Anel quociente

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Anel quociente
Sejam A um anel e I um ideal de A diremos que dois elementos são equivalentes (ou congruentes) se .
Usaremos a notação assim demostrando a relação é uma relação de equivalência.
Reflexiva: pois 
Simétrica: Se , , como é um ideal, e um ideal, logo .
Transitiva: se e , temos e sendo um ideal, temos , logo 
Definição 
Seja A um anel comutativo e um ideal de A.
Definimos o anel quociente de A por , como sendo:
A/=
A/
Adição:
Multiplicação:
Exemplo:
Considere , vamos construir o anel quociente A/.
=={ assim podemos representar por .
A/=/.
a=0,1,2,3,4,5 K=-2,-1,0,1
0+5K={...,-10,-5,0,5,...}=
1+5K={...,-9,-4,1,6,...}
2+5K={...,-10,-3,2,7,...}
3+5K={...,-7,-2,3,8,...}
4+5K={...,-6,-1,4,9,...}
5+5K={...,-5,0,5,10,...}= múltiplo de 5= ideal
/0+5K, 1+5K, 2+5K, 3+5K, 4+5K}.
0,1,2,3,4}
Ordem em um anel de integridade
Anéis de integridade ordenados;
Definição consideremos um par ordenado constituído de um anel de integridade A operado na + ou . e uma relação de ordem total sobre A
Dessa forma, A= +, . será um anel de integridade ordenado se forem satisfeitos os seguintes axiomas.
W1- Para qualquer se , então .
W2- Para qualquer se , e .
Propriedades de um anel de integridade 
1- Em um anel ordenado são equivalentes as afirmações:
i) 
ii) 
iii) 
Demonstração:
i)→ (ii) Devido a (W1), de a b segue que a +(-b)
b+(-b), portanto, a - b 0.
(ii) → (iii) Por hipótese a-b 0, dessa relação segue, devido a (W1), que (a - b)+(-a)0 +(-a), de onde, -b -a.
(iii) → (i) Para a demonstração, neste caso, é só somar (a
+ b) a cada um dos membros de - b-a, o que é permitido, mais uma vez por (W1).
2- Seja A um anel ordenado, então, para quaisquer a, b, c A:
i) Se 
ii) 
Demonstração:
i) Da hipótese a +cb +c, segue devido a (W1), que (a + c) + (-c)
 (b+c) +(-c). Então a +[(c + (-c)]b+[c+(-c)] e, portanto, a + 0
b +0. De onde a b.
3- Seja a, b, c elementos de um anel ordenado então a c sempre que:
i) 
ii) 
iii) 
Demonstração:
Demonstraremos essa proposição apenas no caso da hipótese (iii). Nos demais casos demonstração é análoga.
Por hipótese, a b, ab e b c. Então, devido à transitividade da relação de ordem: a c. 
Suponhamos que se pudesse ter a = c. Então c b e b 
C e, portanto como a relação de ordem goza da propriedade anti - simétrica, b = c o que é absurdo. Logo, a c e a c, ou seja, a < c.
4- Proposição: adição de desigualdades) Sela A um anel ordenado se a1,a2, ... b1, b1, ..., bn A e a1 b1 ( i=1,2, ..., n; n, então: a1+a2+...+an b1+b2+...+ bn se, ademais, a1para algum índice r (1 então: a1+a2+...+an b1+b2+...+bn.
Demonstração:
Em particular, se a b (a < b) e n é um inteiro 1, então n.an.b (n-a<n·
b). 
Faremos a demonstração para n = 2. No caso geral, procede se por indução sobre n, estendendo-se o raciocínio que será feito aqui.
Por hipótese, a1e a2 b2. Somando-se a2 aos dois membros de a1 b1 e b1 aos dois membros de a2 b2, o que é permitido por (W1), obtém-se as desigualdades a1+a2 b1+b2. 
Suponhamos que, por exemplo, a1 b1 e a2 < b2. Então, devido ao resultado que acabamos de demonstrar, válido neste caso, pois a2 b2
e a2b2: a1 + a2 e b1 +b2.
 Mas de a2<b2 decorre que a1 + a2< a1 + b2. Assim, se a1+a2
=b1+b2, então b1+b2<a1+b2 e, portanto, b1< a1, o que não é possível, pois, por hipótese,
a1 b1. Logo, a1+a2b1+b2 e, por consequência, a1+a2 < b1+b2.
5- Se a < b e 0 c, então ac bc se, e somente se, c = 0 e, portanto ac < bc, sempre que c > 0.
Demonstração: 
Como a < b, o axioma (W2) garante então que ac bc.
Suponhamos ac=bc, então ac - bc = 0 e portanto, (a - b) = 0. Como estamos num anel de integridade e ab, então c=0. Por outro lado, é imediato que se c = 0. então, ac = bc. 
Demonstração: 
Como c 0, então 0 -c. A proposição anterior garante então que a b(-c), ou seja, que - (ac) -(bc). 
Mas então, em virtude da proposição 1, bcac.
 Para justificar a segunda parte o raciocinio é análogo ao usado na demonstração anterior.
6- Num anel ordenado, ab 0 se, e somente se, a > 0 e b > 0 ou a < 0 e b <0. (isto é, ab > 0 se, e somente se, a e b tem o “mesmo sinal”).
Demonstração:
 () da hipótese, ab > 0, decorre que ab e, portanto, a
0 e b . Suponhamos, por redução ao absurdo, que a > 0 e b > 0, ou seja, que a e b tivessem sinais contrários. 
Então – b > 0 e, portanto a(-b) >0.(-b), Mas dessa desigualdade decorre que - (ab). Adicionando - se essa última desigualdade com ab > 0 (hipótese), ab + [-(ab)] > 0 ou 0 > 0, o que é impossível. 
De maneira análoga se mostra a impossibilidade de a < 0 e b > 0. Então a e b têm o mesmo sinal sempre que ab > 0. Como queríamos provar.
7- 0 e = 0 se, e somente se, a = 0 (portanto > 0 se a 0).
Demonstração: 
como A é totalmente ordenado, então 0a ou a . No primeiro caso, multiplicando-se ambos os membros da primeira dessas desigualdades por a, o que é permitido por (W2), obtém-se 0.a <aa, ou seja, 0 . De onde, 
0. 
No segundo caso, os dois membros da segunda desigualdade pode ser multiplicados por -a 0 com o seguinte resultado: a(-a) 0.(-a).
 Dai, - 0 e, portanto, 0.Se = aa = 0, então a = 0, porque estamos num anel de integridade. Por outro lado, é óbvio que, se a = 0, então =0.
Anéis De Integridade Bem Ordenados
Seja A um anel de integridade ordenado. Então os elementos de P = {x A/ x 0} são chamados elementos positivos do anel. Se todo subconjunto de P (com relação de ordem induzida pela de A) possui mínimo, então se diz que A é um anel de integridade bem ordenado.