O conceito de número tem 
sido preocupação constante para matemáticos e filósofos, chegando a considerar-se 
que a complexidade de uma civilização se reflete na complexidade dos seus números. 
Nesse bloco iremos apresentar os conjuntos numéricos e suas propriedades, na 
Matemática só podemos usar um conceito se for provado que é válido sempre, dentro 
de um conjunto de definições e propriedades. 
Com isso temos como objetivo levar você a compreender a formação dos 
conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais, utilizando suas 
propriedades e definições para analisar e entender as aplicações em conceitos criados 
posteriormente e situações do cotidiano. 
 
1.1 Conjuntos dos Números Naturais e Inteiros 
Conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas etc., e 
indicamos por letras maiúsculas do nosso alfabeto 
 
 Relação de pertinência 
 
Pertence não pertence 
Conjuntos dos números naturais 
 
 
 
 
4 
 
No conjunto dos números naturais são definidas duas operações fundamentais, 
a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: 
A.1 – associativa da adição - para todos, . 
A.2 – comutativa da adição - para todos, . 
A.3 – elemento neutro da adição - para todo, . 
M.1 – associativa da multiplicação - para todos, 
. 
M.2 – comutativa da multiplicação - para todos, . 
M.3 – elemento neutro da multiplicação - para todo, . 
D – distributiva da multiplicação relativamente à adição - 
 para todos, . 
 
Observação: 
• Dado um natural , o simétrico de não existe em : 
 
• , não é válido para todos , ou seja, a subtração não 
é uma operação em . 
Conjuntos dos números inteiros 
 
 - o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos 
números inteiros 
 
 
 
5 
 
No conjunto distinguimos três subconjuntos notáveis: 
• (chamado conjunto dos inteiros não 
negativos) 
• (chamado conjunto dos inteiros 
não positivos) 
• (chamado conjunto 
dos inteiros não nulos) 
Operações em 
No conjunto são definidas também as operações de adição e multiplicação 
que apresentam, além de A.1, A.2, A.3, M.1, M.3 e D, a propriedade: 
A.4 – simétrico ou oposto para adição – Para todo tal que 
Devido a essa propriedade, é definida em a operação de subtração, 
estabelecendo que para todos . 
Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada, ou 
seja, cada número corresponde a um ponto na reta real, mantendo uma mesma 
unidade de medida a cada número. 
 
1.2 Conjuntos dos Números Racionais 
Números Inteiros e a reta numérica 
O conjunto dos números inteiros pode ser representado sobre uma reta 
ordenada, conforme a figura: 
 
 
 
6 
 
 
Nessa reta há mais pontos que os que representam os números inteiros. 
As frações 
A ideia de dividir um objeto em partes iguais levou-nos aos números 
fracionários como e, consequentemente, a , 𝑒𝑡𝑐. 
Estes novos números são todos da forma com 𝑝 𝑒 𝑞 números inteiros e 𝑞 
diferente de zero, pois não é possível dividir um número por zero. 
Esses números podem ser representados sobre a reta onde já se encontram 
fixados os números inteiros: 
 
Observamos aqui que os números inteiros podem ser escritos na forma com 
𝑝 𝑒 𝑞 números inteiros e 𝑞 diferente de zero, por exemplo ou . 
 
 
 
Os números racionais 
 
Os números que podem ser escritos na forma de fração, , 
 , ou seja, os inteiros e os fracionários, são chamados 
racionais – o termo racional se deve ao fato de eles serem razões entre números 
inteiros. 
Temos que, o CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS será representado pelo 
símbolo e pela seguinte notação: 
 
 
 
7 
 
 
Definições 
 
Essas são algumas definições adotadas para as operações com números 
racionais: 
I – igualdade: 
II – adição: 
III – multiplicação: 
 
Subconjuntos 
 
Subconjuntos do conjunto dos números racionais 
I – 
II – 
III – 
 
Os números inteiros também podem ser representados na forma de fração, ou 
seja, um número racional com denominador 1. 
Exemplos: 
 
Dessa forma, temos que o conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos 
números racionais. 
 
 
 
8 
 
 (o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos 
números racionais) 
Propriedades e operações 
 
Podemos verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam as 
seguintes propriedades: 
A.1 
A.2 
A.3 
A.4 
M.1 
M.2 
M.3 
D 
 
Em que são racionais quaisquer. Portanto, são válidas as mesmas 
propriedades formais vistas para os números inteiros. 
 
Além das propriedades anteriores, temos também a seguinte: 
M.4 – simétrico ou inverso para a multiplicação 
Para todo e , existe tal que . 
 
