PC_2015-1_AP03_GABARITO

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AP 03 – 2015-1 GABARITO Pré-Cálculo 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 3 
Pré-Cálculo 
_______________________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [3,5 pontos]: 
(a) [1,2] Fatore o polinômio 𝑝(𝑥) = −𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − 6, isto é, escreva 𝑝(𝑥) como produto de fatores lineares 
(tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique 
sua fatoração, mostrando como encontrou as raízes desse polinômio. 
(b) [1,3] Analise o sinal da função 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 2)2(2 + 𝑥)(9 − 𝑥2). 
Lembre que analisar o sinal de uma função significa determinar os valores de 𝑥 do domínio da função em que a 
função é nula, os intervalos do domínio em que a função é positiva e os intervalos em que é negativa. 
Se usar uma tabela de sinais, a partir da tabela, escreva claramente a sua resposta. 
(c) [1,0] Determine o domínio da função 𝑔(𝑥) =
√5−2𝑥
𝑞(𝑥)
, onde 𝑞(𝑥) é a função do item (b). 
Dê a resposta em forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em 
comum). 
RESOLUÇÃO: 
(a) Para fatorar precisamos encontrar as raízes de 𝑝(𝑥). Vamos começar procurando por raízes inteiras. As possíveis 
raízes inteiras são os divisores do termo independente, que é igual a −6. 
Logo 1,−1, 2, −2, 3, −3, 6, −6 são as possíveis raízes inteiras. 
Procurando uma primeira raiz, 
𝑝(1) = −(1)3 + 4(1)2 − (1) − 6 = −1 + 4 − 1 − 6 = −4, logo −1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(−1) = −(−1)3 + 4(−1)2 − (−1) − 6 = 1 + 4 + 1 − 6 = 0, logo −1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Para encontrar outras raízes, podemos calcular 𝑝(𝑥) nos valores restantes de 𝑥 e verificar se 𝑝(𝑥) = 0, ou podemos 
dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 + 1) para obter um polinômio de grau 2 e procurar as raízes desse polinômio. Vamos optar pela 
segunda maneira, usando o algoritmo de Briot-Ruffini para fazer a divisão. 
 −1 4 −1 −6 
−1 −1 5 −6 0 
Logo, 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(−𝑥2 + 5𝑥 − 6). 
Agora vamos determinar as raízes do trinômio acima. 
𝑥 =
−5±√25−4∙(−1)∙(−6)
−2
= 
−5±1
−2
, donde 𝑥 =
−4
−2
= 2 ou 𝑥 =
−6
−2
= 3. 
Logo, (−𝑥2 + 5𝑥 − 6) = −(𝑥 − 2)(𝑥 − 3). 
Conclusão: 𝑝(𝑥) = −𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − 6 = −(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3). 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
(b) Vamos construir a tabela de sinais. 
 (∞,−3) −3 (−3,−2) −2 (−2, 2) 2 (2, 3) 3 (3,∞) 
(𝑥 − 2)2 + + + + + 0 + + + 
(2 + 𝑥) − 0 − 0 + + + + + 
(9 − 𝑥2) − 0 + + + + + 0 − 
𝑞(𝑥) + 0 − 0 + 0 + 0 − 
Da tabela, concluímos que: 
𝑞(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 é igual a qualquer um dos valores: −3;−2; 2; 3. 
𝑞(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 ∈ (−3,−2) ∪ (3,∞), ou, em outra forma, −3 < 𝑥 < −2 ou 𝑥 > 3. 
𝑞(𝑥) > 0 se e só se 𝑥 ∈ (−∞,−3) ∪ (−2, 2) ∪ (2, 3), ou, em outra forma, 𝑥 < −3 ou −2 < 𝑥 < 3 e 𝑥 ≠ 2. 
 
