Mecânica Clássica - Unidade I

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Autores: Prof. Danilo Cardenuto Ferreira
 Prof. Pedro José Gabriel Ferreira
 Profa. Thaís Cavalheri dos Santos
Colaborador: Prof. José Carlos Morilla 
Mecânica Clássica
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Professores conteudistas: Danilo Cardenuto Ferreira / Pedro José Gabriel Ferreira / 
Thaís Cavalheri dos Santos
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
F383m Ferreira, Danilo Cardenuto.
Mecânica Clássica / Danilo Cardenuto Ferreira, Thaís Cavalheri 
dos Santos, Pedro José Gabriel Ferreira. – São Paulo: Editora Sol, 2019.
240 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXV, n. 2-036/19, ISSN 1517-9230.
1. Movimento em duas dimensões. 2. Dinâmica da partícula.3. 
Roteiros experimentais. I. Santos, Thaís Cavalheri dos. II. Ferreira, Pedro 
José Gabriel. III. Título.
CDU 53
U501.46 – 19
Danilo Cardenuto Ferreira
Bacharel em Física com ênfase em Física Médica pela 
Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP), realizando trabalho de 
conclusão de curso sob o título “Influência da temperatura em 
dosímetros de polimetilmetacrilato (PMMA), 2005.
Pós-graduação e mestrado em Ciências na área de Tecnologia 
Nuclear (Aplicações) – Instituto de Pesquisas Energéticas e 
Nucleares (IPEN), autarquia da Universidade de São Paulo 
(USP-SP), sob o tema “Dosimetria de processos de irradiação 
gama com diodos comerciais de silício”, 2009. 
Doutorado em Ciências na área de Tecnologia Nuclear 
(Aplicações) pela Universidade de São Paulo (USP-SP). 
Programa de tecnologia nuclear pertencente ao Instituto 
de Pesquisas Energéticas e Nucleares (IPEN), sob o título 
“Desenvolvimento e calibração de um sistema dosimétrico de 
rotina em processamento por irradiação”, 2013.
Professor do curso de Engenharia Básica na Universidade 
Paulista (UNIP) desde 2014. 
Pedro José Gabriel Ferreira
Bacharel em Engenharia de Controle e Automação, 
especialista em Ensino Superior e mestre em Engenharia de 
Produção pela Universidade Paulista (UNIP-SP).
Trabalhou como engenheiro nas áreas de manutenção, 
produção, normatização e projetos de novos equipamentos na 
área de engarrafamento de gás liquefeito do petróleo (GLP).
Coordenador de laboratórios dos cursos do Instituto 
de Ciências Exatas e Tecnologia (ICET) da UNIP, atuando na 
montagem e desenvolvimento de tecnologias educacionais.
Atualmente coordena e é professor do curso de Engenharia 
da Universidade Paulista no campus Marquês de São Vicente, 
ministrando disciplinas ligadas à Física e Mecânica dos Fluidos.
Pesquisador do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física 
para Engenharias (GruPEFE), trabalha com temas que abrangem 
novas tecnologias, sistemas de controle e automação e técnicas 
de aprendizagem. Possui publicações em revistas e anais de 
congressos no Brasil e no Exterior, premiadas em 2015 nos 
Estados Unidos.
Thaís Cavalheri dos Santos
Bacharel em Física Médica pela Universidade de São Paulo 
(USP), possui MBA em Gerenciamento de Hospitais e Sistemas 
de Saúde pela Fundação Getulio Vargas, mestrado em Ciências 
no Programa de Física Aplicada em Medicina e Biologia pela USP 
e doutorado em Ciências (Tecnologia Nuclear) e Aplicações pela 
Universidade de São Paulo, pertencente ao programa de tecnologia 
nuclear do Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares (IPEN).
Coordenadora do curso de licenciatura em Física, coordenadora 
do curso técnico em Edificações do Pronatec, professora titular do 
curso de Engenharia e líder das disciplinas de Estática dos Fluidos 
e Fenômenos de Transporte da Universidade Paulista, ministrando 
disciplinas ligadas a Física e Mecânica dos Fluidos.
Professora adjunta do curso de Engenharia da Universidade 
São Judas Tadeu (USJT), ministrando disciplinas de Mecânica, 
Oscilações e Eletromagnetismo.
Líder do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física para 
Engenharias (GruPEFE), trabalha com temas que abrangem novas 
tecnologias e técnicas de aprendizagem. Possui publicações em 
revistas e anais de congressos no Brasil e no exterior, premiadas 
em 2015 nos Estados Unidos.
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Jaci Albuquerque de Paula
 Ricardo Duarte
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Sumário
Mecânica Clássica
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................9
Unidade I
1 CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS ..................................................................................................................... 11
1.1 Grandezas fundamentais .................................................................................................................. 11
1.1.1 Unidades de medida ...............................................................................................................................11
1.1.2 Equações polinomiais ............................................................................................................................ 12
1.1.3 Movimento em uma dimensão ......................................................................................................... 13
2 MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES ....................................................................................................... 59
2.1 Movimento circular ............................................................................................................................. 59
2.2 Aceleração tangencial e normal ................................................................................................... 60
2.3 Velocidade angular .............................................................................................................................. 65
2.4 Aceleração angular .............................................................................................................................. 66
2.5 Sistemas e bases ................................................................................................................................... 67
2.5.1 Referenciais no plano ........................................................................................................................... 68
2.5.2 Transformações ortogonais no plano............................................................................................ 70
2.5.3 Coordenadas cartesianas ..................................................................................................................... 71
2.5.4 Coordenadas cilíndricas ....................................................................................................................... 72
2.5.5 Coordenadas esféricas .......................................................................................................................... 73
2.5.6 Conceito de movimento ...................................................................................................................... 74
Unidade II
3 DINÂMICA DA PARTÍCULA ........................................................................................................................... 84
3.1 Princípio da inércia .............................................................................................................................. 84
3.1.1 Ponto material ......................................................................................................................................... 84
3.1.2 Princípio da ação e reação .................................................................................................................. 86
3.1.3 Princípio da independência das forças .......................................................................................... 88
4 DECOMPOSIÇÃO DAS FORÇAS .................................................................................................................104
4.1 Força centrípeta ..................................................................................................................................122
4.2 Força elástica........................................................................................................................................128
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Unidade III
5 TRABALHO E ENERGIA ................................................................................................................................135
5.1 Trabalho ..................................................................................................................................................135
5.1.1 Energia cinética .................................................................................................................................... 137
5.1.2 Energia potencial ................................................................................................................................. 137
6 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA ELÁSTICA ......................................................................139
6.1 Energia potencial gravitacional ..................................................................................................140
6.1.1 Teorema da energia mecânica ........................................................................................................ 142
6.1.2 Potência ................................................................................................................................................... 163
6.1.3 Quantidade de movimento .............................................................................................................. 169
Unidade IV
7 ROTEIROS EXPERIMENTAIS I .....................................................................................................................179
7.1 Análise de medições ..........................................................................................................................179
7.1.1 Valor verdadeiro ................................................................................................................................... 179
7.1.2 Precisão e incerteza instrumental ................................................................................................. 179
7.1.3 Série de medições ................................................................................................................................ 180
7.1.4 Como apresentar um resultado ..................................................................................................... 183
7.1.5 Algarismos significativos .................................................................................................................. 183
7.2 Paquímetro ............................................................................................................................................185
7.2.1 Objetivos .................................................................................................................................................. 185
7.2.2 Descrição do paquímetro ................................................................................................................. 185
7.2.3 Princípio de medição ........................................................................................................................ 187
7.2.4 Exemplo prático .................................................................................................................................. 187
7.2.5 Roteiro experimental: paquímetro (prática I) .......................................................................... 189
7.2.6 Roteiro experimental: paquímetro (prática II) ......................................................................... 193
7.3 Micrômetro ...........................................................................................................................................200
7.3.1 Objetivos .................................................................................................................................................. 200
7.3.2 Descrição do micrômetro ................................................................................................................. 200
7.3.3 Princípio de medição .......................................................................................................................... 200
7.3.4 Exemplo prático .....................................................................................................................................201
7.3.5 Roteiro experimental: micrômetro ............................................................................................... 203
8 ROTEIROS EXPERIMENTAIS II ....................................................................................................................207
8.1 Queda livre ............................................................................................................................................207
8.1.1 Objetivo .....................................................................................................................................................207
8.1.2 Introdução teórica ................................................................................................................................207
8.1.3 Material utilizado ................................................................................................................................. 209
8.1.4 Procedimento experimental ............................................................................................................ 209
8.1.5 Roteiro experimental: queda livre ................................................................................................. 211
8.2 Cinemática ............................................................................................................................................214
8.2.1 Objetivo .....................................................................................................................................................215
8.2.2 Introdução teórica ................................................................................................................................2158.2.3 Material utilizado ..................................................................................................................................216
8.2.4 Procedimento experimental .............................................................................................................216
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8.2.5 Roteiro experimental: Cinemática .................................................................................................218
8.3 Lançamento de projéteis (plano de Packard) ..........................................................................222
8.3.1 Objetivos .................................................................................................................................................. 222
8.3.2 Introdução teórica ............................................................................................................................... 223
8.3.3 Material utilizado ................................................................................................................................. 225
8.3.4 Procedimento experimental ............................................................................................................ 225
8.3.5 Roteiro experimental: lançamento de projéteis (plano de Packard) ............................... 226
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APRESENTAÇÃO
Sempre houve um grande interesse do homem em estudar o movimento dos corpos. Esse interesse 
vem da necessidade de desenvolver equipamentos para facilitar a vida – por exemplo, a invenção da roda 
e a criação do arco e da flecha. Um dos campos que mais alavancaram o estudo e o desenvolvimento 
da Mecânica foi o militar, com armas de fogo, mísseis, carros de combate, barcos etc. Tanto as ideias 
de filósofos e matemáticos da Antiguidade quanto as de cientistas atuais são fundamentais para 
desenvolver equipamentos, os quais podem ser utilizados para um país conseguir respeito internacional. 
