FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 
 
Num centro poliesportivo, há uma quadra de basquete e, próximo dela, 
outros pequenos aparatos esportivos, como barra, banco de areia para 
saltos, etc. Tendo recebido 200m de tela de alambrado, os diretores do 
centro procuram saber quais devem ser as dimensões do terreno a 
cercar com a tela, para que a “área” cercada seja maior possível. 
 
REALIDADE 
 
 
 
 
 
 Área do terreno à cercar = (100 - x).x 
A área do terreno é dada em função da medida x, ou seja: 
2( ) (100 ). 100f x x x x x= − = − ou 2 100y x x= − + . 
Notamos que a lei da função 2 100y x x= − + é um polinômio do 2º 
grau ou função quadrática. 
 
 
Definição: é a função f: IR�IR, tal que f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. 
Domínio: IR 
Contradomínio: IR 
 
 
 
Gráfico: 
É uma parábola de eixo de simetria paralelo ao eixo Oy. 
Para x = 0, tem–se f(0)=C; portanto o gráfico intercepta o eixo das 
ordenadas (y) no ponto (0,C). 
 Se 0a > Se 0a < 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Raízes ou Zeros da função quadrática: 
São os valores de x para os quais a função se anula (y=0). 
Determinamos as raízes da função quadrática resolvendo a equação: 
ax²+bx+c=0 o que pode ser feito aplicando a fórmula resolutiva: 
 
 
2
b
x
a
− ± ∆= onde : 2 4b ac∆ = − . 
 
 
Interpretação Geométrica das raízes: 
 
1º Caso: 0∆ > 
A função admite duas raízes 
reais e diferentes, então a parábola 
corta o eixo x em dois pontos 
distintos. 
 
 2º Caso: 0∆ = 
A função admite duas raízes 
reais e iguais, então a parábola 
tangencia o eixo x. 
 
3º Caso: 0∆ < 
A função não admite raízes 
reais, então a parábola não 
tem ponto em comum com o 
eixo x. 
 
 Sinal da Função : 
Conforme o sinal de a e ∆ temos: 
0∆ > 
 
0∆ = 
 
0∆ < 
 
 
 
Vértice da Parábola: 
 Seja o gráfico da função y=ax²+bx+c, com 
 
 
 
 
 
 
 
Para o cálculo de 
y=ax²+bx+c 
2
2 2 2
2 2 2 4 2
2 4 4
4 4 4
4 4
v
v
b b ab b b b
Y a b c c c
a a a a a
b b ac b ac
a a a
Y
a a
− −   = + + = − + = − + =   
   
− + − += = =
−∆ −∆
⇒ =
 
Conjunto Imagem da Função Quadrática:
 
Observando os gráficos que representam a função quadrática y = ax² + 
bx + c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notamos que: 
1. Se 0a >
Im /y y = ∈ ≥ 
 
2. Se 0a <
Im /y y = ∈ ≤ 
 
 
No gráfico notamos que o vértice da parábola é um 
ponto localizado sobre o eixo da simetria :
2 21 2
22 2
2 2 2
b b
a a
v
v
x x
X
b b ba X
a a
   − + ∆ − − ∆+      
   += = = =
− − −= ⇒ =
Vértice da Parábola: 
Seja o gráfico da função y=ax²+bx+c, com 0a ≠ . 
 
 
Para o cálculo de Yv, devemos substituir este valor de 
( )
2 2 2 2
2
22 2 2
2 2 2 4 24
42 4 4
4 4 4
b b ab b b b
Y a b c c c
a a a a aa
b acb b ac b ac
a a a
− −   = + + = − + = − + =   
   
− +− + − += = = 
Conjunto Imagem da Função Quadrática: 
Observando os gráficos que representam a função quadrática y = ax² + 
 
0> , a função assume um valor mínimo: 
Im /
4
y y
a
−∆ = ∈ ≥ 
 
ℝ . 
0< , a função assume um valor máximo: 
Im /
4
y y
a
−∆ = ∈ ≤ 
 
ℝ . 
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No gráfico notamos que o vértice da parábola é um 
ponto localizado sobre o eixo da simetria :
2 2
2
2
2 2
b b
a a
b
a
   − + ∆ − − ∆
      
   
−
= = = =
 
 
, devemos substituir este valor de Xv na função 
Observando os gráficos que representam a função quadrática y = ax² + 
, a função assume um valor mínimo: 
4v
Y
a
−∆= , 
, a função assume um valor máximo: 
4v
Y
a
−∆= , 
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EXERCÍCIOS 
1) Dada a f(x) = – 4x² + 4x + 3, determine: 
a) os valores de a, b e c; 
b) se a parábola tem concavidade voltada para baixo ou para cima; 
c) o valor do delta; 
d) as raízes, se existirem; 
e) se a parábola tem ponto de máximo ou ponto de mínimo; 
f) o estudo do sinal da função. 
 
 
2) Com relação ao gráfico da função f(x) = 2(x – 1) 2 , podemos afirmar: 
(a) é uma parábola com concavidade voltada para baixo. 
(b) é uma parábola cujo o vértice é o ponto (–2; 4). 
(c) o ponto de intersecção com o eixo y é (0; –2). 
 (d) delta é igual a 0. 
 
 
3) Uma bola é largada do alto de um edifício em direção ao solo. Sua altura h em relação 
ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão 
h = – 25t 2 + 625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 
(a) 2,5 (b) 5 (c) 7 (d) 10 (e) 25 
 
4) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em 
função do tempo (em segundos) pela expressão: h(t) = –3t² + 3t ; onde h é a altura 
atingida em metros. 
 
a) em que instante t o grilo retorna ao solo? 
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? 
 
 
5) Determine a imagem de cada uma das funções definidas em reais. 
a) y = x² -3x c) y = -4x²+8x+12 
 
b) y = -x² + 4 d) y = 1/2x² + x + 1 
 
 
6) Um reservatório de água esta sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no 
reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por: 
V = 50(80 – t)². A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de 
escoamento é: 
 
(A)281250 litros (B) 32350 litros (C) 42500 litros 
(D) 38750 litros (E) 320000 litros 
 
 
7) Construa o gráfico das seguintes funções: 
 
a) f(x)=x² – 3x + 2 b) f(x)=2x² + 3x + 1 c) f(x)= –x² – x 
d) f(x)= x² – 4x + 4 e) f(x)= x² + 2x + 1 f) f(x)= 2x² + 5x – 3 
g) f(x)=x² + 5x + 6 h) f(x)=x² – 2x + 8 i) f(x)= 4x² - 10x +4 10