7_Hidrodinâmica

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Referência
Capítulo 20.1-20.3.2
Livro: Física para Ciências Biológicas e Biomédicas, Ed. Harbra
Autores: E. Okuno, I.L. Caldas, C. Chow
Aula 7: Fluidos em movimento
Escoamento de fluidos ideais e reais
Prof Reinaldo Haas
UFSC – Depto de Física
➢ Escoamento Laminar ou Estacionário: 
Se cada partícula do fluido segue uma trajetória definida e suave, e se 
as trajetórias das partículas não se cruzam. Neste caso, a velocidade 
do fluido, em cada ponto, permanece constante. 
Ex.: a água se movendo num rio calmo, de leito regular.
REGIMES DE ESCOAMENTO
➢ Escoamento Rotacional ou Turbulento: 
É um escoamento irregular, caracterizado por regiões de pequenos 
vórtices. 
Ex.: o escoamento da água numa próximo às regiões onde possui 
rochas, fumaça.
➢ O fluido não é viscoso, ou seja, desprezamos o “atrito” interno. Algo 
movimentando num fluido sem viscosidade, não sofre uma força de 
viscosidade.
➢ O fluido é estacionário., a velocidade em cada ponto permanece 
constante.
➢ O fluido é incompressível. A densidade de um fluido incompressível 
permanece constante.
➢ O fluxo é irrotacional, não tem rotação.
Suposições para um fluido ideal
Podemos representar em qualquer ponto a 
velocidade do fluido da forma:
Para um fluido incompressível,
o fluxo Q é constante:
portanto, quanto mais estreito o tubo,
mais rápido o fluido vai escoar.
Na figura, esquematizamos um tubo. Sejam A1 e A2 as áreas das 
seções retas em duas partes distintas do tubo. As velocidades de 
escoamento em A1 e A2 valem, respectivamente, v1 e v2. 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Na figura, esquematizamos um tubo. Sejam A1 e A2 as áreas das 
seções retas em duas partes distintas do tubo. As velocidades de 
escoamento em A1 e A2 valem, respectivamente, v1 e v2.
O fluxo (ou vazão) Q é definido como o volume do fluido que passa por 
unidade de tempo num determinado ponto. 
Ou seja, sua unidade é
constante2211 === vAvAQ
smQ /][ 3=
tVQ /=
Uma mangueira de água com 2,5cm de diâmetro é usada por um 
jardineiro para encher um balde de 30L. O jardineiro nota que leva 
1min para encher o balde. O esguicho da mangueira pode ser 
controlado diminuindo a seção de área para 0,5cm2. Usando o 
esguicho a água é projetada horizontalmente a 1m de distância acima 
do solo. Qual a velocidade que a água sai nos dois casos?
Água na mangueira (exemplo)
A velocidade da água na 
mangueira é maior quanto 
mais fechamos a saída de 
água e menor quando 
abrimos a saída de água.
2
2
22
1 91,4
4
)5,2(
)2/( cm
cm
drA ==== 
scm
s
cm
LQ /500
60
1030
min/30 3
33
=

