Álgebra Linear II

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Notas de Aula - 30/11/2009
Profo: José Sérgio Domingues
Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES
Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Sumário
1 Diagonalização de Matrizes 1
2 Diagonalização de Operadores 2
3 Formas Bilineares e Quadráticas Reais 4
3.1 Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Matriz de uma Forma Bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Forma Bilinear Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4 Forma Canônica de Jordan 8
5 Teorema Espectral 10
5.1 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Referências 11
1 Diagonalização de Matrizes
De�nição 1.1. Dizemos que uma matriz A, de ordem n, é diagonalizável, se existem
matrizes P e D tais que A = PDP−1, ou equivalente, D = P−1AP , em que D é uma
matriz diagonal.
Teorema 1.2. Seja A uma matriz de ordem n que tem n autovetores L.I (V1, V2, ..., Vn),
associados a λ1, λ2, ..., λn, respectivamente. Então, as matrizes
P = [V1 V2 ... Vn] e D =


λ1 0 · · · 0
0 λ2 0 0
... 0 · · · ...
0 · · · 0 λn


são tais que D = P−1AP , ou seja, A é diagonalizável. Reciprocamente, se A é diagonal-
izável, então ela possui n autovetores L.I.
Exemplo 1.3. Encontre as matrizes P e D, sendo A =

 1 −1
−4 1

 e veri�que que
A = PDP−1.
Os autovalores encontrados são λ1 = −1 e λ2 = 3. Seus respectivos autoespaços
associados são W1 = {(α, 2α) | α ∈ R} = {α(1, 2) | α ∈ R} e W2 = {(α,−2α) | α ∈
R} = {α(1, −2) | α ∈ R}.
Observe que V1 = (1, 2) e V2 = (1, −2) são autovetores L.I. Portanto, de acordo com
o Teorema 1.2, temos que
P =

 1 1
2 −2

 e D =

 −1 0
0 3

.
Além disso, P−1 =


1
2
1
4
1
2
−1
4

 e A = PDP−1.
Teorema 1.4. Autovalores distintos possuem autovetores associados linearmente inde-
pendentes (L.I).
Corolário 1.5. Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T : V → V é um operador
linear que possui n autovalores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos
autovetores de T.
1
Em outras palavras, o corolário nos garante que, se conseguirmos encontrar tantos
autovalores distintos quanto for a dimensão do espaço, podemos garantir a existência de
uma base de autovetores.
2 Diagonalização de Operadores
De�nição 2.1. Dizemos que o operador linear T : V → V é um operador diagonalizável
se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T.
Portanto, de acordo com o corolário acima, para veri�car se um operador linear é di-
agonalizável, basta mostrar que a matriz associada a esse operador possui n autovalores
distintos.
Exemplo 2.2. Veri�que que T : R3 → R3 dado por T (x, y, z) = (3x−3y−4z, 3y+5z,−z),
não é diagonalizável.
A matriz associada a esse operador linear em relação à base canônica é
A = [T ]αα =


3 −3 −4
0 3 5
0 0 −1


portanto, o seu polinômio característico é dado por det(A − λI3) e seus autovalores são
as soluções da equação característica det(A− λI3). Para o nosso exemplo, temos
A− λI3 =


3 −3 −4
0 3 5
0 0 −1


−


λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ


=


3− λ −3 −4
0 3− λ 5
0 0 −1− λ


Então, P (λ) = 0 ⇐⇒ det(A− λI3) = (3− λ)2(−1− λ) = 0 ⇐⇒ λ1 = 3 e λ2 = −1.
• Para λ1 = 3, temos:
(A− 3I3)v = 0 ⇐⇒


0 −3 −4
0 0 5
0 0 −4




x
y
z


=


0
0
0


⇐⇒



−3y − 4z = 0
5z = 0
− 4z = 0
⇐⇒ x = α e y = z = 0.
Portanto,
W1 = {(α, 0, 0) | α ∈ R} = {α(1, 0, 0) | α ∈ R}
2
• Para λ2 = −1, temos:
(A+I3)v = 0 ⇐⇒


4 −3 −4
0 4 5
0 0 0




x
y
z


=


0
0
0


⇐⇒



4x − 3y − 4z = 0
4y + 5z = 0
0 = 0
⇐⇒ x = α
16
, y = −5
4
α e z = α.
Portanto,
W2 = {( α16 , −54α, α) | α ∈ R} = {α( 116 , −54 , 1) | α ∈ R}
Neste caso, temos apenas dois autovetores L.I para T , e portanto não existe uma
base de R3 constituída só de autovetores de T . Isto signi�ca este operador não é
diagonalizável.
Exemplo 2.3. Mostre que T : R2 → R2 onde T (x, y) = (−3x + 4y, −x + 2y), é
diagonalizável.
De acordo com o que estudamos anteriormente, para mostrar que T é diagonalizável,
basta veri�car que a matriz associada a este operador linear possui o número de autoval-
ores distintos igual a 2, pois neste caso, V = R2 e dim(R2) = 2.
Pois bem, em relação à base canônica α, temos que A = [T ]αα =