(c) Para 𝑔(𝑥) =
√5−2𝑥
𝑞(𝑥)
 As restrições para o domínio são: 5 − 2𝑥 ≥ 0 e 𝑞(𝑥) ≠ 0. 
Resolvendo, 5 − 2𝑥 ≥ 0 ⟺ −2𝑥 ≥ −5 ⟺ 𝑥 ≤
−5
−2
 ⟺ 𝑥 ≤
5
2
. 
No item (b) vimos 𝑞(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 é igual a qualquer um dos valores: −3;−2; 2; 3. 
Logo, 𝑞(𝑥) ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −3, 𝑥 ≠ −2 𝑥 ≠ 2 𝑥 ≠ 3. 
Como 
5
2
< 3, concluímos que o 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤
5
2
 , 𝑥 ≠ −3, 𝑥 ≠ −2 , 𝑥 ≠ 2 }. 
Escrevendo em forma de união de intervalos disjuntos, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞,−3) ∪ (−3,−2) ∪ (−2, 2) ∪ (2,
5
2
]. 
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2ª. Questão [3,5 pontos]: 
(a) [0,4] Considere a função 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 . Diga qual é o domínio da função 𝑔 e esboce o seu gráfico, identificando 
no gráfico o ponto onde corta o eixo 𝑦. 
(b) [1,1] Seja a função ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 . Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝒉 corta os eixos 
coordenados, se existirem. Justifique! Explique a construção do gráfico da função 𝒉 através de 
transformações (translações, etc.) no gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥. Justifique! Esboce o gráfico da função 𝒉 . 
Diga qual é a imagem da função ℎ . 
A partir do gráfico da função ℎ , dê os intervalos do seu domínio onde 𝒉(𝒙) é positiva e os intervalos onde 
é negativa. 
(c) [0,8] Considere agora, a função 𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 |. Encontre o ponto onde o gráfico da função 𝒓 encontra o 
eixo 𝑥 . Explique a construção desse gráfico através de transformações (translações, etc.) no gráfico da função 
ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 . Justifique! Esboce o gráfico da função 𝒓 . Observe o gráfico da função 𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | e dê 
os intervalos do domínio onde a função é crescente e os intervalos onde é decrescente. 
(d) [1,2] E considere a função 𝒇(𝒙) = |𝑒𝑥 − 2 | − 1. Encontre os pontos onde o gráfico da função 𝒇 corta os eixos 
coordenados, se existirem. Justifique! Esboce o gráfico da função 𝑓. Explique a construção desse gráfico 
através de transformações (translações, etc.) no gráfico da função 𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | . Diga qual é a imagem da 
função 𝑓 . Justifique. 
OBSERVAÇÃO: Identifique em todos os gráficos os pontos que o gráfico corta ou toca os eixos 
coordenados, que você encontrou em cada item. 
RESOLUÇÃO: 
(a) 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ e o gráfico corta o eixo 𝑦 no ponto (0 , 1) , pois 
𝑔(0) = 𝑒0 = 1. 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) Para encontrar o ponto onde a função ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 encontra o eixo 𝑥 , fazemos ℎ(𝑥) = 0 . 
ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑒𝑥 = 2 ⟺ ln(𝑒𝑥) = ln(2) ⟺ 𝑥 = ln(2). 
Fazendo 𝑥 = 0 , encontramos o ponto onde o gráfico encontra o eixo 𝑦 : 
ℎ(0) = 𝑒0 − 2 = 1 − 2 = −1 
Portanto a função ℎ encontra o eixo 𝑥 no ponto (ln(2) , 0) e encontra o eixo 𝑦 no ponto (0 , −1) . 
Uma possível sequência de transformações para a construção do gráfico da função ℎ a partir do gráfico da função 
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 é: 
𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 
 
 
 
𝑰𝒎(𝒉) = (−𝟐 , +∞) 
 
 
A partir do gráfico da função 𝒉 concluímos que: 
𝒉(𝒙) > 𝟎 ⟺ 𝒙 ∈ (𝐥𝐧(𝟐) , +∞) e 𝒉(𝒙) < 𝟎 ⟺ 𝒙 ∈ (−∞ , 𝐥𝐧(𝟐)) . 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) Para encontrar o ponto onde a função 𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | encontra o eixo 𝑥 , fazemos 𝑟(𝑥) = 0 . 
𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | = 0 ⟺ 𝑒𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑒𝑥 = 2 ⟺ ln(𝑒𝑥) = ln(2) ⟺ 𝑥 = ln(2). 
Portanto a função 𝑟 encontra o eixo 𝑥 no ponto (ln(2) , 0) 
Uma possível sequência de transformações para a construção do gráfico da função 𝑟 a partir do gráfico da função 
ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 é: 
 ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 − 2 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | 
 
 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 
 
 
 
