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UNIASSELVI

Moacir Alves

01/09/2020

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
GABRIEL ANDRADE MOREIRA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DA PROVA DO ENEM DE 2016 E 2017
APLICANDO O MÉTODO PROPOSTO POR GEORGE POLYA

Tubarão/SC
2018

GABRIEL ANDRADE MOREIRA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DA PROVA DO ENEM DE 2016 E 2017
APLICANDO O MÉTODO PROPOSTO POR GEORGE POLYA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso
de Graduação em Matemática da Universidade do Sul
de Santa Catarina, como requisito parcial à obtenção do
título de Licenciado em Matemática.

Orientador: Prof. Ms. Dalmo Gomes de Carvalho

Tubarão/SC
2018

GABRIEL ANDRADE MOREIRA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS:
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DAS PROVAS DO ENEM DE 2016 E 2017
RELACIONADAS A FUNÇÕES ELEMENTARES

Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado
adequado à obtenção do título de Licenciado em
Matemática e aprovado em sua forma final pelo Curso
de Graduação em Matemática da Universidade do Sul
de Santa Catarina.

Tubarão, 10 de julho de 2018.

______________________________________________________
Professor e orientador Dalmo Gomes de Carvalho, MSc.
Universidade do Sul de Santa Catarina

______________________________________________________
Prof. Mário Selhorst, MSc.
Universidade do Sul de Santa Catarina

______________________________________________________
Prof. Carlos Augusto Zilli, Esp.
Universidade do Sul de Santa Catarina

Este trabalho é dedicado a
minha mãe. (In Memoriam)

AGRADECIMENTOS
Primeiramente agradeço a minha mãe (in memoriam), que acreditou em mim e me
incentivou sempre que esteve presente.
A minha namorada Micaella, por me dar forças e me acompanhar sempre nas horas
difíceis e me auxiliar na busca pelo meu crescimento pessoal.
Ao professor e orientador Dalmo Gomes de Carvalho por ter se disposto e se dedicado
na orientação desta pesquisa.
Aos professores da banca, por terem aceitado participar da banca avaliativa deste
trabalho.
Aos amigos e colegas que de alguma forma incentivaram o progresso da pesquisa.

“Sofra o que tiver de sofrer. Desfrute o que existe para ser desfrutado. Considere tanto o
sofrimento quanto a alegria como fatos da vida e continue orando, não obstante o que
aconteça. Então, experimentará infinita felicidade” (Nitiren Daishonin).

RESUMO
Este estudo teve como principal objetivo a ser alcançado, analisar as questões relacionadas a
função nas provas do Enem de 2016 e 2017 através do método de resolução de problemas
proposto por George Polya. Buscando alcançar o objetivo proposto, fizemos um breve estudo
histórico de Polya, as principais características e o funcionamento do método a ser utilizado, a
presença da resolução de problemas nos documentos oficiais que regem a educação no país,
características das provas do Enem e suas competências e habilidades, além da análise das
cinco questões chave obtidas. Dessa forma, através do tratamento dos dados da pesquisa,
verificamos que o método contribui de forma significativa para a resolução de problemas de
função, e que pode ser tratado como um método de ensino, embora algumas dificuldades dos
professores possam fazer desse processo um caminho mais difícil, o engrandecimento a
personalidade e ao conhecimento dos alunos será notório.

Palavras-chave: Resolução de Problemas. George Polya. Enem.

ABSTRACT
This study had as main objective to be reached, to analyze the questions related to the
function in the tests of the Enem of 2016 and 2017 through the method of problem solving
proposed by George Polya. Motivated by this question, we made a brief historical study of
Polya, the main characteristics and functioning of the method to be used, the presence of
problem solving in the official documents governing education in the country, characteristics
of Enem evidence and their skills and abilities, in addition to the analysis of the five key
questions obtained. So, through the treatment of the research data, we verified that the method
contributes significantly to the resolution of function problems, and that it can be treated as a
teaching method, although some difficulties of the teachers can make this process a little more
difficult at times, the enhancement of the personality and knowledge of the students will be
noticeable.

Keywords: Troubleshooting. George Polya. Enem.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Pesquisa Conhecimentos Matemáticos Enem.......................................................... 30
Figura 2 - Questão 148 Enem 2017 Caderno Azul - Segundo Dia - Segunda Aplicação ........ 33
Figura 3 - Questão 176 Enem 2016 Caderno Azul - Segundo Dia - Segunda Aplicação ........ 35
Figura 4 - Questão 152 Enem 2017 Caderno Azul - Segundo Dia - Segunda Aplicação ........ 37
Figura 5 - Questão 157 Enem 2016 Caderno Azul - Segundo Dia - Segunda Aplicação ........ 39
Figura 6 - Questão 176 Enem 2017 Caderno Amarelo - Segundo Dia - Segunda Aplicação .. 41

SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO................................................................................................................. 11
1.1 TEMA E DELIMITAÇÃO DO TEMA ........................................................ 11
1.2 PROBLEMATIZAÇÃO ............................................................................... 11
1.3 JUSTIFICATIVAS ....................................................................................... 12
1.4 OBJETIVOS ................................................................................................. 12
1.4.1 Objetivo Geral .......................................................................................... 12
1.4.2 Objetivos Específicos ............................................................................... 13
1.5 TIPO DA PESQUISA ................................................................................... 13
1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO.................................................................. 14
2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .................................................................................. 15
2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O ENSINO ........................................ 15
2.2 GEORGE POLYA E UM POUCO DE HISTÓRIA ..................................... 19
2.3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS POR GEORGE POLYA ....................... 20
2.4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS ........ 23
3 EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO ................................................................ 26
3.1 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DO EXAME NACIONAL DO
ENSINO MÉDIO ..................................................................................................................... 26
3.2 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES ......................................................... 27
3.3 MATEMÁTICA NO EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO ........... 30
3.4 EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO 2018 ..................................... 31
4 ANÁLISE DAS QUESTÕES DO EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO A
PARTIR DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PROPOSTO POR GEORGE POLYA
32
4.1 QUESTÃO RELACIONADA A FUNÇÃO APLICADA EM 2017,
BANCA INEP, PROVA EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO DIA,
148 CADERNO AZUL, SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL. ................................................ 33

4.2 QUESTÃO RELACIONADA A FUNÇÃO EXPONENCIAL APLICADA
EM 2016, BANCA INEP, PROVA EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO –
SEGUNDO DIA, 176 CADERNO AZUL, SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL. ...................... 35
4.3 QUESTÃO FUNÇÃO APLICADA EM 2017, BANCA INEP, PROVA
EXANENACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO DIA, 152 CADERNO AZUL,
SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL. ........................................................................................... 37
4.4 QUESTÃO FUNÇÃO EXPONENCIAL APLICADA EM 2016, BANCA
INEP, PROVA EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO DIA, 157
CADERNO AZUL, SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL. .......................................................... 39
4.5 QUESTÃO RELACIONADA A FUNÇÃO APLICADA EM 2017, BANCA
INEP, PROVA EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO DIA, 176
CADERNO AMARELO, SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL. ................................................. 41
5 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................... 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 47

1 INTRODUÇÃO
Este projeto tem como objetivo utilizar o método de Resolução de Problemas
proposta por George Polya como uma alternativa para a resolução de questões de matemática
do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). O projeto irá contar com as seguintes seções:
resolução de problemas por George Polya, contexto histórico do ENEM, análise das questões
da prova.
.
1.1 TEMA E DELIMITAÇÃO DO TEMA
Resolução de questões envolvendo o tema funções elementares da prova do
ENEM dos anos de 2016 e 2017 aplicando o método de resolução de problemas proposto por
George Polya.

