Análise da Conjectura de Goldbach-Euller: experimentar, conjecturar, formular hipótese e generalizar a ideia

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ANÁLISE DA CONJECTURA DE GOLDBACH-EULLER: EXPERIMENTAR, 
CONJECTURAR, FORMULAR HIPÓTESE E GENERALIZAR A IDEIA 
 
 
PEREIRA, Marcelo Rodrigues1 
 
 
 
 
RESUMO 
 
A conjectura de Goldbach-Euler desde 1742 tem causado inquietude no mundo da 
matemática. O que mais causa popularidade da conjectura de Goldbach-Euler, se 
falar na sua fácil compreensão, o que leva a muitos curiosos a tentar prová-la ou 
refutá-la. Nesta pesquisa não temos a intenção de provar ou menos refutar 
conjectura de Goldbach-Euler, buscamos compreender melhor os 
conceitos/elementos que a envolvem, como: os números naturais, inteiros, pares, 
ímpares, compostos e primos, as operações de adição e multiplicação, o Teorema 
Fundamental da Aritmética e finalizamos, propondo a experimentação, a conjectura, 
a formulação de hipóteses e expandindo a ideia de generalizar a conjectura de 
Goldbach-Euler por meio do pensamento algébrico. 
 
Palavras-chave: Números. Paridade. Primaridade. Conjectura. 
 
INTRODUÇÃO 
 
De acordo com EVES (2011), no ano 1742, Christian Goldbach (1690-1764) 
escreveu um carta a Leonhard Euler (1707-1783) onde havia observado que todo 
número par, exceto 2, parecia ser exprimível como soma de dois primos. 
No momento atual, passado quase três séculos a conjectura de Goldbach-
Euler continua em aberto; i.e., nem provada e nem refutada. Embora ocorressem 
avanços matemáticos científicos neste período. 
O que chama bastante atenção nesta conjectura seria devido a sua fácil 
compreensão, por estudantes da educação básica e, por desenvolver conteúdos 
matemáticos, tais como: conjunto numérico dos naturais, números compostos, 
números primos, números pares, números ímpares, operação aditiva: soma de 
parcelas pares resulta em número par, operação multiplicativa: conceito primitivo 
de soma de parcelas que se repetem e Teorema Fundamental da Aritmética: 
 
1
 Aluno do Pós-graduação em Docência Superior de Matemática da União das Faculdades Alfredo Nasser 
UNIFAN. Relatório apresentado como Trabalho de Conclusão de Curso - 2018/2. 
qualquer número composto pode ser decomposto em fatores. Assim pode – se 
propor estudos bastante significativos aos discentes de nível superior, de modo a 
experimentar, a conjecturar, a formular hipóteses e a por fim a generalização de 
um modelo bastante razoável da conjectura de Goldbach-Euler. 
 
 
FUNDAMENTAÇÃO 
 
1. INTRODUÇÃO A TEORIA DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
Inicia-se o estudo dos números naturais a partir da definição deste conjunto. De 
acordo com HEFEZ (2005, p.2) o conjunto dos números naturais ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 
5, ...} tem as seguintes propriedades: 
 
 Adição Multiplicação 
Fechado A + B = C, com A, B e C ∈ ℕ A x B = D com A, B e D ∈ ℕ 
Associatividade A + (B + C) = (A + B) + C A x (B x C) = (A x B) x C 
Comutatividade A + B = B + A A x B = B x A 
Existência de elementos neutros A + 0 = A A x 1 = A 
Distributividade A x (B + C) = (A x B) + (A x C) 
Nenhum divisor de zero Se A x B = 0, então A = 0 ou B = 0 
 
 
1.1 A CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
Conforme HEFEZ (2005, p.37), os números naturais são classificados são como 
pares ou ímpares. Assim defini-se os números naturais pares e ímpares: 
Dado um número natural N qualquer, chama-se par o número escrito na forma 
N = 2k ou chama-se ímpar o número escrito na forma N = 2k + 1 para qualquer 
número natural k. 
 
1.2 OPERAÇÃO ADITIVA COM NÚMEROS NATURAIS 
 
De acordo com HEFEZ (2005, p.37) se A e B são números naturais, ambos 
pares ou ambos ímpares, na operação aditiva, o resultado será um número C par. 
Demonstração: 
Seja A = 2k (par) e B = 2k (par), para ∀ k ∈ ℕ, assim A + B = C → 2k + 2k = 4k = 
2(2k) = 2K = C (par) ou 
Seja A = 2k + 1 (ímpar) e B = 2k + 1 (ímpar), para ∀ k ∈ ℕ, assim A + B = C → 2k 
+ 1 + 2k + 1 = 4k + 2= 2(2k + 1) = 2K = C (par) □ 
 
Como consequência obtem-se com operação aditiva de parcelas sendo uma par 
e a outra ímpar, na importa a ordem, pois sabemos que adição é comutativa, 
resulta em um número ímpar. 
 