 −3 4
−1 2

. Logo,
det(A− λI2) = 0 ⇐⇒ det

 −3− λ 4
−1 2− λ

 = 0 ⇐⇒ (−3− λ)(2− λ) + 4 = 0
⇐⇒ λ2 + λ− 2 = 0 ⇐⇒ λ1 = 1 e λ2 = −2.
Como a matriz A possui dois autovalores distintos, pelo Corolário 1.5, V = R2
possui uma base formada por autovetores de T . E portanto, pela De�nição 2.1, T é
diagonalizável.
Exemplo 2.4. No exemplo anterior, vimos que λ1 = 1 6= λ2 = −2. O leitor pode veri�car
que dois autovetores linearmente independentes associados a λ1 e λ2 são, respectivamente,
V1 = (1, 1) e V2 = (4, 1). Pelo Corolário 1.5, uma base de V = R2 é β = {V1, V2}.
Vamos encontrar [T ]ββ e observar de que tipo ela será.
3
T (V1) = T (1, 1) = (−3 + 4, −1 + 2) = (1, 1) = 1 · V1 + 0 · V2
T (V2) = T (4, 1) = (−3 · 4 + 4 · 1, −4 + 2 · 1) = (−8, −2) = 0 · V1 − 2 · V2
Portanto, concluímos que
[T ]ββ =

 1 0
0 −2


que é uma matriz diagonal, onde a diagonal principal é formada exatamente pelos auto-
valores de T .
Isso não ocorreu por acaso, na realidade, a de�nição formal de operador diagonalizável,
vem da idéia de a partir de um operador linear T : V → V , conseguirmos encontrar uma
base β de V na qual a matriz do operador nesta base ([T ]ββ) seja uma matriz diagonal,
que é a forma mais simples possível de se representar um operador.
3 Formas Bilineares e Quadráticas Reais
3.1 Formas Bilineares
De�nição 3.1. Seja V um espaço vetorial real. Uma forma bilinear é uma aplicação
B : V XV → R de�nida por (v, w) 7→ B(v, w) tal que:
i. Para w �xado, B(v, w) é uma forma linear em v, isto é,
B(v1 + v2, w) = B(v1, w) + B(v2, w) e B(av, w) = aB(v, w)
ii. Para v �xado, B(v, w) é uma forma linear em w, isto é,
B(v, w1 + w2) = B(v, w1) + B(v, w2) e B(v, aw) = aB(v, w)
Exemplo 3.2. O produto usual de números reais, de�nido por P : R X R → R com
(x, y) 7→ xy.
Vamos veri�car as duas propriedades para demonstrar que esta aplicação é bilinear.
i. P (x1 + x2, y) = (x1 + x2)y = x1y + x2y = P (x1, y) + P (x2, y)
P (ax, y) = axy = a(xy) = aP (x, y)
4
ii. P (x, y1 + y2) = x(y1 + y2) = xy1 + xy2 = P (x, y1) + P (x, y2)
P (x, ay) = xay = a(xy) = aP (x, y)
Exemplo 3.3. Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈, 〉. O operador linear
B : V X V → R de�nido por (v, w) 7→ 〈v, w〉 é uma forma bilinear pelas propriedades
de produto interno.
3.2 Matriz de uma Forma Bilinear
Seja V um espaço vetorial e B : V X V → R uma forma bilinear. Se α = {v1, ..., vn} é
uma base de V , podemos associar a B uma matriz ([B]αα), denominada matriz da forma
bilinear B, na base α, da seguinte forma:
Como α é base de V , tomando v, w ∈ V podemos escrever
v = x1v1 + ... + xnvn
e
w = y1v1 + ... + ynvn.
Então,
B(v, w) = [x1 ... xn] ·


B(v1, v1) · · · B(v1, vn)
... . . . ...
B(vn, v1) · · · B(vn, vn)