A Mecânica é uma das mais antigas e importantes ciências estudadas em Exatas. Na área de Cinemática, 
podemos prever onde o objeto irá se posicionar após um intervalo de tempo. O desenvolvimento da 
Mecânica vem desde o estudo e a compreensão do movimento dos planetas por Kepler, indo até o 
planejamento de foguetes, satélites artificiais, carros, trens, aceleradores de elétrons etc.
O objetivo deste livro é passar ao aluno de Exatas conceitos básicos de Mecânica, para entender e 
prever o movimento dos corpos nas mais diversas situações que encontre em sua carreira, bem como 
passar ao aluno de Exatas conceitos fundamentais de Mecânica geral, com a intenção de ensinar, de 
forma clara, o movimento dos corpos, não para encerrar o conceito, mas para instigar o estudante a 
procurar mais informações em outros livros da área. 
INTRODUÇÃO
Os conceitos de Mecânica abordados neste livro estão formulados de maneira resumida e objetiva. 
As fórmulas apresentadas são deduzidas com o auxílio de conceitos básicos adquiridos pela Matemática 
e pela Física.
Este livro traz uma parte teórica e uma parte experimental, na qual o aluno pode testar na prática 
os conceitos aprendidos. Tem como característica principal a aplicação dos conceitos teóricos através 
de exercícios resolvidos de modo detalhado, a fim de fixar os conceitos de Mecânica adquiridos. 
Esse método busca passar ao aluno o treinamento necessário para resolver problemas práticos. 
Na parte teórica, desenvolveremos primeiro as equações que descrevem o movimento do corpo, sem 
considerar o que causa o movimento em si. Depois, veremos o conceito de força, ou seja, o fenômeno 
que produz o movimento do corpo. A seguir, abordaremos os conceitos de trabalho e energia, que têm 
como característica facilitar os cálculos relativos a força e movimento dos corpos estudados antes.
A parte prática apresenta experimentos de Mecânica Clássica. Os tópicos que serão abordados, no 
laboratório de Mecânica da Partícula, estão divididos em alguns experimentos.
Num primeiro estudo, discutiremos a análise de medições, que é muito importante para o 
tratamento dos resultados experimentais. De forma simplificada, abordaremos conceitos fundamentais, 
como processo de medição, precisão experimental, séries medições, desvios da série, erro da média e 
apresentação de resultados.
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Iniciaremos as aulas práticas manuseando um instrumento de medição chamado paquímetro, 
aprendendo como utilizá-lo de forma apropriada. O aluno entenderá por que ele é definido como um 
instrumento de medição versátil. Serão abordadas as principais causas de erro nesse tipo de medição e 
os cuidados na utilização do instrumento.
Em seguida será apresentado o micrômetro, outro instrumento de medição, porém de forma física 
e precisão distintas do paquímetro. Os cuidados com seu manuseio e armazenamento serão indicados 
durante a prática.
Posteriormente, calcularemos a gravidade local por meio do experimento de queda livre, que, antes 
de Cristo, foi estudado por Aristóteles. Este acreditava que um corpo de maior massa, em comparação 
a outro de menor massa e abandonado em queda livre ao mesmo tempo, tocaria o solo primeiro. 
Posteriormente, o pai da experimentação, Galileu, comprovaria de forma prática (assim como nós) que 
ambos os corpos em queda livre (mesmo com massas diferentes) tocam o solo ao mesmo tempo.
Ainda, realizaremos um experimento de Cinemática, a fim de estudar o movimento unidimensional 
da partícula. Nessa experiência, um carro se deslocará por um trilho de ar inclinado, a fim de desprezar 
a ação da força de atrito, e sensores serão posicionados ao longo do trilho, acionando a contagem de 
tempo num cronômetro digital. A partir desses dados, do diagrama de forças e de uma análise gráfica, 
determinaremos a aceleração da gravidade local.
Por fim, estudaremos na prática o comportamento de um projétil lançado sob a ação da gravidade. 
Sendo a velocidade uma grandeza vetorial e decompondo-a em dois eixos (x e y), analisaremos os 
movimentos separadamente. Na vertical o movimento do projétil é uniformemente variado, e na 
horizontal o movimento é uniforme.
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MECÂNICA CLÁSSICA
Unidade I
1 CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS
1.1 Grandezas fundamentais
Grandeza é tudo que pode ser medido e associado a uma unidade numérica. Atualmente existem 
sete unidades básicas e independentes. Essas grandezas foram estabelecidas pelo Sistema Internacional 
de Unidades (SI), criado em 1960 na Conferência Geral de Pesos e Medidas.
Tabela 1 – Grandezas fundamentais da Física
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento Metro m
Tempo Segundo s
Temperatura Kelvin K
Corrente elétrica Ampere A
Massa Quilograma kg
Quantidade de matéria Mol mol
Intensidade luminosa Candela cd
Todas as outras grandezas são denominadas grandezas derivadas, ou seja, grandezas que são 
constituídas pelas grandezas fundamentais. Um exemplo clássico de grandeza derivada é a aceleração da 
gravidade, que vale aproximadamente 9,8 m/s2 (o metro dividido pelo quadrado do segundo).
1.1.1 Unidades de medida
Para facilitar a descrição de números muito grandes ou muito pequenos, podemos acrescentar 
prefixos às unidades. Alguns desses prefixos podem ser verificados na tabela a seguir. 
Tabela 2 – Valores múltiplos das unidades 
Unidade Símbolo Valor
Mega M 106
Quilo k 103
Centi c 102
Mili m 10-2
Micro µ 10-6
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Unidade I
Um exemplo de aplicação é a posição de um automóvel em uma estrada. Utilizamos normalmente 
o “quilômetro”, representando o valor do metro multiplicado por 1.000, ou seja, 103 m.
Uma exceção aos prefixos é quando consideramos o tempo; seus múltiplos são minuto, hora, 
dia, mês e ano.
 Saiba mais
Para saber mais sobre unidades de medida e vocabulário, consulte: 
INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA 
(INMETRO). Vocabulário Internacional de Metrologia: conceitos 
fundamentais e gerais e termos associados (VIM 2012). Duque de Caxias, 
RJ: Inmetro, 2012. Disponível em: <http://www.inmetro.gov.br/inovacao/
publicacoes/vim_2012.pdf>. Acesso em: 26 set. 2018.
1.1.2 Equações polinomiais
As ferramentas que os físicos utilizam para fazer cálculos e comprovar as leis da natureza vêm da 
Matemática. Podemos verificar que toda fórmula física é uma equação matemática. A equação horária 
do movimento uniforme (MU) é uma equação polinomial de primeiro grau, com o nome genérico de 
“equação da reta”. A equação horária do movimento uniformemente variado (MUV) é uma equação 
polinomial de segundo grau, com o nome de "parábola". Portanto as equações polinomiais podem 
descrever qualquer tipo de movimento.
Tabela 3 – Equações polinomiais do 1º até o 5º grau
Grau Fórmula Nome genérico
1º grau y(x) ax b= + (equação da reta)
2º grau 2y(x) ax bx c= + + (parábola)
3º grau 3 2y(x) ax bx cx d= + + +
4º grau 4 3 2y(x) ax bx cx dx e= + + + +
5º grau 5 4 3 2y(x) ax bx cx dx ex f= + + + + +
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MECÂNICA CLÁSSICA
 Saiba mais
Para se tornar um bom estudante de Física, é preciso conhecer muito sobre 
as equações matemáticas. Existem vários sites e livros que ensinam sobre isso. 
Para este curso, podemos indicar sites de Matemática básica. Por exemplo:
<http://www.matematica.br>.
<https://www.somatematica.com.br>.
1.1.3 Movimento em uma dimensão
Todas as grandezas fundamentais possuem valores unitários, por isso devemos definir qual será o valor 
básico de uma medida. Para encontrar esse valor, precisamos de uma escala, em que definimos um valor 
inicial. Esse valor é conhecido como referencial. Um exemplo prático seria a numeração do comprimento 
de uma estrada. Viajando por uma rodovia, vemos placas indicando a quilometragem ou posição no 
referencial. Consequentemente, se continuamos a trajetória no sentido oposto ao da pista, para dentro 
da cidade, nosso referencial indicará que os valores numéricos dentro da cidade terão valores negativos.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1
No eixo de coordenada graduada a seguir estão representados os pontos A, B e C em metros. Pede-se:
a) a distância entre o ponto A e o ponto B;
b) a distância entre o ponto C e o ponto B.
