(Gabarito) Exercícios - Semana 4

Prévia do material em texto

Universidade de Brasília
Departamento de Matemática
Cálculo 3 -D
Exercícios – Semana 4
Regra da Cadeia, vetor gradiente e derivada direcional
Questão 1. Use a regra da cadeia para determinar dz/dt para as funções abaixo:
a) z = sinxy, p(t) = (3t, t2);
b) z = x2 + y2, x = cos t+ sin t, y = cos t− sin t;
Questão 2. Use a regra da cadeia para determinar ∂w/∂u e ∂w/∂v para as funções
abaixo:
a) w = 4ex ln y, x = ln (u cos v); y = u sin v;
b) w = tan−1 (x/y), x = u cos v, y = u sin v;
Questão 3. Vimos que a regra da cadeia para a composta (f ◦ p)(t) é dada por
∂f
∂t
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
.
onde f(x, y) é uma função real de duas variáveis diferenciável e p(t) = (x(t), y(t)) é uma
função vetorial derivável tal que p(t) ∈ Df , para todo t ∈ Dp.
É possível mostrar que, se f(x, y, z) é uma função de três variáveis cujas derivadas parciais
são contínuas e p(t) = (x(t), y(t), z(t)) é uma função vetorial derivável tal que p(t) ∈ Df ,
para todo t ∈ Dp, então vale a seguinte regra da cadeia:
df
dt
=
d
dt
(f ◦ p)(t) = ∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
+
∂f
∂z
dz
dt
.
Use esta fórmula para determinar df/dt para as funções abaixo:
a) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2), p(t) = (cos t, sin t, 4
√
t);
b) f(x, y, z) = 2yex − ln z, x = ln (t2 + 1), y = tan−1 t, z = et.
Questão 4. Usando a regra da cadeia no exercício anterior, deduza uma fórmula para
as derivadas parciais ∂f/∂u e ∂f/∂v de f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), onde: f(x, y, z) é uma
função real de três variáveis cujas derivadas parciais são contínuas, x(u, v), y(u, v) e z(u, v)
são funções diferenciáveis tais que (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈ Df , para todos (u, v).
Questão 5. Usando a fórmula obtida do exercício anterior, determine ∂f/∂u e ∂f/∂v
para as funções abaixo:
a) f(x, y, z) = xy + yz + xz, x = u+ v, y = u− v, z = uv;
b) f(x, y, z) = ln (x2 + y2 + z2), x = uev sinu, y = uev cosu z = uev
Cálculo 3 - D Exercícios - Semana 4 1.◦/2018 – 1/5
Questão 6. (Temperatura em uma elipse) Seja T = g(x, y) a temperatura no ponto
(x, y) na elipse
x = 2
√
2 cos t, y =
√
2 sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
e suponha que
∂T
∂x
= y,
∂T
∂y
= x.
a) Localize as temperaturas máxima e mínima na elipse examinando dT/dt e d2T/dt2.
b) Suponha que T = xy − 2. Encontre os valores máximo e mínimo de T na elipse.
Questão 7. Suponha que, para todo x, f(3x, x3) = arctan x.
a) Calcule ∂f
∂x
(3, 1) admitindo que ∂f
∂y
(3, 1) = 2;
b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (3, 1, f(3, 1))
Questão 8. Seja
f(x, y) =

x3 + y3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
a) Calcule ∇f(0, 0);
b) Mostre que
d
dt
(f ◦ p)(t) 6= ∇f(p(t)) · p′(t),
para t = 0, onde p(t) = (−t,−t).
c) Seja ~v = (a, b) um vetor não nulo. Use a definição para calcular D~vf(0, 0).
d) f é diferenciável em (0, 0)? Justifique.
Questão 9. Seja
f(x, y) =