1.2 PROBLEMATIZAÇÃO
O método da resolução de problemas proposto por George Polya é capaz de
contribuir na resolução de questões da prova do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM)
de 2017 e 2016 relacionadas as funções elementares?
12

1.3 JUSTIFICATIVAS
O presente tema e sua delimitação justificam-se pela necessidade de buscar
compreender o possível funcionamento do método de resolução de problemas, com o intuito
de contribuir com os alunos a resolverem questões que envolvam as funções elementares da
prova de matemática do ENEM de 2016 e 2017.
O método da resolução de problemas que será investigado foi criado por George
Polya, um matemático húngaro que estudou teoria dos números, análise matemática e, além
disso, escreveu o livro “How to Solve It”, em português chamado de “A arte de resolver
problemas”, que será peça chave para o entendimento e a realização deste trabalho.
Dessa forma, busca-se conhecer as possibilidades de levar a resolução de
problemas de George Polya para os problemas de matemática relacionados com funções
elementares constantes nas provas de ENEM de 2016 e 2017, e assim, saberemos se é
possível a aplicação desse método na resolução de questões pelos alunos que realizaram a
prova.
1.4 OBJETIVOS
Seguem os objetivos da pesquisa realizada.
1.4.1 Objetivo Geral
Investigar o método de resolução de problemas proposta por George Polya como
alternativa para resolver as questões de funções elementares da prova de matemática do
ENEM de 2016 e 2017.
13

1.4.2 Objetivos Específicos
A. Apresentar o contexto histórico da prova do Exame Nacional do Ensino Médio
B. Descrever e analisar o processo da resolução de problemas proposto por George Polya.
C. Resolver as questões da prova do ENEM de 2016 e 2017 que tratam dos conceitos de
funções elementares por meio do método da resolução de problemas de George Polya.
1.5 TIPO DA PESQUISA
O tipo de pesquisa que será utilizado neste projeto será de cunho bibliográfico,
que “(...) decorre de fontes secundárias: livros, revistas, jornais, monografias, teses,
dissertações, relatórios de pesquisa, etc. Busca-se resposta ao problema em fontes,
exclusivamente bibliográficas”. (MOTTA, 2015, p. 102). Além disso, a pesquisa também
contará com partes documentais, devido à análise de documentos públicos como a Base
Nacional Comum Curricular e a prova do Exame Nacional do Ensino do Médio (ENEM).
Além disso, também serão utilizados os métodos de pesquisa exploratória e
qualitativa, uma vez que a pesquisa exploratória tem como objetivo fazer com que o
graduando tenha mais proximidade com o assunto, o deixando mais explícito. A pesquisa
exploratória tem como características principais o levantamento bibliográfico, entrevistas
sobre o problema pesquisado quando necessário, e análise de exemplos que consigam ajudar
na compreensão por parte do estudante. Como dito anteriormente, a pesquisa também tem
caráter qualitativo, pois grande parte dos assuntos abordados também são obtidos por consulta
bibliográfica, rico em dados descritivos, o que é determinante para a relevância da
fundamentação teórica. Dentro do processo de pesquisa qualitativa existem etapas como
análise exploratória do tema, a descrição do tema, interpretação e teorização do assunto a ser
abordado.

1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO
Com o intuito de concluir todos os objetivos propostos para este trabalho, pensou-
se em dividir todo o referencial teórico em três capítulos. As sessões anteriores ou
subsequentes são elementos que constam em todos os trabalhos acadêmicos, geralmente.
O capítulo 1 é composto por introdução, tema, delimitação do tema,
problematização, justificativas, objetivos, tipo da pesquisa e a estrutura do trabalho.
O capítulo 2 remete o leitor a primeira parte do referencial teórico, que é uma
explanação sobre a resolução de problemas na matemática. Será subdividido da seguinte
forma: resolução de problemas e o ensino, George Polya e um pouco de história, resolução de
problemas por George Polya, resolução de problemas nos documentos oficiais.
O capítulo 3 compreende a segunda parte do referencial teórico, que é sobre o
Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), divido em: principais características do Enem,
competências e habilidades, matemática no Enem, Enem 2018.
O capítulo 4 contém a apresentação das questões do Enem de 2016 e 2017 sobre
funções elementares, onde é realizado a resolução com utilização do método de George Polya.
Ao final, o capítulo 5 que mostra as conclusões e considerações finais, além das
referências bibliográficas.

2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O método da resolução de problemas vem sendo estudado cada a vez mais nos
últimos anos. Dentro desta pesquisa, será colocado como principal método de resolução de
problemas, o proposto por George Polya. Primeiro será feita uma breve análise histórica para
dar introdução ao presente tema.
.
2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O ENSINO
Alguns pesquisadores desenvolveram ao longo de suas vidas, trabalhos incríveis
sobre a resolução de problemas. Tema este, que não começou a ser desenvolvido
recentemente, já está sendo estudado a um bom tempo. Muitos destes pesquisadores se
perguntavam se o processo de ensino dito como tradicional proporcionaria ao aluno um
conhecimento significativo e duradouro, uma experiência diferente com o saber matemático.
Segundo Rego (1995), o aluno acaba restringido pelo professor através do ensino
tradicional, visto que este não proporciona ao estudante o desafio e o desenvolvimento
individual. Pode-se dizer que a grande diferença entre os dois métodos de ensino, o
tradicional e o de resolução de problemas é o fato de que no primeiro, o professor apenas
transmite e os alunos recebem o conhecimento, e assim acabam repetindo tudo que o
professor fez nos exercícios e atividades, resultando em um processo mecanizado e não
eficaz, longe de uma aprendizagem significativa. Além disso, o processo de aprendizagem por
cada aluno ainda pode ser dificultado, pois cada aluno tem características individuais de
aprendizagem, e outros fatores externos que podem acabar com o processo de ensino como
fatores psicológicos e emocionais. No método de ensino tradicional, a escola e o professor
acabam valorizando os procedimentos didáticos, sem relação nenhuma com as características
16

individuais de cada aluno e realidades sociais dos mesmos. O professor é um ditador de regras
einformações, e não sobra espaço para o diálogo, discussão de assuntos, debates, interação, o
que pode ainda ser interpretado como falta de respeito e indisciplina. A única interação
necessária seria a de professor/aluno, em que o primeiro é o grande responsável por punir,
cobrar, treinar, vigiar, organizar conteúdos e também de avaliar os alunos. Esta avaliação é
tida como um processo de acerto e erro, sendo o erro eliminado, e o acerto muitas vezes uma
simples memorização por repetição do conteúdo, longe de qualquer aprendizagem pura e
significativa.
Outro problema deste tipo de aprendizagem, é o fato de que o aluno quando chega
na escola, é considerado como um ser sem conhecimento prévio, sem experiências de vida em
qualquer disciplina, não só na matemática, o que não é verdade.
Segundo Paulo Freire, em “Pedagogia do Oprimido” (1967), “O educador, que
aliena a ignorância, se mantém em posições fixas, invariáveis. Será sempre o que sabe,
enquanto os educandos serão sempre os que não sabem”. Já o processo de ensino através da
resolução de problemas como método de ensino para a aprendizagem matemática vem sendo
tratado cada vez mais com cuidado e atenção por parte dos pesquisadores, estes que são
defensores do método como forma de conhecimento natural e que pode ser melhorado.
A resolução de problemas como forma eficaz de ensino proporciona ao aluno
desenvolver a sua capacidade de pensar e conhecer as informações, sem a „ajuda‟ direta do
professor. No Exame Nacional do Ensino Médio, por exemplo, segundo o INEP (2007)

“o modelo proposto pelo Enem considera fundamentalmente para sua avaliação o
desenvolvimento e constituição das estruturas mentais do sujeito que, em contínua
interação com a realidade, constrói seus conhecimentos”. (Inep, p. 35).

