Apostila de Trigonometria (25 páginas, 124 questões, com gabarito completo)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 TRIGONOMETRIA
 
SUMÁRIO 
 
1 . TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................. 1 
2 . CONCEITO DE SENO, COSSENO E TANGENTE 
NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................. 1 
3 . RELAÇÃO ENTRE SENO, COSSENO E 
TANGENTE NO TRIÂNGULO RETÂNGULO............. 2 
4 . ÂNGULOS COMPLEMENTARES....................... 2 
5 . A TRIGONOMETRIA E O TEOREMA DE 
PITÁGORAS .................................................... 3 
6 . ÂNGULOS NOTÁVEIS ................................... 3 
7 . ARCOS E ÂNGULOS ..................................... 6 
7.1 Unidade para medir arcos (ou ângulos) de 
circunferência ................................................. 6 
7.1.1 Grau ...................................................... 6 
7.1.2 Radiano ................................................. 6 
7.2 O número Pi () ......................................... 6 
7.3 Relação entre as unidades de medidas de 
arcos ............................................................. 8 
8 . COMPRIMENTO DE ARCO ............................. 8 
9 . ARCOS TRIGONOMÉTRICOS ......................... 9 
9.1 Arcos côngruos .......................................... 9 
10 . SENO E COSSENO DE ARCO 
TRIGONOMÉTRICO ........................................ 10 
11 . REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE ................... 10 
11.1 Redução do 2º para o 1º quadrante .......... 10 
11.2 Redução do 3º para o 1º quadrante .......... 10 
12 . VARIAÇÃO DE SINAL DO SENO E COSSENO
 ................................................................... 11 
13 . RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA 
TRIGONOMETRIA ........................................... 11 
14 . TANGENTE DE ARCO TRIGONOMÉTRICO .... 12 
15 . REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE ................... 12 
16 . VARIAÇÃO DE SINAL DA TANGENTE .......... 12 
17 . TEOREMA ............................................... 12 
18 . CO-TANGENTE, SECANTE E CO-SECANTE DE 
ARCO TRIGONOMÉTRICO ............................... 13 
19 . AS FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE
 ................................................................... 13 
19.1 Função seno .......................................... 13 
19.2 Gráfico da função y = sen x ..................... 13 
19.3 Função cosseno ...................................... 15 
19.4 Gráfico da função y = cos x ..................... 16 
19.5 Função y = tg x ..................................... 18 
19.6 Gráfico da função y = tg x ....................... 18 
20 . SENO, COSSENO E TANGENTE DA SOMA E DA 
DIFERENÇA ................................................... 18 
20.1 Seno da soma ou seno da diferença .......... 18 
20.2 Cosseno da soma ou cosseno da diferença 19 
21 . OUTRAS FÓRMULAS ................................ 19 
21.1 Fórmula do arco duplo ............................ 19 
21.2 Fórmula do arco metade ......................... 19 
22 . RESOLUÇÃO EM TRIÂNGULOS QUAISQUER 19 
22.1 Lei dos senos ......................................... 19 
22.2 Lei dos cossenos .................................... 20 
23 . CÁLCULO DE ÁREA DE UMA REGIÃO 
TRIÂNGULAR ................................................ 22 
Referências ...................................................... 25 
1 . TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
2 . CONCEITO DE SENO, COSSENO E 
TANGENTE NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Dado um triângulo retângulo ABC, 
 
 
 
O seno do ângulo B̂ é a razão entre a medi-
da do cateto oposto ao ângulo B̂ e a medida da 
hipotenusa, isto é, 
 
 
sen B̂ =
cateto oposto ao ângulo B̂
hipotenusa
 
 
 
O cosseno do ângulo B̂ é a razão entre a 
medida do cateto adjacente ao ângulo B̂ e a medi-
da da hipotenusa, isto é, 
 
 
cos B̂ =
cateto adjacente ao ângulo B̂
hipotenusa
 
 
 
 A tangente do ângulo B̂ é a razão entre a 
medida do cateto oposto ao ângulo B̂ e a medida 
do cateto adjacente ao ângulo B̂, isto é, 
 
 
tg B̂ =
cateto oposto ao ângulo B̂
cateto adjacente ao ângulo B̂
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Sabendo que o sen 36° = 0,58; cos 36° = 0,80 e 
tg 36° = 0,72, calcule o valor de x em cada figura. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
R: a) x = 5,8 cm; b) x = 14,4 cm; c) x = 4 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
2) Um engenheiro deve medir a largura de um rio. 
Para isso, fixa um ponto A na margem em que se 
encontra e um ponto B na margem oposta (con-
forme a figura). A seguir 
desloca-se 40 m perpendi-
cularmente à reta AB ⃡ até o 
ponto C e mede o ângulo 
AĈB, obtendo 44°. Qual é 
a largura do rio? (Dados: 
sen 44° = 0,69; cos 44° = 
0,71 e tg 44° = 0,96) R: x = 38,4 
cm 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
3) Um teleférico deve unir os topos A e B de dois 
morros. Para calcular a quantidade de cabos de 
aço necessária, um engenheiro mediu as alturas 
dos morros em 
relação a um 
mesmo plano ho-
rizontal, obtendo 
108 m e 144 m. A 
seguir, mediu o 
ângulo que a reta 
AB ⃡ forma com a 
horizontal, obten-
do 32°. 
a) Faça um esquema da situação proposta. 
b) Calcule a distância entre os pontos A e B, sa-
bendo que sen 32° = 0,52; cos 32° = 0,84 e tg 32° = 
0,62. R: AB̅̅ ̅̅ ≅ 69,23 m 
 
3 . RELAÇÃO ENTRE SENO, COSSENO E 
TANGENTE NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
Teorema: Dado um ângulo agudo de medida ∝ 
de um triângulo retângulo, tem-se que: 
 
tg ∝ =
sen ∝
cos ∝
 
 
 
Demonstração: 
 Seja o triângulo retângulo abaixo: 
 
 
 Sabendo que sen ∝ = 
b
a
, cos ∝ = 
c
a
 e tg ∝ = 
b
c
. Desenvolvendo a razão 
sen∝
cos∝
: 
 
sen∝
cos∝
 = 
b
a
c
a
 = 
b
a
 : 
c
a
 = 
b
a
 ∙ 
a
c
 = 
b
c
 = tg ∝ (c.q.d.) 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
4) Dados sen 40° = 0,64 e cos 40° 
= 0,76. Determine o valor de x na 
figura. R: x = 8,4 cm 
 
 
5) Um alpinista deseja calcular a altura de uma 
encosta que vai escalar. 
Para isso, afasta-se, hori-
zontalmente, 80 m do pé 
da encosta e visualiza o 
topo sob um ângulo de 55° 
com o plano horizontal. 
Calcule a altura da encosta 
(Dado: sen 55° = 0,81, 
cos 55° = 0,57). R: h = 113,68 m 
 
4 . ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
 
 
Teorema: Se dois ângulos agudos são comple-
mentares, então o seno de um deles é igual ao 
cosseno do outro, isto é, B̂ e Ĉ são ângulos 
complementares então 
 
sen B̂ = cos Ĉ 
 
ou 
 
sen Ĉ = cos B̂ 
 
 
Demonstração: 
Sejam os ângulos B̂ e Ĉ complementares 
(suas somas dão 90°), logo podem ser os ângulos 
agudos internos de um triângulo retângulo, como 
na figura abaixo: 
 
 
 
Assim, 
 
sen B̂ = 
b
a
 
⟹ sen B̂ = cos Ĉ 
cos Ĉ = 
b
a
 
 
ou 
 
sen Ĉ = 
c
a
 
⟹ sen Ĉ = cos B̂ (c.q.d.) 
cos B̂ = 
c
a
 
 
Exemplos: 
a) 20° e 70° são complementares; logo, sen 20° = 
cos 70° e sen 70° = cos 20°. 
b) 32° é o complemento de 58°; logo, sen 32° = 
cos 58° e sen 58° = cos 32°. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
6) Sabendo que o sen 30° = 0,5 e cos 30° = 0,86 
responda: 
a) cos 60° = c) 
sen 30° + cos 60°
4tg 30°
= R: 0,43 
 
b) 
2sen 30°
sen 30° + cos 60°
= R: 1 
 
7) Sabendo que sen 37° = 0,6, calcule o valor da 
expressão E = 2tg 37°sen 53° R: E = 1,2 
 
 
3 
5 . A TRIGONOMETRIA E O TEOREMA DE 
PITÁGORAS 
 Dado um dos valores sen ∝, cos ∝ ou tg ∝, 
em que ∝ é a medida de um ângulo agudo, é pos-
sível determinar os outros dois valores com o au-
xílio do teorema de Pitágoras. Como veremos nos 
exercícios seguintes. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
8) Sabendo que ∝ é a medida de um ângulo agu-
do e que sen ∝ = 
3
5
, calcule o cos ∝. R : ∝ = 4
5
 
 
9) Sabendo que ∝ é a medida de um ângulo agu-
do e que cos ∝ = 
15
17
, calcule o sen ∝. R: ∝ = 8
17
 
10) Sabendo que ∝ é um ângulo agudo e que 
cos ∝ = 
5
15
, calcule a tg ∝.
R: ∝ = 12
5
 
 
6 . ÂNGULOS NOTÁVEIS 
Os ângulos de 30°, 45° e 60° são chamados 
ângulos notáveis. Vamos calcular o seno, cosseno 
e tangente desses ângulos: 
 
 
 
sen 45° = 
a
a√2
 = 
1
√2
 = 
√2
2
 
 
cos 45° = 
a
a√2
 = 
1
√2
 = 
√2
2
 
 
tg 45° = 
a
a
 = 1 
 
 
 
sen 60° = 
a√3
2
a
 = 
√3
2
 
 
cos 60° = 
a
2
a
 = 
1
2
 
 
tg 60° = 
a√3
2
a
2
 = √3 
 
Como 30° e 60° são ângulos complementa-
res, então, 
sen 30° = cos 60° = 
1
2
 
 
cos 30° = sen 60° = 
√3
2
 
 
tg 30° = 
sen 30°
cos 30°
 = 
1
2
√3
2
 = 
1
√3
 = 
√3
3
 
 
Tabela dos ângulos notáveis: 
 30° 45° 60° 
sen 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 
cos 
√3
2
 
