Variaveis Complexas_1_2019_02

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Capítulo 2 – Funções, Limites e Continuidade 
UFPA /ITEC/FEEB – Funções de Uma Variável Complexa – Rsana Sares 13 
CAPÍTULO 2 – FUNÇÕES, LIMITES E CONTINUIDADE 
 
(A) FUNÇÕES COMPLEXAS 
Seja D um conjunto de números complexos. Uma função complexa f definida sobre D é uma regra que 
associa a todo z em D um número complexo w, chamado de valor de f em z. 
 
O conjunto D é chamado de domínio de definição de f. O conjunto I de todos os valores de 
 , é chamado de imagem de f. O domínio e a imagem podem ser finitos, puramente reais, 
imaginários, ilimitados ou até mesmo todo o plano complexo. 
 
Z é chamada de variável independente e w de variável dependente. 
 Importante: Para caracterizar uma função complexa não é suficiente a lei de correspondência . É 
necessário especificar o domínio de definição D. 
 Quando o domínio de uma função complexa não é especificado, é assumido o domínio para o 
conjunto de todos os números complexos z para o qual f (z) é definido. Este grupo é por vezes 
referido como o domínio natural de f. 
OUTRA NOTAÇÃO: 
Sendo w é um número complexo, pode ser escrito como onde u e v são suas partes 
reais e imaginárias, respectivamente. Considerando que e que, portanto depende de 
 , u e v são funções reais de x e y, ou seja: 
 
Em outras palavras, a função complexa é equivalente a duas funções reais 
 e , cada uma dependente de duas variáveis reais x e y. 
TIPOS BÁSICOS DE FUNÇÕES COMPLEXAS 
 Funções unívocas ou de valor único: Uma função é denominada unívoca em D se a cada valor de z 
corresponde um único valor de w. 
 Funções plurívocas ou de valores múltiplos. Uma função é denominada plurívoca em D se a um 
determinado valor de z corresponder mais de um valor de w. Uma função plurívoca pode ser 
considerada como uma coleção de funções unívocas, onde cada membro desta coleção é chamado 
de ramo da função plurívoca. 
Exemplo: 
1. Função de valor único. 
2. Função de valores múltiplos. 
Se então , para k=0,1 , ou seja: 
 e 
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(B) TRANSFORMAÇÕES OU MAPEAMENTOS 
Uma ferramenta útil no estudo das funções reais no cálculo elementar é o gráfico da função. Recorde-
se que, se é uma função de valor real com uma variável real x, então o gráfico de f é 
definido como sendo o conjunto de todos os pontos (x, f (x)) no plano cartesiano bidimensional. Por 
analogia, a mesma definição pode ser utilizada para uma função complexa. No entanto, se 
é uma função complexa, então ambos z e w encontram-se num plano complexo. Daqui resulta que o 
conjunto de todos os pontos de encontra-se no espaço de quatro dimensões (duas 
dimensões para z e duas dimensões para w). Claro que, o espaço de quatro dimensões não pode ser 
facilmente ilustrado. Por esta razão: Não se desenha o gráfico de uma função complexa. 
O conceito de mapeamento complexo proporciona uma alternativa para a representação geométrica 
de uma função complexa. O termo mapeamento complexo é utilizado para se referir à 
correspondência determinada pela função complexa entre pontos em um plano z e 
imagens em um plano w. Se o ponto zo no plano z corresponde ao ponto wo no plano w, isto é, se 
 , então se diz que o ponto zo é mapeado para wo através de f. 
De um modo geral, se , então pontos no plano z são mapeados em pontos no plano w, 
enquanto que curvas no plano z são mapeadas em curvas no plano w. 
 
Ou ainda, se , um conjunto de pontos S no plano z, é mapeado pela função f em conjunto 
de pontos S’ ( Imagem de S ) no plano w. 
 