 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 (m)
___!____!____!____!____!____!____!____!____!____!____!____!___
 C A B
Figura 1
Resolução
O ponto 0 é nosso referencial. Para calcularmos a distância percorrida no eixo graduado com escala 
em metros, subtraímos o valor final pelo inicial, portanto:
a) Distância entre os pontos A e B:
∆S = B – A = 6 – 1 = 5 m
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b) Distância entre os pontos C e B:
∆S = B – C = 6 – (–3) = 9 m
1.1.3.1 Velocidade média
Movimento é a variação do comprimento no espaço, comumente chamado de distância, de um 
objeto em relação a um referencial no decorrer do tempo. Por definição, esse movimento é chamado de 
velocidade média, ou seja, é a razão entre o espaço percorrido e o tempo:
(final) (inicial)
(final) (inicial)
S SS
v
t t t
−∆
= =
∆ −
Onde:
∆S = espaço percorrido em metros (m)
∆t = tempo decorrido em segundos (s)
v = velocidade
 Observação
Utilizando as grandezas fundamentais: metro e segundo, percebemos 
que a velocidade é uma grandeza derivada, cuja unidade, nesse caso, é 
metro por segundo (m/s). Conforme observado, a distância pode possuir 
valores negativos, mas o tempo não.
Para resolução dos exemplos deste livro, vamos inicialmente encontrar a “equação horária do 
movimento”, que nada mais é que uma equação polinomial de primeiro grau. Para encontrar essa 
equação, isolamos o espaço percorrido:
(final) (inicial) (final) (inicial)S S v.(t t )− = −
No estudo dos movimentos não há sentido tempo negativo, portanto consideramos o tempo 
inicial sempre zero. Passando o espaço inicial para o outro lado da igualdade, obtemos a equação 
horária do movimento:
(final) (final) (inicial)S v.t S= −
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Essa fórmula pode ser associada à equação polinomial de 1º grau:
y a.x b= +
Onde:
y = posição final no referencial S(final) em metros (m)
b = posição inicial no referencial S(inicial) em metros (m)
x = tempo (t(final)) em segundos (s)
a = velocidade do móvel (v) em metros por segundo (m/s)
Exemplo de aplicação
Exemplo 2
Um corredor percorre uma pista de atletismo de 1.200 m em 10 min. Qual a velocidade média 
em km/h?
Resolução
Inicialmente devemos verificar se as grandezas estão nas unidades do Sistema Internacional 
de Unidades [SI].
Convertendo o tempo de 10 min. em segundos:
1min 60s 60s.10min
x 600s
10min x 1min
= ⇒ = =
Velocidade é uma constante de correlação entre o tempo e o espaço percorrido, ou seja, uma equação 
do primeiro grau, em que a velocidade é o coeficiente angular da reta.
(inicial)
y(x) a.x b
S(t) v.t S
= +
= +
Considerando que a posição inicial S(inicial) é zero, temos:
S(t) = v ∙ t
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A velocidade do corredor é: 
S(t) 1200
v
t 600
v 2m / s
= =
=
Convertendo a velocidade do corredor para km/h:
1km 1000m 2m
7,2km / h
1h 3600s 1s
= = =
Observação: podemos montar uma equação matemática na qual é possível saber a posição do 
corredor a qualquer tempo. Substituindo o valor da velocidade em metros por segundo e montando a 
equação horária do movimento:
S(t) = 2 ∙ t
Exemplo 3
Um caminhão parte de Campinas às 8h e chega a Belo Horizonte às 18h. A distância percorrida foi 
de 580 km. Qual a velocidade média desse veículo?
Resolução
Como vimos, a velocidade é uma relação matemática entre o tempo e o espaço percorrido, assim 
podemos relacionar duas grandezas primárias. A relação entre essas grandezas é descrita numa equação 
do primeiro grau, em que a velocidade é o coeficiente angular da reta.
(inicial)
y(x) a.x b
S(t) v.t S
= +
= +
Considerando que a posição inicial S(inicial) é zero, temos:
S(t) = v ∙ t
O tempo gasto pelo caminhão é: 
t 18 8
t 10h
∆ = −
∆ =
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MECÂNICA CLÁSSICA
Portanto, para obter a velocidade média, isolamos a velocidade e substituímos os valores de espaço 
e tempo:
S(t) 580km
v
t 10h
v 58km / h
= =
=
Observação: logo abaixo definimos a equação horária do movimento em quilômetros por hora:
S(t) = 58 ∙ t
 Lembrete
A velocidade média somenteconsidera o tempo total gasto pelo veículo. 
Se o veículo parar em algum momento para abastecer, a velocidade média 
obtida será menor que a velocidade efetiva na estrada.
Exemplo de aplicação
Exemplo 4
Um pássaro, com um rastreador preso em seu corpo, decola de São Bernardo do Campo às 7h 
e pousa em Santos às 8h30. Sabendo que a velocidade média do pássaro é 60 km/h, qual o espaço 
percorrido por ele?
Resolução
A equação horária do movimento é, na realidade, uma equação polinomial do primeiro grau, 
conforme podemos visualizar:
(inicial)
y(x) a.x b
S(t) v.t S
= +
= +
Utilizando como referência inicial a cidade São Bernardo do Campo, podemos considerar que a 
posição inicial S(inicial) é zero. Assim a equação horária do movimento será:
S(t) = 60 ∙ t
O tempo gasto pelo pássaro é: 
t 8,5 7
t 1,5h
∆ = −
∆ =
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Unidade I
Para obtermos o espaço percorrido, substituímos o tempo na equação:
S(t) 60.t
S(1,5) 60.(1,5)
S(1,5) 90km
=
=
=
1.1.3.2 Movimento em uma trajetória
O conceito de cinemática linear corresponde a um móvel que percorre um determinado percurso 
ou espaço físico em determinado intervalo de tempo. O trajeto não precisa ser em linha reta, mas 
linear, ou seja, como se o movimento do objeto fosse em cima de uma linha. Essa ideia implica que o 
movimento ocorre em apenas uma única dimensão (nesses conceitos iniciais não vamos considerar 
o tempo como uma outra dimensão). Para quantificar o percurso, devemos definir um ponto de 
origem do movimento no referencial. Esse movimento pode ser visualizado na figura a seguir.
Orientação da trajetória
Origem
Espaço percorrido (S)
Tempo decorrido (t)
Figura 2 – O móvel sai do ponto inicial, ou origem, e percorre uma trajetória 
com orientação predefinida em determinado intervalo de tempo
 Observação
Para resolução dos exercícios de Cinemática, inicialmente definimos 
as grandezas tempo (t) e espaço percorrido (S) no mesmo sistema de 
unidades. As grandezas utilizadas são o tempo, medido em segundos, e o 
comprimento, medido em metros.
Exemplo de aplicação
Exemplo 5
Um ônibus encontra-se no quilômetro 20 da Rodovia dos Imigrantes, no tempo de 16 min. Sua 
posição nesse instante é?
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MECÂNICA CLÁSSICA
Resolução
Convertendo o tempo, que está em minutos, para segundos:
1min 60s
x 960s
16min x
= ⇒ =
Convertendo o espaço percorrido, que é de 20 km, para metros:
1km 1.000m
x 20.000m
20km x
= ⇒ =
Como as unidades de tempo e espaço já estão no mesmo sistema, podemos agora substituir os 
valores na equação horária do movimento. Como consideramos o início da estrada como referência 
zero, então a posição inicial é igual a zero. A equação fica: 
(inicial)
y(x) a.x b
S(t) v.t S
S(t) v.t
= +
= +
=
O coeficiente (a) da equação do 1º grau é conhecido como “coeficiente angular da reta”, e representa 
a relação entre o valor de x e y. Fisicamente esse coeficiente está representado pela letra “v”, que é a 
velocidade média do ônibus: 
(final)
1
S 20.000m
v
t 960s
m
v 20,83 20,83m.s
s
−
= =
= ⇒
O termo “b” da equação do 1º grau é conhecido como “coeficiente linear da reta”. Fisicamente representa 
a posição inicial do automóvel (Sinicial). Como consideramos a origem do movimento como ponto inicial, o 
termo “b” vale zero. Portanto:
(inicial)
y(x) a.x b
S(t) v.t S
S(t) 20,83t 0
S(t) 20,83t
= +
= +
= +
=
Outra maneira de encontrar a posição inicial do automóvel (Sinicial) é substituindo os termos conhecidos 
da equação e definindo o tempo como zero: 
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Unidade I
(inicial)
(inicial)
(inicial)
S(t) 20,83.t S
S(0) 20,83.(0) S
S(0) S 0
S(t) 20,83t 0
S(t) 20,83t
= +
= +
= =
= +
=
Depois de encontrados os coeficientes lineares e angulares da equação, montamos a equação horária 
do movimento:
S(t) = 20,83 ∙ t
Após encontrarmos a equação horária do movimento, cujas grandezas estão em metros por segundo, 
podemos agora converter para km/h:
13.600s 1kmv 20,83. . 75km.h
1h 1.000m
S(t) 75.t
−= =
=
A equação horária do movimento para o ônibus em questão está representada na figura a seguir. 
