Prova presencial - cálculo I - primeiro semestre - 2019

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• 1) 
 
Um golfista dá uma tacada que faz sua bola descrever uma trajetória na qual 
a altura, em metros, é dada pela função f(x) = , em que x 
é a distância horizontal da bola, em metros, medida a partir de sua posição antes 
da tacada. A figura a seguir ilustra a trajetória da bola. 
 
 
 
(Adaptado de: GOMES, F. M. Matemática básica. Campinas: Unicamp, 2017.) 
 
Marque a alternativa que apresenta a altura da bola quando ela está a uma 
distância horizontal de 40 m de seu ponto de partida: 
o A) 39,36 metros. 
o B) 62,5 metros. 
o C) 52,8 metros. 
o D) 40,64 metros. 
o E) 27,2 metros. 
 
Resposta correta: 27,2 metros. 
A altura da bola quando ela está a uma distância horizontal de 40 m de sua 
posição original é dada por f(40) = −0,008 ⋅ 40^2 + 40 = 27,2. Logo a bola está a uma 
altura de 27,2 m. 
 
Distratores: 
Para todas as outras alternativas, ou houve erro de interpretação, ou de cálculo, ou o aluno 
não sabia resolver. Não há como saber ao certo por que encontraria alguns desses valores. 
 
 
 
• 2) 
 
A tarifa mensal de um plano de telefonia fixa tem duas faixas de preço: 
 
• Os clientes que efetuam até 400 minutos mensais em ligações pagam o valor 
fixo de R$ 42,00 por mês. 
• Para cada minuto adicional (ou seja, que excede os 400 minutos), paga-se R$ 
0,04. 
 
Considerando como f(t) a função que descreve o valor a pagar pela conta de 
telefonia fixa, e t o tempo em minutos, avalie a alternativa que contém a função 
que fornece o valor mensal da conta telefônica: 
o A) 
o B) 
o C) 
o D) 
o E) 
 
Resposta correta: 
 
De zero a 400 minutos de consumo, o valor a pagar é de R$ 42,00 e, para consumos 
maiores de 400 minutos, haverá cobrança de R$ 0,04 a cada minuto adicional (a cada 
minuto além dos 400, ou seja, t -400). 
 
Distratores: 
 
Errada. Para o período de até 400 mimutos a função é constante, é uma função por partes. 
 
 
Errada. Os minutos que serão pagos são os adicionais e t representa o total de minutos, a 
segunda parte está errada. 
 
 
Errada. Na primeira parte o correto é t maior ou igual a 400, e a segunda parte teria que 
ter (t-400). 
 
 
Errada. Tem que ser uma função definida em duas partes, uma para valores maiores do 
que 400 e outra para valores até 400 minutos. 
 
 
Errada. São R$ 42, se t até 400 minutos, e não ao contrário, como está na primeira parte. 
 
 
• 3) 
 
Ana contraiu um empréstimo bancário no valor de R$ 2.500,00 a uma taxa de 5% 
ao mês, sob o regime de juros compostos. 
 
Diante da situação, identifique o valor aproximado do montante da dívida de Ana 
decorridos seis meses da data em que tomou o empréstimo, em reais: 
o A) R$ 7.500,00. 
o B) R$ 3.250,00. 
o C) R$ 5.000,00. 
o D) R$ 15.750,00. 
o E) R$ 3.350,24. 
Alternativa correta: 
• e) R$ 3.350,24. 
 
 
Justificativa: Resposta correta:R$ 3.350,24.M (t) = 2.500 . (1+0,05)^6 = 2.500 . 1,35 = 
3.350,24. Distratores:Não há como saber o que o aluno pensou para que tenha feito o 
cálculo errado e marcado outras opções. 
 
 
• 4) 
 
Pedro decidiu comprar um notebook pelo preço de R$ 3.200,00; mesmo sabendo 
que ele perde 15% de seu valor inicial a cada ano de uso e que será conveniente 
trocá-lo assim que seu valor chegue a R$ 1.000,00. 
 
Considere que V(t) é a função que fornece o valor do notebook após t anos. 
 