√2
2
 
1
2
 
tg 
√3
3
 1 √3 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
11) Calcule o valor da expressão: 
 
 
E =
cos 60° + cos230°
sen330° + tg545°
 R: E = 
10
9
 
 
12) Observe a figura, 
 
 
 
Sabendo que a escada tem 4 m de comprimento e 
forma um ângulo de 60° com o chão. Determine: 
a) o comprimento da sombra da escada no piso. 
b) a altura da sombra da escada na parede. (use 
√3 = 1,73). R: a) 2 m; b) h = 3,46 m 
 
13) Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz 
ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa 
sobe essa rampa inteira, eleva-se quantos metros 
verticalmente? R: h = 5 m 
 
14) Um avião levanta vôo e sobe fazendo um 
ângulo constante de 15° com a horizontal. Quando 
sobrevoar uma torre situada a 2 000 m do ponto 
de partida, (Dados: sen 15° = 0,26; cos 15° = 0,97; 
tg 15° = 0,27) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A que altura estará o avião? 
b) Qual a distância percorrida quando sobrevoar a 
torre? R: a) h = 540 m; b) d = 2 061,8 m 
 
15) Uma escada rolante liga dois andares de loja 
e tem uma inclinação de 30°. Sabendo que a esca-
da rolante tem 10 m de comprimento, qual é a 
altura entre os dois andares? R: h = 5 m 
 
16) O ângulo de elevação do pé de uma árvore a 
50 m da base de uma encosta ao topo da encosta 
 
4 
é e 60°. Que medida deve ter um cabo para ligar o 
pé da árvore ao topo da encosta? R: 100 m 
 
17) Do alto da torre de uma plataforma marítima 
de petróleo de 45 m de altura, o ângulo de depres-
são em relação a proa de um barco é de 60°. A 
que distância o barco está da plataforma? R: d = 15√3 m 
 
18) Ao soltar uma pipa um garoto libera 90 m de 
linha. Supondo que a linha fique esticada e forme 
um ângulo de 30° com a horizontal, desprezando a 
altura do garoto a que altura a pipa se encontrará 
do solo? R: 45 m 
 
19) Um navio situado exatamente a Leste de um 
ponto A, está distante 10 milhas desse ponto. Um 
observador situado exatamente o Sul do navio, vê 
o ponto A sobre o ângulo de 40°. Calcule distância 
do observador para o navio? (Dados: sen 40° = 
0,64; cos 40° = 0,76; tg 40° = 0,83). R: d = 12,05 milhas 
 
20) Determine o valor de x na figura: 
 
 R: x = 10√3 m 
 
21) Uma escada de 4,5 m de comprimento está 
apoiada sobre uma parede vertical e forma um 
ângulo de 60° com o plano do chão. Então, o afas-
tamento do pé da escada em relação à parede é: 
 
(a) 4,5√3 m (c) 2,25√3 m (e) 2,0 m 
 
(b) 4,5 m (d) 2,25 m R: (d) 
 
22) Um teleférico deve unir um ponto A de um 
terreno plano e horizontal ao topo D de um morro 
cuja base se apoia sobre esse terreno. Para calcu-
lar a quantidade de cabos de aço necessária para 
unir A e D, um engenheiro marcou, no terreno, um 
ponto B entre o ponto A e o ponto C da base do 
morro, tal que CD̅̅̅̅ é vertical. A seguir obteve as 
medidas: m(DÂC) = 30°, m(DB̂C) = 60° e AB̅̅ ̅̅ = 20 
m. (use √3 = 1,73) 
a) A altura do morro; R: h = 173 m 
b) A distância entre A e D. R: AD̅̅ ̅̅ = 346 m 
 
23) Um poste localiza-se numa rampa plana que 
forma um ângulo de 28° com o plano horizontal 
(conforme figura). Num instante em que os raios 
solares são perpendiculares á rampa, o poste pro-
jeta sobre essa rampa uma sombra de 2,3 m de 
comprimento. 
Calcule a altura 
do poste. (Da-
dos: sen 28° = 
0,46; cos 28° = 
0,88 e tg 28° = 
0,53 R: h = 5 m 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
24)(SESPE) Do alto de uma torre de altura 50 m, 
localizada numa ilha avista-se uma praia sobre um 
ângulo de 45° em relação ao plano horizontal. Para 
transportar o material da praia até a ilha, o bar-
queiro cobra R$ 0,20 por metro navegado. Quanto 
ele receberá em cada transporte que faz? R: R$ 10,00 
 
25)(Enem-2015) O tampo de vidro de uma me-
sa quebrou-se e deverá ser substituído por outro 
que tenha a forma de um círculo. O suporte de 
apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, 
de base em forma de triângulo equilátero com 
lados medindo 30 cm. 
Uma loja comercializa cinco tipos de tam-
pos de vidro circulares com cortes já padroniza-
dos, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 
cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir 
nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja 
suficiente para cobrir a base superior do suporte 
da mesa. 
Considere 1,7 como aproximação para √3. 
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em 
centímetros, é igual a (Resolução em videoaula ) 
 
(a) 18 (b) 26 (c) 30 (d) 35 (e) 60 
R: (a) 
26)(Cesupa-2007) Tenho 1,57 metros de altura 
e à minha frente, perpendicularmente, a uma 
distância de 3 metros, estão os fios da rede 
elétrica a uma altura de 3,3 metros. Pousado num 
dos fios há um pássaro. Sob qual ângulo o pássaro 
me vê? Nota: utilize √3 = 1,73 
 
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 90° 
R: (c) 
27)(Cesupa-2008) O acesso ao segundo piso de 
uma escola é feito através de uma rampa 
retangular inclinada de 80 m2 de área. Exatamente 
em baixo dessa rampa, existe uma área de 60 m2 
assim delimitada para abrigar um depósito, 
conforme a figura abaixo. O ângulo I de inclinação 
dessa rampa é tal que 
 
 
 
(a) sen I = 0,75 (c) tg I = 0,75 
 
(b) cos I = 0,75 (d) sec I = 0,75 
R: (b) 
28)(Cesupa-2010) Um dos monumentos mais 
famosos do mundo é a torre inclinada na cidade 
de Pisa, na Itália. Sabe-se que atualmente sua 
inclinação chega a cinco graus, fazendo, então, 
com o solo um ângulo de 85°. Considerando que a 
torre mede 56 metros, qual é o comprimento da 
sombra que ela lança sobre o solo quando o Sol 
está no zênite (momento em que os raios solares 
são perpendiculares ao solo)? (use: sen 85° = 0,99; 
cos 85° = 0,08 e tg 85° = 11,43) 
 
5 
 
Fonte de informação: www.suapesquisa.com, acesso em 14/10/2009 
 
(a) 640,08 m (b) 64 m (c) 55,44 m (d) 4,48 m 
R: (d) 
29)(UEPA-2008) Em benefício do bem comum, 
prefeituras municipais enfrentam interesses priva-
dos e começam a combater a poluição visual, pro-
ibindo cartazes de propaganda nas ruas e prédios 
que vão de encontro à ordem, à estética e limpe-
za, além de perigo causado aos motoristas que 
trafegam essas ruas, ao desviar a atenção dos 
mesmos. Dois motoristas, dirigindo na mesma 
direção e sentido, avistam, num prédio localizado 
a frente, um outdoor. O motorista localizado no 
ponto A avista o outdoor sob um ângulo de 30°, e 
o motorista localizado no ponto B avista-o sob um 
ângulo de 60°, conforme figura abaixo. A distância 
AB em metros, é um número compreendido entre: 
 
 
 
(a) 10 e 20. (c) 30 e 40. (e) 50 e 60. 
 
(b) 20 e 30. (d) 40 e 50. R: (e) 
 
30)(UEPA-2011) Na Amazônia, está sendo 
construído um observatório no alto de uma torre, 
com a finalidade de compreender e modelar as 
trocas gasosas que ocorrem na atmosfera. Um 
engenheiro de 1,80 m de altura responsável pela 
execução do projeto, observa o topo dessa torre 
segundo o ângulo de 30°.
Se o engenheiro está 
posicionado a 120 m de distância da torre, então a 
altura dessa torre é, em metros, de: (Dado: √3 = 
1,73) 
 
(a) 86 (b) 83 (c) 71 (d) 44 (e) 32 
R: (c) 
31)(UEPA-2012) As construções de telhados em 
geral são feitas com um mínimo de inclinação em 
função do custo. Para as medidas do modelo de 
telhado representado a seguir, o valor do seno do 
ângulo agudo φ é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Fonte:http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/933-2.pdf. Acesso em 9 de setembro de 
2011 – Texto adaptado) 
 
(a) 
4√10
10
 (b) 
3√10
10
 (c) 
2√10
10
 (d) 
√10
10
 (e) 
√2
10
 
R: (d) 
32)(UEPA-2010) Santos Dumont, interessado 
por aparelhos mais pesados que o ar, construiu 
um biplano e prendeu ao dirigível Santos Dumont 
n° 14, batizando essa nova estrutura com nome 
de 14-Bis. Mesmo com as limitações tecnológicas 
da época, Santos Dumont vôo 60 metros a uma 
altura de 2 metros. Após grandes modificações 
estruturais, repete sua proeza em 26 de Outubro 
de 1906 no campo de Bagatelli (Paris) e, sob os 
aplausos de todos, vôo 240 metros a uma altura 
de 6 metros. Considerando que partiu sempre do 
mesmo ponto A conforme ilustram as figuras abai-
xo, então afirma-se que uma relação trigonométri-
ca válida para os ângulos ∝ e β nessas condições 
é: 
 
 
 
 
 
(a) tg ∝ =
1
3
tg β (c) tg ∝ = tg β (e) tg ∝ =
5
3
tg β 
 
(b) tg ∝ =
2
3
tg β (d) tg ∝ =
4
3
tg β R: (d) 
 
33)(UFPA-2012) Uma passarela construída em 
uma BR no Pará tem um vão livre de comprimento 
4L. A sustentação da passarela é feita a partir de 3 
cabos de aço presos em uma coluna à esquerda a 
uma altura D da passarela. Esta coluna por sua 
vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto 
na mesma altura da passarela, e a uma distância L 
da passarela, conforme representa figura abaixo. 
 