O educador deve ser um mediador com o papel de auxiliar, nunca demais, nem de
menos. Se o professor ajudar mais do que o necessário, não sobrará nada para o aluno pensar,
fazer, raciocinar, desenvolver. Segundo Polya (1995), “o estudante deve adquirir tanta
experiência pelo trabalho independente quando lhe for possível. Mas se ele for deixado
sozinho, sem ajuda ou com auxílio insuficiente, é possível que não experimente qualquer
progresso”. Destaca-se então, que segundo Prado e Allevato (2010), há três tipos de
concepções de ensino baseadas na Resolução de Problemas: ensinar sobre a resolução de
problemas “corresponde a teorizar sobre a Resolução de Problemas, explicitando
17

fundamentos, regras e passos para realizar essa atividade”; ensinar para a resolução de
problemas “é uma concepção em que os professores costumam utilizar os problemas para
apresentarem aplicações dos conteúdos matemáticos”; ensinar através da resolução de
problemas “é uma forma de trabalho em que um problema é ponto de partida e orientação
para a aprendizagem, e a construção do conhecimento se faz através de sua resolução”.
Osborne e Kasten (1997), analisando a opinião de profissionais da educação, descrevem como
metas do ensino a partir da resolução de problemas
[...] promover oportunidades de praticar habilidades em cálculos, desenvolver
métodos de pensamento e raciocínio lógico, descobrir alunos que tenham talento
matemático, aprender leitura matemática, aplicar ideias matemáticas ensinadas
recentemente, adquirir habilidades necessárias para viver no mundo atual,
desenvolver habilidades para abordar com independência novos tópicos de
matemática, desenvolver processos criativos de raciocínio, adquirir técnicas de
resolução de problemas vitais para uma educação diversificada e ampla, trabalhar a
habilidade de aplicar matemática nas ciências (OSBORNE; KASTEN, 1997, p. 78).

Um exemplo de aprendizagem através da resolução de problemas pode ser
encontrado na bibliografia com a história da matemática no Egito, China, Grécia antiga, em
que os grandes matemáticos da época, utilizavam os conhecimentos que tinham para a
resolução de problemas atrelados a vida cotidiana.
No Egito antigo, foi descoberto no ano de 1858, o chamado „Papiro de Rhind‟, um
bem precioso para a matemática que foi inscrito por volta dos anos de 1650 a.C. Segundo
Pitzer, o Papiro possui este nome devido a Henry Rhind, que o comprou de Berlim. Embora
tenha comprado em 1858, o papiro só foi divulgado pelo Museu Britânico de Londres em
1927, 5 anos após a morte de Rhind, pouco depois do Museu de Belas Artes de Moscou
divulgarem e darem o nome ao Papiro de Moscou, outro documento histórico matemático que
continha problemas. Junto as dificuldades para o entendimento e raciocínio utilizado na
época, apareciam vários problemas para serem resolvidos, mas apesar disso, faltavam
ferramentas de álgebra e de cálculo para tanto.
Além dos papiros egípcios (Rhind e Moscou), também foram descobertas as
tábuas mesopotâmicas, que datam de vários séculos antes da era atual. Estas tábuas foram
estudadas e analisadas por muitos anos, pois o método de resolução de problemas utilizado na
época por este povo está marcado nas tábuas junto com os problemas, o que intrigou muitos
pesquisadores e filósofos por muito tempo. A maioria dos problemas matemáticos neste
18

período está relacionado com o conteúdo de aritmética e álgebra, e foram resolvidos com a
matemática primitiva, através de um embasamento prático para a resolução.
De acordo com Freire,

algumas tábuas mostram que os mesopotâmicos chegaram a resolver equações do 2.º
e 3.º graus, usando palavras como incógnitas num sentido abstrato e conheciam bem
o processo de fatoração. Não só resolviam as equações quadráticas, seja pelo método
equivalente ao da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar
quadrados, como também discutiam algumas cúbicas e algumas biquadradas. (2005,
p. 12)

Dos problemas mais famosos encontrados desde então, podemos citar um clássico
chamado de „Regra da Falsa posição‟ ou ainda „Regra do falso pressuposto‟, encontrado no
papiro de Rhind, no Egito. De acordo com Medeiros (2004)

embora o método da falsa posição seja um assunto muito antigo, algumas variações
do mesmo têm aplicações bem mais recentes. A idéia, por exemplo, de proceder-se,
no Cálculo Numérico, por tentativas e erros, seguidos de repetidas correções na
solução de equações nãolineares é inspirada no antigo método da falsa posição,
recebendo, assim, a mesma denominação e sendo conteúdo usual em cursos de
fundamentos da computação. (2004, p. 546)

Esta regra consistiria hoje em uma simples equação do primeiro grau, mas devido
ao fato de não existir os conceitos básicos para isto na época, os matemáticos encontravam as
respostas através da resolução de problema, seguindo três etapas: A) supor uma resposta; B)
verificação; C) ajustar à resposta encontrada. Os problemas encontrados no Papiro de Rhind
são em sua maioria numéricos e exemplos práticos da época, embora existam alguns
problemas que tinham caráter teórico.
De acordo com Onuchic (1999), ao longo da década de 80 foram desenvolvidos
diversos métodos de resolução de problemas. Apesar disso, ainda na década de 50, foi
publicado o artigo de George Polya chamado de „Mathematics as a Subject for Learning
Plausible Reasoning‟, na revista „Mathematics Teacher‟, do Conselho Nacional de
Professores de Matemática dos Estados Unidos. Além disso, foi publicado em 1948 o livro „A
Arte de Resolver Problemas‟, também de George Polya.

2.2 GEORGE POLYA E UM POUCO DE HISTÓRIA
George Polya nasceu em Budapeste, Hungria, no ano de 1887. Polya dedicou-se
ao seu estudo como matemático e professor de matemática por toda a sua vida, tendo um
grande reconhecimento por seu trabalho com a análise e o desenvolvimento da resolução de
problemas matemáticos. Deu aulas de matemática em duas das maiores universidades do
mundo, Zurich na Suíça e Stanford nos EUA.
Polya foi desde pequeno um ótimo aluno, destacando-seno ensino secundário
principalmente dos 10 aos 18 anos de idade. Já nessa época, George Polya começou a
perceber que o método de ensino utilizado na escola em que frequentava era baseado na
memorização, o que ele considerava monótono e sem utilidade.
Com todo o conhecimento obtido e com 18 anos de idade, Polya consegue o seu
licenciamento na escola da época, e por ser um dos melhores alunos da escola em que
frequentava, ganhou uma bolsa na Universidade de Budapeste, onde decidiu cursar Direito
como seu pai. No entanto, o curso não durou muito, pois George não havia se identificado e
sabia que não estava no lugar certo. Assim, passou pelos cursos de Línguas e Literatura,
Latim, Física, Filosofia, e finalmente Matemática, curso este que foi concluído no ano de
1912.
Em 1914 foi aceito na Universidade de Zurique, e neste mesmo ano foi chamado
por seus pais para fazer parte da primeira guerra mundial. Para a matemática e para George
foi um alívio ter dito não para os seus pais, embora soubesse que pós-guerra ele podia sofrer
algumas consequências pelo fato de ter negligenciado ao militarismo.
Por medo de ser repreendido pelos militares, até mesmo por seus pais, George
Polya voltou para Hungria com o final da guerra. Trabalhou em outras grandes universidades
e continuou seus estudos para o desenvolvimento de suas teorias na matemática. Na década de
20, trabalhou em Oxford e Cambridge, além de escrever paralelamente os livros Aufgaben
und lehrsätze aus der Analysis" (em português Tarefas e Teorias da Análise) e "Die
grundlehren der mathematischen wissenschafte” (Os Fundamentos das Ciências
Matemáticas).
20

Com medo da segunda guerra mundial, George Polya se muda para os Estados
Unidos no ano de 1940 e recebe um convite especial para trabalhar na Universidade de
Stanford, onde permanece até parar de lecionar em 1953. Neste meio tempo, George Polya
continuou escrevendo, e publicou o livro “How to Solve It” (A Arte de Resolver Problemas),
em 1945, o que hoje pode-se considerar como a maior obra de sua vida.
Nos dias de hoje, alguns pesquisadores e filósofos consideram George Polya
como um pesquisador um pouco à frente do seu tempo, considerando o seu apego e seu
interesse pelo currículo e pelos métodos de ensino da matemática. Polya faleceu no ano de
1985 em Palo Alto, com 97 anos de idade.