 
 
9 
 
Devido a essa propriedade, pode-se definir em a operação de divisão, 
estabelecendo que para racionais quaisquer não nulos. 
Todo número racional pode ser representado por um número decimal. 
Para escrever um número racional na forma de número decimal, dividimos o 
inteiro pelo inteiro . 
Ao transformar um número racional em decimal, podem ocorrer dois casos: 
1º) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de 
zero, ou seja, é um decimal exato. 
 
Exemplos 
 
 
2º) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se 
repetem periodicamente, ou seja, é uma dízima periódica. 
Exemplos 
 (período 3) 
 (período 285714) 
 (período 3) 
 
Os números na forma de decimal exata ou de dízima periódica podem ser 
convertidos para a forma de fração , dessa forma, representa um número racional. 
 
 
 
10 
 
Quando o decimal é exato, basta fazer a leitura do número e escrever no 
numerador o número sem a vírgula e no denominador o décimo, centésimo, milésimo 
etc. 
Exemplos 
0,3 lê-se (três décimos), dessa forma fica: 
0,37 lê-se (trinta e sete centésimos), dessa forma fica: 
2,631 lê-se (dois inteiros e seiscentos e trinta e um milésimos ou dois mil 
seiscentos e trinta e um milésimos), dessa forma fica: 
 
Quando o decimal é uma dízima periódica, devemos procurar sua fração 
geratriz. Utilizaremos a seguinte técnica para encontrar a geratriz: 
Exemplos 
1) 0,77777 ... 
Escrevemos a seguinte igualdade x = 0,77777... ( I ) 
multiplicamos ambos os lados da igualdade ( I ) por 10, 10x = 7,77777... ( II ) 
temos duas igualdades I e II , subtraímos membro a membro as duas 
igualdades, ou seja, ( II ) – ( I ) : 
10x = 7,77777... ( II ) 
- x = 0,77777... ( I ) 
9x = 7 
x = 7/9 
Portanto, 0,77777... = 7/9 
 
2) 6,43434343... 
Chamamos de x = 6,434343... ( I ) 
nesse caso, multiplicamos ambos os lados da igualdade ( I ) por 100, 
 
 
 
11 
 
100x = 643,43434343... ( II ) 
temos duas igualdades I e II, subtraímos membro a membro as duas igualdades, 
ou seja, ( II ) – ( I ) : 
100x = 643,434343... ( II ) 
- x = 6,434343... ( I ) 
99x = 637 
x = 637/99 
Portanto, 6,434343... = 637/99 
 
1.3 Conjuntos dos Números Reais 
Os números racionais na reta numérica 
 
Podemos observar que os elementos do conjunto dos números racionais 
ocupam uma boa parte da reta para representá-los. 
 
 
Entretanto, os números racionais não preenchem completamente a reta 
numerada, ou seja, existem pontos da reta que não representam números racionais. 
 
Números Irracionais 
 
Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é 
periódica. 
Exemplos:12 
 
Esses números não tem representação fracionária, portanto são números não 
racional. 
Dessa forma, esses números que não podem ser escritos na forma de fração, 
são chamados de números irracionais. 
Um número irracional bastante conhecido é o (raiz quadrada de 2), que 
pode ser representado na reta numérica fazendo a seguinte construção geométrica: 
• Se o ponto A representa o 
número zero e o ponto B representa o 
número 1, o segmento tem 
comprimento 1. 
• Construindo perpendicular a 
 e de comprimento 1, o teorema de 
Pitágoras dá o comprimento de , que 
será . 
• Marcando, na reta, de mesmo comprimento que , o ponto D 
representará o número , esse número não é racional, o que pode ser mostrado 
com alguns recursos de álgebra. 
 
Conjuntos dos números reais 
Podemos ver que um número irracional, como a , tem sua representação na 
reta numérica juntamente com os números racionais. 
Também são números irracionais 
 , entre outros, todos com representação na reta e é 
muito importante o fato de que as complementam. 
 
