[Demonstração] Velocidade terminal de uma espira quadrada caindo

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[Demonstração] Velocidade terminal de uma espira
quadrada caindo
Vinicius Carvalho.∗
Instituto Federal do Sertão Pernambucano, Campus Petrolina
Agosto de 2019
FÍSICA GERAL V
PROF.: Lincon Dantas
Problemática
Uma espira quadrada de fio de cobre cai
do repouso em uma região em que o campo
B é horizontal, uniforme e perpendicular ao
plano da espira, para uma região onde não
há campo. O comprimento lateral da espira
é s e o diâmetro do fio é d. A resistividade
do cobre é ρR e sua densidade é ρM . Se
a espira atinge sua velocidade terminal en-
quanto seu segmento superior ainda está na
região de campo magnético, determine uma
expressão para a velocidade terminal.
Solução
No momento em que a espira atinge sua
velocidade terminal, significa dizermos que
a força peso (Fg), não consegue mais acele-
rar o objeto devido em relação a força resis-
tiva, no nosso caso em questão, a força re-
sistiva é a força de interação magnética (Fb)
entre o campo uniforme presente e o campo
gerado por indução na espira devido a lei
de Faraday. De ińıcio vamos calcular o va-
lor de Fb, para que depois possamos fazer a
igualdade entre ela e Fg, para podermos dis-
criminar a velocidade nesse momento. Para
calcular o valor de Fb primeiro vamos cal-
cular o fluxo de campo induzido (Φb)sobre
a área exposta da espira que está variando
sobre o campo magnético uniforme devido
ao movimento.como mostra a figura 1.
∗E-mail:prof.vcarvalho@outlook.com—Graduando em F́ısica no Instituto Federal de Educação,
Ciências e Tecnologia do Sertão Pernambucano.
1
Para calcular o fluxo magnético através
da área verde vamos utilizar a relação:
Φb =
∫
S
< ~B, n̂ > dA (1)
O ~B aponta no sentido de −k, e o vetor
normal a área n̂ no sentido de kou − k, ou
seja obedecem uma relação de paralelismo,
deste modo o produto de componentes in-
ternas entre eles será:
< ~B, n̂ >= | ~B|.|n̂|. cos θ
como n̂ é um versor, seu módulo equivale a
1, e como os vetores são paralelos o ângulo
entre eles sempre vai ser múltiplos de pi,
deste modo o cos θ que é o ângulo entre eles,
equivalem sempre a 1 ou -1, no caso consi-
deremos 1 devido a n̂ estar no sentido de k,
ou seja da equação 1 temos:
Φb = | ~B|
∫
S
dA
Φb = | ~B|A
No caso como o objeto está variando e com
isso a área exposta ao campo uniforme está
diminuindo então temos uma área variável
ou A(x) = s.x, onde o valor da largura é
constante e vale S e o valor de sua altura é
variável e vale x. Deste modo temos:
Φb = | ~B|s.x
. Como sabemos o valor do fluxo sob a es-
pira a partir da lei de Faraday, podemos de-
finir qual o valor da força eletromotriz indu-
zida (femind) sob essa espira, usando:
�ind =
dΦB
dt
(2)
�ind =
d(| ~B|s.x)
dt
�ind = | ~B|s.
d(x)
dt
�ind = | ~B|s.ẋ
como a femind, ela é proporcional a Iind e a
um elemento resistivo R como mostra a eq.
3:
�ind = Iind.R (3)
logo podemos definir o valor de Iind:
| ~B|s.ẋ.R−1 = Iind
Ainda, pela segunda lei de ohm:
R = ρ
L
A
(4)
Onde L = 4s (Todo o comprimento por
onde passará a corrente) e A = d2.π.(4−1)
(A área de secção transversal do fio da es-
pira) e ρ = ρR, deste modo:
R = ρ
L
A
R = ρR
4s
d2.π.(4−1)
R = ρR
16s
d2.π
Aplicando essa informação a nossa corrente
induzida (Iind), temos:
Iind = | ~B|s.ẋ.R−1
Iind = | ~B|s.ẋ.(ρR
16s
d2.π
)−1
Por fim basta calcularmos a força magnética
(Fb) que está agindo sobre a espira, através
da relação:
Fb = Iind.(~dl ∧ ~B) (5)
Como o plano da espira é perpendicular a o
plano do campo ( ~B), e o elemento ~dl sem-
pre será coplanar ao plano da espira, logo
~Be~dl sempre serão ortogonais, deste modo
o produto vetorial entre eles é:
~dl ∧ ~B = |~dl|| ~B| sin (π/2)
~dl ∧ ~B = |~dl|| ~B|
Aplicando o valor da corrente induzida e o
valor do produto vetorial na equação 5 te-
2
mos:
Fb = Iind.(~dl ∧ ~B)
Fb = (| ~B|s.ẋ.(ρR
16s
d2.π
)−1).(|~dl|| ~B|)
Como a força está sendo aplicada na aresta
superior da espira no sentido de −x o com-
primento ~dl = s, deste modo:
Fb =
1
16
.
| ~B|2.π.d2.s.ẋ
ρR
(6)
Como já discriminado anteriormente, no
momento em que o corpo atinge velocidade
terminal, o valor de Fb se iguala ao valor de
Fg, sendo Fg:
Fg = mespira.ẍg (7)
Sendo que mespira, pode ser escrita dessa
forma:
mespira = Vespira.ρespira
mespira = π.s.d
2.ρM
Logo a eq.7 fica:
Fg = ẍg.π.s.d
2.ρM
Fazendo (6)=(7), temos:
ẍg.π.s.d
2.ρM =
1
16
.
| ~B|2.π.d2.s.ẋ
ρR
resolvendo para ẋ:
ẋ =
16ρMρR
| ~B|2
.ẍg
Esta é a velocidade terminal da espira.
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