1.3 OPERAÇÃO MULTIPLICATIVA COM NÚMEROS NATURAIS 
 
 A ideia mais primitiva que temos da operação de multiplicação seria como 
soma de parcelas que se repetem como bem destaca FISCHBEIN et al. (1985). 
 Demonstração: 
 Seja p um número natural par. Ao decompor o número p em fatores primos, 
obte-se 
 
 
 
. 
 
2. INTRODUÇÃO A TEORIA DOS NÚMEROS PRIMOS 
 
O estudo sobre os números primos são de extrema importância para a 
Matemática devido associação a problemas famosos tais como a Hipótese de 
Riemann e, a Conjectura de Goldbach-Euler objeto desta análise. 
 
2.1. DEFINIÇÃO DOS NÚMEROS PRIMOS 
 
Para HEFEZ (2005, p.82) um número natural maior do que 1 e que só é divisível 
por si próprio é chamado de número primo. 
Euclides de Alexandria que viveu no século III a.C, em sua obra, Os elementos, 
livro IX mostra-nos a infinitude dos números primos. 
Demonstração: 
Suponha que exista apenas um número finito de números primos p1, p2, p3, ..., 
pr. Considere o número natural n = p1p2p3...pr + 1. 
Pelo Teorema Fundamental da Aritmética que discorre a seguinte redação: 
Todo número maior do que 1 ou é primo ou se escreve de modo único (a menos da 
ordem dos fatores) como produtos de números primos. Assim, o número n possui 
um fator primo p que, portanto, deve ser um dos p1, p2, p3, ..., pr e 
consequentemente, divide o produto p1, p2, p3, ..., pr. Mas isto implica que p divide 
1, o que é absurdo. Método indireta ou reductio ad absurdum. 
 □ 
 Logo diante do exposto quanto a infinitude dos números primos podemos 
pelo método Crivo de Eratóstenes determinar todos os números primos até uma 
dada ordem. 
Escreva a sequência de números naturais de 2 a 120, pois por definição o 
número 1 não é primo. Risca-se, de modo sistemático, todos os números múltiplos 
de 2 acima de 2, pois são números compostos. Depois, risca-se todos os números 
múltiplos de 3 acima de 3, pois são números compostos. Depois, risca-se todos os 
números múltiplos de 5 acima de 5, pois são números compostos. Depois, risca-se 
todos os números múltiplos de 7 acima de 7, pois são números compostos. 
Ainda não é necessário repetir o procedimento até 120. De acordo com 
HEFEZ (2005, p.89) existe um lema que diz: Se um número natural n > 1 não é 
divisível por nenhum número primo p, tal que p² ≤ n, então ele é primo, em outras 
palavras, o lema que dado um número primo n, basta verificar que não é divisível 
por nenhum primo p que supere a raiz de n. 
Portanto os nossos primeiros 120 números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 
19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 
109 e 113. 
 
2.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA 
 
No Teorema Fundamental da Aritmética, demonstrado por Carl Friedrich Gauss 
(1777 – 1855) afirma-se que, todo número natural maior do que 1 ou é primo ou se 
escreve de modo único (a menos da ordem dos fatores) como produto de números 
primos. 
Demonstração: 
Segundo a forma do Princípio da Indução. Se n = 2, o resultado é obviamente 
verificado. 
Suponha-se o resultado válido para todo número natural menor do que n e 
prova-se que vale por n. Se o número n é primo, nada temos a demonstrar. 
Suponha-se, então, que n seja composto. Logo, existem números naturais n1 e n2 
tais que n = n1.n2, com 1 < n1 < n e 1 < n2 < n. Pela hipótese de indução, temos que 
existem números primos p1, p2, p3, ....pr e q1, q2, q3, ...qs tais n1 = p1...pr e n2 = 
q1...qs. Portanto, n = p1...prq1...qs. 
Ainda, prova-se a unicidade da escrita. Suponha, que n = p1...pr = q1...qs, onde 
os pi e os qj são os números primos. Como p1|q1...qs, pelo corolário que diz: Se p, 
p1, ...pn são primos e, se p | p1 ... pn, então p = pi para qualquer i = 1,...,n. Temos 
que p1 = qj para qualquer j, que, após reordenamento de q1,..., qs, podemos supor 
que seja q1. 
Portanto, p2...pr =q2...qs. Como p2...pr < n, a hipótese de indução acarreta que r 
= s e os pi e qj são iguais aos pares. 
 □ 
O autor HEFEZ (2005, p.84) discorre que a demonstração não explicita o 
enunciado em sua totalidade uma vez que esta essencialmente contido na obra Os 
Elementos de Euclides sendo consequência quase que imediata das proposição. 
 
