[Demonstração] Gerador de corrente alternada

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[Demonstração] Gerador de corrente alternada
Vinicius Carvalho.∗
Instituto Federal do Sertão Pernambucano, Campus Petrolina
Agosto de 2019
FÍSICA GERAL V
PROF.: Lincon Dantas
Problemática
Obtenha a expressão para a corrente in-
duzida em um resistor R conectado a uma
espira retangular, de lados a e b, que gira
com velocidade angular ω.
Solução
Para esta espira girando em um campo−→
B uniforme, tem devido a lei de Fara-
day (posteriormente equacionada), uma cor-
rente induzida (iind) devido a variação do
fluxo magnético (φB), sobre a área A dessa
espira. Deste modo de ińıcio vamos achar o
valor desse fluxo.
O fluxo de campo magnético (φB)é propor-
cional a soma integral sobre a área da espira
do produto de componentes internas entre o
vetor de campo magnético (
−→
B ), e o versor
Normal da espira (n̂), ou seja:
φB =
∫
S
<
−→
B , n̂ > dA (1)
O vetor de campo magnético (
−→
B ) e o ve-
tor de área (
−→
A ) apresentam um angulo Φ,
como o vetor normal (n̂) a essa espira sem-
pre tem uma relação de paralelismo com
o vetor
−→
A , logo conclúımos que a relação
entre o
−→
B e n̂ é angular igual a Φ. Deste
modo fica fácil visualizar que o produto de
componentes internas entre eles é:
<
−→
B , n̂ >= |
−→
B |.|n̂|. cos Φ
Aplicando isso a eq.(1), temos:
φB =
∫
S
|
−→
B |.|n̂|. cos Φ dA
Como n̂ é um versor seu valor modular
é 1 e a integral através da área completa é
A, sendo que como se trata de uma espira
quadrilátera sua área é o produto do valor
∗E-mail:prof.vcarvalho@outlook.com—Graduando em F́ısica no Instituto Federal de Educação,
Ciências e Tecnologia do Sertão Pernambucano.
1
modular de seus lados, que segundo o pro-
blema vale a e b portanto A = a.b, aplicando
essas informações obtemos o seguinte valor
para o fluxo:
φB = ab|
−→
B |. cos Φ (2)
A partir do fluxo, conseguimos através
da lei de Faraday/Lenz, definir o valor
da força eletromotriz induzida (fem/�ind)
nessa espira, veja:
�ind = −
dφB
dt
(3)
Onde nos diz que a femind é proporcio-
nal a variação do fluxo de campo magnético
no tempo(Faraday), o sinal negativo indica-
nos que a femind se opõe a essa variação
(Lenz).Como ja sabemos o valor do fluxo
do campo magnético [eq. (2)], aplicando o
sobre a eq. (3), obtemos:
�ind = −
dφB
dt
�ind = −
d
dt
(ab|
−→
B |. cos Φ)
�ind = −(ab|
−→
B |.)d(cos Φ)
dt
Como a espira gira com velocidade angu-
lar ω, o ângulo Φ, também varia com a
mesma taxa, com isso a partir dos conceitos
de MRU, podemos concluir que a velocidade
de Φ equivale a:
Φ = Φ0 + ω.t
Com isso:
�ind = −(ab|
−→
B |.)d(cos Φ0 + ω.t)
dt
�ind = −(ab|
−→
B |.)d(Φ0 + ω.t)
dt
.
d(cos Φ0 + ω.t)
dt
�ind = −(ab|
−→
B |.).ω.(− sin Φ0 + ω.t)
�ind = ab|
−→
B |.ω.[sin (Φ0 + ω.t)] (4)
Agora que temos o valor da força ele-
tromotriz induzida definido pela eq.(4), e a
um elemento resistivo (R) no circuito, as-
sim como na lei de Ohm, temos que em um
circuito induzido a femind é proporcional
a corrente induzida (iind) e a o valor desse
elemento resistivo (R), deste modo:
�ind = Iind.R (5)
De (4) em (5):
ab|
−→
B |.ω.[sin (Φ0 + ω.t)] = Iind.R
Iind =
ab|
−→
B |.ω.[sin (Φ0 + ω.t)]
R
2