 
 
Supondo L = 9 m e D = 12 m, o comprimento total 
dos quatro cabos de aço utilizados é, em metros: 
 
(a) 57 (c) 21 + √1341 (e) 30 + 2√13 + √97 
 
(b) 111 (d) 30 + 6√13 + 3√97 
R: (d) 
34)(UFMG, modificada) Uma caixa d’água está 
localizada num ponto P de um terreno plano, con-
forme representado a baixo. A mesma é avistada 
do ponto A sob um ângulo de 30° e do ponto B sob 
um ângulo de 45°. Sabendo que a medida do ân-
gulo AP̂B é 90° e a distância entre os pontos A e P 
é 50√3 m, calcule, em metros, a altura da caixa 
d’água. 
 
6 
 
R: 50 m 
35)(UFMG, modificada) Uma caixa d’água está 
localizada num ponto P de um terreno plano, con-
forme representado a baixo. A mesma é avistada 
do ponto A sob um ângulo de 30° e do ponto B sob 
um ângulo de 45°. Sabendo que a medida do ân-
gulo AP̂B é 90° e a distância entre os pontos P e B 
é 50 m, calcule, em metros, a altura da caixa 
d’água. 
 
 
7 . ARCOS E ÂNGULOS 
 
 
 Consideramos arco de uma circunferência 
uma parte da circunferência determinada por dois 
de seus pontos. Representamos por AB̂ o arco de 
extremidade A e B, tomando A como origem e 
considerando o sentido anti-horário. 
 
 Como a cada arco de uma circunferência 
corresponde um ângulo central, temos: 
 
Arco: AB̂ 
Ângulo central: AÔB 
 
Propriedade: AB̂ ≡ AÔB1 
 
7.1 Unidade para medir arcos (ou ângu-
los) de circunferência 
 As unidades mais usadas para medir arcos 
(ou ângulos) de circunferência são o grau e o radi-
ano. 
 
1 Lê-se “𝐀�̂� é côngruo a A�̂�B”, ou seja, 𝐀�̂� tem a mesma 
medida de A�̂�B. 
7.1.1 Grau 
Quando dividimos uma circunferência em 
360 partes de tamanhos iguais, cada uma dessas 
partes é um arco de um grau (1°). 
 
arco AB̂ de 90° arco AB̂ de 180° 
 
 
 
 
arco AB̂ de 270° arco AB̂ de 360° ou O° 
 
7.1.2 Radiano 
Um arco de um radiano (1 rad) é um arco 
cujo comprimento é igual ao do raio r da circunfe-
rência que o contém. 
 
 
1 rad ≡ 1r 
 
7.2 O número Pi () 
 
 
 
 
 Observe as circunferências 
feitas por Camila e as medidas de 
seus diâmetros: 
 
 
Vamos designar os diâmetros das circunfe-
rências acima de D1, D2 e D3, respectivamente. 
 
7 
A medida aproximada dos comprimentos 
dessas circunferências é: 
C1: 
 
 
 
C2: 
 
 
 
C3: 
 
 
 
Camila calculou os quocientes entre a me-
dida aproximada do comprimento e a medida do 
diâmetro de cada circunferência: 
 
C1
D1
=
3,15
1
= 3,15 
 
C2
D2
=
6,27
2
= 3,135 
 
C3
D3
=
9,425
3
= 3,141666 … 
 
Como é possível perceber, os valores obti-
dos nesses quocientes estão próximos de 3,14. 
 
Conclusão: Para quaisquer circunferências o quoci-
ente (razão) entre o seu comprimento e o seu di-
âmetro é de aproximadamente 3,14. 
De outra forma, 
 
 
O número obtido ao dividir a medida do com-
primento de uma circunferência qualquer pela 
medida de seu diâmetro, na mesma unidade de 
medida, é o número 3,14159265…, chamado de 
número irracional pi (representado pela letra 
grega ). 
 
 
Simbolicamente, de um modo geral, 
 
C
D
 = 3,14159265… 
 
ou 
 
C
D
 =  
 
sendo C o comprimento e D o diâmetro de uma 
circunferência qualquer. Segue que 
 
C
D
 =  ⟹ 
C
2R
 =  ⟹ C = 2R 
 
Daí, o comprimento C de uma circunferên-
cia de raio r é escrito pela expressão: 
 
 
C = 2r 
 
 
Exemplo: Vamos calcular a medida do compri-
mento de uma circunferência cujo raio mede 7 cm, 
considere  = 3,14. 
 
Resolução: 
 
 C = 2r 
C = 2 ∙ 3,14 ∙ 7 
C = 43,96 
 
 
 
 
 Portanto, o comprimento da circunferência 
mede 43,96 cm. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
36) Seja 20 cm o raio de uma circunferência. Cal-
cule seu comprimento (Considere  = 3,1). R: 124 cm 
 
37) Se a corda pela qual o cavalo está amarrado 
mede 4,3 m, quantos metros tem o cercado? (Con-
sidere  = 3) R: aproximadamente 25,8 m 
 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
38)(Enem-2017) Pivô é um sistema de irrigação 
muito usado na agricultura, em que uma área cir-
cular é projetada para receber uma estrutura sus-
pensa. No centro dessa área, há uma tubulação 
vertical que transmite água através de um cano 
horizontal longo, apoiado em torres de sustenta-
ção, as quais giram, sobre rodas, em torno do 
centro do pivô, também chamado de base, con-
forme mostram as figuras. Cada torre move-se 
com velocidade constante. 
 
 
 
 
 
Um pivô de três torres (T1, T2 e T3) será ins-
talado em uma fazenda, sendo que as distâncias 
entre torres consecutivas bem como da base a 
torre T1 são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende 
ajustar as velocidades das torres, de tal forma que 
o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. 
Use 3 como aproximação para . 
Para atingir seu objetivo, as velocidades 
das torres T1, T2 e T3 devem ser, em metros por 
hora, de 
 
(a) 12, 24 e 36 (d) 300, 1 200 e 2 700 
 
 
8 
(b) 6, 12 e 18 (e) 600, 2 400 e 5 400 
 
(c) 2, 4 e 6 
 
7.3 Relação entre as unidades de medi-
das de arcos 
Uma unidade de radiano (ou simplesmente, 
1 rad) de unidade de medida de arco de um cir-
cunferência corresponde a medida de seu raio (ou 
simplesmente, 1 r), como na figura abaixo: 
 
 
 
1 rad ≡ 1r 
 
Podemos afirmar que o arco corresponde à 
uma circunferência inteira mede 2r, logo 
 
2r = 2 ∙ 1 rad = 2 rad 
 
Portanto, uma volta completa numa circun-
ferência mede 360° ou 2 rad, 
 
 
 rad é equivalente a 180° 
 
 
 Essa equivalência nos permite transformar 
unidades, usando regra de três simples. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
39) Transforme as medidas abaixo para radiano: 
a)
30° R: /6 d) 90° R: /2 g) 210° R: 7/6 
 
b) 45° R: /4 e) 120° R: 2/3 h) 270° R: 3/2 
 
c) 60° R: /3 f) 150° R: 5/6 i) 300° R: 5π/3 
 
40) Transforme para graus: 
a) 

5
 rad R: 36° d) 
2
3
 rad R: 120° g) 
5
9
 rad R: 100° 
 
b) 
5
6
 rad R: 150° e) 

2
 rad R: 90° h) 1 rad R: 57,3° 
 
c) 
7
4
 rad R: 315° f) 
4
3
 rad R: 240° 
 
8 . COMPRIMENTO DE ARCO 
 De um modo geral, sendo AÔB o ângulo 
central de medida ∝ rad e AB̂ o correspondente 
arco, de comprimento 𝓁, podemos estabelecer a 
regra de três simples: 
 
abertura do arco 
(em graus) 
comprimento do arco 
 
360° 2R 
 
∝ 𝓁 
ou 
abertura do arco 
(em radiano) 
comprimento do 
arco 
 
2 rad 2R 
 
∝ 𝓁 
 
onde pode-se calcular abertura do arco 
∝ dado o comprimento 𝓁 e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) Determinar o comprimento 𝓁 do arco AB̂ assi-
nalado na figura, considerando  = 3,14, fazemos: 
 
 
abertura do 
arco 
(em grau) 
comprimento do 
arco 
 
360° 2 ∙ 5 
 
54° 𝓁 
 
𝓁 = 
54∙2𝜋∙5
360
 ⟹ 𝓁 = 4,71 cm 
 
b) Se uma circunferência de 3 cm de raio contém 
um arco de 4,5 cm de comprimento, tanto o ângulo 
central correspondente como o arco medem: 
 
abertura do arco 
(em radiano) 
comprimento do arco 
 
2 2 ∙ 3 
 
∝ 4,5 
 
∝ = 
2 ∙ 4,5
2 ∙ 3
 = 1,5 rad 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
41) Qual é a medida, em radianos, de um arco de 
20 cm de comprimento, contido numa circunferên-
cia de raio 8 cm? R: 2,5 rad 
 
42) Calcule, em radianos, a medida do ângulo 
central correspondente a um arco de comprimento 
15 cm contido numa circunferência de raio 3 cm. 
R: 5 rad 
43) Qual é o comprimento de um arco correspon-
dente a um ângulo central de 45° contido numa 
circunferência de raio 2 cm? (use  = 3) R: 1,5 cm 
 
44) Qual é o comprimento de um arco correspon-
dente a um ângulo central de 60°, contido numa 
circunferência de raio 1 cm? (use  = 3) R: 1 cm 
 
45) O ponteiro dos minutos de um relógio mede 
10 cm. Qual é a distância que sua extremidade 
percorre em 30 minutos? (use  = 3) R: 30 cm 
 
46) O ponteiro dos minutos de um relógio de pa-
rede mede 12 cm. Quantos centímetros sua ex-
tremidade percorre durante 25 minutos? (use  = 
3) R: 30 cm 
 
47) Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no 
seu movimento, suas posições extremas formam 
um ângulo de 60°. Qual é o comprimento do arco 
que a extremidade do pêndulo descreve? (use  = 
3) R: 15 cm 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
48)(Enem-2009) Considere um ponto P em uma 
circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja 
Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como 
mostra a figura, e suponha que o ponto P percor-
ra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r 
sobre a circunferência. 
 