3. BREVE RELATO DA CONJECTURA DE GOLDBACH-EULER 
 
EVES (2011) discorre que, em ano 1742, Christian Goldbach (1690-1764) 
escreveu um carta a Leonhard Euler (1707-1783) onde, havia observado que todo 
número par, exceto 2, parecia ser exprimível como soma de dois primos. Tanto Euler 
(1707-1783) quanto Goldbach (1690 – 1764) formularam a conjectura sem conseguir 
demonstra-la ou refutá-la. 
Na atual conjuntura, passado quase três séculos a conjectura de Goldbach-
Euler continua em aberto; i.e., nem provada e nem refutada. Embora ocorressem 
avanços matemáticos científicos neste período. Estar a conjectura de Goldbach-
Euler trata-se de algo bastante rico uma vez que com este simploro enunciado 
pode-se esturar várias conteúdos desde da educação mais elementar a muita 
avançada na componente curricular da matemática. 
 
4. EXPERIMENTAR, CONJECTURAR, FORMULAR HIPÓTESE E 
GENERALIZAR A IDEIA 
 
De acordo com RUSSEL (2016), que define números como uma coleção. 
Pode-se chamar de p um número par qualquer. Ainda, de acordo com BURTON 
(2005), pelo Teorema Fundamental da Aritmética, podemos escrever qualquer 
número como fatores de números primos. Logo temos q e r são os fatores primos do 
número p. Para concluir, o número par p pode ser escrito como p = q . r. Para 
FISCHBEIN et al. (1985) a multiplicação na forma mais primitiva seria a soma de 
parcelas que se repetem. Portanto, podemos reescrever o número p como p = q + q 
+ q + ... + q + q + q, i.e., as parcelas q aparecerá r vezes. Vale à recíproca. 
Agora propomos as seguintes particularidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diante do modelo citado, apresenta-se uma construção aritmética que aos 
poucos vai se tornando algébrica, desenvolvendo o processo de pensamento 
algébrico “teórico” – que exige sobretudo ações mentais de observação, reflexão e 
generalização. Nesse aspecto concordamos com PANOSSIAN (2014) que aponta-
nos a função do ensino, dizendo que o desenvolvimento do pensamento teórico, 
ocorre a partir de processos de pensamento, da abstração, da generalização e a da 
formação de conceitos. Na organização do trabalho pedagógico que utiliza-se da 
conjectura de Goldbach-Euler para promoção da generalização do pensamento 
aritmético para o pensamento algébrico. 
 
METODOLOGIA 
 
O presente resumo é fruto de uma pesquisa bibliográfica realizada 
majoritariamente em livros e alguns poucos artigos publicados em revistas tanto 
das áreas de educação quanto da área da matemática, sendo um recorte de uma 
pesquisa maior, ainda em andamento de um artigo para defesa de final de curso 
em pós-graduação em Docência Superior em Matemática. 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 
Na pesquisa realizada até o presente momento pode-se compreender os 
números como uma coleção, os números inteiros como conjunto simétrico ao 
conjunto dos números naturais. Ainda, define-se os números em: compostos, 
ímpares, pares e primos. Relembra-se o Teorema Fundamental da Aritmética e por 
fim, elenca-se a tétrade: experimentar/conjecturar, formalizar a hipótese e 
generalizar a ideia, onde mostra-se que todo o número par pode ser escrito como 
soma de parcelas de números primos, promovendo o pensamento teórico algébrico 
que outrora partiu de observações aritméticas. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
BRASIL. Lei n. 8.069, 13 de julho de 1990. Diário Oficial da União, Poder Legislativo, Brasília, DF, 
16 jul. 1990. Ret. 27 set. 1990. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L8069.htm . 
Acesso em 30 jul. 2018. 
 
EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. Tradução Hygino H. Domingues. 5ª edição. 
Campinas, SP. Editora Unicamp. 2011. 
 
FISCHBEIN, Efraim. et al. The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication 
and division. Vol. 16. Nº 1. Journal for Research in Mathematics Education. 1985. 
 
HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmética. Coleção Textos Universitários. 1ª edição. Rio de 
Janeiro, RJ. SBM, 2005. 
 
PATERLINI, Roberto Ribeiro. Aritmética dos números inteiros: um texto para licenciados e 
professores de matemática. 2ª edição. São Carlos, SP. UFSCar, 2017. 
 
PANOSSIAN, Maria Lucia. O movimento histórico e lógico dos conceitos algébricos como 
princípio para a construção do objeto de ensino da álgebra. 317 p. Doutorado – Programa de 
Pós-Graduação em Educação. Ensino de Ciências e Matemática. Faculdade de Educação de São 
Paulo. São Paulo. 2014. 
 
RUSSEL, Bertrand. Introdução à Filosofia Matemática. Edição e Tradução de Augusto J. Franco de 
Oliveira. 1ª edição. Centro de Estudos de História e Filosofia da Ciência da Universidade de Évora. 
2016. 
 
 
 
 
 
http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L8069.htm