 
 
 
13 
 
Os números racionais com os números irracionais completando a reta numérica 
representam o conjunto mais amplo com que tomaremos contato durante a maior 
parte do nosso curso: o conjunto dos números reais. 
Teremos, então: 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
1.4 Os Infinitos de Cantor 
Vídeo do Youtube 
 
https://www.youtube.com/watch?v=YXt8QzTNLcw 
O presente vídeo nos traz uma abordagem bastante descontraída para 
elucidação dos conceitos matemáticos, pois, por meio de um entusiasmado diálogo 
entre: Georg Cantor e Lukas Zweig seu amigo, Cantor explica sua extraordinária 
descoberta: “Método da Diagonal”, o que lhe viabiliza afirmar que: “existem infinitos 
maiores que outros”. 
A partir de conceitos e exemplificações, o célebre matemático discorre sobre 
sua teoria apresentando algumas peculiaridades como: 
 CONJUNTOS INFINITOS 
 CARDINALIDADE 
 INFINITOS 
 REDUÇÃO AO ABSURDO 
 DIAGONAL DE CANTOR 
 
https://www.youtube.com/watch?v=YXt8QzTNLcw
 
 
 
14 
 
Desta forma, o vídeo aborda os conceitos de conjuntos infinitos e 
cardinalidade; mais precisamente, nos mostra como se pode contar (ou não contar) os 
elementos de um conjunto infinito. 
1.5 Ordenação dos reais e Intervalos 
 
Conjunto dos números reais 
 
O conjunto dos números reais pode ser representado em forma de um 
diagrama, o qual é a união dos conjuntos numéricos. 
 
Esses números podem ser representados também numa reta orientada que 
chamaremos de Reta real. 
 
 
 
Nessa reta há uma correspondência biunívoca, ou seja, para cada ponto da reta 
corresponde um número real. 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Ordenação dos reais 
 
A partir da representação da reta real, iremos observar algumas das 
propriedades mais importantes dos números reais. 
Na reta real os números estão ordenados, ou seja, um número é menor que 
qualquer número colocado à sua direita: 
 
 é menor que : 
 é maior que : 
Cada ponto da reta representa apenas um número real, dados dois números 
reais , é verdade que: 
 
 
Desigualdades 
 
 
 
 
Intervalos 
 
Dados dois números , definimos: 
a) Intervalo aberto de extremos é o conjunto 
 que também pode ser indicado por 
 
 
 
16 
 
b) Intervalo fechado de extremos é o conjunto 
 que também pode ser indicado por 
c) Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos 
 é o conjunto que também pode ser 
indicado por 
d) Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos 
 é o conjunto que também pode ser indicado 
por 
Os números reais são denominados, respectivamente, extremo inferior e 
extremo superior do intervalo. 
Exemplos: 
1) é intervalo aberto 
2) é intervalo aberto 
3) é intervalo fechado à 
esquerda 
4) é intervalo fechado à 
direita 
 
Também consideramos intervalos lineares os “intervalos infinitos” assim 
definidos: 
1) 
2) 
3) 
 
 
 
17 
 
4) 
5) 
 
Representação gráfica dos intervalos 
 
Os intervalos têm uma representação geométrica sobre a reta real como segue: 
 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
6) 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1) Qual a representação do conjunto na reta real? 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Solução: 
Podemos verificar que o conjunto é formado por 
números maiores que zero e menores ou iguais a três, ou seja, a representação desses 
números na reta real intervalo aberto em 
zero, não inclui o zero, e fechado em três, inclui o três no conjunto A. 
2) Utilizando a representação gráfica dos intervalos sobre a reta 
real, determine e , sendo e . 
Solução: 
 
 
 
 
 
Então e 
Foi feita a representação gráfica dos intervalos A e B, ou seja, no intervalo A 
fechado em 0 e aberto em 3, no intervalo B aberto em 1 e fechado em 4. 
Fazendo a representação da união dos dois intervalos, temos um outro 
intervalo fechado em 0 e fechado em 4. 
Agora faremos a representação da intersecção dos dois intervalos, ou seja, 
o que é igual nos intervalos, temos o intervalo aberto entre 1 e 3. 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão 
Neste bloco, nos detivemos ao estudo dos Conjuntos Numéricos, o qual tem 
uma importância histórica para a humanidade. O conceito de número natural nasceu 
da necessidade do homem de contar e registrar as quantidades, porém essa 
necessidade aumentou quando tiveram que fazer operações com esses números, ou 
seja, somar, subtrair, multiplicar e dividir. 
A partir do início do século 20 matemáticos como o italiano Giuseppe Peano 
desenvolveram o conceito de números de uma forma mais abstrata, porém seguindo 
definições e propriedades, com isso surgiram os Conjuntos dos Números Naturais e 
Inteiros, Conjuntos dos Números Racionais, Conjuntos dos Números Irracionais e 
Reais, os quais são essenciais para o pleno entendimento dos assuntos a serem 
trabalhados nos próximos blocos e até mesmo no curso de Matemática.