 
9 
 
 
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, 
uma distância dada por (Resolução em videoaula -->) 
 
(a) r (1 − sen
d
r
) (c) r (1 − tg
d
r
) (e) r cos (
r
d
) 
 
(b) r (1 − cos
d
r
) (d) r sen (
r
d
) R: (b) 
 
49)(UEPA-2007) A água é um recurso natural 
essencial para a sobrevivência de todas as espé-
cies que habitam a Terra. O volume total de água 
na Terra não aumenta nem diminui, é sempre o 
mesmo. A água ocupa aproximadamente 70% da 
superfície do nosso planeta. Considerando o dia-
grama circular abaixo, a área de ocupação da 
água corresponde ao setor circular, cujo ângulo 
central , em radianos (rd), vale: 
(a) 
3
5
 (c) 
10
9
 (e) 
7
5
 
 
 
(b) 
5
6
 (d) 
4
3
 
 
R: (e) 
50)(UFPA-2005) Aristarco de Samos, matemático 
que viveu por volta de 300 a.C., querendo calcular as 
distâncias relativas da Terra ao Sol e da Terra à Lua, 
utilizou o seguinte raciocínio: “— No momento em 
que a Lua se encontra exatamente à meia-lua, os 
três astros formam um triângulo retângulo, com a 
Lua ocupando o vértice do ângulo reto. Sabendo a 
medida do ângulo que a visão da Lua forma com a 
visão do Sol, será possível determinar a relação en-
tre as distâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol”. 
Sabe-se que o ângulo formado pelas direções Terra-
Lua e Terra-Sol, na situação de meia-lua, é de, 
aproximadamente, 89,85° e que a distância da Terra 
à Lua é de, aproximadamente, 384 000 km. Para 
ângulos de medidas inferiores a 1° (um grau), uma 
boa aproximação para o seno do ângulo é a medida 
do mesmo ângulo em radianos. Utilizando esses 
dados e o raciocínio de Aristarco, pode-se concluir 
que a distância da Terra ao Sol é de, aproximada-
mente, 
 
 
 
(a) 2 500 000 km (d) 147 000 000 km 
 
(b) 3 800 000 km (e) 7 000 000 000 km 
 
(c) 34 600 000 km R: (d) 
 
9 . ARCOS TRIGONOMÉTRICOS 
Partindo do ponto 0° ou 0 radiano e girando 
uma volta completa no sentido anti-horário, asso-
ciamos as seguintes medidas: 
 
 
 
 
 
9.1 Arcos côngruos 
 
 
Dois arcos trigonométricos AM̂ e AN̂ são côn-
gruos se, e somente se, as extremidades M e N 
coincidem. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
51) Determinar a medida x do arco da primeira 
volta positiva (0° ≤ x < 360°) que possui a mesma 
extremidade do arco de 1 110°. R: 30° 
 
52) Determinar a medida x do arco da primeira 
volta positiva (0 ≤ x < 2) que possui a mesma 
extremidade do arco de 
15π
2
 rad. R: 3/2 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
53)(UEPA-2008) Em protesto ao Plano de Re-
forma Agrária, não realizada pelo governo Federal, 
um grupo de trabalhadores pertencentes ao MST, 
 
10 
partiu em direção a uma fazenda, situada numa 
região próxima, na intenção de invadi-la. Após 
percorrerem certa distância pararam em um cru-
zamento porque alguns dos trabalhadores se ma-
nifestaram em dúvida quanto ao caminho a ser 
seguido. Após longa discussão, cinco afirmações 
foram feitas, sendo que apenas uma delas é a cor-
reta, pois, o caminho a ser seguido tinha a mesma 
direção e sentido do anterior. A afirmação correta 
foi: 
(a) Girando 8 rad, seguiremos na mesma direção 
e sentido. 
(b) Girando 
7
2
  rad, seguiremos na mesma direção 
e sentido contrário. 
(c) Girando 
3
4
  rad, seguiremos na mesma direção 
e sentido. 
(d) Girando 
5
2
  rad, seguiremos na mesma direção 
e sentido contrário. 
(e) Girando 5 rad, seguiremos na mesma direção 
e sentido. R: (a) 
 
54)(UFPA-2009) O Big Ben, relógio famoso por 
sua precisão, tem 7 metros de diâmetro. Em 
funcionamento normal, o ponteiro das horas e o 
dos minutos, ao se deslocarem de 1 hora para 10 
horas, percorrem, respectivamente, 
(a) um arco com comprimento aproximado de 
16,5 metros e medida 18p radianos. 
(b) um arco com comprimento aproximado de 22 
metros e medida 2p radianos. 
(c) um arco com comprimento aproximado de 
16,5 metros e medida ‒ 18p radianos. 
(d) um arco com comprimento aproximado de 
6,28 metros e medida 2p radianos. 
(e) um arco com comprimento aproximado de 
6,28 metros e medida ‒ 2p radianos. 
 
Considere  = 3,1416 R: (c) 
 
10 . SENO E COSSENO DE ARCO TRIGO-
NOMÉTRICO 
 
 
Definição: Dado um arco trigonométrico AM̂ de 
medida ∝, chamam se cosseno e seno de ∝ a 
abscissa e a ordenada do ponto M, respectiva-
mente. 
 
 
 
cos ∝ = abscissa de M = xM 
sen ∝ = ordenada de M = yM 
 
11 . REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE 
O objetivo desse estudo é relacionar o seno 
e o cosseno de um arco do 2º, do 3º ou do 4º qua-
drante com o seno e o cosseno do arco correspon-
dente no 1º quadrante. 
 
11.1 Redução do 2º para o 1º quadrante 
Exemplos: Calcular 
a) sen 150° 
b) cos 150° 
 
Resolução: 
 
 
a) sen 150° =
sen 30° =
1
2
 
 
b) cos 150° = − cos 30° = −
√3
2
 
 
11.2 Redução do 3º para o 1º quadrante 
Exemplos: Calcular 
a) sen 240° 
b) cos 240° 
 
Resolução: 
 
 
a) sen 240° = ‒ sen 60° = ‒ 
√3
2
 
 
b) cos 240°= ‒ cos 60° = ‒ 
1
2
 
 
Mais senos de arcos abaixo: 
 
 
11 
 
 
12 . VARIAÇÃO DE SINAL DO SENO E 
COSSENO 
O seno é positivo no 1º e no 2º quadrantes 
e o cosseno é positivo no 1º e 4º quadrantes. Veja 
o quadro abaixo: 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
55) Calcule: 
a) sen 330° R: ‒ 1/2 
b) cos 330° R: √3/2 
 
56) Calcule o valor da expressão: 
 
 E =
cos 0° sen 270° + sen 90° cos 180°
sen 90° +cos2 180°
 R: ‒ 1 
 
57) Calcule: 
a) sen 120° e) sen 300° i) sen 225° 
 b) cos 120° f) cos 300° j) cos 225° 
 c) sen 210° g) sen 135° k) sen 315° 
 d) cos 210° h) cos 135° l) cos 315° 
R: a) √3/2, b) ‒ 1/2, c) ‒ 1/2, d) ‒ √3/2, e) ‒ √3/2, f) 1/2, g) √2/2, h) ‒ √2/2, i) ‒ √2/2, j) ‒ √2/2, k) 
‒ √2/2, l) √2/2 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
58)(U. Católica de Salvador-BA) É verdade 
que cos 5240° é equivalente a: 
 
(a) cos(−20°) (c) ‒ cos 160° (e) cos 180° 
 (b) cos 20° (d) ‒ cos 20° R: (d) 
 
59)(Enem-2017) Raios de luz solar estão atin-
gindo a superfície de um lago formando um ângulo 
x com a sua superfície, conforme indica a figura. 
Em determinadas condições, pode-se supor que a 
intensidade luminosa desses raios, na superfície 
do lago, seja dada aproximadamente por l(x) = k ∙ 
sen(x) sendo k uma constante, e supondo-se que x 
está entre 0° e 90°. 
 
 
Quando x = 30º, a intensidade luminosa se 
reduz a qual percentual de seu valor máximo? 
 
(a) 33% (b) 50% (c) 57% (d) 70% (e) 86% 
R: (b) 
60)(UEPA-2009) Preocupado com a falta de 
área verde em sua cidade, um prefeito resolveu 
aproveitar um terreno triangular, localizado no 
cruzamento de duas ruas, para construir uma 
praça, conforme 
representado na 
figura ao lado. A 
área da praça a 
ser construída, 
em m2, é: 
 
(a) 250 (c) 300 (e) 500 
 
(b) 250√3 (d) 300√3 R: (c) 
 
61)(UFPA) O valor da expressão sen
4
3
∙
cos
5
3
+ (sen
7
4
)
2
 é: 
 
(a) 1 (b) 0 (c) 
5
4
 (d) 
1
4
 
R: (c) 
62)(UNAMA) Se x = 
2
3
, o valor da expressão 
sen x
cos x + sen x
 + 
sen x
cos x − sen x
 é: 
 
(a) ‒ √3 (b) – 1 (c) ‒ 
√3
3
 (d) 
√3
3
 (e) √3 
R: (e) 
13 . RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA TRIGO-
NOMETRIA 
Dado um arco trigonométrico de medida ∝, 
tem-se: 
 
sen2 x + cos2 x = 1 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
63) Sendo sen ∝ = 
3
5
 e 

2
 < ∝ < , calcule o cos ∝. 
 
64) Sendo sen ∝ = 2 cos ∝ e  < ∝ < 
3
2
, determine 
o sen ∝ e cos ∝. 
 
65) A expressão E = 
𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝐱
, para cos x 

 1, é 
equivalente a: 
 
(a) E = 1 – cos x (c) E = 1 (e) E = 1 - sen x 
 
(b) E = 1 + cos x (d) E = 1 + sen x 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
 
12 
66)(Fuvest-SP, modificada) Qual das afirma-
ções abaixo é verdadeira? 
(a) sen 210° < cos 210° < 
√3
3
 
(b) cos 210° < sen 210° < 
√3
3
 
(c) 
√3
3
 < sen 210° < cos 210° 
(d) 
√3
3
 < cos 210° < sen 210° 
(e) sen 210° < 
√3
3
 < cos 210° 
 
14 . TANGENTE DE ARCO TRIGONOMÉ-
TRICO 
 
 
Definição: Dado um arco trigonométrico AM̂, M 
≠ B e M ≠ B', de medida ∝, chama se tangente 
de ∝ (tg ∝) a ordenada do ponto T obtido pela 
intersecção do prolongamento do raio OM̅̅̅̅̅ com o 
eixo t das tangentes. 
 
