Conjuntos e Produtos Cartesianos

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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS 
Ciências Exatas e Tecnológicas 
Matemática para Computação 
 Prof. Rogerio Ricardo Steffenon 
 
Gabarito da Tarefa 3 – Módulos 4, 5 e 6 
1) (1 ponto) Determine os conjuntos 𝐴 e 𝐵, tais que: 𝐴’ = {1, 3, 6, 8}, 𝐴Ç𝐵 = 	 {5} e 𝐴 ∪ 𝐵 =
{1, 2, 4, 5, 6,7}. 
 
Solução: Fazendo os Diagramas de Venn, comece completando a 
intersecção de A com B. Após, complete com os elementos que estão em 
A, mas não em B (são os que ainda estão em 𝐴 ∪ 𝐵, mas não estão 
em	𝐴’). Após, complete os elementos de B, que são os que estão na união 
de A em B, mas ainda não foram colocados em nenhum diagrama. Logo, 
𝑨 = {𝟐, 𝟒, 𝟓, 𝟕}	e 𝑩 = 𝟏, 𝟓, 𝟔 .		 
 
2) (1,5 pontos) Uma pesquisa mostrou que 37% dos entrevistados praticam natação, 63% praticam 
futebol, 29% praticam voleibol, 17% praticam natação e futebol, 14% praticam futebol e voleibol, 9% 
praticam natação e voleibol e 3% praticam os três esportes. 
(a) Quantos entrevistados praticam nenhum dos três esportes? 
(b) Quantos entrevistados só praticam um dos três esportes? 
(c) Quantos entrevistados praticam natação e futebol, mas não voleibol? 
 
Solução: Fazendo os Diagramas de Venn, comece pela 
intersecção dos três conjuntos, que são 3%. Os que praticam 
natação e futebol, mas não voleibol serão 17% - 3% = 14%, e 
represente esta quantidade na região de intersecção de N e F, 
mas que não intersecta V. Da mesma forma, conclua que 
praticam futebol e voleibol e não natação serão 14% - 3% = 
11% e praticam natação e voleibol e não futebol serão 9% - 3% 
= 6%. Após, complete os que só praticam natação e nenhum 
outro conjunto: 37% - 14% - 3% - 6% = 14%; de forma 
semelhante, conclua que só praticam futebol 35% e só praticam 
voleibol 9%. Fazendo a soma das porcentagens presentes nos 3 
conjuntos chega-se a 92%, o que mostra que 100% - 92% = 8% 
das pessoas não estão em nenhum dos três conjuntos. Assim, 
(a) 8% dos entrevistados não praticam nenhum dos 3 esportes; 
(b) 14% + 35% + 9% = 58% dos entrevistados praticam só um dos três esportes. 
(c) 14% dos entrevistados praticam natação e futebol, mas não voleibol. 
 
3) (3,5 pontos) Sendo os conjuntos 𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ ∶ −1 ≤ 𝑥 ≤ 6 , 𝐵 = 𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥	é	í𝑚𝑝𝑎𝑟	𝑒	𝑥 < 9 e 
𝐶 = {	𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 3}	, determine: 
(a) 𝐴 ∩ 𝐵 (b) 𝐵 − 𝐶 (c) 𝐴 ∪ 𝐶 (d) 𝐶′ 
 
Solução: Veja que 𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ ∶ −1 ≤ 𝑥 ≤ 6 = [−1, 6] são todos os números reais maiores ou iguais 
a -1 e menores ou iguais a 6; 𝐵 = 𝑥 ∈ ℕ ∶ 𝑥	é	í𝑚𝑝𝑎𝑟	𝑒	𝑥 < 9 = {1, 3, 5, 7} são os números naturais 
ímpares menores do que 9; e 𝐶 = 	𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 > 3 = (3, +∞) são todos os números reais maiores do 
que 3. Assim, temos que: 
(a) 𝑨 ∩ 𝑩 = {	𝟏, 𝟑, 𝟓} (os números naturais ímpares que estão entre -1 e 6) 
(b) 𝑩 − 𝑪 = {𝟏, 𝟑} (os números naturais ímpares que são menores ou iguais a 3) 
(c) 𝑨 ∪ 𝑪 = 𝒙 ∈ ℝ ∶ 𝒙 ≥ −𝟏 = [−𝟏,+∞) (os números reais que são maiores ou iguais a -1). 
(d) 𝑪Y = 𝒙 ∈ ℝ ∶ 𝒙 ≤ 𝟑 = (−∞, 𝟑] (os números reais que são menores ou iguais a 3). 
 