2.3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS POR GEORGE POLYA
Polya, escreveu em 1945 o livro chamado “How to Solve It”, que em português é
intitulado como „A Arte de Resolver Problemas‟. Neste livro, pode-se dizer que, de uma
forma rápida, Polya nos ensina um método de resolução de problemas matemáticos utilizando
4 passos ditos por ele, e assim, diferenciando a técnica matemática da resolução, para um
pensar matemático que vai guiar o aluno até o resultado. O método ensina o leitor a pensar o
problema de modo que possa ser conduzido para a solução através dos 4 passos citados por
ele. As quatro etapas descritas por George Polya são respectivamente: 1) Compreensão do
problema; 2) Estabelecimento de um Plano; 3) Execução do Plano e por último; 4)
Retrospecto.
Em Polya (1995) o primeiro passo, a Compreensão do problema, o autor descreve
o passo como “é uma tolice responder uma pergunta que não foi compreendida”. Além disso,
cita a simples definição de que “É preciso compreender o problema”. A partir disso, existem
algumas perguntas para serem feitas a si mesmo, com o objetivo de buscar uma melhor
compreensão em primeiro contato com o problema para ser resolvido. O primeiro objetivo do
método que deve ser cumprido é o entendimento por parte do aluno da onde ele deve começar
o seu raciocínio. Um bom começo, segundo o autor, é a realização da leitura do enunciado do
21

problema, visualização do problema como um todo, tentar montar uma imagem em sua
cabeça com tanta clareza e nitidez quanto possível. Assim, o aluno poderá se familiarizar com
o problema, e marcar o seu objetivo com a intensão de resolvê-lo. Segundo Polya (1995), o
aluno deverá seguir examinando as partes principais do seu problema, até “gravar nitidamente
na memória” os dados do problema, e assim, considerar o problema sob diversos pontos de
vista, procurando e relacionando o enunciado e os detalhes com todos os conhecimentos
matemáticos que o aluno tem previamente aprendido.
A partir da compreensão do problema, o aluno vai seguir de modo automático
para o Estabelecimento de um Plano, ou, Procura da Ideia Proveitosa. Logo após o aluno ter
visto o problema por diversos lados, é comum que apareçam algumas ideias sobre como
resolvê-lo, as vezes uma ideia completa, ou parte dela, sugerindo com maior ou menor nitidez
a maneira de prosseguir. Segundo o autor, já é uma sorte ter uma ideia qualquer para
prosseguir. Assim, mesmo que o aluno tenha uma ideia, deve sempre ter a consciência de que
examiná-la é necessário, para saber se ela é vantajosa, e se for, perceber se a ideia é confiável.
Ainda assim, segundo o autor, se o aluno estiver pensando em reconsiderar toda a situação,
voltar atrás, é porque de fato ele não confia totalmente na ideia e no caminho em que chegou.
Deve-se então voltar, porque é possível ainda surjam novas ideias para serem analisadas e que
podem talvez o guiar direto para a solução. Mesmo que não apareça nova ideia para o aluno, o
autor sugere que ele fique agradecido com a sua concepção do problema, por esta o tornou
mais coerente, com uma ideia mais complexa e equilibrada da resolução.
A próxima etapa é menor, segundo George Polya. O aluno deverá ter chego até
essa parte através do estabelecimento de um plano, que é a parte que leva mais tempo, pois o
estudante deve saber que tomou a melhor decisão e escolheu o melhor caminho para chegar
na solução. A execução do plano deve ser fácil de fazer, dessa maneira, visto que ele já tem
ideia de como proceder, e para executar o plano deve apenas fornecer os detalhes que faltam.
Um exemplo disso é o aluno já ter imaginado que pode resolver um devido problema através
de cálculos algébricos ou geométricos, com o conhecimento que adquiriu anteriormente,
sabendo que a solução através destes é viável. Na realização dos cálculos, Polya sugere que o
aluno verifique também a execução de cada passo, e também a correção, seja pelo raciocínio
formal ou pela intuição. A vantagem de prosseguir desta maneira, é saber que ao apresentar a
resolução, o aluno terá a certeza de que cada passo está correto e fora de qualquer dúvida.
22

O quarto e último passo pela resolução de problema, é o Retrospecto. Segundo o
autor, George Polya, também é uma parte um pouco mais simples, que pode ser resolvida de
forma rápida ou demorada. O aluno deve considerar todos os detalhes e obstáculos da
resolução, e deve torna-los o mais simples quanto possível. As partes que o aluno julgue
muito amplas, deverão ser abreviadas, de forma que outra pessoa possa refazer de forma
rápida a resolução, como num relance. Através deste último passo, é possível que ao examinar
o método que foi utilizado, o aluno consiga caracterizá-lo, e utilizá-lo em outros problemas.
Ainda depois de realizar toda a resolução, também pode ser que encontre um outro método
mais fácil de resolver, uma “resolução melhor”. Também é possível que encontre fatos novos
e interessantes sobre o problema, adquirindo conhecimentos bem ordenados e prontos para
que possa utilizar em problemas futuros, desenvolvendo assim a sua própria capacidade de
resolver problemas.
Diferente do método tradicional de educação, de transferência de conhecimento, a
resolução de problemas proposta por George Polya como método de ensino através destes
quatro passos, é uma forma de fazer o aluno caminhar até a solução, embora as vezes, cada
aluno e cada ser tenha uma forma de pensar e de caminhar através da resolução para obter o
resultado, que invariavelmente, existem vários caminhos para ser obtido.De acordo com
Polya (1995),
ao procurarmos a solução, podemos variar continuamente o nosso ponto de vista, a
nossa maneira de encarar o problema. Temos de mudar de posição de quando em
quando. É provável que a nossa concepção do problema seja muito incompleta no
princípio; a nossa perspectiva é outra depois de feito algum progresso; ela é ainda
mais diferente quando estamos quase a chegar à solução. (POLYA, 1995)

Embora pareça pouco, pode-se dizer que este é um dos grandes feitos de George
Polya, e uma das razões que tornam este método eficaz: a simplicidade. Utilizando uma série
de perguntas que se encaixam em cada parte da resolução, as etapas citadas pelo autor se
justificam e se tornam pertinentes para o sucesso do aluno.