 
 
 
15 . REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE 
Vamos estudar as relações existentes tan-
gentes de arcos do 2º, do 3º ou do 4º quadrantes 
com arco correspondentes no 1º quadrante. 
 
Exemplos: Calcular 
 
a) tg 120° b) tg 210° 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
tg 120° = tg 60° = ‒ 
√3
2
 
 
b) 
 
 
tg 210° = tg 30° = 
√3
3
 
 
Mais tangentes de arcos abaixo: 
 
 
 
16 . VARIAÇÃO DE SINAL DA TANGENTE 
 
 
 
17 . TEOREMA 
 
 
tg ∝ = 
sen∝
cos∝
, para cos ∝ ≠ 0 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
67) Sabendo que tg ∝ = 2 e que  < ∝ < 
3
2
, de-
termine os valores do sen ∝ e cos ∝. 
 
68) Calcule os valores de: 
 
a) tg 0° c) tg 180° e) tg 360° 
 
b) tg 90° d) tg 270° 
 
 
13 
69) Calcule o valor de tg(−60°). 
 
70) Calcule: 
 
a) tg 150° c) tg 330° e) tg 225° 
 
b) tg 240° d) tg 135° f) tg 315° 
 
71) Sabendo que tg ∝ = ‒ 3 e que 

2
 < ∝ < , cal-
cule os valores de sen ∝ e cos ∝. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
72)(UEPA-2012) Os desfiles de moda parecem 
impor implicitamente tanto o “vestir-se bem” 
quanto o “ser bela” definindo desse modo padrões 
de perfeição. Nesses desfiles de moda, a rotação 
pélvica do andar feminino é exagerada quando 
comparada ao marchar masculino, em passos de 
igual amplitude. Esse movimento 
oscilatório do andar feminino pode 
ser avaliado a partir da variação do 
ângulo , conforme ilustrado na 
figura abaixo, ao caminhar unifor-
memente no decorrer do tempo (t). 
Um modelo matemático que pode 
representar esse movimento oscila-
tório do andar feminino é dado por 
(𝐭) =

𝟏𝟎
𝐜𝐨𝐬 (
𝟒
𝟑
𝐭). Nestas condições, o valor de 
 (
𝟑
𝟐
): 
 
(a) 

8
 (b) 

10
 (c) 

12
 (d) 

18
 (e) 

20
 
R: (b) 
73)(UFPA-2009) Uma rampa de skate plana 
com inclinação ∝ em relação à horizontal tem base 
b e altura h. Sabendo 𝐡 =
𝟑
𝟒
𝐛, em relação a ∝, 
podemos afirmar que 
 
(a) 0 < ∝ < 

8
 (c) 

6
 < ∝ < 

4
 (e) 

3
 < ∝ < 

2
 
 
(b) 

8
 < ∝ < 

6
 (d) 

4
 < ∝ < 

3
 R: (c) 
 
18 . CO-TANGENTE, SECANTE E CO-
SECANTE DE ARCO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
cotg ∝ = 
cos∝
sen∝
, para sen ∝ ≠ 0 
 
 
 
sec ∝ = 
1
cos∝
, para cos ∝ ≠ 0 
 
 
 
cossec ∝ = 
1
sen∝
, para sen ∝ ≠ 0 
 
 
Observe que pela definição de cotg ∝, que, 
se sen ∝ ≠ 0, então: 
 
 
cotg ∝ = 
1
tg∝
, para tg ∝ ≠ 0 
 
 
Exemplos: Calcular 
 
a) cotg 30° b) sec 180° c) cossec 90° 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) cotg 30° = 
cos 30°
sen 30°
 = 
√3
2
1
2
 = √3 
 
b) sec 180° = 
1
cos 180°
 = 
1
(−1)
 = ‒ 1 
 
c) cossec 90° = 
1
sen 90°
 = 
1
1
 = 1 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
74) Sabendo que cotg x = 2 e 0 < x < 

2
, calcular 
cossec x. R: cossec x = √5 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
75)(U.E. Londrina-PR) Se x é tal que  < x < 
3
2
 
e sec x = ‒ √5, então o valor do sen x é: 
 
(a) 
√5
5
 (b) 
2√5
5
 (c) ‒ 
√5
5
 (d) ‒ 
2√5
5
 (e) 
√30
5
 
R: (d) 
76)(UFRA-2004) Se o valor da secante de um 
arco x é 3, então o valor numérico da expressão 
trigonométrica 6𝐜𝐨𝐬 𝐱 ‒ 
𝟏
𝟒
𝐭𝐠𝟐 𝐱 + 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝐱 é igual 
 
(a) 3 (b) 8 (c) 1/9 (d) ‒ 1/9 (e) 8/9 
R: (e) 
 
19 . AS FUNÇÕES SENO, COSSENO E 
TANGENTE 
19.1 Função seno 
 
 
Definição: Define-se como a função seno f que 
associa cada número real x, associado à circun-
ferência trigonométrica, um único número real 
seno f(x). Indica-se assim f: ℝ ⟶ ℝ, definida 
por f(x) = sen x. 
 
 
 Em diagramas 
 
 
D
f
 = ℝ 
CD
f
 = ℝ 
 
19.2 Gráfico da função y = sen x 
 
 
 
Im
f
 = {f(x) ∈ ℝ/ ‒ 1 ≤ f(x) ≤ 1} 
 
Período = 2 
 
 
 
 
14 
Exemplo: Esboçar o gráfico da função y = 2sen x. 
 
Resolução: 
 
Para um esboço do gráfico, basta atribuir-
mos ao arco x os valores 0, 

2
, 
3
2
 e 2 e calcular-
mos os correspondentes valores de y: 
 
x y 
0 0 

2
 2 
 0 
3
2
 ‒ 2 
2 0 
 
Marcando no plano cartesiano os pontos (0, 
0), (

2
, 2), (, 0), (
3
2
, −2) e (2, 0); e ligando os 
pontos temos: 
 
 
 
D
f
 = ℝ 
 
Im
f
 = {f(x) ∈ ℝ/‒ 2 ≤ f(x) ≤ 2} 
 
Período = 2 
 
Observação: Construímos apenas um período do 
gráfico, porém não perca de vista que essa figura 
se repete tanto até o +∞ como até o ‒∞ na dire-
ção do eixo das abscissas. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
77) Esboce o gráfico de cada uma das funções: 
 
a) y = 3sen x d) y = ‒ 2sen x 
 
b) y = 2 + sen x e) y = sen 2x 
 
c) y = 2 + 3sen x f) y = sen
x
2
 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
78)(UEPA-2008) Segundo reportagem da Revis-
ta VEJA de 26.07.06, uma onda gigante atingiu a 
Ilha de Java, na Indonésia. Autoridades locais con-
taram mais de 500 mortos e 38.000 desabrigados. 
A reportagem mostra como se originam e quais as 
causas de formação desses fenômenos da nature-
za. O formato dessas ondas gigantes pode ser 
registrado e representado matematicamente, por 
meio de funções, conforme gráfico abaixo. A fun-
ção f que melhor representa esse gráfico para 

8
 ≤ 
x ≤ 
9
8
. 
 
 
(a) f(x) = 2 ∙ sen (x − 
8
) (d) f(x) = 2 ∙ cos (x − 
8
) 
 
(b) f(x) = 2 ∙ sen (2x − 
4
) (e) f(x) = 2 ∙ sen (x + 
8
) 
 
(c) f(x) = 2 ∙ cos (2x −

4
) R: (b) 
 
79)(UEPA-2007) A altura das ondas em deter-
minados trechos de um oceano varia de acordo 
com a expressão H(t) = 5 + 3∙sen(2t), onde t (em 
segundos) é o tempo e H (em metros), a altura 
dessas ondas. A altura máxima (crista da onda) 
atingida por essas ondas é de: 
 
(a) 3 m (b) 5 m (c) 6 m (d) 8 m (e) 9 m 
R: (d) 
80)(UEPA-2008) Um fabricante produz telhas 
senoidais como a da figura abaixo. 
 
 
 
Para a criação do molde da telha a ser 
fabricada, é necessário fornecer a função cujo 
gráfico será a curva geratriz da telha. A telha 
padrão produzida pelo fabricante possui por curva 
geratriz o gráfico da função y = sen(x) (veja 
detalhe na figura abaixo). 
 
 
 
Um cliente solicitou então a produção de 
telhas que fossem duas vezes “mais sanfonadas” e 
que tivessem o triplo da altura da telha padrão, 
como na figura abaixo. 
 
 
 
 
15 
A curva geratriz dessa nova telha será 
então o gráfico da função 
 
(a) y = 3sen (
1
2
x) (d) y = 
1
3
sen (
1
2
x) 
 
(b) y = 3sen(2x) (e) y = 2sen(3x)
 
(c) y = 2sen (
1
3
x) R: (b) 
 
81)(UEPA-2011) Um arquiteto desenvolve um 
projeto para capitação de águas pluviais, conforme 
a figura abaixo. A bomba sugerida nesse projeto 
injeta um valor má-
ximo de volume (v) 
de água igual a 4 
litros, num intervalo 
de tempo (t) de 0 a 2 
segundos (0 ≤ t ≤ 2). 
O rendimento dessa 
bomba é dado pela 
expressão algébrica 
v = 4sen (

4
t). O gráfico que melhor representa o 
volume (v) de água injetado, em função do tempo 
(t), é: 
 
(a) (c) (e) 
 
 
(b) (d) 
 R: (d) 
 
82)(UFPA-2006) Considere o gráfico da função 
trigonométrica abaixo, no qual f() = 5. 
 