Podemos visualizar a relação linear entre o espaço percorrido, representado no eixo y, e o tempo gasto, 
representado pelo eixo x. Como a posição inicial do objeto é zero, a equação parte da origem.
0 0,5 1 1,5 t(h)
y = 75x
0
25
50
75
100
S(
km
)
Figura 3 – Equação horária do movimento 
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MECÂNICA CLÁSSICA
Verificamos que a equação horária do movimento relaciona a posição (eixo y) com o tempo (eixo x). 
Portanto podemos localizar a posição do ônibus em qualquer tempo, apenas substituindo o seu valor 
na equação.
 Lembrete
Devemos levar em consideração a diferença entre a velocidade média 
e a velocidade instantânea do ônibus. Na velocidade média, utilizamos o 
espaço percorrido e dividimos por um intervalo de tempo muito grande. 
Na velocidade instantânea, o intervalo de tempo é muito pequeno, tão 
pequeno quanto se pode medir.
Exemplo de aplicação
Exemplo 6
Um móvel segue a equação horária S(t) = 5 ∙ t – 10 [SI]. Pede-se:
a) a posição do móvel no instante t = 1 s;
b) a posição do móvel no instante t = 5 s;
c) o percurso do móvel entre os instantes 1 e 5 s.
Resolução
Inicialmente, verificamos que o exercício define que as unidades de medidas estão no [SI], ou seja, 
podemos considerar que o espaço percorrido é em metros e o tempo em segundo.
Neste exercício, a equação horária do movimento já é dada: S(t) = 5 ∙ t – 10. Ela tem a mesma 
forma de uma equação do 1º grau: y(x) = ax + b, com o coeficiente “a” representando a velocidade 
do móvel, nesse caso 5 m/s, e o coeficiente “b” representando a sua posição inicial, – 10 m, 
significando que a posição inicial do móvel (no tempo zero) estava 10 m antes do ponto de origem 
do referencial ou trajetória.
a) Para achar a posição do móvel no instante t = 1 s, é necessário somente substituir o valor do 
tempo na equação horária dada. 
S(t) 5.t 10
S(1) 5.(1) 10 5m
= −
= − = −
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Unidade I
b) Fazendo o mesmo para o instante t = 5 s.
S(t) 5.t 10
S(5) 5.(5) 10 25 10 15m
= −
= − = − =
c) O percurso entre S(5) e S(1) é obtido através da variação das posições nos tempos 1 e 5 segundos, 
sempre fazendo o tempo final menos o tempo inicial.
1 5
1 5
S S(5) S(1)
S 15 ( 5) 15 5 20m
−
−
∆ = −
∆ = − − = + =
1.1.3.3 Variação da velocidade com o tempo
Se a equação horária do movimento tem a forma de uma equação polinomial maior que a equação 
de 1º grau, como, por exemplo, uma equação do 2º grau: y(x) = ax2 + bx + c, significa que a velocidade 
está variando com o tempo, ou seja, o móvel percorre o espaço com diferentes velocidades. Como a 
trajetória percorrida pelo objeto é um movimento em apenas uma dimensão, significa que o móvel pode 
voltar a passar pela mesma posição no decorrer do tempo.
Exemplo de aplicação
Exemplo 7
Um móvel segue a equação horária S(t) = t2 – 9 ∙ t + 25 [SI]. Pede-se:
a) a posição do móvel no instante t = 4 s;
b) a posição do móvel no instante t = 5 s;
c)o percurso do móvel entre os instantes 4 e 5 s.
Resolução
As medidas estão no [SI] Sistema Internacional de Unidade, ou seja: (m/s).
Nesse caso, a equação horária do movimento já está dada: S(t) = t2 – 9 ∙ t + 25. Como essa equação 
tem um termo elevado ao quadrado, podemos verificar que ela representa uma equação polinomial do 
2º grau, ou simplesmente equação do 2º grau: y(x) = ax2 + bx + c. A resposta da equação representa uma 
parábola, ou seja, o móvel percorre o espaço durante o tempo e volta a passar pela mesma posição no 
decorrer do tempo, retornando pela mesma trajetória.
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Podemos visualizar graficamente o movimento do móvel na trajetória substituindo os valores do 
tempo (t) na equação dada e encontrando a respectiva posição (S):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t(s)
S(t) = t2 - 9t + 25
y = x2 - 9x + 25
0
5
10
15
20
25
S(
km
)
Figura 4 – Gráfico da equação do móvel. Podemos perceber que o móvel passa duas vezes pela 
mesma posição (S), representada pela linha reta entre o eixo y e dois intervalos de tempo (t) 
distintos, e também que esse móvel não passa pela origem em tempo algum, porque a linha 
não passa pelo ponto S(0) 
a) Para encontrar a posição do móvel no instante t = 4 s é necessário somente substituir o valor do 
tempo na equação horária dada:
2
2
S(t) t 9.t 25
S(4) (4) 9.(4) 25 16 36 25 5m
= − +
= − + = − + =
b) Idem para o instante t = 5 s.
2
2
S(t) t 9.t 25
S(5) (5) 9.(5) 25 25 45 25 5m
= − +
= − + = − + =
c) O percurso entre S(4) e S(5) é obtido pela variação da posição no tempo maior ou tempo final, 
menos a posição do móvel no tempo menor ou tempo inicial.
1 5
1 5
S S(5) S(4)
S (5) (5) 0m
−
−
∆ = −
∆ = − =
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Unidade I
Nesse caso, o móvel começa seu movimento na posição 25 m, percorre até a posição 4,75 m 
e retorna pelo mesmo trajeto até a posição 25 m. Houve um movimento do móvel, mas 
fisicamente o móvel não se moveu na trajetória. O que ocorre é que a posição final coincide 
com a posição inicial.
Exemplo 8
Um móvel segue equação horária S(t) = t2 – 9 ∙ t + 25 [SI]. Pede-se:
a) a velocidade média do móvel entre os instantes 1 e 4 s;
b) a velocidade média do móvel entre os instantes 4 e 5 s.
Resolução
A velocidade média é definida como a variação da posição dentro do intervalo de tempo (t), a 
posição final menos a posição inicial, dividido pelo tempo referente à posição final menos o tempo 
referente à posição inicial:
(final) (inicial)
m
(final) (inicial)
S SS
v
t t t
−∆
= =
∆ −
Inicialmente devemos encontrar as posições (S) nos respectivos tempos (t). 
2
2
2
2
S(t) t 9.t 25
S(1) (1) 9.(1) 25 1 9 25 17m
S(4) (4) 9.(4) 25 16 36 25 5m
S(5) (5) 9.(5) 25 25 45 25 5m
= − +
= − + = − + =
= − + = − + =
= − + = − + =
a) Velocidade média entre 1 e 4 s:
(4) (1)
m
(4) (1)
S S 5 17 m
v 4
t t 4 1 s
− −
= = =
− −
b) Velocidade média entre 4 e 5 s:
(5) (4)
m
(5) (4)
S S 5 5 m
v 0
t 5 4 s
− −
= = =
− −
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MECÂNICA CLÁSSICA
Podemos verificar que a velocidade média não representa de forma precisa o movimento do móvel. 
Dependendo do intervalo de tempo, a velocidade média pode ser calculada como nula, conforme 
exemplo anterior.
1.1.3.4 Velocidade instantânea
Para encontrar a velocidade instantânea, pegamos intervalos de tempo cada vez menores, até encontrar 
um valor limiar ou limite entre dois intervalos de tempo em que o coeficiente angular da reta atinge um valor 
constante. Essa operação consiste em uma transformada matemática chamada de derivada. Na equação a 
seguir, a velocidade v(t) é a derivada da equação horária do movimento S(t) no tempo (t).
Equação horária do movimento:
(inicial)S(t) vt S= +
Derivada no tempo da equação horária é a velocidade:
v(t) = 1 ∙ v ∙ t1 – 1
 Saiba mais
A partir deste ponto, o estudante deve ter conhecimento do cálculo 
diferencial e integral. Esse conceito foi desenvolvido por vários matemáticos 
e retratado no livro de Newton chamado Princípios Matemáticos da Filosofia 
Natural (1687). 
Para o estudante conhecer o cálculo, sugerimos o livro:
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron 
Books, 1999. v. 1.
Uma aplicação prática da velocidade instantânea pode ser visualizada no exemplo a seguir. 
Exemplo de aplicação
Exemplo 9
Um móvel segue equação horária S(t) = 3 ∙ t2 – 9 ∙ t + 25 [SI]. Pede-se:
a) a velocidade instantânea em função do tempo;
b) a velocidade instantânea para t = 1 s;
c) a velocidade instantânea para t = 5 s.
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Unidade I
Resolução
A equação horária do movimento já é dada. Ela representa uma equação polinomial do 2º grau, ou 
simplesmente equação do 2º grau.
2
2
y(x) ax bx c
S(t) 3.t 9.t 25
= + +
= − +
Velocidade instantânea é diminuir o intervalo de tempo (t) até um valor limite em que o coeficiente 
angular da reta torna-se um valor constante. Nas tabelas a seguir estão calculadas a velocidade 
instantânea para 1 segundo e para 5 segundos, respectivamente, pelo coeficiente angular da reta; a 
respectiva linha tangente à curva representa o coeficiente linear.