2.4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS
Com a intensão de dar um melhor embasamento teórico para a pesquisa, surgiu a
necessidade de analisar documentos oficiais como o PCN (Parâmetros Curriculares
Nacionais), PCNEM (Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio), BNCC (Base
Nacional Comum Curricular), Proposta Curricular de Santa Catarina e etc. Estas diretrizes são
específicas quanto a estruturação dos conteúdos curriculares de todas as escolas do país, o que
é obrigatório para todas as escolas públicas e opcional para as escolas particulares.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais são divididos em duas partes: o ensino
fundamental e o ensino médio. A partir daí, são divididos entre disciplinas tais como língua
portuguesa, matemática, história, geografia, ciências, educação física e artística. Pode-se
dizer, que o PCN é importante, assim como todos os outros documentos oficiais, para a
organização e padronização dos conteúdos para os alunos e professores. Segundo o PCN do
ensino médio, a finalidade de matemática no nível médio indicam como objetivos levar o
aluno a compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas para o
desenvolvimento de estudos posteriores, aplicação de conhecimentos matemáticos para a
resolução de situação diversas, análise de informações provenientes de diferentes fontes,
desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e resolução de problemas, expressão oral,
escrita e gráfica em situações matemáticas, estabelecimento de conexões entre temas
matemáticos, além de promover a realização pessoal do aluno em relação aos seus próprios
conhecimentos matemáticos. Ainda no PCN, vemos que a matemática também é importante
no desenvolvimento da interdisciplinaridade do aluno “o conjunto de competências e
habilidades que o trabalho de Matemática deve auxiliar a desenvolver pode ser descrito tendo
em vista este relacionamento com as demais áreas do saber”. (PCN, 2015)
No PCN, podemos encontrar partes falando sobre matemática e resolução de
problemas, embora a própria resolução de problemas apareça em muitas outras partes e
disciplinas do conteúdo, citando também a interdisciplinaridade, como na trigonometria:
“aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em
especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e na construção de modelos que correspondem a
24

fenômenos periódicos. Nesse sentido, um projeto envolvendo também a Física pode ser uma
grande oportunidade de aprendizagem significativa.” (PCN, 2015).
O BNCC (Base Nacional Comum Curricular), aprovada pelo governo Michel
Temer em fevereiro de 2017 e estabelecida em abril do mesmo ano, compreende todo o
ensino básico, da educação infantil até o final do ensino médio. Este documento tem como
objetivo estabelecer para os profissionais da educação quais são os conteúdos mínimos que
devem ser lecionados para os alunos em cada tema, de cada disciplina. Um exemplo que é
citado no documento, é que os alunos de história do sétimo ano aprendam na disciplina de
história sobre a emergência do capitalismo no mundo. Essa parte é chamada de competências,
e além delas temos as habilidades, que são os resultados que são esperados por parte dos
alunos nestes assuntos a serem abordados em sala de aula.
Segundo o BNCC,
A BNCC da área de Matemática e suas Tecnologias propõe a ampliação e o
aprofundamento das aprendizagens essenciais desenvolvidas até o 9º ano do Ensino
Fundamental. Para tanto, coloca em jogo, de modo mais inter-relacionado, os
conhecimentos já explorados na etapa anterior, de modo a possibilitar que os
estudantes construam uma visão mais integrada da Matemática, ainda na perspectiva
de sua aplicação à realidade. (BNCC, 2017)

A resolução de problemas aparece na BNCC desde o primário, com a intensão de
estabelecer conexão com o aprender numérico de cada aluno, realização de operações
matemáticas básicas, usando a resolução de problemas de forma a ter maior variedade de
contextos e ferramentas matemáticas. Além disso, o BNCC também cita o uso de tecnologias
na matemática como um fato importante que possibilita os alunos a aprofundar a sua
participação no processo de ensino aprendizagem. Segundo BNCC, as resoluções de
problema, “São alternativas de experiências variadas e facilitadoras de aprendizagens que
reforçam a capacidade de raciocinar logicamente, formular e testar conjecturas, avaliar a
validade de raciocínios e construir argumentações.” (BNCC, 2017)
A resolução de problemas aparece ainda relacionada principalmente com os temas de
Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Funções polinomiais de 1º e 2º grau.
Além do PCN e BNCC, também pode-se citar a Proposta Curricular de Santa Catarina
com o objetivo de delimitar e aprofundar o papel dos dois outros documentos oficiais do
governo brasileiro. O currículo tem sido modificado e ampliado em sua estrutura e
configuração, segundo o PCSC (Proposta Curricular de Santa Catarina). Segundo o PCSC,
25

para atender as necessidades oriundas do ser humano e também tendo em vista que a escola é
a melhor instituição que prepara os sujeitos a atuarem na nova sociedade, sociedade esta, que
está descrita como “Sociedade do Conhecimento e da Tecnologia”, o currículo foi ampliado, e
além das disciplinas básicas, agregou uma série de conhecimentos multidisciplinares, como
questões de gênero e diversidade sexual, étnico-raciais, educação para o trânsito, educação
fiscal, educação ambiental, educação e direitos humanos, além da educação especial. O
Estado de Santa Catarina vem desde 1988 ampliando e estabelecendo novas metas a serem
atingidas junto da Proposta Curricular.
De acordo com o documento, a resolução de problemas e os conceitos matemáticos

contribuem na formação integral dos estudantes em sua participação na vida
social, econômica e política para compreensão da realidade, tendo como
objetos de estudo deste conhecimento as grandezas e formas, desenvolvendo
instrumentos para conduzir a vida pessoal, assim como para incorporar
saberes científicos e suas correlações sociais. (PCSC, 2014).

A resolução de problemas é citada algumas vezes em todo o documento,
mostrando principalmente que é uma forma de “sinalizar possíveis alternativas de respostas
aos dilemas presentes no seu espaço-tempo”, na parte em que fala das abordagens em ciências
humanas.

3 EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
Neste capítulo, são observadas e listadas as principais características das provas do
ENEM e seu histórico, além das competências e habilidades que esta prova apresenta, desde o
ano em que foi criada em 1998.

3.1 PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS DO EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
O Exame Nacional do Ensino Médio, chamado de ENEM na forma abreviada, foi
criado no ano de 1998, durante a gestão do então ministro da educação Paulo Renato de Souza
e do então presidente Fernando Henrique Cardoso, com o objetivo de avaliar os estudantes no
final da educação básica, e assim, possibilitar o ingresso de muitos deles nas universidades
públicas e privadas etambém nos cursos técnicos. O exame pode ser realizado por alunos da
educação básica pública e também privada.
Desde o ano em que foi criado, 1998, o Exame Nacional do Ensino Médio nunca
foi obrigatório, mas apesar disso a adesão por parte dos estudantes e universidades vem
crescendo a cada ano. De acordo com o MEC, o exame foi criado apenas com o intuito de
ajudar a avaliar a qualidade do ensino brasileiro na época, utilizando os resultados obtidos
pelos estudantes como possíveis mudanças a serem feitas nos Parâmetros Curriculares
Nacionais e nas leis educacionais de cada estado, através do cruzamento dos dados. Mas com
todas as mudanças que foram feitas e a procura das universidades pela nota da prova, fez com
que o ENEM se tornasse a melhor forma de ingressar na universidade nos dias de hoje.
A prova, até o ano de 2008 foi realizada com 63 questões, que eram aplicadas em
apenas um dia de prova. A partir do ano de 2009, no governo do presidente Luiz Inácio Lula
da Silva e o ministro da educação Fernando Haddad, é que a prova passou a conter 180
questões objetivas e uma questão de redação, e também a ser dividida em dois dias de prova,
27

tudo isso como um novo modelo de prova na intensão de utilizar o ENEM como forma de
unificação dos concursos vestibulares nas universidades federais.
O exame passou a ser aceito nas universidades com a criação do SiSU (Sistema de
Seleção Unificada), de forma em que os alunos poderiam se inscrever para as vagas
disponíveis nas universidades brasileiras que são participantes do sistema. Além disso, a
prova também começou a ser utilizada para a obtenção da bolsa de forma integral em
universidades privadas através do ProUni (Programa Universidade para todos), para o Fies
(Fundo de Financiamento ao estudante do Ensino Superior