 
(C) EFEITOS DO MAPEAMENTO LINEAR 
Seja a função real linear , sendo a e b reais e constantes. A função linear complexa 
é da forma , onde a e b são constantes complexas. 
Antes de verificar o mapeamento genérico de f(z) = az +b, serão considerados três tipos especiais de 
efeitos no mapeamento: de rotação, de magnitude e de translação ou deslocamento os quais 
receberão os símbolos R, M e T respectivamente. 
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ROTAÇÃO: Considerando e assumindo uma função 
linear complexa 
 
 
 para qualquer complexo não 
nulo tem-se que a imagem do ponto sob R caracteriza 
uma rotação. 
Desde que 
 
 
 , é possível escrever e 
 . Logo, . 
Portanto, conforme figura ao lado, o mapeamento linear 
 
 
 
 pode ser interpretado em um único plano 
complexo como um processo de rotação do ponto . 
MAGNITUDE: Considerando e assumindo uma 
função linear complexa com (número real 
positivo não nulo), então . 
Se , está vezes mais distante da origem que z. Se 
 , está vezes mais próximo da origem que z. 
 
TRANSLAÇÃO: Seja uma função linear complexa 
 . Considerando e , então: 
 , ou seja a imagem do 
ponto sob T é o ponto . 
Representando graficamente e no mesmo plano, 
observa-se que o vetor que tem origem em e termina em 
 é . Portanto, o mapeamento linear 
 pode ser interpretado em um único plano complexo 
como um processo de deslocamento do ponto ao longo do 
vetor até o ponto . 
GENERALIZANDO: o mapeamento de aplicado a , onde a e b são 
constantes complexas, tem-se que: 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 ou ainda 
Assim, considerando e tomando um ponto no plano complexo. Se o ponto 
 for representado no mesmo plano de , o mesmo pode ser obtido: 
1. Rotacionando em relação a origem de ; 
2. Alterando a Magnitude (ou a distancia em relação a origem) de ; 
3. Deslocando o resultado de . 
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(D) LIMITES 
CONCEITO DE LIMITE PARA UMA FUNÇÃO REAL 
O limite de quando tende existe e é igual a L, se para 
cada , existe um tal que , sempre 
que . 
Para o limite existir, a relação exibida na figura deve existir para 
qualquer escolha de . A figura também ilustra que se é 
menor, então o valor de também será menor. 
 
CONCEITO DE LIMITE PARA UMA FUNÇÃO COMPLEXA 
Suponha uma função complexa de valor único definida na vizinhança “perfurada” de (ou seja 
definida em todos os pontos da vizinhança de , exceto, eventualmente no ponto ). Suponha que 
 um número complexo. O limite de quando existe e é igual a , ou seja 
 
 
 
Se para qualquer número existe um número tal que sempre que 
 . 
 
Para que o limite exista, ele deverá ser independente da direção de aproximação de . 
 
A definição fornece um meio para testar se é o limite de . Contudo, não oferece um método para 
determinar o valor do limite. Teoremas sobre limites, deduzidos a partir da definição, serão úteis na 
determinação dos limites de diversas funções. 
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 Teorema: 
Seja , e . 
Então 
 
 
 
Se e somente se 
 
 
 
E 
 
 
 
 Propriedades 
Sejam duas funções complexas e g . 
Se 
 
 
 
E 
 
 
 
Então é possível demonstrar que: 
1. 
 
 Sendo c uma constante complexa 
2. 
 
 
3. 
 
 
4.Para M não nulo 
 Limites envolvendo Polinômios 
Se é um ponto no plano então: 
1. 
 
2. 
 
3. 
 Onde 
 
(E) CONTINUIDADE 
Na análise de funções reais, o conceito de continuidade pode ser facilmente visualizado graficamente. 
Informalmente a função é dita continua se não há “quebra” ou “vazios” no gráfico da função. Na 
análise de funções complexas a caracterização da continuidade será de natureza algébrica somente. 
A definição de continuidade para funções complexas é na sua essência, a mesma utilizada para 
funções reais. 
Seja uma função complexa, definida e unívoca em uma vizinhança de , assim como em 
 . A função é dita contínua em se 
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Observa-se que isso implica que três condições que devem ser satisfeitas: 
1. O limite deve existir. 
2. deve existir, isto é, deve ser definida em 
3. O limite deve ser igual a 
Definições 
 Se uma dessas condições falhar a função é dita ser descontínua no ponto 
 Pontos no plano onde a função não é contínua são chamados de descontinuidades de 
 . 
 Se o limite existe, mas não é igual a , então é denominado de descontinuidade 
removível, pois existe possibilidade de redefinir-se para obter uma função contínua. 
Propriedades 
Se duas funções complexas e g são contínuas no ponto . Então as seguintes funções 
também são contínuas no ponto : 
1. Sendo c uma constante complexa 
2. 
3. 
4. Se