Tabela 4 – Diminuição do intervalo de tempo (aproximação) desde 0,9 s até 0,9999 s para o 
valor inteiro de 1,0000 s. Percebemos que o coeficiente angular vai diminuindo até atingir 
um valor constante ~ (–3)
Tempo (s) Espaço percorrido (m) Coeficiente angular Coeficiente linear
x y = 3 ∙ (x)2 – 9 ∙ (x) + 25 a = (y2 – y1) / (x2 – x1) b = y – a ∙ x
0,9 (x1) 19,33 (y1) –3,3300 22,32700
0,99 (x2) 19,0303 (y2) –3,0330 22,03297
0,999 19,003003 –3,0033 22,00330
0,9999 19,00030003 –3,0003 22,00030
1 19 –3,0000 22,00000
Tabela 5 – Diminuição do intervalo de tempo (aproximação) desde 4,9 s até 4,9999 s para o 
valor inteiro de 5,0000 s. Percebemos que o coeficiente angular vai diminuindo até atingir 
um valor constante ~ (21)
Tempo (s) Espaço percorrido (m) Coeficiente angular Coeficiente linear
x y = 3 ∙ (x)2 – 9 ∙ (x) + 25 a = (y2 – y1) / (x2 – x1) b = y – a ∙ x
4,9 (x1) 52,93 (y1) 20,6700 –48,35300
4,99 (x2) 54,7903 (y2) 20,9670 –49,83503
4,999 54,979003 20,9967 –49,98350
4,9999 54,99790003 20,9997 –49,99850
5 55 21,0000 –50,00000
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MECÂNICA CLÁSSICA
Na figura a seguir está representada a equação horária do movimento (1). As retas tangentes 
à equação para o tempo de 1 s e 5 s estão representadas nos itens 3 e 4. Para cada intervalo 
de tempo, encontramos um valor tangente à reta, cujo coeficiente angular mostra a velocidade 
instantânea, e o coeficiente linear o espaço percorrido, em que se encontra o objeto. 
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
0
(1)
(4)
(2)
(3)
t(s)
s(m) v(m/S)
1 2 3 4 5 6
Figura 5 – Gráfico da velocidade instantânea. No item 1 está representada a equação horária; 
no 2, a derivada da equação horária no tempo; no 3, a reta tangente para tempo 1 segundo; 
no 4, a reta tangente para tempo 5 segundos
a) A maneira mais fácil de encontrar a equação da velocidade instantânea para o movimento do 
objeto é utilizar a derivada da equação notempo (t): 
2S(t) 3.t 9.t 25
v(t) S '(t) 6.t 9
= − +
= = −
b) Para encontrar a velocidade instantânea para tempo 1 segundo, substituímos o tempo na 
equação derivada:
2
1
S(t) 3.t 9.t 25
v(t) S '(t) 6.t 9
v(1) S'(1) 6.1 9 3m.s−
= − +
= = −
= = − = −
O valor encontrado coincide com o valor da tabela 4
c) Para encontrar a velocidade instantânea para tempo igual a 5 segundos, substituímos o tempo:
2
1
S(t) 3.t 9.t 25
v(t) S '(t) 6.t 9
v(5) S'(5) 6.5 9 21m.s−
= − +
= = −
= = − =
O valor encontrado coincide com o da tabela 5.
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1.1.3.5 Aceleração média
Aceleração é a variação da velocidade do objeto no decorrer do tempo. Por definição, a aceleração 
média é a razão entre a velocidade e o tempo.
(final) (inicial)
(final) (inicial)
v vv
a
t t t
−∆
= =
∆ −
Onde:
v = velocidade em metros por segundo (m ∙ s–1)
t = tempo decorrido em segundos (s)
a = aceleração em metros por segundo ao quadrado (m ∙ s–2)
Utilizando as grandezas fundamentais: metro e segundo, percebemos que a aceleração também é 
uma grandeza derivada, cuja unidade, nesse caso, é metro por segundo ao quadrado (m/s2).
Para encontrar a equação horária do movimento, isolamos a velocidade:
(final) (inicial) (final) (inicial)v v a.(t t )− = −
No estudo dos movimentos, não tem sentido tempo negativo, portanto consideramos o tempo 
inicial sempre zero.
Passando a velocidade inicial para o outro lado da igualdade, obtemos a equação horária do movimento:
(final) (final) (inicial)v a.t v= −
Essa fórmula pode ser associada à equação polinomial de 1º grau:
y = a ∙ x + b
Onde:
y = velocidade final do móvel (v(final)) em metros por segundo (m/s)
b = velocidade inicial do móvel (v(inicial)) em metros por segundo (m/s)
x = tempo (t) em segundos (s)
a = aceleração em metros por segundo ao quadrado (m/s2)
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MECÂNICA CLÁSSICA
Exemplo de aplicação
Exemplo 10
Um móvel segue equação horária S(t) = 5 ∙ t3 – 2 ∙ t2 + 25 [SI]. Pede-se:
a) a velocidade instantânea em função do tempo;
b) a velocidade instantânea para t = 1 s;
c) a velocidade instantânea para t = 3 s;
d) a aceleração média entre os instantes 1 e 3 s.
Resolução
Inicialmente vamos representar a equação horária para um melhor entendimento do movimento:
150
130
110
90
70
50
30
10
-10
-30
t(s)-3 -2 -1 1 2 3 4
S(m)
Espaço × tempo
y = ax3 + bx3 +cx + d
S(t) = 5.t3 - 2.t2 + 25
Figura 6 – Gráfico da equação horária
Podemos verificar na figura que o móvel acelera e desacelera, como o movimento de um carro em 
uma rua da cidade.
a) Para encontrar a velocidade instantânea em função do tempo, devemos derivar a equação 
no tempo.
3 2
2
S(t) 5.t 2.t 25
v(t) S '(t) 15.t 4.t(m / s)
= − +
= = −
30
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aç
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: F
ab
io
 -
 2
8/
11
/2
01
8
Unidade I
b) Para encontrar a velocidade no instante t = 1 s, vamos substituir o tempo na equação:
2
2
v(t) 15.t 4.t
v(1) 15.(1) 4.(1) 11m / s
= −
= − =
c) Para encontrar a velocidade no instante t = 3 s, vamos substituir o tempo na equação 
da velocidade:
2
2
v(t) 15.t 4.t
v(3) 15.(3) 4.(3) 123m / s
= −
= − =
d) A aceleração média é a variação entre as velocidades:
(3) (1)
m 2
(3) (1)
v vv 123 11 m
a 56
t t t 3 1 s
−∆ −
= = = =
∆ − −
1.1.3.6 Aceleração instantânea
Como ocorreu para a velocidade média, não encontramos um valor preciso da aceleração quando 
medimos em um grande intervalo de tempo. Assim derivamos a velocidade para encontrar a aceleração 
instantânea, ou seja, o limite da velocidade do móvel.
Exemplo de aplicação
Exemplo 11
Um móvel segue equação horária S(t) = 5 ∙ t4 – 2 ∙ t3 [SI]. Pede-se:
a) a velocidade instantânea em função do tempo;
b) a aceleração instantânea em função do tempo.
Resolução
Inicialmente vamos traçar a equação horária. Como podemos perceber, o móvel acelera e desacelera 
várias vezes com o tempo, como um movimento de aceleração e freadas. O tempo negativo é somente 
mostrado no gráfico para completar a função e não tem significado físico. 
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8
MECÂNICA CLÁSSICA
0,125
0,075
0,025
-0,025
t(s)
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
S(m)
Espaço × tempo
S(t) = 5t4 - 2t3
y(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Figura 7 – Gráfico do espaço percorrido em função do tempo 
As medidas estão no SI, portanto podemos considerar (m/s).
a) Para encontrar a velocidade instantânea, devemos derivar a equação horária em relação ao tempo (t):
4 3
3 2
S(t) 5.t 2.t
v(t) S '(t) 20.t 6.t
= −
= = −
b) Para encontrar a aceleração instantânea, devemos derivar a equação da velocidade instantânea 
em relação ao tempo (t):
3 2
2
v(t) 20.t 6.t
a(t) v '(t) S ''(t) 60.t 12.t
= −
= = = −
Exemplo 12
Um móvel segue equação horária S(t) = 3 ∙ t2 – 9 ∙ t + 25 [SI]. Pede-se:
a) a velocidade instantânea do móvel em função do tempo;
b) os instantes de parada do móvel;
c) a aceleração instantânea em função do tempo;
d) a classificação dos movimentos.
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Unidade I
Resolução
A equação já está dada, o sistema de medidas é o internacional e o gráfico da equação pode ser 
visualizado na figura anterior, então:
a) A velocidade instantânea é a derivada da equação em função do tempo:
2S(t) 3.t 9.t 25
v(t) S '(t) 6.t 9
= − +
= = −
b) O instante de parada do móvel é o momento onde a velocidade v(t) vale zero, então:
v(t) S '(t) 6.t 9
9
0 6.t 9 t 1,5s
6
= = −
= − ⇒ = =
c) A aceleração instantânea é obtida derivando a velocidade instantânea:
2
2
S(t) 3.t 9.t 25
v(t) S '(t) 6.t 9
a(t) v '(t) S ''(t) 6m / s
= − +
= = −
= = =
d) Pela tabela a seguir temos: 
Tabela 6 
T(s) v(t)(m/s) a(t)(m/s2) v(t).a(t)
1,00 –3,00 6,00 Regressivo –12,00 Retardado
1,50 0 6,00 Parado 0 Parado
2,00 3,00 6,00 Progressivo 12,00 Acelerado
Exemplo 13
Um móvel tem velocidade instantânea dada por: S(t) = 6 ∙ t – 9 [SI]. Obter a posição do móvel em 
função do tempo, sabendo que este se encontra na posição S = 22 m, no instante t = 1 s.