 
 
Interpretando o gráfico, podemos concluir 
que f(3) é igual a 
 
(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7 (e) 8 
R: (b) 
83)(UFPA-2005) O igarapé Tucunduba separa 
geograficamente o Campus Universitário do Gua-
má – UFPA em Belém, em duas partes. Unindo 
essas partes, existe uma ponte de pouca altura, 
em ferro para pedestres. Para chegar ao mercado, 
o barco São Benedito deve passar por debaixo da 
ponte. Duas dificuldades em geral acontecem: a 
maré está muita baixa e o barco não pode nave-
gar; ou a maré está muito alta e a ponte impede o 
barco de entrar. O São Benedito tem um calado 
(parte do barco abaixo da linha d’água) de 1,3 me-
tro e a sua altura acima da linha d’água é de 1,9 
metro. O fundo do igarapé está a 0,1 metro acima 
do nível do mar e a ponte, a 4,5 metros acima do 
nível do mar. Às dez horas da manhã de hoje, a 
maré estará em preamar (nível mais alto da maré) 
de 3,2 metros acima do nível do mar e às dezes-
seis horas estará em baixa-mar (nível mais baixo 
da maré) de 0,8 metro acima do nível do mar. 
 
Modelando a oscilação da maré como uma função 
do tipo 
f(t) = A + Bsen(Ct + D), 
 
onde t é o tempo e A, B, C e D são constantes, o 
primeiro horário, após as dez horas, e o último 
horário, antes das dezesseis horas, em que o bar-
co São Benedito poderá passar por debaixo da 
ponte são, respectivamente, 
 
(a) 10h30min e 
15h30min 
(d) 12h e 14h 
 
(b) 11h15min 
(e) 12h30min e 
13h30min 
 
(c) 11h30min e 
14h30min 
R: (d) 
 
 
 
84)(UFPA-2008) Considere a função f dada por 
f(x) = sen (x − 
7
). Podemos afirmar que f assume 
seu valor mínimo quando 
(a) x = 

7
 + 2k, K = 0, ±1, ±2, … 
(b) x = 
8
7
 + k, K = 0, ±1, ±2, … 
(c) x = 
23
14
 + 2k, K = 0, ±1, ±2, … 
(d) x = 
9
14
 + 2k, K = 0, ±1, ±2, … 
(e) x = 
8
7
 + 2k, K = 0, ±1, ±2, … R: (c) 
 
19.3 Função cosseno 
 
 
Definição: Define-se como a função cosseno f 
que associa cada número real x, associado à 
circunferência trigonométrica, um único número 
real cosseno f(x). Indica-se assim f: ℝ ⟶ ℝ, 
definida por f(x) = cos x. 
 
 
16 
Em diagramas 
 
 
D
f
 = ℝ 
CD
f
 = ℝ 
 
19.4 Gráfico da função y = cos x 
 
 
 
Im
f
 = {f(x) ∈ ℝ/ ‒ 1 ≤ f(x) ≤ 1} 
 
Período = 2 
 
Observação 1: Podemos construir ou analisar o 
gráfico da função seno/cosseno a partir da função 
dada, estudando os coeficientes, como segue: 
 
 
 y = a + bsen (c
x
d
+ e) 
 
 
ou 
 
 
 y = a + bcos (c
x
d
+ e) , onde 
 
 
a – Translada o gráfico em relação a função seno: 
se a > 0 translada para cima e se a < 0, translada 
para baixo; 
b – Amplia, reduz ou inverte a imagem do gráfico 
em relação a função seno/cosseno: se b > 1 am-
plia a imagem; se 0 < b < 1 a imagem reduz; se b 
< ‒ 1, a imagem amplia e inverte e se ‒ 1 < b < 0, a 
imagem reduz e inverte. 
c – Gera o gráfico da função dada dividindo o perí-
odo da função seno/cosseno por c; 
d – Multiplica o período da função seno/cosseno 
por d; 
e – Forma o novo gráfico transladando o gráfico da 
função seno/cosseno: se e > 0 translada para 
frente (esquerda) e se e < 0, para atrás (direita); 
Tente construir um gráfico apenas anali-
sando os coeficientes da função. 
 
Observação 2: Na resolução de alguns exercícios 
(de vestibulares!) é necessário saber a função de 
cada coeficiente. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
85) Esboçar o gráfico da função y = 2cos x. 
 
86) Esboçar o gráfico da função y = 3cos 2x. 
 
87) Esboçar o gráfico da função 
y = |1 + 2𝐜𝐨𝐬 𝐱|. 
 
88) Esboce o gráfico de cada uma das funções: 
 
a) y = 4 cos x h) y = ‒ 3 + cos x 
 
b) y = ‒ 4 cos x i) y = 2 + 5cos 2x 
 
c) y = cos 4x j) y = 2 + 3cos (x −

4
) 
 
d) y = 3 cos 
x
2
 k) y = cos (

2
− x) 
 
e) y = cos (x −

4
) l) y = |3 + 4cos x| 
 
f) y = ‒ 2 cos (x +

4
) m) y = ‒ |cos x| 
 
g) y = 4 + 2 cos x 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
89)(Enem-2015) Segundo o Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazo-
nais são aqueles que apresentam ciclos bem defi-
nidos de produção, consumo e preço. Resumida-
mente existem épocas do ano em que a sua dis-
ponibilidade nos mercados varejistas ora é escas-
sa, com preços elevados, ora é abundante, com 
preços mais baixos, o que ocorre no mês de pro-
dução máxima da safra. 
A partir de uma série histórica, observou-se 
o preço P, em reais, do quilograma de um certo 
produto sazonal pode ser descrito pela função
P(x) = 8 + 5cos (
x−
6
), onde x representa o mês do 
ano, sendo x = 1 associado ao mês janeiro, x = 2 
ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até 
x = 12 associado ao mês de dezembro. 
Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em 2 ago. 2012 (adaptado) 
Na safra, o mês de produção máxima desse pro-
duto é (Resolução em videoaula ) 
 
(a) janeiro (c) junho (e) outubro 
 
(b) abril (d) julho R: (d) 
 
90)(Enem-2017) Um cientista, em um de seus 
estudos para modelar a pressão arterial de uma 
pessoa, utiliza uma função do tipo 
P(t) = A + Bcos(kt) em que A, B e K são constantes 
reais positivas e t representa a variável tempo, 
medida em segundo. Considere que um batimento 
cardíaco representa o intervalo de tempo entre 
duas sucessivas pressões máximas. 
Ao analisar um caso específico, o cientista 
obteve os dados: 
 
Pressão mínima 78 
Pressão máxima 120 
Nº de batimentos cardíacos por minuto 90 
 
A função P(t) obtida, por este cientista, ao 
analisar o caso específico foi 
 
(a) P(t) = 99 + 21cos(3t) 
 
(b) P(t) = 78 + 42cos(3t) 
 
(c) P(t) = 99 + 21cos(2t) 
 
(d) P(t) = 99 + 21cos(t) 
 
(e) P(t) = 78 + 42cos(t) 
R: (a) 
 
17 
91)(Cesupa-2006) No Centro Universitário do 
Pará, as provas do processo seletivo têm início 
previsto para as 8 horas. Se chamarmos de  o 
menor dos ângulos formados pelos ponteiros do 
relógio neste horário, podemos dizer que cos é 
igual a 
 
(a) −
√3
2
 (b) −
1
2
 (c) 
1
2
 (d) 
√3
2
 
R: (b) 
92)(UEPA-2010) A calculadora Calculator funci-
ona em praticamente qualquer celular que tenha 
suporte a Java. Você pode indicar funções mate-
máticas com uma ou mais variáveis. Acionando o 
comando o comando Options Evaluate podemos 
gravar, por exemplo a função 
f(x) = cos (x), conforme ilustra a 
figura ao lado. Para desenhar o 
gráfico dessa função f(x) = cos (x), 
acione o comando Options New 
e digite: plot (‒ , , f) e, em se-
guida, Options Evaluate. O gráfi-
co que melhor representa a fun-
ção f(x) gerado Calculator é: 
 
(a) (d) 
 
(b) (e) 
 
 
(c) 
 R: (a) 
 
93)(UEPA-2005) A velocidade V de uma partícu-
la em movimento harmônico simples varia com o 
tempo t, segundo a função V(t) = 2 sen t ‒ 1. Por-
tanto, o gráfico abaixo que representa essa função 
é: 
 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
(e) 
 
R: (c) 
94)(UFPA-2008) O gráfico da função f dada por 
f(x) = cos (t + 
2
) no intervalo [0, 2] é 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
 
18 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
(e) 
 
 
95)(UFPA-2009) Se y = a + cos(x + b) tem como 
gráfico 
 
 
Podemos afirmar que 
 
(a) a = 2, b = 

2
 (d) a = 1, b = 

2
 
 
(b) a = 1, b = −

2
 (e) a = 0, b = 0 
 
(c) a = 2, b = −

2
 R: (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19.5 Função y = tg x 
 
 
Definição: Define-se como a função tangente f 
que associa cada número real x com x ≠ 

2
 + k, 
k ∈ ℤ, associado à circunferência trigonométrica, 
um único número real tangente f(x). Indica-se 
assim f : ℝ ‒ {

2
+ k, k ∈ ℤ} ⟶ ℝ, definida por 
f(x) = tg x. 
 
 
Em diagramas 
 
 
 
Df = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≠

2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ} 
 
CDf = ℝ 
 
19.6 Gráfico da função y = tg x 
 
 
 
Im
f
 = ℝ 
 
Período =  
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
96) Esboce o gráfico da função y = tg 2x. 
 