Do gráfico da função 𝑟 concluímos que: 
𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | é crescente no intervalo [ln(2), +∞) e é decrescente no intervalo (−∞ , ln(2)]. 
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(d) Calculando onde a função 𝒇(𝒙) = |𝑒𝑥 − 2 | − 1 corta o eixo 𝑦 : 
Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑓(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | − 1 , temos 
𝑓(0) = |𝑒0 − 2 | − 1 = |1 − 2 | − 1 = |−1 | − 1 = 1 − 1 = 0. 
Logo a função 𝒇 corta o eixo 𝑦 no ponto (0 , 0). 
Calculando onde a função 𝑓(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | − 1 corta o eixo 𝑥 : 
Fazendo 𝑓(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | − 1 = 0 ⟹ 
|𝑒𝑥 − 2 | − 1 = 0 ⟺ |𝑒𝑥 − 2 | = 1 ⟺ 𝑒𝑥 − 2 = 1 ou𝑒𝑥 − 2 = −1 ⟺ 
 𝑒𝑥 = 3 ou 𝑒𝑥 = 1 ⟺ ln( 𝑒𝑥) = ln(3) ou 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = ln(3) ou 𝑥 = 0 
Logo a função 𝒇 corta o eixo 𝑥 nos pontos (0 , 0) e (ln (3) , 0) . 
Uma possível sequência de transformações para a construção do gráfico da função 𝑓 a partir do gráfico da função 
 𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | é: 
𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑓(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | − 1 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que o ponto (𝐥𝐧(𝟐), 𝟎) do gráfico da função 𝑟(𝑥) = |𝑒𝑥 − 2 | e foi transladado para o ponto (𝐥𝐧(𝟐),−𝟏) , 
por isso, do gráfico concluímos que 𝑰𝒎(𝒇) = [−𝟏 , +∞). 
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3ª. Questão [3,0 pontos]: 
(a) [1,8] Resolva a equação sen(2𝑥) = sen(𝑥), para: 
(i) 𝑥 ∈ [0,2𝜋] (ii) 𝑥 ∈ ℝ (iii) 𝑥 ∈ [0,3𝜋] 
(b) [1,2] Considere 𝑓(𝑥) = arcsen (
𝑥
2
− 3). 
Determine o domínio de 𝑓 e calcule, se possível, tan(𝑓(5)) e tan(𝑓(9)). 
RESOLUÇÃO: 
(a) Substituindo a identidade trigonométrica sen(2𝑥) = 2 sen(𝑥) cos(𝑥) no lado esquerdo da equação dada, 
obtemos: 
2sen(𝑥) cos(𝑥) = sen(𝑥) ⟺ 2sen(𝑥) cos(𝑥) − sen(𝑥) = 0 ⟺ sen(𝑥) (2 cos(𝑥) − 1) = 0 ⟺ 
sen(𝑥) = 0 ou cos(𝑥) =
1
2
. 
Agora, pensando no círculo trigonométrico, podemos determinar as soluções de 
sen(𝑥) = 0 e de cos(𝑥) =
1
2
 nos intervalos pedidos. 
(i) Para 𝑥 ∈ [0,2𝜋] 
sen(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = 2𝜋 
cos(𝑥) =
1
2
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = 2𝜋 −
𝜋
3
=
5𝜋
3
 . 
Concluindo, a solução é 𝑆 = {0 , 𝜋 , 2𝜋 ,
𝜋
 3
 ,
5𝜋
3
}. 
(ii) Para 𝑥 ∈ ℝ as soluções são: 𝑥 = 𝑘𝜋 ou 𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 ou 𝑥 =
5𝜋
3
+ 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ . 
(iii) Para 𝑥 ∈ [0,3𝜋] já temos as soluções no intervalo [0,2𝜋], falta encontrar as soluções no intervalo 
(2𝜋, 3𝜋], que são: 
Para sen(𝑥) = 0: a solução em (2𝜋, 3𝜋] 𝑥 = 3𝜋. 
Para cos(𝑥) =
1
2
 a solução em (2𝜋, 3𝜋] 𝑥 =
𝜋
3
+ 2𝜋 =
7𝜋
3
. 
Concluindo, a solução é 𝑆 = {0 , 𝜋 , 2𝜋 , 3𝜋 , 
𝜋
 3
 ,
5𝜋 
3
,
7𝜋
3
}. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) −1 ≤
𝑥
2
− 3 ≤ 1 ⟺ −1 + 3 ≤
𝑥
2
≤ 1 + 3 ⟺ 2 ≤
𝑥
2
≤ 4 ⟺ 4 ≤ 𝑥 ≤ 8. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = [4, 8]. 
𝑓(5) = arcsen (
5
2
− 3) = arcsen (−
1
2
) = −
𝜋
6
 ⟹ tan(𝑓(5)) = tan (−
𝜋
6
) =
sen(−
𝜋
6
)
cos(−
𝜋
6
)
=
−
1
2
√3
2
= −
√3
3
. 
Não é possível calcular tan (𝑓(9)) porque 9 ∉ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = [4, 8].