Resolução
A equação horária já é dada. Para obter a equação do espaço em função do tempo, temos que encontrar 
a antiderivada da função, ou seja, a integral da função em relação ao tempo. Para encontrá-la, somamos 
uma unidade ao expoente do tempo e dividimos o valor pelo expoente resultante. Para compensar uma 
possível derivada nula, soma-se uma constante, que podemos chamar de A:
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8
MECÂNICA CLÁSSICA
1 1 0 1
2
v(t) S '(t) 6.t 9
t t
S(t) 6. 9.
2 1
S(t) 3.t 9.t A
+ +
= = −
= −
= − +
Utilizamos os valores dados da posição S = 22 m e tempo t = 1 s para determinar o valor da 
constante (A) através da substituição dos valores respectivos:
2
2
S(t) 3.t 9.t A
S(1) 3.1 9.1 A
22 3 9 A
A 28
= − +
= − +
= − +
=
Agora podemos montar a equação horária do movimento ou posição do móvel em função do tempo, 
substituindo o valor da constante (A):
2
2
S(t) 3.t 9.t AS(t) 3.t 9.t 28
= − +
= − +
Exemplo 14
A velocidade de um móvel varia segundo o gráfico a seguir. Sabe-se que a aceleração média entre 
os instantes 0 e 2 s é: am = 10 m/s
2. Pede-se:
a) a velocidade no instante 0 s;
b) a aceleração em função do tempo.
t(s)
30
0
-30
v(m/s)
0 2 4 6 8 10 12
Figura 8 
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8
Unidade I
Resolução
Primeiro precisamos encontrar a equação da velocidade entre o trecho 0 e 2 segundos. Como esse 
trecho é uma reta, a equação da velocidade tem a forma de uma equação de 1º grau: y(x) = a ∙ x + b, 
nesse caso: v(t) = a ∙ t + b. Inicialmente, para encontrar a equação da reta, precisamos de dois pontos 
conhecidos do gráfico, conforme a tabela a seguir.
Tabela 7 – Trecho de 0 a 2 s
x y
t(s) v(m/s)
0 V0
2 30
a) Para encontrar o ponto faltante, substituímos os pontos conhecidos na equação da aceleração 
média, já que sabemos o valor da aceleração do móvel no trecho de 0 a 2 s. Nesse caso a aceleração 
é de a = 10 m/s2.
0
0
0
0
30 vy
a
x 2 0
v
10 15
2
(10 15) 2 v
v 10m / s
−∆
= =
∆ −
= −
− ⋅ = −
=
b) No gráfico de velocidade em função do tempo, o coeficiente angular da reta corresponde à 
aceleração, portanto precisamos encontrar o coeficiente angular em cada trecho do gráfico. 
Colocando os valores de tempo e velocidade numa tabela:
Tabela 8 – Trecho de 2 a 6 s
x y
t(s) v(m/s)
2 30
6 –30
2
y 30 ( 30)
a
x 2 6
60
a 15m / s
4
∆ − −
= =
∆ −
= = −
−
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8
MECÂNICA CLÁSSICA
No trecho de 6 a 8 s não há coeficiente angular, portanto a aceleração é zero, conforme verificamos 
na tabela a seguir.
Tabela 9 – Trecho de 8 a 12 s
x y
t(s) v(m/s)
8 –30
12 0
2
y 0 ( 30)
a
x 12 8
30
a 7,5m / s
4
∆ − −
= =
∆ −
−
= = −
Calculando a posição do móvel através do gráfico
Conforme verificamos nos exemplos anteriores, o movimento do móvel é expresso através 
da equação horária do movimento, que representa matematicamente uma equação polinomial. 
Para facilitar a visualização do movimento, podemos representar a equação horária do movimento por 
intermédio de gráficos: espaço percorrido pelo tempo, velocidade pelo tempo e aceleração pelo tempo. 
Para encontrar a posição do móvel em um gráfico de velocidade pelo tempo, precisamos apenas somar 
as áreas representadas no gráfico, pois o espaço percorrido é a equação horária do movimento, e como 
já vimos essa equação representa a velocidade multiplicada pelo tempo. Um exemplo prático pode ser 
visualizado a seguir.
Exemplo de aplicação
Exemplo 15
A velocidade de um móvel varia segundo o gráfico da próxima figura. Sabe-se que a sua posição é 
S = 15 m, no instante t = 4 s. Pede-se:
a) a posição do móvel no instante t = 0 s;
b) a posição do móvel no instante t = 12 s.
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Unidade I
t(s)
30
20
10
0
-10
-20
-30
v(m/s)
0 2 4 6 8 10 12
Figura 9 
Resolução
a) Para encontrar a posição do móvel em um gráfico de velocidade pelo tempo, precisamos somar 
as áreas:
0 2
2 4
0 2 2 4 0 4
30 10
A (trapézio) 2 40m
2
30 2
A (triângulo) 30m
4 2
A A 40 30 A 70m
−
−
− − −
+
= × =
×
= =
−
+ = + ⇒ =
O percurso do móvel e a área de 0 a 4 segundos é 70 m. Sabe-se que a posição em t = 4 s é 15 m. 
Então a posição inicial do móvel é: 
S(inicial) = S(4) – S(0) = 15 – 70 = –55 m
b) O mesmo processo, de cálculo de área, é realizado para encontrar a posição em t(12):
4 12
8 2
A (trapézio) .( 30) 150m
2−
+
= − = −
A posição do móvel é a área entre os tempos de 0 a 12 s mais a área inicial de 15 m:
S(12) – S(0) + S(inicial) = –150 + 70 + 55 = –135 m
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MECÂNICA CLÁSSICA
Movimento uniforme (MU)
No movimento uniforme, o móvel está se movendo sem variação da velocidade, ou seja, não existe 
força que atue no objeto alterando seu movimento. Assim a equação horária do movimento não tem a 
aceleração. Nesse movimento não consideramos qualquer ocorrência anterior ao do móvel para chegar 
a essa situação. A equação do polinomial correspondente é a equação da reta:
S(t) = v ∙ t + S(inicial)
Movimento uniformemente variado (MUV)
No movimento uniformemente variado, o móvel apresenta aceleração constante, ou seja, não ocorre 
variação da aceleração durante o intervalo de tempo. As equações correspondentes, que descrevem 
esse tipo de movimento, são conhecidas como equação polinomial do segundo grau para a posição S, e 
equação polinomial do primeiro grau para a velocidade (v).
2
(inicial) (inicial)
(inicial)
a.t
S(t) v .t S
2
v(t) v a.t
= + +
= +
Exemplo de aplicação
Exemplo 16
Em uma corrida, o carro A desloca-se com velocidade constante va = 30 m/s e passa pelo carro B 
parado no boxe. Após 5 s da passagem do carro A pelo carro B, esse último parte mantendo aceleração 
constante aB = 4 m/s
2. Pede-se:
a) a distância entre os carros no instante da partida do carro B;
b) o tempo necessário para que o carro B alcance o carro A;
c) a velocidade do carro B no instante da ultrapassagem pelo carro A.
Resolução
As grandezas estão em metros por segundo [SI]. Inicialmente vamos montar as equações horárias 
dos movimentos para os carros A e B:
Carro A – movimento uniforme (MU): equação do 1º grau 
y(x) = a ∙ x + b
S(t) = v ∙ t + S0
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Unidade I
Vamos considerar que, ao passar pelo boxe, o tempo inicial (t0) e a posição inicial (S0) são iguais a 
zero. Substituindo na equação do movimento uniforme, obtemos a equação horária do carro A como:
S(t) = 30 ∙ t
Carro B – movimento uniformemente variado (MUV): equação do 2º grau
y(x) = a ∙ x2 + b ∙ x + c
S(t) = a t.