==
smscm
cm
scm
A
scm
/02,1/102
91,4
/500/500
2
3
1
3
1 ====v
2
2
2
5,0
/02,191,4
cm
smcm
=v sm /102 =→ v
Solução:
O fluxo Q (volume de água por tempo) é dado por: 
Água na mangueira (cont.)
Pela definição de fluxo, encontramos: 
11vAQ =
Como o fluxo se conserva, encontramos: 2211 vv AAQ ==
tVQ /=
Sangue pelas artérias (exemplo)
Sabe-se que o sangue, ao sair da aorta, é distribuído para as várias artérias, 
de onde flui para as arteríolas e, finalmente, para o capilares. 
Se a soma das seções das artérias das artérias for 20cm2 e a vazão sangüínea 
através da aorta 90mL/s, qual deverá ser a velocidade média do escoamento 
do sangue pelas artérias?
Solução: Como o fluxo deve ser contante, devemos ter:
Supondo as velocidades médias constantes, temos: 
311 cmmL =
artériasartériasartériasaorta vAQQ  ==
artériasaorta vcmscmQ
23 20/90 ==
scm
cm
scm
vartérias /5,4
20
/90
2
3
==→
Onde usamos que:
O Trabalho realizado devido a força exercida pelo fluido
num intervalo de tempo é 
tal que o trabalho resultante é dado por: 
O Trabalho realizado devido a força exercida pelo fluido
num intervalo de tempo é 
Equação de Bernoulli
VPxAPW 22222 −=−=
VPPW )( 21 −=
VPxAPW 11111 ==
A energia total aumenta e é igual ao trabalho realizado 
sobre o sistema:
onde 
Equação de Bernoulli
VPxAPW 22222 −=−=
UKW +=
22
2
1
2
2
2
1
2
1
mgymgyU
mvmvK
−=
−=
12
2
1
2
221
2
1
2
1
)( mgymgymvmvVPPW −+−=−=
constante
2
1
2
1
2
2
221
2
11 =++=++ gyvPgyvP 
Logo,
Ou ainda
Se 
que é a pressão no fluido em repouso, como já vimos.
Se 
A equação de Bernoulli mostra que a pressão do fluido decresce 
quando a velocidade do fluido aumenta; a pressão decresce quando a 
elevação aumenta, para que haja conservação da energia total no fluido
Equação de Bernoulli 
(caso particular)
constante
2
1
2
1 2
222
2
111 =++=++ vgyPvgyP 
repouso) em (fluido 021 == vv ghyygPP  =−=−→ )( 1221
Apesar da equação acima ter sido obtida para fluido incompressível, ela 
também é válida para gases.
Tanque de água (exemplo)
Um grande tanque de água, aberto em cima, possui um pequeno furo lateral 
a uma distância Δh abaixo da superfície da água. Determine a velocidade 
com que a água sai do furo em b.
Solução: A equação de Bernoulli com:
2
2
1
0 bbbaa vghPghP  ++=++
A pressão em a e b é a mesma:
atmba PPP ==
Logo, 
2
2
1
bbatmaatm vghPghP  ++=+→
hghhgv bab =−=→ 2)(2
2
hgvb = 2
0=av →
Efeito Venturi
Quando o ar, ou outro fluido passa por um estrangulamento, sua 
velocidade aumenta e sua pressão diminui.
O “estrangulamento” é referido como “tubo de Venturi”.
Este resultado aplica-se quando podemos ignorar a altura.
Quanto menor a distância entre as linhas abaixo, maior a velocidade, 
menor pressão.
Medidor de Venturi
O tubo de Venturi é utilizado para medir a velocidade de escoamento de 
um fluido. 
2
22
2
11
2
1
2
1
vPvP FF  +=+ )(
2
1 2
1
2
221 vvPP F −=−→ 
Como o fluxo é constante:
2211 vAvA =
2
1
2
2
12
2 v
A
A
v








=→
Subst. temos:
2
1
2
2
1
21 1
2
1
v
A
A
PP F 







−







=− 
Aplicando a equação de Bernoulli nos pontos A1 e A2, temos:
hgPP L =− 21
Um tubo de Venturi de 4cm de diâmetro, com uma garganta de 2cm de 
diâmetro, é usado para medir a velocidade de um líquido com = 103kg/m3
A diferença de pressão dada pelo manômetro é de 25mmHg. Calcule:
a) A velocidade do líquido no tubo principal. b) Qual a vazão do líquido?
Solução: No manômetro temos:
hgv
A
A
PP Hg =







−







=−  21
2
2
1
21 1
2
1
Pela regra de três temos: 
Ou, pode-se calcular: 
232
5
/1032,3/
760
1001,125
mNmNhgHg =

=→ 
hgmmHg
mNmmHg
Hg =
=
25
/1001,1760 25
23
3233
/1032,3
1025/8,9/106,13
mN
msmmkghgHg
=
= −
Tubo de Venturi (exemplo)
Subst. os valores: 
Logo