20 . SENO, COSSENO E TANGENTE DA 
SOMA E DA DIFERENÇA 
20.1 Seno da soma ou seno da diferença 
 
 
 
 
sen(a ± b) = sen a ∙ cos b ± sen b ∙ cos a 
 
 
19 
Exemplos: 
a) sen 75° = sen(45° + 30°) = 
 = sen 45° ∙ cos 30° + sen 30° ∙ cos 45° = 
 = 
√2
2
 ∙ 
√3
2
 + 
1
2
 ∙ 
√2
2
 = 
 = √
6
4
 + 
√2
4
 = 
√6 + √2
4
 
 
b) sen( + x) = sen ∙ cos x + sen x ∙ cos = 
 = 0 ∙ cos x + sen x ∙ (‒ 1) = 
 = − sen x 
 
c) sen 15° = sen(45° − 30°) = 
 = = sen 45° ∙ cos 30° ‒ sen 30° ∙ cos 45° = 
 = 
√2
2
 ∙ 
√3
2
 ‒ 
1
2
 ∙ 
√2
2
 = 
 = √
6
4
 ‒ 
√2
4
 = 
√6 − √2
4
 
 
20.2 Cosseno da soma ou cosseno da di-
ferença 
 
 
cos(a ± b) = cos a ∙ cos b − sen b ∙ sen a 
 
 
Exemplos: 
a) cos 75° = cos(45° + 30°) = 
 = cos 45° ∙ cos 30° ‒ sen 30° ∙ sen 45° = 
 = √2
2
 ∙ 
√3
2
 ‒ 
1
2
 ∙ 
√2
2
 = 
 = √6
4
 ‒ 
√2
4
 = 
√6 − √2
4
 
 
b) cos 15° = cos(45° − 30°) = 
 = cos 45° ∙ cos 30° + sen 30° ∙ sen 45° = 
 = √
2
2
 ∙ 
√3
2
 + 
1
2
 ∙ 
√2
2
 = 
 = √
6
4
 + 
√2
4
 = 
√6 + √2
4
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
97) Sendo x = 10, qual é o valor da expressão: 
 
E = 
𝐬𝐞𝐧 𝟑𝐱 + 𝐜𝐨𝐬
𝟑𝐱
𝟐
 − 𝐬𝐞𝐧
𝟏𝟓𝐱
𝟐
𝐭𝐚𝐧𝟐 𝟔𝐱
 
R: E = 1/6 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
98)(UFPA-2006) As soluções da equação 
 
cos (

2 + x) + cos
( − x) + cos(2 − x)
sen (

2 + x) − cos (

2 − x) + sen
(2 − x)
= 1 
 
Para 0 ≤ x ≤ 2, são tais que 
 
(a) somam  (c) diferem 2 (e) somam 

2
 
 (b) somam 2 (d) diferem  R: (d) 
 
99)(UEPA-2002) Uma pessoa avista o alto de 
uma torre sob um ângulo de medida x, tal que: 
 
𝐭𝐠 𝐱 = 
𝐭𝐠 𝟕𝟓°
𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝟕𝟓°
, então 
 
(a) x = 150° (c) x = 105° (e) x = 37,5° 
 
(b) x = 137,5° (d) x = 75° 
 
21 . OUTRAS FÓRMULAS 
21.1 Fórmula do arco duplo 
 
sen 2a = sen(a + a) = 
 = sen a ∙ cos a + sen a ∙ cos a = 
 = 2 ∙ sen a ∙ cos a 
 
cos 2a = cos(a + a) = 
 = cos a ∙ cos a + sen a ∙ sen a = 
 = cos2 a + sen2 a 
 
 
sen 2a = 2 ∙ sen a ∙ cos a 
 
 
 
cos 2a = cos2 a + sen2 a 
 
 
21.2 Fórmula do arco metade 
 
 
sen2
a
2
 = 
1−cos a
2
 
 
 
 
 
cos2
a
2
 = 
1+cos a
2
 
 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
100)(UEPA-2008) O morro do alemão é uma 
das regiões mais violentas do Rio de Janeiro. 
Como medida de socialização dessa favela, a 
Prefeitura da cidade, por meio da Secretaria de 
Turismo, pretende instalar um Teleférico, ligando 
um ponto da cidade ao alto desse morro. 
Considerando a 
figura 
representativa 
abaixo; que 
cos(2) = 
7
25
 e 
que AB̅̅ ̅̅ = 720 m, 
o valor de AC̅̅̅̅ é: 
 
(a) 1 600 m (c) 1 440 m (e) 1 200 m 
 
(b) 1 500 m (d) 1 350 m R: (e) 
 
22 . RESOLUÇÃO EM TRIÂNGULOS 
QUAISQUER 
22.1 Lei dos senos 
 
 
 
 
Em qualquer triângulo ABC, as medidas dos la-
dos são proporcionais aos senos dos ângulos 
opostos. 
 
ou seja, observada a figura abaixo, 
 
 
20 
 
 
 
a
sen A
 = 
b
sen B
 = 
C
senC
 
 
 
22.2 Lei dos cossenos 
 
 
 
 
Em qualquer triângulo ABC, o quadrado da me-
dida de um lado é igual à soma dos quadrados 
das medidas dos outros dois lados menos duas 
vezes o produto das medidas desses lados pelo 
cosseno do ângulo que eles formam. 
 
 
ou seja, observada a figura abaixo, 
 
 
 
 
a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A 
 ou 
 b2 = a2 + c2 – 2ac . cos B 
 ou 
 c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
101) Na figura 
abaixo, calcule o 
valor da medida x. 
 
 
102) No triângulo abaixo, determine as medidas 
de x e y. 
 
 
103) Numa fazenda o galpão fica 50 m distante 
da casa. Sejam x e y, respectivamente, as distân-
cias da casa e do galpão ao transformador con-
forme a figura abaixo. Calcule o valor de x + y em 
função de ∝ e . 
 
 
 
104) No triângulo da figura 
ao lado, determine a medida 
a. 
 
105) No triângulo da figura abai-
xo, calcule a medida de x. 
 
106) Na figura abaixo, 
calcule
a medida do seg-
mento AB em função de m 
e ∝. 
 
107) Duas forças de intensidade F1 = 8 N e 
F2 = 12 N formam entre si um ângulo de 60°. Qual 
é a intensidade R resultante dessas duas forças? 
(Considere √19 = 4,36) 
 
 
R: R = 17,4 N 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
108)(Enem-2017) Uma desenhista projetista 
deverá desenhar uma tampa de panela em forma 
circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no 
momento, de apenas um compasso, cujo compri-
mento das hastes é de 10 cm, um transferidor e 
uma folha de papel com um plano cartesiano. Para 
esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as 
hastes do compasso de forma que o ângulo for-
mado por elas fosse de 120º. A ponta seca está 
representada pelo ponto C, a ponta do grafite está 
 
21 
representado pelo B e a cabeça do compasso está 
representada pelo ponto A conforme a figura. 
 
 
 
 Após concluir o desenho, ela encaminha 
para o setor de produção. Ao receber o desenho 
com a indicação do raio da tampa, verificará em 
qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de 
material a ser utilizado na sua fabricação, de acor-
do com os dados. 
 
Tipo de Material Intervalo de valores do raio (cm) 
I 0 < R ≤ 5 
II 5 < R ≤ 10 
III 10 < R ≤ 15 
IV 15 < R ≤ 21 
V 21 < R ≤ 40 
 
 Considere 1,7 como a aproximação para √3. 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de 
produção será 
 
(a) I (b) II (c) III (d) IV (e) V 
R: (d) 
109)(Cesupa-2009) Uma pessoa encontra-se 
em um ponto A e deseja se dirigir ao ponto C, pelo 
caminho mais curto. Observe a figura 
representativa dessa situação, e verifique que a 
quantidade de metros que essa pessoa vai andar, 
para fazer o percurso desejado, é 
 
 
 
(a) igual a 50 (c) entre 50 e 60 
 
(b) maior que 50 (d) entre 40 e 50 
 
110)(UEPA-2005) A figura abaixo mostra um 
corte de um terreno onde será construída uma 
rampa reta, AC̅̅ ̅̅ , que servirá para o acesso de veí-
culos à casa, que se encontra na parte mais alta 
do terreno. A distância de A a B é de 6 m, de B a 
C é de 10 m e, o menor ângulo formado entre AB̅̅ ̅̅ 
e BC̅̅ ̅̅ é de 120°. Então, o valor do comprimento da 
rampa deve ser de: 
 
 
 
(a) 12 m (c) 13 m (e) 14 m 
 
(b) 12,5 m (d) 13,5 m 
 
 
 
 
111)(UEPA-2006) Três cidades A, B e C preci-
sam ser ligadas para que seus moradores possam 
comercializar os produtos por eles produzidos. Já 
existem duas estradas, em linha reta, que ligam 
as cidades A à B e B à C. Sendo que as prefeituras 
das cidades A e C desejam construir uma nova 
estrada para ligá-las. A figura abaixo mostra um 
levantamento topográfico feito 
por uma empresa de engenha-
ria. Sabendo que as medidas 
determinadas pela empresa de 
engenharia foram: AB̅̅ ̅̅ = 100 
km, m(ABC) = 60° e m(BAC) = 
75°, a distância entre as cida-
des A e C, que deve ser consi-
derada para construção de uma 
estrada, em linha reta, para 
ligar estas cidades é: 
 
(a) 100√6 km (c) 75√3 km (e) 50√6 km 
 
(b) 100√3 km (d) 50√3 km 
 
112)(UEPA-2001) Sobre uma 
circunferência de raio r tomamos 
os pontos A, B e C (veja figura. O 
arco AB̂ mede 120° e a corda AB 
mede 12 cm. Calcule o valor de r. 
R: 4√3 cm ou aprox. 6,92 cm 
 
113)(UFPA-2010) Após um naufrágio, um 
sobrevivente se vê na situação de ter que 
atravessar um rio de águas calmas. Prudente, 
decide só atravessá-lo depois de ter estimado a 
largura do rio. Improvisou então uma trena 
métrica e um transferidor rústicos e, para calcular 
a distância entre duas árvores, digamos uma 
árvore A, situada na margem em que se 
encontrava, e uma árvore B, situada na margem 
oposta, procedeu da seguinte forma: 
postando-se ao lado da árvore A e usando o 
transferidor construído, aferiu o ângulo entre a 
visada para a árvore B e para uma árvore C, 
situada na mesma margem em que se encontrava, 
obtendo o valor 105º; 
caminhou até a árvore C e, usando a trena 
métrica, estimou em 300 metros a distância entre 
esta e a árvore A; 
estando então junto à árvore C, mediu o ângulo 
entre as visadas para a árvore A e a árvore B, 
obtendo o valor 30º. 
 