3.2 COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
O Exame Nacional do Ensino Médio a partir do ano de 2009 passou a ter 180
questões, e estas são divididas em quatro cadernos diferentes, contendo cada um 45 questões
objetivas, além da questão de redação. No primeiro, a prova tem duração de 4h30min, possui
90 questões, e o segundo dia tem duração de 5h30 e também 90 questões e a redação, o que
faz com que os alunos tenham uma média de 3 minutos para resolver cada questão. De acordo
com o Ministério da Educação, a prova tem o objetivo de avaliar as competências, e não as
informações que os avaliados possuem, e portanto, a prova não é dividida em matérias, as
questões são colocadas de uma forma que não possui qualquer tipo de agrupamento.
Com o objetivo de avaliar a capacidade de raciocínio e as ideias de cada aluno, a
prova é dividida em quatro cadernos e a redação, sendo eles Ciências da Natureza e suas
tecnologias; Ciências Humanas e suas tecnologias; Linguagens, Códigos e suas tecnologias;
Matemática e suas tecnologias.
A prova de Ciências da Natureza engloba as disciplinas de Biologia, Química e
Física, possuindo questões que utilizam de assuntos das três matérias. Ciências Humanas
englobam História, Geografia, Filosofia e Sociologia; Linguagens, Códigos englobam Língua
Portuguesa, Literatura, Artes, Educação Física, Língua Estrangeira que pode ser Inglês ou
28

espanhol, e Informática; Matemática engloba questões relacionadas a matemática
propriamente dita, tendo como principais tópicos a aritmética e a geometria; e por último, a
prova de Redação prevê um texto dissertativo-argumentativo de no máximo 30 linhas e com o
mínimo de 7 linhas.
De acordo com a Matriz de Referência para o ENEM, serão apresentadas as
competências e habilidades de cada área de conhecimento:
Ciências humanas e suas tecnologias, compreender os elementos culturais que
constituem as identidades, compreender as transformações dos espaços geográficos como
produto das relações socioeconômicas e culturais de poder, compreender a produção e o papel
histórico das instituições sociais, políticas e econômicas, associando-as aos diferentes grupos,
conflitos e movimentos sociais, entender as transformações técnicas e tecnológicas e seu
impacto nos processos de produção, no desenvolvimento do conhecimento e na vida social,
utilizar os conhecimentos históricos para compreender e valorizar os fundamentos da
cidadania e da democracia, favorecendo uma atuação consciente do indivíduo na sociedade,
compreender a sociedade e a natureza, reconhecendo suas interações no espaço em diferentes
contextos históricos e geográficos.
Ciências da Natureza: compreender as ciências naturais e as tecnologias a elas
associadas como construções humanas, percebendo seus papéis nos processos de produção e
no desenvolvimento econômico e social da humanidade; identificar a presença e aplicar as
tecnologias associadas às ciências naturais em diferentes contextos; associar intervenções que
resultam em degradação ou conservação ambiental a processos produtivos e sociais e a
instrumentos ou ações científico-tecnológicos; compreender interações entre organismos e
ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando conhecimentos
científicos, aspectos culturais e características individuais; entender métodos e procedimentos
próprios das ciências naturais e aplicá-los em diferentes contextos; apropriar-se de
conhecimentos da física para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar
intervenções científico-tecnológicas; apropriar-se de conhecimentos da química para, em
situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico-tecnológicas.
Matemática: construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e
reais; utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade
e agir sobre ela; construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a
29

solução de problemas do cotidiano; construir noções de variação de grandezas para a
compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano; modelar e resolver
problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando
representações algébricas; interpretar informações de natureza científica e social obtidas da
leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e
interpretação; compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e
sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos
de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição
estatística.
Linguagens e Códigos: aplicar as tecnologias da comunicação e da informação na
escola, no trabalho e em outros contextos relevantes para sua vida; conhecer e usar língua(s)
estrangeira(s) moderna(s) como instrumento de acesso a informações e a outras culturas e
grupos sociais; compreender e usar a linguagem corporal como relevante para a própria vida,
integradora social e formadora da identidade; compreender a arte como saber cultural e
estético gerador de significação e integrador da organização do mundo e da própria
identidade; analisar, interpretar e aplicar recursos expressivos das linguagens, relacionando
textos com seus contextos, mediante a natureza, função, organização, estrutura das
manifestações, de acordo com as condições de produção e recepção; compreender e usar os
sistemas simbólicos das diferentes linguagens como meios de organização cognitiva da
realidade pela constituição de significados, expressão, comunicação e informação; confrontar
opiniões e pontos de vista sobre as diferentes linguagens e suas manifestações específicas;
compreender e usar a língua portuguesa como língua materna, geradora de significação e
integradora da organização do mundo e da própria identidade; entender os princípios, a
natureza, a função e o impacto das tecnologias da comunicação e da informação na sua vida
pessoal e social, no desenvolvimento do conhecimento,associando-o aos conhecimentos
científicos, às linguagens que lhes dão suporte, às demais tecnologias, aos processos de
produção e aos problemas que se propõem solucionar.
Redação: demonstrar domínio da norma padrão da língua escrita; compreender a
proposta de redação e aplicar conceitos das várias áreas de conhecimento para desenvolver o
tema, dentro dos limites estruturais do texto dissertativo-argumentativo; selecionar,
relacionar, organizar e interpretar informações, fatos, opiniões e argumentos em defesa de um
30

ponto de vista; demonstrar conhecimento dos mecanismos linguísticos necessários para a
construção da argumentação; elaborar proposta de solução para o problema abordado,
respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural.

3.3 MATEMÁTICA NO EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO
A prova do Exame nacional do Ensino Médio (ENEM), como já foi citado, possui
um caderno de 45 questões sobre matemática. Segundo uma matéria do site globo.com,
publicada no dia 09 de setembro de 2017, um quarto das questões da prova desde o ano de
2009 trazem razões, proporções, porcentagem, juros e funções como os principais temas
abordados. Ainda de acordo com o site, a matriz dos conteúdos gira em torno de cinco áreas:
conhecimentos numéricos, conhecimentos geométricos, conhecimentos algébricos,
conhecimentos de estatística e probabilidade e conhecimentos algébricos/geométricos.

Figura 1 - Pesquisa Conhecimentos Matemáticos Enem

Como pode-se observar no gráfico acima, feito pelo Curso Poliedro em pesquisa
realizada em 2017, a prova tem como maior fonte de conteúdos os conhecimentos numéricos.

3.4 EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO 2018
Como em todos os anos desde a criação da prova e não diferente em 2018, ano em
que este trabalho é realizado, a prova do ENEM gera muita expectativa em estudantes por
todo o país. Para este ano, segundo o jornal Globo Educação (2018), o Exame Nacional do
Ensino Médio já possui mais de 5,5 milhões de inscritos confirmados, menor número desde
2011.
O exame que será realizado nos dias 4 e 11 de novembro, teve uma redução de
18% no número de inscrições em relação com o ano anterior, 2017. Ainda segundo o jornal
Globo Educação, toda essa queda no número de inscritos pode ter relação com a mudança da
finalidade da prova, visto que desde o ano de 2017 o exame não serve mais como certificação
de conclusão do ensino médio. A partir de agora, os estudantes maiores de 18 anos que não
tenham concluído o ensino médio na idade correta e desejam obter o diploma de conclusão,
precisam prestar o Exame Nacional para Certificação de Competências de jovens e adultos
(ENCCEJA), prova que não era realizada desde o ano de 2009.
Alguns dados ainda citados na pesquisa e que pode-se usá-los de modo a obter o
perfil do aluno participante do exame, é que segundo o jornal, 59,1% dos participantes são
mulheres, em sua maioria de 21 aos 30 anos de idade. 58,6% dos participantes homens e
mulheres já concluíram o ensino médio, e a maioria (37%) mora na região sudoeste do país.