 
 
 
 
 
Após, represente graficamente os seguintes produtos cartesianos: 
(e) 𝐴×𝐵 (f) 𝐵×𝐶 (g) 	𝐶×𝐴 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (1 ponto) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições, justificando sua resposta: 
 
a) 3,444. . . = 	 [\\
]^^
 (b) _𝟒
_𝟖𝟑
	∈ 	ℕ 
Solução: (a) Falso, pois 	[\\
]^^
= 3,44 (decimal exata) e 3,444… = 3 + 0,444… = 3 + \
c
= []
c
	 
(b) Verdadeiro, pois _\
_de
= _\
_f
= 2 e 2 é um número natural. 
 
5) (1,5 pontos) Seja R a relação de A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} em B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} definida por 
𝑅 = { 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴×𝐵:		𝑦	 = 𝑥f	– 	2}. Apresente os pares ordenados desta relação. Após, determine o 
domínio e a imagem de R. 
Solução: Se 𝑥 = −2, 𝑦	 = −2 f − 2 = 2, e 2 ∈ 𝐵. Logo, teremos o par (-2, 2); 
se 𝑥 = −1, 𝑦	 = −1 f − 2 = −1, porém −1 ∉ 𝐵. Logo, não teremos o par (-1, -1); 
se 𝑥 = 0, 𝑦	 = 0 f − 2 = −2, porém −2 ∉ 𝐵. Logo, não teremos o par (0, -2); 
se 𝑥 = 1, 𝑦	 = 1 f − 2 = −1, porém −1 ∉ 𝐵. Logo, não teremos o par (1, -1); 
se 𝑥 = 2, 𝑦	 = 2 f − 2 = 2, e 2 ∈ 𝐵. Logo, teremos o par (2, 2); 
se 𝑥 = 3, 𝑦	 = 3 f − 2 = 7, e 7 ∈ 𝐵. Logo, teremos o par (3, 7) 
Logo, R={(-2, 2), (2, 2), (3, 7)}. Assim, Domínio(R) = {-2, 2, 3} e Imagem(R)={2, 2, 7}. 
 
6) (1,5 pontos) Considere os intervalos de números reais 𝐴 = (−∞, 2] = {𝑥 ∈ 	ℝ ∶ 	𝑥 ≤ 2} e 
𝐵 = [−2,+∞, ) 	= {𝑦 ∈ 	ℝ ∶ 	𝑦 ≥ −2}. Seja R a relação de A em B tal que 
𝑅 = { 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴×𝐵:			𝑦	 ≥ 𝑥 − 2				𝑒			𝑦 ≤ 𝑥 + 2} 
Faça a representação gráfica desta relação no plano cartesiano. Após, determine o domínio e a imagem 
desta relação. 
Solução:A relação R exige que 𝑦	 ≥ 𝑥 − 2 e 𝑦 ≤ 𝑥 + 2, ou 
seja, os pontos em questão devem estar na reta 𝑦 = 𝑥 − 2 e 
𝑦 = 𝑥 + 2 ou entre elas. Por outro lado, os valores de x 
devem ser do conjunto A e, portanto, devem ser menores ou 
iguais a 2, e por isto, a região deve estar à esquerda da reta 
x=2. Os valores de y devem ser do conjunto B e, portanto, 
devem ser maiores ou iguais a -2, e por isto, a região 
considerada deve estar acima da linha onde y=-2. Logo, a 
região de interseção são os pontos à esquerda de x=2, acima 
de y=-2 e entre ou igual as retas 𝑦 = 𝑥 − 2 e 𝑦 = 𝑥 + 2. 
Veja que o maior valor de x=2 acarreta y=4, pois y= x + 2 = 
2 + 2 = 4; o menor valor de y será y=-2, neste caso, se y= x 
+2, então -2 = x +2, ou seja, x = -4. 
Domínio(R)=	 𝒙 ∈ ℝ ∶ −𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 = −𝟒, 𝟐 . 
Imagem(R)=	 𝒚 ∈ ℝ ∶ −𝟐 ≤ 𝒚 ≤ 𝟒 = −𝟐, 𝟒