Indique a alternativa que apresenta a função V(t) e o tempo de uso adequado para 
trocar o notebook em anos: 
o A) V(t) = 3.200 - 480t e 4,6. 
o B) V(t) = 2.200 - 480t e 2,5. 
o C) V(t) = 3.200 - 0,15t e 14.667. 
o D) V(t) = 3.200 - 480t e -4,6. 
o E) V(t) = 2.720 - 408t e 4,6. 
 
• Resposta correta: V(t) = 3200 - 480t e 4,6. 
• V(t) = 3.200 - (0,15 . 3.200).t => V(t) = 3.200 - 480t. 
• Quando o valor chega a R$ 1.000,00 significa V(t) = 1.000. 
• Então, como V(t) = 3.200 - 480t, colocamos 1.000 no lugar de V(t). Assim: 
• 1.000 = 3.200 - 480t 
• 1.000 - 3.200 = -480t 
• -2.200 = -480t 
• t = -2.200 / -480 
• t = 4,583 anos 
• 
• Distratores: 
• V(t) = 3.200 - 0,15t e 1.4667. Errada, porque são 15 % de R$ 3200, que são 
reduzidos a cada ano de uso e não 0,15 (15 centavos a cada ano). 
• V(t) = 3.200 - 480t e - 4,6. Errada. Não existe período de tempo negativo (-4,6 
anos não faz sentido para o contexto do problema). 
• V(t) = 2.200 - 480t e 2,5. Errada. O valor inicial na função é o valor do bem 
atualmente, que é R$ 3.200,00, e não R$ 2.200,00, como diz a função, e, por 
consequência, o tempo de uso está errado. 
• V(t) = 2.720 - 408t e 4,6. Errada. A função está com os dois termos errados. 
 
 
• 5) 
 
Um produtor rural pretende usar 500 m de cerca para proteger uma área de 
preservação ambiental obrigatória em sua propriedade. A área é retangular e fica 
às margens de um riacho, como mostra a figura a seguir, acompanhada do gráfico 
que decreve a área cercada A, em função da largura x, com ponto inicial na origem 
dos eixos coordenados (0,0). 
 
 
 
 
 
Considerando este contexto, e que a lei da função , 
pode-se afirmar que: 
o A) 
o B) . 
o C) 
o D) 
o E) 
 
• Resposta correta: . 
• Correta, porque a parábola tem concavidade voltada para baixo, então a<0, e, 
como a curva parte da origem, o intercepto com eixo dos A(x) é (0,0), sendo 
c=A(0)=0. 
• 
• Distratores 
• . Errada, porque se a=0 o gráfico não seria uma parábola, e não 
estaria correta para este contexto. 
• Errada, porque a<0, concavidade voltada para baixo, a<0. 
• Errada, porque a não pode ser igual a zero. 
• Errada, porque a não pode ser igual a zero. 
 
 
• 
• 
• 6) 
 
Considere que, adotando uma dieta balanceada e praticando atividade física, uma 
pessoa de 90 kg perca 1,5 kg por semana, nas primeiras 12 semanas. 
 
Diante de tal situação, indique a alternativa que apresenta uma função P(t) que 
relaciona o peso da pessoa com o tempo para o período de oito semanas; e defina 
corretamente P(t) como uma função crescente ou decrescente: 
o A) P(t) = 90t - 1,5, decrescente. 
o B) P(t) = 90 - 1,5t, crescente. 
o C) P(t) = 88,5 - t, decrescente. 
o D) P(t) = 1,5t -90, crescente. 
o E) P(t) = 90 - 1,5t, decrescente. 
o 
• Respostas correta: 
• P(t) = 90 - 1,5t, decrescente. 
• A pessoa parte de 90 kg e a cada semana perde 1,5 kg (sendo negativo porque é 
uma subtração com relação ao peso inicial) e, como à medida que o tempo 
aumenta o peso diminui, a função é descrescente (a = -1,5 < 0). 
• 
• Distratores: 
• P(t) = 90 - 1,5t, crescente. Errada. P(t) é decrescente. 
• P(t) = 88,5 - t, decrescente. Errada. O peso inicial é 90 kg (não 88,5 kg) e a perda 
semanal, 1,5 kg (e não 1 kg). 
• P(t) = 1,5t - 90, crescente. Errada. O termo que representa a variação regular é a 
perda de peso e ela é que é negativa. 
• P(t) = 90t -1,5, decrescente. Errada. 90 é coeficiente linear, e não angular. 
 