2
2
 + v0 ∙ t + S0
Substituindo os valores de espaço inicial (S0) e a velocidade inicial (v0) por zero na equação, e como 
a aceleração do carro B é 4 m/s2, a equação horária da posição para o carro B fica: 
S(t) = 2 ∙ t2
a) Sabemos que o carro A está 5 s à frente do carro B. Para encontrar a distância entre o carro A e o 
carro B, após a passagem do carro A, substituímos o tempo de 5 s na equação do carro A e encontramos 
a distância inicial entre os carros: 
S(t) 30.t
S(5) 30.(5)
S(5) 150m
=
=
=
b) Para encontrar a posição S, onde o carro B encontra o carro A, devemos igualar as equações 
horárias de A e B. Porém, inicialmente, devemos arrumar a equação horária do carro A, substituindo o 
tempo de 5 s:
S(t) 30.t
S(5) 30.(5) 150m
S(t) 30.t 150
=
= ⇒
= +
Igualando as equações dos carros A e B, encontramos uma equação do segundo grau, que relaciona 
a posição de encontro entre os dois carros. Resolvendo a equação:
SA(t) = SB(t)
30 . t + 150 = 2 . t2
2 . t2 - 30 . t - 150 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau:
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MECÂNICA CLÁSSICA
t1 = -4s
t2 = 19s
Considerando como solução somente t = 19 s (pois não existe tempo negativo), podemos substituir 
o tempo em qualquer uma das duas equações que achamos a posição de ultrapassagem ~720 m.
c) Para encontrar a velocidade do carroB no momento da ultrapassagem, devemos derivar a equação 
e substituir o tempo:
2S(t) 2t
v(t) S '(t) 4t
v(19) 4.19
v(19) 76m / s
=
= =
=
=
A figura a seguir mostra de maneira mais clara o percurso dos carros A e B durante o tempo. 
O gráfico indica o momento em que ocorre o encontro. O movimento do carro B antes do instante 
t = 0 não existe. É apenas uma continuação da equação polinomial.
t(s)
S(m)
-8 -4 0 4 8 2012 2416 28
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
Ponto de 
encontro
(B) Aceleração: cte
MUV
y(x) = a.x2 + b.x + c
S(t) = a.t2/2 + b.t + c
S(t) = 2.t2
(A) Velocidade: cte
Aceleração: zero
MU
y(x) = a.x + b
S(t) = v.t + v0 
S(t) = 30.t + 150
Figura 10 – Equação horária do movimento para os carros A e B. 
O ponto de encontro é o valor em que os tempos são iguais
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Unidade I
1.1.3.7 Equação de Torricelli
Outra forma de resolver equações do movimento de um móvel é através da equação de Torricelli. 
Nessa equação, podemos encontrar a velocidade (v) ou a aceleração (a) do móvel, substituindo o tempo pela 
posição do móvel (S), pois como já vimos a posição é uma função do tempo, ou seja, para cada tempo temos 
uma posição. A equação de Torricelli é uma equação de segundo grau e está descrita abaixo:
v2(t) = v 20 + 2 ∙ a∆S
Exemplo de aplicação
Exemplo 17
Uma pedra é lançada para baixo, com velocidade inicial v0 = 5 m/s, por um menino que se encontra 
numa varanda à altura h = 20 m acima do solo. Determinar a velocidade com que a pedra atinge o solo. 
Considere a aceleração da gravidade como 10 m/s2.
Resolução
Como não temos o tempo de queda da pedra, mas possuímos a velocidade inicial, podemos utilizar 
a equação de Torricelli para resolver o exercício.
2 2
0
2 2
v v 2.a. S
v 5 2.10.20
v 20,6m / s
= + ∆
= +
=
1.1.3.8 Transformada de equações
A equação horária do movimento pode ser expressa como uma equação polinomial de grau n, em 
que os valores de x representam o tempo (t) e o valor de y a posição do móvel (S) no respectivo tempo. 
À primeira derivada da equação, encontramos a equação da velocidade (v); derivando pela segunda vez, 
encontramos a equação da aceleração (a). A seguir, mostramos a equação horária do movimento de um 
móvel representada por uma equação polinomial de grau 3 e suas respectivas derivadas, encontrando a 
equação da velocidade e equação da aceleração.
3 2
3 2
2
y(x) a.t b.x c.x d
S(t) a.t bt c.t d
v(t) S '(t) 3.a.t 2.b.t 1.c
a(t) v '(t) S ''(t) 6.a.t 2.b
= + + +
= − + +
= = + +
= = = +
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MECÂNICA CLÁSSICA
Ao integrar a equação da aceleração em função do tempo, encontramos novamente a equação da 
velocidade (v) e a equação da posição (S), respectivamente. Quando integramos, devemos incluir uma 
constante que deve ser encontrada através das condições de contorno, ou seja, valores fornecidos pelo 
problema, e encontrar as constantes.
2
3 2
3 2
a(t) 6.a.t 2.b
t t
v(t) a(t) 6.a. 2.b. A
2 1
t t t
S(t) v(t) a(t) 6.a. 2.b A B
2.3 1.2 1
S(t) a.t b.t A.t B
= +
= = + +
= = = + + +
= + + +
∫
∫ ∫∫
Podemos notar que a equação retorna à equação horária inicial (S), a constante A representa o 
termo c e a constante B representa o termo d da equação polinomial de grau 3.
Exemplo de aplicação
Exemplo 18
O movimento de um ponto material é dado pela equação horária da posição em função do tempo: 
S(t) = 5 ∙ t3 – 4 ∙ t2 + 8 ∙ t – 2 [SI]. Pede-se:
a) a posição da partícula nos instantes 1 e 4 s;
b) o percurso da partícula no intervalo de tempo de 1 a 4 s;
c) a velocidade escalar média da partícula no intervalo de tempo de 1 a 4 s;
d) a equação da velocidade em função do tempo;
e) a equação da aceleração em função do tempo;
f) a aceleração média no intervalo de tempo de 1 a 4 s.
Resolução
Inicialmente derivamos a equação para encontrar a equação da velocidade em função do tempo. 
Derivando mais uma vez em função do tempo, encontramos a equação da aceleração. A figura a seguir 
mostra um gráfico com as três equações juntas. 
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Unidade I
300
250
200
150
100
50
0
-50
0 1 2 3 4
S(m) v(m/s)
t(s)
(1)
(2)
(3)
(1) Espaço × tempo
y = ax3 + bx2 + cx + d
S(t) = 5t3 - 4t2 + 8t - 2
(2) Velocidade × tempo
y(x) = ax2 + bx + c
v(t) = 15t2 - 8t + 8
(3) Aceleração
y(x) = ax + b
a(t) = 30t - 8
Figura 11 – Equação (1): espaço em função do tempo; equação (2): velocidade 
em função do tempo; equação (3): aceleração em função do tempo
a) Para encontrar a posição da partícula, devemos substituir o tempo na equação 1, espaço em 
função do tempo. Para os valores de t = 1 e t = 4 s:
3 2
3 2
S(t) 5.t 4t 8t 2
S(1) 5.1 4.1 8.1 2 7m
= − + −
= − + − ⇒
3 2
3 2
S(t) 5.t 4t 8t 2
S(4) 5.4 4.4 8.4 2 286m
= − + −
= − + − ⇒
b) O percurso entre os tempos 1 e 4 s é obtido pela variação das posições (final menos inicial):
4 1
4 1
S S(4) S(1)
S 286 7 279m
−
−
∆ = −
∆ = − ⇒
c) A velocidade escalar é a variação do espaço pela variação do tempo, portanto:
m4 1
S S(4) S(1) 286 7 279
v 93m / s
t t(4) t(1) 4 1 3−
∆ − −
= = = = =
∆ − −
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MECÂNICA CLÁSSICA
d) A equação da velocidade em função do tempo é a derivada temporal da equação (1):
3 2
2
S(t) 5.t 4.t 8.t 2
v(t) S '(t) 15.t 8.t 8
= − + −
= = − +
e) A equação da aceleração em função do tempo é obtida pela variação temporal da equação (2):
2v(t) 15.t 8.t 8
a(t) v '(t) 30.t 8
= − +
= = −
f) A aceleração média no intervalo de tempo é obtida pela variação da velocidade dentro do intervalo 
de tempo:
2
m4 1
v v(4) v(1) 216 15 201
a 67m / s
t t(4) t(1) 4 1 3−
∆ − −
= = = = =
∆ − −
Exemplo 19
Uma partícula tem velocidade em função do tempo dada por: v(t) = –6 ∙ t2 + 12 ∙ t [SI]. No instante 
t = 0, o móvel passa pela posição S(0) = 8 m. Pede-se:
a) a equação horária do movimento;
b) as datas em que o móvel para;
c) as posições de parada;
d) a equação da aceleração em função do tempo. 
Resolução
a) Inicialmente, para encontrar a equação do espaço em função do tempo, devemos integrar a 
equação da velocidade no tempo:
2
3 2
v(t) 6.t 12.t
t t
S(t) v(t) 6. 12. A
3 2
= − +
= ⇒ − + +∫
Para encontrar o valor da constante (A), devemos utilizar as condições de contorno fornecidas pelo 
problema, ou seja, substituir o espaço 8 m para tempo zero, S(0) = 8 m, na equação:
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Unidade I
3 2
3 2
S(0) 2.0 6.0 A 8
A 8
S(t) 2.t 6.t 8
= − + + =
=
= − + +
b) Quando o móvel para de se mover, a velocidade (v) é zero. 
2
2
v(t) 6.t 12t 0
0 t 2t t( t 2) 0
t 0
t 2
= − + =
= − + ⇒ − + =
=
=
c) As posições para os tempos t = 0 e t = 2.