−








=→
1
/1032,32
2
2
1
23
2
1
A
A
mN
v

232
1
2
2
1
21 /1032,31
2
1
mNhgv
A
A
PP Hg ==







−







=− 
33
23
2
1
/1015
/1032,32
mkg
mN
v


=
smv /66,01 =→








−






=
1
)01,0(
)02,0(
/10
/1032,32
2
2
2
33
23
2
1
m
m
mkg
mN
v


b) Qual a vazão do líquido?
sm
smmvAQ
/104,8
/66,0)02,0(
34
2
11
−=
== 
( )
33
3333
33
36332333
110
1010110
101
10101010101
mL
mL
mL
mmcmL
=
=
=
===
−
−
−−
( )
sLQ
sLsLQ
/84,0
/104,8/10104,8 134
=
== −−
Em litros por segundos, temos:
Onde usamos:
Fluidos Reais - Escoamento 
Laminar
Quando um fluido viscoso escoa em um tubo, a velocidade é maior no centro 
do tubo (essa é a representação das setas). Nas paredes do tubo, a velocidade 
do fluido se aproxima a zero. 
RQPPP =−= 21
4
8
r
L
R


=
onde Q = Av é a vazão e R é a resistência ao escoamento, que depende do 
comprimento e largura do tubo e da viscosidade do fluido
A diferença de pressão é dada pela Lei de Poiseuille: 
Coeficiente de viscosidade
O coeficiente de viscosidade depende da temperatura.
Todos os líquidos ficam mais 
viscosos com a diminuição de 
temperatura (ex. a água na tabela).
1 Pa = 1 N/m2
mPa (milipascal) = 10-3Pa
sm
s
mcm
Q /1086,4
6010
10292
min10
292 37
363
−
−
=


==
4
8
r
L
QRQP


==
QL
Pr
8
4
=

4
8
r
L
QP


=→
smPa.665,0=→
A viscosidade de um certo líquido é medida (a 40oC) pela determinação
da vazão através de um tubo sob uma diferença de pressão conhecida
entre as suas duas extremidades. O raio do tubo é de 0,70 mm e o seu
comprimento é de 1,50 m. Quando a diferença de pressão aplicada é de
0,05 atm, coletam-se 292 cm3 do líquido em 10 minutos. Qual é a
viscosidade do líquido? Qual é o líquido?
Solução: O fluxo é dado por:
Pela Lei de Poiseuille:
Ou seja,
Exercício: Refazer o cálculo
da viscosidade e responder:
qual é o líquido?
Viscosidade - Exemplo
Turbulência: Experimento de Osborne Reynolds
1. Reynolds conduziu vários experimentos usando tubos de vidro de 
diferentes diâmetros e com água a temperatura entre 4 e 44oC;
2. Descobriu que um fluxo passa de laminar para turbulento quando o 
valor de uma grandeza adimensional atinge um certo valor;
3. Posteriormente, à este número adimensional foi dado o nome
de número de Reynolds.

vr
NR
2

Quando o fluido escoa muito rápido, o escoamento deixa de ser laminar e 
passa existir turbulência. 
O engenheiro inglês Osborne Reynolds mostrou que o fluido num tubo 
regular retilíneo deixa de ser laminar quando esta grandeza 
adimensional (número de Reynolds) for :
Turbulência e o número de 
Reynolds
2000
2


vr
NR
3000RN
O fluido é turbulento se: 
O diâmetro da aorta de um adulto é da ordem de 2,2cm. A velocidade
sistólica média do sangue é cerca de 60cm/s.
Considere a densidade do sangue igual a da água e sua viscosidade igual 
a 0,004kg/(m.s). 
Determine se o fluxo do sangue na aorta é laminar ou turbulento.
)./(004,0
/1060/1000102,22 232
smkg
smmkgmvr
NR
−− 
=


Solução:
Logo, o fluxo de sangue é turbulento na aorta quando a pressão é sistólica.
20003300
)./(004,0
)./(1010132 34
=

=→
−
smkg
smkg
NR
Exemplo
Exercícios
FiM