4 ANÁLISE DE QUESTÕES DO EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO A
PARTIR DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS PROPOSTO POR GEORGE
POLYA
Neste capítulo, serão apresentadas as questões relacionadas a funções elementares,
obtidas nas provas já realizadas nos anos de 2016 e 2017 do Exame Nacional do Ensino
Médio, com a intensão de resolvê-las a partir do método da resolução de problemas criado por
George Polya.
Das provas do ENEM citadas escolhemos 5 questões que melhor se aproximam ao
objeto de investigação do trabalho.
33

4.1 QUESTÃO RELACIONADA A FUNÇÃO APLICADA EM 2017, BANCA INEP,
PROVA EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO DIA, 148
CADERNO AZUL, SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL.
Figura 2 - Questão 148 Enem 2017 Caderno Azul - Segundo Dia - Segunda Aplicação

Para resolução da questão aplicando o método de George Polya, inicialmente o
aluno terá que fazer a Compreensão do problema identificando que se trata de uma questão
sobre função do 2º grau e Função Exponencial. Para sequência do método o aluno
desenvolverá um plano de resolução, portanto o aluno deve perceber que terá que fazer uma
análise gráfica para chegar a resposta do problema. Na terceira etapa do método o aluno
estabelecerá a resolução a partir da interpretação gráfica que melhor se adequa ao problema
que é o item D porque representa melhor as vendas em função do tempo. A quarta etapa do
método é o Retrospecto de validação da resolução do problema, sendo que isto pode ser
observado que os demais itens não condizem a função estabelecida, pois o item A apresenta
apenas um crescimento exponencial. Já o item B apresenta um crescimento para uma função
logarítmica em todo período do tempo em análise. O item C apresenta um crescimento apenas
linear das vendas. Por fim, o item E apresenta inicialmente um crescimento linear e na
sequência um crescimento logarítmico.
Portanto, o método de Polya proposto para resolução da questão é apropriado.

4.2 QUESTÃO RELACIONADA A FUNÇÃO EXPONENCIAL APLICADA EM 2016,
BANCA INEP, PROVA EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO
DIA, 176 CADERNO AZUL, SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL.
Figura 3 - Questão 176 Enem 2016 Caderno Azul - Segundo Dia - Segunda Aplicação

Para início da resolução do problema, o aluno deve fazer a leitura tentando realizar
a Compreensão do problema, o primeiro passo seguindo o método de George Polya. O
aluno deve então, perceber que a questão traz um problema de função exponencial,
retratando o crescimento suposto do plantio de eucalipto. Pode-se perceber que o
problema já nos diz no enunciado que y(0) nos fornece a altura da muda quando foi
plantada, ou seja, significando que a altura da muda é 0,5m. Assim, compreendido o
problema, o aluno obrigatoriamente terá de estabelecer um Plano, descobrindo o valor de
a e substituindo os valores na função y dada pelo problema, e percebendo que precisa do
valor do próprio y para prosseguir. Seguindo para a Execução deste Plano, o aluno deverá
36

perceber que a altura a qual este eucalipto será cortado, pois o problema nos diz que será
cortado com 7.5m após o plantio, o que não se pode esquecer que a muda é plantada com
0,5m, logo terá 8m quando for cortada. Neste caso, para a execução do plano o aluno deve
inicialmente achar o valor de a (constante maior que 1):

Se y (0) = 0,5; e 0,5 = ½, então: y (0) = ½.
Se t = 0, então: a
0 – 1
= ½.
Se a
-1
= ½, então: 1 / a = ½.
Logo a = 2.
Em seguida, a muda será cortada com 7,5m após o plantio:
Corte = 0,5m (altura na qual foi plantada) + 7,5m (altura na qual é colhida) = 8m.
Substituindo os valores na função y, para descobrir o tempo em anos:
y(t) = a
t - 1

y(t)

= 8 e a = 2
8 = 2
t – 1
2
3
= 2
t – 1
3 = t - 1
4 = t
A última etapa da resolução do problema é o Retrospecto, portanto ao aluno deverá
examinar a solução que encontrou que está na letra B. O aluno deverá avaliar se a execução
do plano que fez é satisfatória, e se o resultado condiz com todos os dados que foram obtidos
durante a resolução do problema.

4.3 QUESTÃO FUNÇÃO APLICADA EM 2017, BANCA INEP, PROVA EXANE
NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO DIA, 152 CADERNO AZUL,
SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL.
Figura 4 - Questão 152 Enem 2017 Caderno Azul - Segundo Dia - Segunda Aplicação

Para a resolução do problema através do método de Polya, o aluno começará lendo e
fazendo a Compreensão do Problema, entendendo que se trata de uma questão de função
elementar envolvendo os dois reservatórios com relação ao volume de água. Assim, deve
partir para o Estabelecimento de um Plano como segunda etapa, em que o aluno deve analisar
o que compreendeu do enunciado, fazendo um plano de ação de como ele irá resolver a
questão. Neste caso,o aluno deve observar a frase no enunciado que diz que a vasão de água
que entra no sistema é constante, e que a partir do nível de ligação ele passa a abastecer o
reservatório seguinte, observando estes fatos nos gráficos.
Sabendo disso, poderá chegar a solução a partir de uma rápida olhada nos gráficos, na
próxima etapa chamada Execução do Plano. Na execução do plano, visto que o aluno já tenha
observado o enunciado e que saiba que a vasão de água é constante e sabendo que o problema
nos pede a representação gráfica da altura em relação ao volume de água apenas no
reservatório 1, poderá observar nos gráficos que a vasão constante linear é representada por
uma reta, pois o reservatório estará enchendo conforme passa o tempo, gradativamente e
proporcionalmente conforme a altura, até chegar no nível de ligação. Ou seja, observa-se que
a letra B e E já são descartadas, pois temos curvas exponenciais, com crescimento lento no
início e mais acentuado no final.
Depois que atingir o cano de ligação, o reservatório 1 passa a abastecer o reservatório
2, ou seja, toda a água que estiver entrando no reservatório 1, passará direto para o 2, ficando
em uma altura constante até que o reservatório 2 atinja o mesmo nível de água do reservatório
1, ficando assim com um período sem mudança de altura, o que descarta a alternativa A.
Por último, os reservatórios continuarão enchendo juntos até ficarem cheios, porém,
como a vasão é a mesma, o reservatório 1 passará a encher mais devagar do que no começo,
quando estava vazio. Isso acontece pois agora deverá dividir a água com o reservatório 2, a
altura passa a aumentar mais devagar do que na origem, quando começou a encher e como o
gráfico mostra o aumento de altura conforme o reservatório é abastecido, nos restara apenas a
alternativa D.
Assim, o aluno fará um Retrospecto como quarto passo, observando se a resolução a
qual ele chegou é satisfatória, e percebendo que o método é sim uma maneira eficaz de
resolver a questão proposta.

4.4 QUESTÃO FUNÇÃO EXPONENCIAL APLICADA EM 2016, BANCA INEP,
PROVA EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO DIA, 157
CADERNO AZUL, SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL.
Figura 5 - Questão 157 Enem 2016 Caderno Azul - Segundo Dia - Segunda Aplicação

Ao se deparar com a questão acima, o aluno deverá fazer a leitura para a melhor
Compreensão e Interpretação do problema, com o objetivo de entender que este é um
problema com uma função do segundo grau.
A partir deste princípio, o aluno Estabelecerá um Plano de ação para que consiga
descobrir em qual dia a segunda dedetização fora feita no município,uma vez que a função
dada é representada por f(t) = - 2t
2
+ 120t, onde f é o número de pessoas infectadas em relação
a (t) que é o número que indica a quantidade de dias (tempo) e que para tanto deve usar a
fórmula de Bháskara, ou o método de soma e produto, por exemplo, o que faz com que ele
tenha mais do que uma saída como plano de ação.
Na Execução do Plano, o aluno deve fazer f(t) = 1600 e resolver a equação com o
auxílio da fórmula de Bháskara. Assim:

1600 = -2t² + 120t

Organizando essa equação do 2º grau terá:

2t² – 120t + 1600 = 0

Agora deve encontrar o valor do delta (discriminante).