x3y
x4 + y2
se (x, y) 6= (0, 0),
0 se (x, y) = (0, 0).
a) Mostre que existem as derivadas direcionais de f em todas as direções no ponto (0, 0)
e que
D~vf(0, 0) = ∇f(0, 0) · ~v,
para todo vetor ~v = (a, b).
b) Seja p(t) = (t, t2 sin 1/t) para t 6= 0 e p(0) = (0, 0). Mostre que d
dt
(f ◦ p)(t) não existe
para t = 0;.
c) f é diferenciável em (0, 0)? Justifique.
Questão 10. Seja r a reta tangente à curva x3 + 3xy + y3 + 3x = 18 no ponto (1, 2).
Determine as retas que são tangentes à curva x2 + xy + y2 = 7 e paralelas à reta r.
Cálculo 3 - D Exercícios - Semana 4 1.◦/2018 – 2/5
Questão 11. (Taxa de variação instantânea) A taxa de variação de f(x, y) no ponto
(x0, y0) ∈ Df e na direção do vetor ~v 6= ~0 é definido como sendo a derivada direcional
D~uf(x0, y0),
onde ~u = ~v/‖~v‖, caso esta derivada exista.
Assim, por exemplo, se f(x, y) mede a temperatura em cada ponto (x, y) sobre uma
região do plano, então f(x0, y0) é a temperatura no ponto (x0, y0) e D~uf(x0, y0) é a taxa de
variação instantânea da temperatura em (x0, y0) e na direção de ~u (ou de ~v. Note que ambos
os vetores possuem a mesma direção).
Suponha que f(x, y) = x2 + 3y2 represente uma distribuição de temperatura no plano
xy, onde f(x, y) é medido em oC, x e y em cm.
a) Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1/2) e na direção de∇f(2, 1/2).
b) Verifique que a taxa de variação da temperatura no ponto (2, 1/2) e na direção de
∇f(2, 1/2) é maior que em qualquer outra direção, ou seja, para todo ~u unitário,
D~uf(2, 1/2) ≤ D~wf(2, 1/2),
onde ~w = ∇f(2, 1/2)/‖∇f(2, 1/2)‖.
Questão 12. (Direção de maior crescimento e taxa de variação máxima) Seja
f(x, y) uma função diferenciável em (x0, y0) ∈ Df e ~w = ∇f(x0, y0)/‖∇f(x0, y0)‖.
a) Mostre que
D~uf(x0, y0) ≤ D~wf(x0, y0),
para todo ~u unitário.
Ou seja no ponto (x0, y0) o gradiente ∇f(x0, y0) aponta pra direção onde a taxa de
variação é máxima. Dito de outra forma, no ponto (x0, y0), ∇f(x0, y0) aponta pra
direção de maior crescimento da função.
b) Verifique que
D~wf(x0, y0) = ‖∇f(x0, y0)‖.
Ou seja, o valor máximo da taxa de variação de f no ponto (x0, y0) é ‖∇f(x0, y0)‖.
Questão 13. Existe alguma direção na qual a taxa de variação de f(x, y) = x2−3xy+4y2
no ponto (1, 2) é igual a 14? Justifique sua resposta.
Questão 14. Seja A = {(x, y) ∈ R; 5 − x2 − 4y2 ≥ 0}. Suponha que o gráfico de
z = 5− x2− 4y2, (x, y) ∈ A represente a superfície de um monte (adote o km como unidade
de medida). Um alpinista que se encontra na posição (1, 1, 0) pretende escalá-lo. Determine
a trajetória a ser descrita pelo alpinista admitindo que ele busque sempre a direção de maior
aclive.
Questão 15. Seja f(x, y) diferenciável em um aberto D ⊂ R2 e sejam p1(t) e p2(t) duas
funções vetoriais definidas e deriváveis em um intervalo I ⊂ R e com imagens contidas em
D. Suponha que p1(t0) = p2(t0), ‖p′1(t0)‖ = ‖p′2(t0)‖ = 1, ∇f(p1(t0)) 6= ~0 e p′1(t) com a
mesma direção e sentido de ∇f(p1(t0)). Suponha ainda que p′1(t) não seja paralelo à p′2(t0).
Mostre que existe r > 0 tal que
f(p1(t)) > f(p2(t)) para t0 < t < t0 + r
e
f(p1(t)) < f(p2(t)) para t0 − r < t < t0.
Interprete esse resultado.
Cálculo 3 - D Exercícios - Semana 4 1.◦/2018 – 3/5
Gabarito
Questão 1. a) dz/dt = 9t2 cos (3t3). b) dz/dt = 0.
Questão 2. a)
∂w
∂u
= 4 cos v(ln(u sin v) + 1)
∂w
∂u
= 4u
(
− sin v ln (u sin v) + cos
2 v
sin v
)
.
b) ∂w/∂u = 0 ∂w/∂v = −1
Questão 3. a)
df
dt
=
16
1 + 16t
b)
df
dt
= 4t tan−1 t+ 1.
Questão 4.
∂f
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
+
∂f
∂z
∂z
∂u
e
∂f
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
+
∂f
∂z
∂z
∂v
.
Questão 5. a)
∂f
∂u
= 2u+ 4vu
∂f
∂v
= 2u2 − 2v b) ∂f
∂u
=
2
u
∂f
∂u
=
3
2
Questão 6. a) Temperaturas máximas ocorrem para t = π/4 e t = 7π/4, ou seja, nos
pontos (2, 1) e (−2,−1), respectivamente. Temperaturas mínimas ocorrem para t = 3π/4 e
t = 5π/4, ou seja, nos pontos (−2, 1) e (2,−1), respectivamente.
b)Temperatura máxima na elipse: T (2, 1) = T (−2,−1) = 0. Temperatura mínima na
elipse: T (−2, 1) = T (2,−1) = −4.
Questão 7.
a)
∂f
∂y
(3, 1) = −11
6
.
b) z =
π
4
− 11
6
(x− 3) + 2(y − 1).
Questão 8.
a) ∇f(0, 0) = (1, 1);
b)
d
dt
(f ◦ p)(0) = 0 enquanto que ∇f(0, 0) · p′(0) = (1, 1) · (−1,−1) = −2;
c) D~vf(0,0) =
a3 + b3
a2 + b2
;
d) Não, pois não vale a Regra da Cadeia para a função p(t) = (−t,−t) em t = 0.
Questão 9.
a) D~v(0, 0) = 0, ∇f(0, 0) = (0, 0). Logo
D~v(0, 0) = ∇f(0, 0) · ~v = (0, 0) · ~v = 0,
para todo ~v = (a, b) não nulo.
b) Temos que
d
dt
(f ◦ p)(0) = lim
h→0
sin 1/h
1 + sin 1/h
e este limite não existe.
c) Não, se f fosse diferenciável, valeria a regra da cadeia e deveríamos ter
d
dt
(f ◦ p)(0) = D~v(0, 0)p′(0) = 0
porém, a derivada d
dt
(f ◦ p)(0) nem sequer existe!!!
Cálculo 3 - D Exercícios - Semana 4 1.◦/2018 – 4/5
Questão 10. São as retas tangentes à x2 + xy + y2 = 7 nos pontos (1, 2) e (−1,−2), a
saber:
Em (1, 2): (4, 5) · (x− 1, y − 2) = 0;
Em (−1,−2): (−4,−5) · (x+ 1, y + 2) = 0
Questão 13. Não, pois a taxa de variação máxima neste ponto é ‖f(1, 2)‖ =
√
116 < 14.
Questão 14. P (t) = (t, t4, 5− t2 − 4t4)
Cálculo 3 - D Exercícios - Semana 4 1.◦/2018 – 5/5