 
• 7) 
 
Um instalador de aparelhos de ar condicionado do tipo split cobra R$ 100,00 pela 
visita, além de R$ 75,00 por hora de serviço (sem incluir o custo do material por 
ele utilizado). Nessas condições determine: 
 
a) A lei de uma função C(t) que forneça o custo de instalação de um aparelho de 
ar condicionado em relação ao tempo gasto pelo instalador, em horas. 
b) O custo da mão de obra, se a instalação de um aparelho consumir quatro horas. 
c) A representação gráfica da função que representa o custo de instalação, 
explicitando interceptos com os eixos coordenados e raiz da função; considerando 
o que tem significado nesse contexto. 
d) O domínio e a imagem da função, considerando o contexto que ela está 
descrevendo. 
 
Expectativa de resposta: 
a) C(t) = 100 + 75.t. 
b) C(4) = 100 + 75 . 4 = R$ 400. 
c) 
 
 
d) Domínio: valores de x, nesse caso, de t, que fazem sentido nesse contexto estão no 
intervalo [0 , +oo]. Imagem: valores de y, nesse caso, C(t), que fazem sentido nesse 
contexto estão no intervalo[100 , +oo]. 
 
 
• 8) 
 
O lucro (em milhões de reais) que a Fábrica Pqna obtém com a venda de um 
produto é dado pela função , em que x é o valor gasto 
(também em milhões de reais) com marketing em todas as mídias juntas. 
 
Determine: 
a) O valor que a empresa deve gastar com marketing para obter o lucro máximo. 
b) O lucro máximo. 
c) Quanto a empresa deve gastar com marketing para que seu lucro seja maior ou 
igual a 10 milhões de reais. 
 
Expectativa de resposta: 
a) Como a função é quadrática, seu gráfico é uma parábola e, nesse caso, com a 
concavidade voltada para baixo porque o coeficiente de x2 é negativo, o vértice da 
parábola é o ponto máximo, nesse caso, de lucro máximo. O ponto máximo é formado 
pelo par ordenado (Xv; Yv). Para calcular o xv, usamos Xv = - b / 2a; assim: 
Sendo a = -1/2 = -0,5; b = 3 e c = 6, temos: 
Xv = - (3) / (2 . -0,5) = 3; Xv = 3. 
A Fábrica Pqna deverá investir 1,5 milhões de reais em marketing para obter o lucro 
máximo. 
b) O lucro máximo ocorre no ponto máximo (vértice) e, como já sabemos o Xv, 
aplicamos na lei da função (no lugar de x) para calcularmos o lucro correspondente 
L(x), que será o lucro máximo, também chamado de valor da função; assim: 
Como Xv = 3, temos que 
L(1,5) = [- (3)2 / 2 ]+ 3 . 3 + 6 
L(1,5) = -4,5 + 9 + 6 = 10,5 milhões de reais. 
O maior lucro será de R$ 10.500.000; que será alcançado quando forem investidos 3 
milhões de reais em marketing. 
c) Como o lucro é dado por , para saber o quanto 
se deve investir em marketing (x) para que o lucro seja maior ou igual a R$ 10.000,00 
[o que corresponde a L(x) milhões de reais], temos que resolver a inequação 
 
A resolução dessa inequação se dá pelo estudo do seu sinal. Para 
isso, precisamos das raízes da função, as quais determinam quando a curva (parábola) 
corta o eixo dos x. 
Cálculo das raízes: 
 
Como a inequação terá solução quando a parábola estiver para cima do eixo 
horizontal, já que seu resultado tem que ser maior ou igual a zero, representamos por 
 
O lucro será igual ou superior a R$ 10.000.000, quando o investimento em marketing 
for de R$ 2.000.000,00 a R$ 4.000.000,00. Intervalo de x [2, 4 ].