 
 
Após os procedimentos descritos, as informações 
obtidas foram reunidas e foi estimada 
 
22 
corretamente a distância entre a árvore A e a 
árvore B, obtendo o valor de, aproximadamente: 
(considerar √2 = 1,41 e √3 = 1,73) 
 
(a) 150 m (b) 175 m (c) 189 m (d) 212 m (e) 250 m 
R: (d) 
114)(UFPA-2008) Considere as seguintes in-
formações: 
 De dois pontos A e B, localizados na mesma 
margem de um rio, avista-se um ponto C, de 
difícil acesso, localizado na margem oposta; 
 Sabe-se que B está distante 1000 metros de A; 
Com o auxílio de um teodolito (aparelho 
usado para medir ângulos) foram obtidas as se-
guintes medidas: BÂC = 30° e AB̂C = 80°. 
Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, 
unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de 
modo que seu comprimento seja mínimo. Pode-
mos afirmar que o comprimento da ponte será de 
aproximadamente 
 
(a) 524 metros (d) 500 metros 
 
(b) 532 metros (e) 477 metros 
 
(c) 1048 metros R: (a) 
 
Considere sen 80° = 0,985, sen 70° = 0,940, cos 80° 
= 0,174 e cos 70° = 0,340 
 
23 . CÁLCULO DE ÁREA DE UMA REGIÃO 
TRIÂNGULAR 
 Quando conhecemos dois lados de uma 
região triangular e o ângulo formado por eles, po-
demos determinar a sua área por meio da seguin-
te propriedade: 
 
 
A área S de qualquer região triangular é igual à 
do produto das medidas de dois lados multipli-
cada pelo seno do ângulo formado por eles. 
 
 
Ou seja, dado o triângulo abaixo, 
 
 
 
A área desse triângulo pode ser calculada 
das seguintes maneiras: 
 
 
S = 
ab
2
 ∙ sen C 
 
 
 
S = 
bc
2
 ∙ sen A 
 
 
 
S = 
ac
2
 ∙ sen B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
115) Determine a área da região triangular abai-
xo. 
 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
116)(FGV) Qual é a área da figura abaixo? 
 
 
(a) 4 (c) 2(√3 + 1) (e) √3 + 1 
 
(b) √2 + 1 (d) 2(√2 + 1) 
 
117)(UEPA-2009) Preocupado com a falta de 
área verde em sua cidade, um prefeito resolveu 
aproveitar um terreno triangular, localizado no 
cruzamento de 
duas ruas, para 
construir uma 
praça, conforme 
representado na 
figura ao lado. A 
área da praça a 
ser construída, em m2, é: 
 
(a) 250 (c) 300 (e) 500 
 
(b) 250√3 (d) 300√3 R: (c) 
 
118)(Cesupa-2006) A figura abaixo representa 
um monstro que aparece em um jogo eletrônico. 
Se a “boca” do monstro apresenta uma abertura 
de 60o e cada “arcada dentária” tem 
5 unidades de comprimento, então o 
monstro ocupa uma quantidade de 
unidades de área, aproximadamente 
igual a (use  = 3,14) 
 
(a) 65 (b) 23,5 (c) 6,5 (d) 2,6 
R: (a) 
119)(UEPA-2006) Um grupo de amigos “skatis-
tas” quer transformar sua rampa de saltos que 
tem uma elevação DF̅̅ ̅̅ curva no formato de um 
arco de circunferência (figura 1), para outra com 
elevação AC̅̅ ̅̅ reta (figura 2). Os amigos resolveram 
utilizar a mesma folha de compensado da rampa 
curva para nova rampa reta, então o comprimento 
AC̅̅ ̅̅ da rampa reta (figura 2) tem que ser igual ao 
comprimento DF̅̅ ̅̅ da rampa curva (figura 1). Ob-
servando as medidas das rampas apresentadas 
nas figuras abaixo, sendo OD̅̅ ̅̅ ̅ = OF̅̅ ̅̅ = 3m, m(DOF) 
= 60° e m(BAC) = 37°, então o valor da altura BC̅̅ ̅̅ 
da nova rampa será, aproximadamente, de: (con-
sidere: sen 37° = 0,6; cos 37° = 0,8; tg37° = 
0,75 e  = 3,14) 
 
 
23 
 
 
(a) 1,25 m (c) 2,35 m (e) 3,06 m 
 
(b) 1,88 m (d) 2,51 m 
 
120)(UFPA-2010) Uma partícula inicia um 
movimento oscilatório harmônico ao
longo de um 
eixo ordenado, de amplitude igual a 5 unidades e 
centrado na origem, de modo que a sua posição 
pode ser descrita, em função do tempo em 
segundos, pela função 
 
f(t) = 5cos(t). 
 
Ao mesmo tempo, uma outra partícula 
inicia um movimento também harmônico, centrado 
em 3, de amplitude igual a 1 e com o dobro da 
frequência da primeira partícula, de modo que sua 
posição é descrita pela função 
 
g(t) = cos(2t) + 3. 
 
A cerca da posição relativa das duas 
partículas, é CORRETO afirmar que 
(a) Elas se chocarão no instante t = 

3
 s. 
(b) Elas se chocarão no instante t = 

4
 s. 
(c) Elas se chocarão no instante t = 

6
 s. 
(d) Elas se chocarão no instante t = 3 s. 
 
(e) Elas não se chocarão. 
R: (a) 
121)(UFPA-2007) O pêndulo simples é formado 
por uma partícula de massa m fixada na 
extremidade inferior de uma haste retilínea, de 
comprimento 𝓁 (de massa desprezível se 
comparada com a massa da partícula), cuja 
extremidade superior está fixada. Suponhamos 
que o movimento do pêndulo se processe em um 
plano vertical e designemos por  o ângulo que a 
haste faz com a reta vertical 0Y (Veja figura 
abaixo). Observemos que  = (t), isto é,  é 
função do tempo t ≥ 0. O movimento do pêndulo, 
para pequenas oscilações, é regido pela equação 
 
(t) = A𝐜𝐨𝐬 (√
𝐠
𝓵
𝐭), t ≥ 0 
 
em que A é uma constante positiva, g é a 
aceleração da gravidade e 𝓁 é o comprimento da 
haste. Os valores de t ≥ 0, referentes à passagem 
do pêndulo pela posição vertical OY, isto é, ao 
momento em que (t) = 0, são dados por 
 
(a) t = (2k + 1)

2
 ∙ √
𝓁
g
, k = 1, 2, … 
 
(b) t = 1, 2, 3, … 
 
(c) t = 0 ou t = √
𝓁
g
 
 
(d) t = 1, 
1
2
, 
1
3
, … 
 
(e) t = √1, √2, √3, … 
 
 
R: (a) 
122)(UFPA-2007) Um engenheiro, responsável 
pela construção de uma pista de atletismo circular 
de 400 m, precisa orientar o pintor responsável por 
pintar as linhas de largada e chegada e as faixas 
de corrida de cada corredor, de modo que cada 
corredor corra apenas 400 m entre sua linha de 
largada e a linha de chegada, dentro de uma faixa 
de 1 m de largura. Considerando que 
a) o corredor que corre na faixa 1, a faixa mais 
próxima do centro da pista, parte da linha de 
chegada; 
b) a linha de chegada e a linha de largada do 
sexto corredor formam um ângulo ∝ de, 
aproximadamente, 0,457 radianos e que o 
comprimento do arco entre a linha de chegada e a 
linha de largada do sexto corredor é 31,43 m (veja 
figura abaixo); 
c) o raio de cada faixa é dado pelo segmento que 
une o centro da pista à circunferência menor da 
faixa; 
 
 
 
então, admitindo que 2 = 6,28, o comprimento, 
aproximado, do arco entre a linha de chegada e a 
linha de largada do sétimo corredor é 
 
(a) 41,25 m (c) 36,12 m (e) 40,10 m 
 
(b) 35,11 m (d) 38,15 m R: (d) 
 
 
24 
123)(UFPA-2005) Em 1722 o matemático britâ-
nico Abraham de Moivre descobriu a fórmula que 
hoje leva seu nome: 
 
cos(n) + i∙sen(n) = (cos + i ∙ sen )n, 
 
onde i = √−1. 
 
Uma consequência dessa fórmula, que pode 
ser obtida, analisando as partes reais dos dois 
membros da equação acima, é a relação 
(a) cos(5) = sin5  ‒ 10sen3  cos2  + 5sen  cos4  
 
(b) cos(5) = sin5  ‒ 10sen2  cos3  + 5sen cos4  
 
(c) cos(5) = cos5  ‒ 10cos3  sen2  + 5cos sen4  
 
(d) cos(5) = cos4  ‒ 5cos2  sen2  + 10sen4  
 
(e) cos(5) = cos5  ‒ 10cos3  sen2  + 5cos  sen4  
R: (e) 
124)(UFPA-2003) “A Petrobrás iniciou, na tarde 
de ontem, uma complexa operação para tentar 
salvar a plataforma de produção de petróleo P-34, 
que corre risco de naufragar na Bacia de Cam-
pos(...) A plataforma está inclinada para o lado 
esquerdo em um ângulo de 32°(...) A previsão da 
empresa é que a operação faça com que o nível de 
adernamento (inclinação) baixe para 12°, o que 
permitiria o restabelecimento do sistema elétrico 
da plataforma.” 
(O Liberal, 15/10/2002) 
A inclinação de 32° provocou o desloca-
mento horizontal do eixo vertical, conforme ilustra 
a figura: 
 
e - eixo vertical 
x – deslocamento horizontal 
com 12° 
d – deslocamento horizontal 
com 32º 
 
Reduzido o nível de ader-
namento, como desejava a 
empresa, calcule de quanto 
porcento foi a redução do 
deslocamento horizontal do 
eixo vertical. 
 
Dados: 
 
sen 32° = 0,53 
sen 12° = 0,21 
cos 32° = 0,85 
cos 12° = 0,98 
tg 32° = 0,62 
tg 12° = 0,21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela de razões trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
e e
e
32°
12°
d
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa 
ciência aplicada que economiza trabalho e torna a vida 
mais fácil? A resposta é simples: porque ainda não apren-
demos a nos servir dela com bom senso”. 
Albert Einstein. 
 
 
Atualizada em 10/8/2018 
 
 
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http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas-
de-matematica 
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Agradecimentos 
 
Gabriella Souza, na revisão do gabarito. 
 
 
Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. 
São Paulo: Ática, 2000, v.2. 
 
GAY, M.R.G Projeto Araribá: Matemática. 4. Ed. São 
Paulo: Moderna, 2014, v.2. (8º Ano). 
 
PAIVA, M. Matemática. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 
1999, v.único. (Coleção base). 
 
PAIVA, M. Matemática 2. 2. Ed. São Paulo: Moderna, 
2013, v.2.