Lista de exercícios 13 - Complementar

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
13a lista complementar de exerćıcios (13/11/2017 a 17/11/2017)
1. Resolva as equações abaixo.
2x = 0.(a) 0,252x−3 = 43x−2.(b) 2x = 0,125.(c)
(
1
2
)3x2−1
= 32.(d)
3x =
1
27
.(e) 10−x = 4.(f) e3x = 12.(g) 32x−1 = 5.(h)
3ex = 10.(i) 4 + 35x = 8.(j) 23x = 34.(k) 2e12x = 17.(l)
e1−4x = 2.(m) 4(1 + 105x) = 9.(n) 5−x/100 = 2.(o) e3−5x = 16.(p)
80,4x = 5.(q) 3x/14 = 0,1.(r) e2x+1 = 200.(s)
(
1
4
)x
= 75.(t)
101−x = 6x.(u) 23x+1 = 3x−2.(v)
10
1 + e−x
= 2.(w) 100(1,04)2t = 300.(x)
1,0062512t = 2.(y)
2. Resolva as equações abaixo.
e2x − ex − 6 = 0.(a) e4x + 4e2x − 21 = 0.(b)
4x3e−3x − 3x4e−3x = 0.(c) x2ex + xex − ex = 0.(d)
3. Resolva as equações abaixo.
log(3x+ 5) = 2.(a) log3(2− x) = 3.(b)
4− log(3− x) = 3.(c) 2 log x = log 2 + log(3x− 4).(d)
log x+ log(x− 1) = log(4x).(e) log5 x+ log5(x+ 1) = log5 20.(f)
log3(x+ 15)− log3(x− 1) = 3.(g) log2 x+ log2(x− 3) = 2.(h)
log x+ log(x− 3) = 1.(i) log9(x− 5) + log9(x+ 3) = 1.(j)
22/ log5 x =
1
6
.(k)
4. Utilize os gráficos das funções envolvidas para determinar o número de soluções das equações abaixo.
lnx = 3− x.(a) log x = x2 − 2.(b)
ex = −x.(c) 2−x = x− 1.(d)
1
5. Resolva as inequações abaixo.
4−x > 0.(a) 2 < 10x < 5.(b)
3 ≤ log2 x ≤ 4.(c) log(x− 2) + log(9− x) < 1.(d)
(3x2 − 1)e−x < 0.(e)
6. Encontre a inversa das funções abaixo.
f(x) = 33+x.(a) f(x) = ln(3x).(b)
7. Encontre a inversa da função f(x) = cosh x para x ≥ 0. A função inversa encontrada é denotada por
f−1(x) = arccosh x.
8. Encontre a inversa da função f(x) = senhx. A função inversa encontrada é denotada por f−1(x) =
arcsenhx.
9. Suponha que você esteja dirigindo o seu carro em um dia muito frio (temperatura ambiente de 5◦C)
e o motor do seu carro superaqueceu (chegou a 105◦C). Você estaciona e espera o motor esfriar. A
equação que governa a temperatura T (em ◦C) do motor após t minutos parado é dada por
ln
(
T − 5
100
)
= −0,11t.
Determine T (t), isto é, escreva T em função de t.(a)
Utilize o item (a) para determinar a temperatura do motor após 20 minutos.(b)
10. Um circuito elétrico é formado por uma bateria de 60V , um resistor de 10 Ω e um indutor de 5H
colocados em série. Usando cálculo e as leis f́ısicas que governam o sistema, é posśıvel mostrar que a
corrente I (em A) t segundos após o circuito ser ligado é dada por
I =
60
13
(1− e−13t/5).
Determine t(I), isto é, escreva t em função de I.(a)
Após quantos segundos a corrente será de 2A?(b)
11. Sabendo que os pontos abaixo pertencem ao ćırculo unitário, determine a componente que está faltando.
P =
(
x,−1
3
)
e P pertence ao 3o quadrante.(a)
P = (x, 1).(b)
P = (−1, y).(c)
P =
(
2
5
, y
)
e P pertence ao 1o quadrante.(d)
P =
(
x,−2
7
)
e P pertence ao 4o quadrante.(e)
P =
(
−2
3
, y
)
e P pertence ao 2o quadrante.(f)
12. Determine o ponto terminal dos valores de t abaixo.
t =
7π
6
.(a) t =
5π
3
.(b) t = −3π
4
.(c) t =
11π
6
.(d)
13. Demonstre que o ponto terminal de t = π/4 é
(√
2
2
,
√
2
2
)
.
