[Demonstração] Velocidade terminal de uma espira quadrada caindo
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[Demonstrac\u327a\u303o] Velocidade terminal de uma espira
quadrada caindo
Vinicius Carvalho.\u2217
Instituto Federal do Serta\u303o Pernambucano, Campus Petrolina
Agosto de 2019
FI\u301SICA GERAL V
PROF.: Lincon Dantas
Problema\u301tica
Uma espira quadrada de fio de cobre cai
do repouso em uma regia\u303o em que o campo
B e\u301 horizontal, uniforme e perpendicular ao
plano da espira, para uma regia\u303o onde na\u303o
ha\u301 campo. O comprimento lateral da espira
e\u301 s e o dia\u302metro do fio e\u301 d. A resistividade
do cobre e\u301 \u3c1R e sua densidade e\u301 \u3c1M . Se
a espira atinge sua velocidade terminal en-
quanto seu segmento superior ainda esta\u301 na
regia\u303o de campo magne\u301tico, determine uma
expressa\u303o para a velocidade terminal.
Soluc\u327a\u303o
No momento em que a espira atinge sua
velocidade terminal, significa dizermos que
a forc\u327a peso (Fg), na\u303o consegue mais acele-
rar o objeto devido em relac\u327a\u303o a forc\u327a resis-
tiva, no nosso caso em questa\u303o, a forc\u327a re-
sistiva e\u301 a forc\u327a de interac\u327a\u303o magne\u301tica (Fb)
entre o campo uniforme presente e o campo
gerado por induc\u327a\u303o na espira devido a lei
de Faraday. De in\u301\u131cio vamos calcular o va-
lor de Fb, para que depois possamos fazer a
igualdade entre ela e Fg, para podermos dis-
criminar a velocidade nesse momento. Para
calcular o valor de Fb primeiro vamos cal-
cular o fluxo de campo induzido (\u3a6b)sobre
a a\u301rea exposta da espira que esta\u301 variando
sobre o campo magne\u301tico uniforme devido
ao movimento.como mostra a figura 1.
\u2217E-mail:prof.vcarvalho@outlook.com\u2014Graduando em F\u301\u131sica no Instituto Federal de Educac\u327a\u303o,
Cie\u302ncias e Tecnologia do Serta\u303o Pernambucano.
1
Para calcular o fluxo magne\u301tico atrave\u301s
da a\u301rea verde vamos utilizar a relac\u327a\u303o:
\u3a6b =
\u222b
S
< ~B, n\u302 > dA (1)
O ~B aponta no sentido de \u2212k, e o vetor
normal a a\u301rea n\u302 no sentido de kou \u2212 k, ou
seja obedecem uma relac\u327a\u303o de paralelismo,
deste modo o produto de componentes in-
ternas entre eles sera\u301:
< ~B, n\u302 >= | ~B|.|n\u302|. cos \u3b8
como n\u302 e\u301 um versor, seu mo\u301dulo equivale a
1, e como os vetores sa\u303o paralelos o a\u302ngulo
entre eles sempre vai ser mu\u301ltiplos de pi,
deste modo o cos \u3b8 que e\u301 o a\u302ngulo entre eles,
equivalem sempre a 1 ou -1, no caso consi-
deremos 1 devido a n\u302 estar no sentido de k,
ou seja da equac\u327a\u303o 1 temos:
\u3a6b = | ~B|
\u222b
S
dA
\u3a6b = | ~B|A
No caso como o objeto esta\u301 variando e com
isso a a\u301rea exposta ao campo uniforme esta\u301
diminuindo enta\u303o temos uma a\u301rea varia\u301vel
ou A(x) = s.x, onde o valor da largura e\u301
constante e vale S e o valor de sua altura e\u301
varia\u301vel e vale x. Deste modo temos:
\u3a6b = | ~B|s.x
. Como sabemos o valor do fluxo sob a es-
pira a partir da lei de Faraday, podemos de-
finir qual o valor da forc\u327a eletromotriz indu-
zida (femind) sob essa espira, usando:
\ufffdind =
d\u3a6B
dt
(2)
\ufffdind =
d(| ~B|s.x)
dt
\ufffdind = | ~B|s.
d(x)
dt
\ufffdind = | ~B|s.x\u307
como a femind, ela e\u301 proporcional a Iind e a
um elemento resistivo R como mostra a eq.
3:
\ufffdind = Iind.R (3)
logo podemos definir o valor de Iind:
| ~B|s.x\u307.R\u22121 = Iind
Ainda, pela segunda lei de ohm:
R = \u3c1
L
A
(4)
Onde L = 4s (Todo o comprimento por
onde passara\u301 a corrente) e A = d2.\u3c0.(4\u22121)
(A a\u301rea de secc\u327a\u303o transversal do fio da es-
pira) e \u3c1 = \u3c1R, deste modo:
R = \u3c1
L
A
R = \u3c1R
4s
d2.\u3c0.(4\u22121)
R = \u3c1R
16s
d2.\u3c0
Aplicando essa informac\u327a\u303o a nossa corrente
induzida (Iind), temos:
Iind = | ~B|s.x\u307.R\u22121
Iind = | ~B|s.x\u307.(\u3c1R
16s
d2.\u3c0
)\u22121
Por fim basta calcularmos a forc\u327a magne\u301tica
(Fb) que esta\u301 agindo sobre a espira, atrave\u301s
da relac\u327a\u303o:
Fb = Iind.(~dl \u2227 ~B) (5)
Como o plano da espira e\u301 perpendicular a o
plano do campo ( ~B), e o elemento ~dl sem-
pre sera\u301 coplanar ao plano da espira, logo
~Be~dl sempre sera\u303o ortogonais, deste modo
o produto vetorial entre eles e\u301:
~dl \u2227 ~B = |~dl|| ~B| sin (\u3c0/2)
~dl \u2227 ~B = |~dl|| ~B|
Aplicando o valor da corrente induzida e o
valor do produto vetorial na equac\u327a\u303o 5 te-
2
mos:
Fb = Iind.(~dl \u2227 ~B)
Fb = (| ~B|s.x\u307.(\u3c1R
16s
d2.\u3c0
)\u22121).(|~dl|| ~B|)
Como a forc\u327a esta\u301 sendo aplicada na aresta
superior da espira no sentido de \u2212x o com-
primento ~dl = s, deste modo:
Fb =
1
16
.
| ~B|2.\u3c0.d2.s.x\u307
\u3c1R
(6)
Como ja\u301 discriminado anteriormente, no
momento em que o corpo atinge velocidade
terminal, o valor de Fb se iguala ao valor de
Fg, sendo Fg:
Fg = mespira.x\u308g (7)
Sendo que mespira, pode ser escrita dessa
forma:
mespira = Vespira.\u3c1espira
mespira = \u3c0.s.d
2.\u3c1M
Logo a eq.7 fica:
Fg = x\u308g.\u3c0.s.d
2.\u3c1M
Fazendo (6)=(7), temos:
x\u308g.\u3c0.s.d
2.\u3c1M =
1
16
.
| ~B|2.\u3c0.d2.s.x\u307
\u3c1R
resolvendo para x\u307:
x\u307 =
16\u3c1M\u3c1R
| ~B|2
.x\u308g
Esta e\u301 a velocidade terminal da espira.
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