∆ = (-120)² – 4.2.160
∆ = 14400 – 12800
∆ = 1600

Utilizando agora a fórmula de Bháskara terá que:

t= 120+- √1600
4
t‟ = 20
t” = 40
Após executar todos os cálculos que já haviam sido planejados, o aluno irá se deparar
com todo o processo que o levou a chegar no resultado, um Retrospecto. Portanto, deverá
voltar ao enunciado para entender qual das duas opções de resposta é a que mais se adequa ao
problema: „‟A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no
dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas‟‟. Isso acontece no
20°, portanto a resposta correta é a letra B. Assim, pode-se observar mais uma vez que o
método proposto por Polya é totalmente eficaz na resolução deste tipo de problema.

4.5 QUESTÃO RELACIONADA A FUNÇÃO APLICADA EM 2017, BANCA INEP,
PROVA EXAME NACIONAL DO ENSINO MÉDIO – SEGUNDO DIA, 176
CADERNO AMARELO, SEGUNDA APLICAÇÃO – PPL.
Figura 6 - Questão 176 Enem 2017 Caderno Amarelo - Segundo Dia - Segunda Aplicação

Para dar início na resolução através do método de George Polya, como já dito
anteriormente, o aluno deverá realizar a Compreensão do Problema através da leitura e da
interpretação do enunciado, o que o leva a saber que é uma questão de função do primeiro
grau, pois o gráfico apresentado é uma reta, e o objetivo do problema é de identificar a
equação da reta.
O aluno deverá realizar o Estabelecimento de um Plano de ação, com o objetivo de
chegar até a solução utilizando os seus conhecimentos de função de 1º grau, sabendo que um
gráfico de função do primeiro grau é representado pela função y = ax + b.
Na Execução deste Plano de ação montado anteriormente, o aluno deverá executar as
suas ideias como método de solução do problema. Um possível meio de obtenção do
resultado, é a coleta de dois pontos presentes na reta do gráfico, por exemplo, o ponto (20;
3000) e (5; 0). Dessa forma:

y = ax + b

Sabe-se que no gráfico, o eixo y está representado pelo lucro L, e o eixo x,
representado pela variável tempo t, logo:

L = at + b

Assim, monta-se um sistema com os pontos obtidos anteriormente (20; 3000) e (5; 0),
desse modo:

0 = a.5 + b
3000 = a.20 + b

Para facilitar o cálculo, deve-se multiplicar a equação superior por -1, desse modo:

0 = a.5 + b . ( - 1 )
3000 = a.20 + b


43

0 = -a.5 - b
3000 = a.20 + b

Diminuindo uma equação pela outra, obtém-se:

3000 = 15.a
15
3000
= a
200 = a
Após descobrir a constante a, pode substituir a na primeira equação e obter o b:

0 = 200.5 + b
0 = 1000 + b
b = - 1000
Assim, reescrevendo a equação escrita anteriormente L = at + b, conclui que:

L(t) = 200.t – 1000

E com este resultado, o aluno é levado até a alternativa de letra D. Passando por todos
estes processos e realizando os cálculos de maneira correta, o aluno fará o Retrospecto da
questão, percebendo que chegou ao resultado correto, quando por exemplo retorna ao gráfico
e nota que o b = -1000 é exatamente o ponto onde a reta toca o eixo y, lucro, e assim, o
método se torna eficaz para a resolução deste tipo de problema relacionado com função do
primeiro grau.
Ao longo da resolução das questões apresentadas, procura-se demonstrar o raciocínio
utilizado por quem lê o enunciado pela primeira vez, demonstrando através das quatro etapas
propostas por Polya a possibilidade de chegar até o resultado. Compreendendo o problema
através da leitura e da interpretação do enunciado, atentamente observando os fatos e
informações que a questão nos dá enquanto faz a pergunta; montando um plano de ação, um

44

método que nós possamos resolver ou chegar até o resultado através dos nossos
conhecimentos; executando o plano com cuidado, até chegar a solução do problema de forma
a se manter satisfeito; e olhando para o resultado onde se chegou, e assim fazendo uma análise
se todo o processo foi feito da forma correta. Ressalta-se a importância de autores como
Polya, Onuchic, Medeiros, além dos documentos oficiais para comprovação da relevância da
resolução de problemas como um possível método de ensino.
Outras questões de funções elementares das provas do ENEM analisadas
possivelmente são adequadas para aplicação do método, no entanto por uma questão de
limitação do trabalho resolvemos não trata-las neste trabalho.
Das questões apresentadas relacionadas a funções elementares o método de
resolução de problemas proposto por George Polya, em seu livro “A Arte de Resolver
Problemas” se mostrou totalmente adequado para que os alunosa utilizem no momento da
prova, mesmo não cumprindo fielmente as etapas propostas. Para tanto, é importante que os
professores utilizem no ensino da matemática nas diferentes etapas da educação básica,
facilitando a familiaridade com o método para o aluno.

5 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esta pesquisa foi desenvolvida na finalidade de descobrir se o método de
resolução de problemas criado por George Polya pode ser utilizado como forma de raciocínio
e obtenção da solução de algumas questões do Enem sobre funções elementares dos anos de
2016 e 2017. Além disso, uma pergunta norteadora motivou a pesquisa: este método pode ser
utilizado pelos alunos de forma a contribuir na resolução da prova do ENEM?
A partir daí, tomou-se como rumo e forma de pesquisa a metodologia
exploratória, qualitativa, bibliográfica e documental.
Dessa forma, a investigação e o estudo feito nesta pesquisa demonstram que esta
metodologia de ensino através do método de George Polya atende os objetivos na construção
de conhecimentos matemáticos previstos nos documentos oficiais, capaz de tornar o aluno um
cidadão acessível, que tenta condições de resolver as questões através da resolução de
problemas e assim partilhar, participar, refletir e utilizar do seu saber em prol da sociedade.
Além disso, é necessário um amplo planejamento do professor para fazer com que
seus alunos consigam utilizar do método em busca das soluções dos problemas citados. Não
será de forma fácil, apenas mostrando as questões e deixando com que os alunos resolvam-nas
de forma espontânea, criando suas próprias formulas. É preciso que o professor faça o seu
papel, explicando de que forma eles devem proceder, mostrando cada etapa do método,
falando da importância da leitura, da compreensão e interpretação dos enunciados, de que eles
têm de formar um plano para resolvê-la, até que estejam confiantes da alternativa em que vão
assinalar. É importante que o docente, em seu planejamento, faça questões com os seus alunos
e as discuta em sala de aula, demonstrando as etapas do método e como ele funciona.
O planejamento e a discussão levam tempo, e às vezes pode encontrar muitas
dificuldades, o que torna tal prática em escolas públicas um fato difícil de acontecer, devido a
carência de livros didáticos, falta de tempo e outros fatores presentes, além de alguns
professores lecionarem para turmas acima dos 35 alunos.
Contudo, espera-se que esta pesquisa possa contribuir de alguma forma no futuro
para o ensino de matemática e como proposta no ensino de funções através do método
proposto por George Polya. Além disso, no meio acadêmico possa também fazer com que
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outros graduandos desenvolvam futuras pesquisas, sejam elas trabalhando também as
questões de função em outros métodos de resolução, ou utilizando do mesmo método para a
resolução de outros tipos de questões, sobre diversos tipos de tema. Assim, também possamos
pensar, nós educadores, em melhorias para o método de ensino como um todo nas escolas,
levando o conhecimento matemático da melhor forma possível para os nossos alunos, fazendo
com que a matemática faça sim a diferença em seu cotidiano e no seu crescimento.

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