 ·


y1
...
yn


Portanto,
B(v, w) = [v]′α · [B]αα · [w]α
Exemplo 3.4. Seja B : R2 X R2 → R a forma bilinear dada por B(v, w) = −x1y1 +
2x2y1 +5x2y2 onde v = (x1, x2) e w = (y1, y2). Então, se α = {e1, e2} é a base canônica
de R2, temos:
B(e1, e1) = B((1, 0), (1, 0)) = −1 · 1 + 2 · 0 · 1 + 5 · 0 · 0 = −1
B(e2, e1) = B((0, 1), (1, 0)) = −0 · 1 + 2 · 1 · 1 + 5 · 1 · 0 = 2
B(e1, e2) = B((1, 0), (0, 1)) = −1 · 0 + 2 · 0 · 0 + 5 · 0 · 1 = 0
B(e2, e2) = B((0, 1), (0, 1)) = −0 · 0 + 2 · 1 · 0 + 5 · 1 · 1 = 5
5
Então,
[B]αα =

 B(e1, e1) B(e1, e2)
B(e2, e1) B(e2, e2)

 =

 −1 0
2 5


e
B(v, w) = [x1 x2] ·

 −1 0
2 5

 ·

 y1
y2
 = [v]′α · [B]αα · [w]α
Exemplo 3.5. Seja M =


−2 0 0
4 2 0
0 0 2

. É possível associar a M uma forma bilinear
B : R3 X R3 → R de�nida por
B((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = [x1 x2 x3] ·


−2 0 0
4 2 0
0 0 2

 ·


y1
y2
y3


Então,
B((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = −2x1y1 + 4x2y1 + 2x2y2 + 2x3y3.
3.3 Forma Bilinear Simétrica
De�nição 3.6. Uma forma bilinear B : V X V → R é denominada forma bilinear
simétrica se B(v, w) = B(w, v), ∀ v, w ∈ V .
Exemplo 3.7. B(v, w) = 〈v, w〉, onde 〈, 〉 é um produto interno em V .
Exemplo 3.8. B : R2 X R2 → R dada por B(v, w) = −x1y1 + 3x2y1 + 3x1y2 + 2x2y2,
onde v = (x1, x2) e w = (y1, y2) (Veri�que!).
Exemplo 3.9. Vamos encontrar a matriz da forma bilinear acima, utilizando a base
canônica α, [B]αα.
No exemplo acima, V = R2 =⇒ α = {e1, e2} é uma base de V . Logo,
B(e1, e1) = B((1, 0), (1, 0)) = −1 · 1 + 3 · 0 · 1 + 3 · 1 · 0 + 2 · 0 · 0 = −1
B(e1, e2) = B((1, 0), (0, 1)) = −1 · 0 + 3 · 0 · 0 + 3 · 1 · 1 + 2 · 0 · 1 = 3
6
B(e2, e1) = B((0, 1), (1, 0)) = −0 · 1 + 3 · 1 · 1 + 3 · 0 · 0 + 2 · 1 · 0 = 3
B(e2, e2) = B((0, 1), (0, 1)) = −0 · 0 + 3 · 1 · 0 + 3 · 0 · 1 + 2 · 1 · 1 = 2
Então,
[B]αα =

 B(e1, e1) B(e1, e2)
B(e2, e1) B(e2, e2)

 =

 −1 3
3 2


Observação 3.10. Observe que a matriz da forma bilinear que encontramos acima é
simétrica.
Teorema 3.11. Uma forma bilinear B : V X V → R é simétrica se, e somente se, [B]αα
é uma matriz simétrica.
Observação 3.12. A demonstração do teorema acima é trivial, e �ca a cargo do leitor.
3.4 Formas Quadráticas
De�nição 3.13. Seja V um espaço vetorial real e B : V X V → R uma forma bilinear
simétrica. A função Q : V → R de�nida por Q(v) = B(v, v) é chamada forma quadrática
associada a B.
Exemplo 3.14. Seja B : R3 X R3 → R dada por B(v, w) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3 +
x1y2 + x2y1, onde v = (x1, x2, x3) e w = (y1, y2, y3). Facilmente, veri�ca-se que B é
uma forma bilinear simétrica de R3.
A forma quadrática associada associada a B é a função
Q(v) = B(v, v) = x21 + 2x
2
2 + 3x
2
3 + x1x2 + x2x1
= x21 + 2x
2
2 + 3x
2
3 + 2x1x2
Exemplo 3.15. Associada ao produto interno usual de Rn, B : Rn X Rn → R com
B(v, w) = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn (que obviamente é uma forma linear simétrica) está
a forma quadrática Q(v), dada por
Q(v) = B(v, v) = x21 + x
2
2 + ... + x
2
n
7
4 Forma Canônica de Jordan
Partição de uma Matriz em Blocos: Particionar uma matriz A qualquer em blocos,
signi�ca dividir esta matriz em submatrizes.
Exemplo 4.1. Se A =