3 2
3 2
3 2
S(t) 2.t 6.t 8
S(0) 2.0 6.0 8 8m
S(2) 2.2 6.2 8 16m
= − + +
= − + + ⇒
= − + + ⇒
d) Para encontrar a aceleração, derivamos a velocidade em função do tempo:
2v(t) 6.t 12.t
a(t) v '(t) 12t 12
= − +
= = − +
A figura a seguir mostra todas as equações em função do tempo: 
30
20
10
0
-10
-20
-30
0-1 1 2 3S(m) v(m/s)
t(s)
(1)
(2)
(3)
(1) Espaço × tempo
y = ax3 + bx2 + cx + d
S(t) = -2t3 + 6t2 + 8
(2) Velocidade × tempo
y(x) = ax2 + bx + c
v(t) = -6t2 + 12t (3) Aceleração
y(x) = ax + b
a(t) = -12t + 12
Figura 12 – Equação (1): espaço em função do tempo; equação (2): velocidade em 
função do tempo; equação (3): aceleração em função do tempo
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MECÂNICA CLÁSSICA
Exemplo 20
A aceleração de um ponto material segue a equação a(t) = 18 – 6 ∙ t [SI]. O ponto material inicia o 
movimento quando o tempo é igual a zero (t = 0 s), partindo do repouso S0 = 2,5 m. Pede-se:
a) o instante em que a velocidade é novamente nula;
b) a posição e a velocidade no instante t = 4 s;
c) o percurso entre os instantes 0 e 4 s.
Resolução
a) Primeiro precisamos achar a equação da velocidade em função do tempo. Para isso, integramos a 
aceleração em função do tempo:
2
a(t) 6.t 18
t t
v(t) a(t) 6. 18. A
2 1
= − +
= ⇒ − + +∫
Para encontrar a constante (A), utilizamos a velocidade nula v(t) = 0 no tempo inicial zero:
2
2
2
v(t) 3.t 18t A
v(0) 3.0 18.0 A 0
A 0
v(t) 3.t 18.t
= − + +
= − + + =
=
= − +
Resolvendo a equação para velocidade nula, encontramos dois tempos – no caso, o tempo de 6 s é 
quando a velocidade volta a ser nula. 
2v(t) 3.t 18.t 0
t 0s
t 6s
= − + =
=
=
b) Para encontrar a velocidade para o tempo de 4 s, primeiro precisamos encontrar a equação do 
espaço percorrido em função do tempo, integrando a velocidade:
2
3 2
v(t) 3.t 18.t
t t
S(t) v(t) 3. 18. A
3 2
= − +
= ⇒ − + +∫
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8
Unidade I
Para encontrar o valor da constante (A), substituímos a posição 2,5 m no tempo zero: S(0) = 2,5 
3 2
3 2
S(0) 1.0 9.0 A 2,5 A 2,5
S(t) t 9.t 2,5
= − + + = ⇒ =
= − + +
Com a equação da posição e da velocidade, substituímos o tempo 4 s:
3 2
2
S(4) 4 9.4 2,5
S(4) 82,5m
v(4) 3.4 18.4
v(4) 24m / s
= − + +
=
= − +
=
c) Para obter o percurso, substituímos o tempo na equação e encontramos a respectiva variação da posição: 
4 0
4 0
S S(4) S(0)
S 82,4 2,5 80m
−
−
∆ = −
∆ = − ⇒
Exemplo 21
Uma partícula percorre trajetória com aceleração dada por: a(t) = 6 ∙ t – 15 [SI]. Para o tempo t = 1 s, a 
posição é S(1) = 12 m, e para o tempo t = 3 s, a posição é S(3)= –4,5 m. Pede-se:
a) a equação do móvel nas posições em função do tempo;
b) a equação da velocidade em função do tempo;
c) o instante em que o móvel passa pela origem da trajetória;
d) os instantes e a posição em que ocorrem inversão do movimento.
Resolução
a) Temos somente a aceleração. Para encontrar a equação do espaço em função do tempo, devemos 
integrar a equação duas vezes:
2
3 2
3 2
a(t) 6.t 15
t t
v(t) a(t) 6. 15. A
2 1
t t t
S(t) v(t) 6. 15. A B
2.3 1.2 1
S(t) t 7,5.t A.t B
= −
= ⇒ − +
= ⇒ − + +
= − + +
∫
∫
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MECÂNICA CLÁSSICA
Substituindo t = 1 s e t = 3 s
3 2
3 2
S(1) 1 7,5.1 A.1 B 12 A B 5,5m
S(3) 3 7,5.3 A.3 B 12 3.A B 4,5m
A B 5,5
3A B 4,5
A 12
B 0
= − + + = ⇒ + =
= − + + = ⇒ + = −
+ =
+ = −
=
=
Portanto a equação da posição em função do tempo é:
S(t) = t3 – 7,5 ∙ t2 + 12t
b) A equação da velocidade em função do tempo é:
v(t) = 3 ∙ t2 – 15 ∙ t + 12
c) Para passar pela origem, a posição será zero: S(t)=0.
2
2
1
2
S(t) t.(t 7,5t 12) 0
t 0
t 7,5t 12 0
t 4
t 1
= − + =
=
− + =
=
=
d) A inversão do movimento v(t) = 0, ou seja, t = 1 e t = 4 s:
3 3
S(1) 5,5m
S(4) 4 7,5.4 12.4 8m
=
= − + = −
Exemplo 22
A velocidade de um móvel varia com o tempo conforme o diagrama da próxima figura. No intervalo 
de tempo de t = 0 até t = 2 s, a velocidade escalar média é vm = 20 m/s. Sabe-se que a posição no 
instante t = 0 é S(0) = –10 m. Pede-se:
a) a velocidade inicial v0;
b) a posição no instante t = 8 s;
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Unidade I
c) o gráfico de tempo pela aceleração (t, a);
d) as características do movimento nos intervalos de tempo: 0 < t e 2 < t < 8 s.
t(s)
30
0
-30
v(m/s)
0 2 4 6 8 10 12
Figura 13 
Resolução
a) Velocidade média:
m2 0
0
Trapézio 0
Trapézio 0
m 0
S S(2) S(0)
v
t t(2) t(0)
S(2) S(0) A
30 v
A .2 30 v
2
A 30 v
V 20 v 10m / s
2 2
−
∆ −
= =
∆ −
− =
−
= = −
−
= = = ⇒ =
b) Para encontrar a posição no instante 8 s, precisamos somar as áreas de 0 a 8 s.
Trapézio
Triângulo
Trapézio
30 10
A S(2) S(0) 2 40m
2
2 30
A S(4) S(2) 30m
2
4 2
A S(8) S(4) 30 90m
2
S(8) 40 30 90 20
S S(8) S(0) 20 10 30m
+
= − = × =
×
= − = =
+
= − = × − = −
= + − = −
= − = − − = −
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MECÂNICA CLÁSSICA
c) Gráfico das acelerações:
t(s)
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0 2 4 6 8 10 12
a(
m
/s
2 )
Figura 14 
d) Pela figura anterior, temos:
Tabela 10 – Classificação do movimento do móvel
Intervalo
T(s)
Velocidade
v(t) (m/s)
Aceleração
a(t) (m/s2)
Vel. × Acel.
v(t) ∙ a(t) Movimento
0 a 2 Positiva Positiva Positiva Acelerado
2 a 4 Positiva Negativa Negativa Retardado
4 a 6 Negativa Negativa Positiva Acelerado
6 a 8 Negativa Nula Zero Uniforme
8 a 12 Negativa Positiva Negativa Retardado
Exemplo 23
Uma partícula possui aceleração dada pelo diagrama da próxima tabela. No instante t = 0, a 
partícula encontra-se com velocidade v = 2 m/s, passando pela origem da trajetória. Pede-se:
a) a equação da aceleração em função do tempo;
b) a equação da velocidade em função do tempo;
c) o diagrama cartesiano (t, v);
d) a equação horária da partícula em função do tempo.
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Unidade I
Resolução
a) Como temos somente dois pontos na tabela de aceleração, podemos concluir que a aceleração 
é uma reta. Utilizamos a equação de 1º grau: y(x) = a ∙ x + b; nesse caso: a(t) = a ∙ t + b. Para encontrar 
a equação da reta, precisamos de dois pontos do gráfico, conforme a tabela a seguir. 
Tabela 11 – Valores fornecidos para o intervalo de tempo t(3) até t(5)
x y
t(s) a(t) (m/s2)
3 0
5 –6
Coeficiente angular da reta (a):
2a a(5) a(3) 6 0a 3m / s
t t(5) t(3) 5 3
∆ − − −
= = = = −
∆ − −
Coeficiente linear da reta (b):
b a(t) a.t
b 6 ( 3).5
b 6 15 9
= −
= − − −
= − + ⇒
Equação da reta para o trecho t(0) a t(5): a(t) = –3t + 9.
Equação da reta para o trecho t(5) a t(10): a(t) = –6.
b) Para encontrar a velocidade no trecho de 0 a 5 s, temos de integrar a aceleração:
2
a(t) 3.t 9
t t
v(t) a(t) 3. 9. A
2 1
= − +
= ⇒ − + +∫
De acordo com os dados, quando t = 0, v = 2 m/s.
Substituindo:
2
2
3
v(0) .0 9.0 A 2 A 2
2
3
v(t) .t 9.t 2
2
= − + + = ∴ =
= − + +
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MECÂNICA CLÁSSICA
Para encontrar a velocidade no trecho de 5 a 10 s, temos de integrar a aceleração:
a(t) 6
t
v(t) a(t)