2
14. A partir de um triângulo equilátero com lado medindo 1 e do Teorema de Pitágoras, deduza que que
o ponto terminal de t = π/6 é
(√
3
2
, 1
2
)
e que o ponto terminal de t = π/3 é
(
1
2
,
√
3
2
)
.
15. Sabe-se que o terminal de t é
(
3
5
, 4
5
)
. Determine o terminal de:
π − t;(a) π + t;(b) −t;(c) 2π + t;(d)
4π − t;(e) t− π;(f) π/2 + t;(g) t− π/2.(h)
16. Determine o número de referência dos valores de t abaixo.
t =
3π
4
.(a) t = −7π
6
.(b) t =
13π
4
.(c) t =
7π
6
.(d)
t =
17π
4
.(e) t =
31π
6
.(f) t =
16π
3
.(g)
17. Determine o ponto terminal dos valores de t̄ e t do exerćıcio anterior.
18. Determine sen t, cos t, tg t, cotg t, sec t e cossec t para os valores de t abaixo.
t =
π
3
.(a) t =
2π
3
.(b)
t =
4π
3
.(c) t =
5π
3
.(d)
t = −5π
3
.(e) t =
4π
3
+ 2kπ, em que k ∈ Z.(f)
19. As funções tg t, cotg t, sec t e cossec t podem ser definidas algébrica e geometricamente. Por exemplo,
podemos definir tg t =
sen t
cos t
ou como a ordenada do ponto de intersecção entre a reta vertical x = 1 e a
reta que passa pela origem e pelo ponto terminal de t. Mostre que essas duas definições são equivalentes
(para cada uma dessas quatro funções).
20. Sabendo que o ponto terminal de t está no terceiro quadrante, escreva sen t, tg t e cotg t em função de
cos t.
21. Sabendo que o ponto terminal de t está no primeiro quadrante, escreva sen t, cos t, cotg t, sec t e cossec t
em função de tg t.
22. Utilize o ćırculo trigonométrico para verificar que sen(t + π) = − sen t, que cos(t + π) = − cos t, e
tg(t+ π) = tg t.
23. Faça o gráfico das funções abaixo, determinando o peŕıodo, a amplitude e a fase.
f(x) = 2 sen
(
x+
π
3
)
.(a) f(x) = 3 cos
(
x+
π
4
)
.(b)
f(x) = 2 sen
(
2
3
x− π
6
)
.(c) f(x) = 1 + cos
(
3x+
π
2
)
.(d)
f(x) = 3 cos π
(
x+
1
2
)
.(e)
24. Utilize um software matemático para fazer, no mesmo plano, o gráfico das três funções em cada item.
f(x) =
√
x senx, g(x) =
√
x e h(x) = −
√
x.(a)
f(x) = x cosx, g(x) = x e h(x) = −x.(b)
3
25. Toda vez que o coração bate, a pressão sangúınea aumenta e então decresce à medida que o coração
relaxa entre as batidas. As pressões sangúıneas máxima e mı́nima são denominadas pressão sistólica e
diastólica, respectivamente. A leitura da pressão é escrita na forma sistólica/diastólica. Por exemplo,
a leitura 120/80 é considerada normal. A pressão sangúınea p de uma certa pessoa é modelada pela
função
p(t) = 115 + 25 sen(160πt),
em que t é medido em minutos e p(t) em mmHg (miĺımetros de mercúrio).
Determine o peŕıodo de p.(a)
Determine a leitura da pressão deste indiv́ıduo.(b)
Determine o número de batidas por minuto do coração.(c)
26. Faça o gráfico das funções abaixo.
f(x) = tg(2x+ π).(a) f(x) = cotg
(
2x− π
2
)
.(b)
f(x) = 2 sec
(
1
2
x− π
3
)
.(c) f(x) = 2 cossec
(
πx− π
3
)
.(d)
27. Converta de graus para radianos.
1080◦.(a) 15◦.(b) −735◦.(c)
28. Converta de radianos para graus.
3 rad.(a)
5π
18
rad.(b) −13π
12
rad.(c)
29. Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo sendo a o comprimento da hipotenusa
e seja θ a medida do ângulo oposto ao lado de comprimento c. Utilize semelhança de triângulos para
mostrar que
sen θ =
c
a
e cos θ =
b
a
.
A partir disso determine tg θ, cotg θ, sec θ e cossec θ em função dos lados do triângulo.
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
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