1 −2 π √3
6 −7 2 −1
−7 −3 −9 0


, uma das possíveis subdivisões de A é
A =


1 −2 π √3
6 −7 2 −1
−7 −3 −9 0


=

 A11 A12
A13 A14

,
onde,
A11 =
(
1 −2 π
)
, A12 =
( √
3
)
, A13 =

 6 −7 2
−7 −3 −9

 e A14 =

 −1
0

 ,
são os blocos da subdivisão da matriz original A.
Já estudamos que nem todo operador linear T : V → V é diagonalizável, ou seja,
nem sempre existe uma base β de V tal que a matriz [T ]ββ é diagonal. Entretanto, para
várias aplicações, é su�ciente que exista uma base β tal que a matriz [T ]ββ tenha uma forma
bem próxima da forma diagonal. Essa forma é denominada forma canônica de Jordan.
De�nição 4.2. Uma matriz J , nxn, está na forma canônica de Jordan, se ela é da
forma
J =


Jλ1 0 · · · 0
0 Jλ2 · · · 0
... ... . . . ...
0 0 · · · Jλk


, em que Jλj =


λj 0 · · · 0 0
1 λj · · · 0 0
... ... . . . ... ...
0 0 · · · λj 0
0 0 · · · 1 λj


para j = 1, ..., k. Jλj é chamado bloco de Jordan.
8
Exemplo 4.3. A =


2 0 0 0
1 2 0 0
0 1 2 0
0 0 0 2


está na forma canônica de Jordan e é formada
por dois blocos de Jordan, o primeiro sendo 3x3 e o segundo 1x1.
Exemplo 4.4. B =


5 0 0 0
1 5 0 0
0 0 −3 0
0 0 1 −3


está na forma canônica de Jordan e é formada
por dois blocos de Jordan, ambos 2x2.
Exemplo 4.5. C =


−4 0 0 0
1 −4 0 0
0 1 −4 0
0 0 1 −4


está na forma canônica de Jordan e é for-
mada por apenas um bloco de Jordan.
Exemplo 4.6. D =


7 0 0 0
0 7 0 0
0 0 7 0
0 0 0 7


está na forma canônica de Jordan e é formada
por 4 blocos 1x1.
Exemplo 4.7. E =


2 0 0 0
1 2 0 0
0 1 2 0
0 0 1 −1


não está na forma canônica de Jordan. Pois
como os elementos da diagonal principal não são iguais, ela teria que ser formada por
pelo menos dois blocos de Jordan e [−1] deveria ser um bloco de Jordan 1x1.
9
5 Teorema Espectral
5.1 Operadores Auto-Adjuntos
De�nição 5.1. Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Indicaremos por L(U, V ) o
conjunto das transformações lineares de U em V e se U = V , o conjunto dos operadores
lineares de U será denotado por L(U).
De�nição 5.2. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador T ∈ L(V ) se diz
auto-adjunto se
〈T (v), w〉 = 〈v, T (w)〉
para quaisquer v, w ∈ V .
Exemplo 5.3. Seja T ∈ L(R2) dado por T (x, y) = (ax + by, bx + cy). Vamos mostrar
que T é um operador auto-adjunto.
〈T (x, y), (z, y)〉 = 〈(ax + by, bx + cy), (z, y)〉 = axz + byz + bxt + cyt.
Por outro lado,
〈(x, y), T (z, y)〉 = 〈(x, y), (az + bt, bz + ct)〉 = axz + bxt + byz + cyt.
Portanto, 〈T (x, y), (z, y)〉 = 〈(x, y), T (z, y)〉 e consequentemente, T é um operador
auto-adjunto.
5.2 Teorema Espectral
Teorema 5.4 (Espectral). Para todo operador auto-adjunto T ∈ L(V ), sendo V um es-
paço vetorial de dimensão �nita e munido de produto interno, existe uma base ortonormal
{v1, v2, ..., vn} ⊂ V formada por autovetores de T .
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6 Referências
[1] BOLDRINI, J. L (et al.). Álgebra Linear, 3a edição. Editora Harbra ltda. São Paulo, 1980.
[2] CALLIOLI, H. e ROBERTO C. Álgebra Linear e Aplicações - Nova Edição.
[3] LIMA, E.L. Álgebra Linear, 7a edição - Coleção Matemática Universitária - IMPA.
[4] LANG, S. Álgebra Linear - Editora Edgar Blucher Ltda, SP.
[4] SANTOS, R.J. Introdução à Álgebra Linear - Editora UFMG - Belo Horizonte.
[5] SANTOS, R.J. Álgebra Linear e Aplicações - Editora UFMG - Belo Horizonte.
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