2005-1 AP3-GAI-Gabarito

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Geometria Anal´ıtica I AP/03 1
Geometria Anal´ıtica I
AP/03 — 16/07/2005
Terceira Verificac¸a˜o de Aprendizagem Presencial
Nome:
Po´lo:
Questa˜o Valor Nota Revisa˜o
1 2.0
2 2.0
3 2.0
4 2.0
5 2.0
Total 10.0
ATENC¸A˜O!
• Leia cuidadosamente toda a prova antes de resolveˆ-la e fac¸a-a na ordem
que julgar mais conveniente para voceˆ. Todos os ca´lculos e argumentos
usados na resoluc¸a˜o das questo˜es devem estar escritos de forma clara e
organizada na folha de respostas. Soluc¸o˜es apenas com a resposta final na˜o
sera˜o consideradas.
• Na˜o e´ permitido usar calculadoras de qualquer tipo durante a execuc¸a˜o da
prova.
• Desligue o seu celular!
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Geometria Anal´ıtica I AP/03 2
QUESTA˜O 1
(2.0) Mostre que o triaˆngulo de ve´rtices A = (1, 1), B = (2, 0) e C = (3, 2) e´ acutaˆngulo,
isto e´, mostre que ele tem todos os aˆngulos internos agudos. Dica: use produto interno.
Soluc¸a˜o. Note que
−→
AB = (2, 0) − (1, 1) = (1,−1) e −→AC = (3, 2) − (1, 1) = (2, 1), de modo
que se  e´ o aˆngulo interno do triaˆngulo formado pelos lados AB e AC, enta˜o
cos
(
Â
)
=
−→
AB · −→AC∣∣∣∣∣∣−→AB∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−→AC∣∣∣∣∣∣ =
(+1) · (+2) + (−1) · (+1)∣∣∣∣∣∣−→AB∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−→AC∣∣∣∣∣∣ =
1∣∣∣∣∣∣−→AB∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−→AC∣∣∣∣∣∣ > 0,
de onde podemos concluir que o aˆngulo  e´ agudo. Analogamente, podemos concluir que o
aˆngulo B̂ entre os lados BC e BA e o aˆngulo Ĉ entre os lados CA e CB sa˜o agudos, pois
como
−−→
BC = (3, 2)− (2, 0) = (+1,+2), −→BA = (1, 1)− (2, 0) = (−1,+1),
−→
CA = (1, 1)− (3, 2) = (−2,−1), −−→CB = (2, 0)− (3, 2) = (−1,−2),
segue-se que
cos
(
B̂
)
=
−−→
BC · −→BA∣∣∣∣∣∣−−→BC∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−→BA∣∣∣∣∣∣ =
(+1) · (−1) + (+2) · (+1)∣∣∣∣∣∣−−→BC∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−→BA∣∣∣∣∣∣ =
1∣∣∣∣∣∣−−→BC∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−→BA∣∣∣∣∣∣ > 0
e
cos
(
Ĉ
)
=
−→
CA · −−→CB∣∣∣∣∣∣−→CA∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−−→CB∣∣∣∣∣∣ =
(−2) · (−1) + (−1) · (−2)∣∣∣∣∣∣−→CA∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−−→CB∣∣∣∣∣∣ =
4∣∣∣∣∣∣−→CA∣∣∣∣∣∣ · ∣∣∣∣∣∣−−→CB∣∣∣∣∣∣ > 0.
QUESTA˜O 2
(2.0) Calcule equac¸o˜es parame´tricas e cartesiana para a reta r que passa pelo ponto P =
(1, 2) e e´ paralela a reta s que passa pelos pontos A = (2, 3) e B = (3, 4).
Soluc¸a˜o. Note que
−→
v =
−→
AB = (3, 4) − (2, 3) = (1, 1) e´ um vetor diretor da reta r. Logo,−→
n = (−1,+1) e´ um vetor normal a reta r. Sendo assim, uma equac¸a˜o cartesiana para r
pode ser obtida via produto interno:
−→
n ·
(
(x, y)− (1, 2)︸ ︷︷ ︸
P
)
= 0 ⇒ (+1,−1) · (x− 1, y − 2) = 0 ⇒ x− y + 1 = 0.
Para obter equac¸o˜es parame´tricas, vamos fazer x = t, de modo que y = x + 1 = t + 1,
com t ∈ R.
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Geometria Anal´ıtica I AP/03 3
QUESTA˜O 3
(2.0) Considere a regia˜o R do plano que, em coordenadas polares, e´ definida pelas condic¸o˜es
1 ≤ ρ ≤ 2 e − π
3
≤ θ ≤ +π
3
.
Fac¸a o desenho desta regia˜o em um sistema Oθρ de coordenadas polares e em um sis-
tema OXY de coordenadas cartesianas no plano.
Soluc¸a˜o. Desenho da regia˜o R no plano polar:
ρ
θ−π/3 +π/30
1
2
Desenho da regia˜o R no plano cartesiano:
x
y
+
√
3
+
√
3/2
−√3/2
−√3
1/20 1 2
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Geometria Anal´ıtica I AP/03 4
QUESTA˜O 4
(2.0) Identifique a coˆnica x2 − 2 · k · x+ k2 + y2 + 2 · k · y = 0 para os diferentes valores do
paraˆmetro k ∈ R.
Soluc¸a˜o. Temos:
x2 − 2 · k · x + k2 + y2 + 2 · k · y = 0
�
[x2 − 2 · k · x] + [y2 + 2 · k · y] + k2 = 0
�
[(x− k)2 − k2] + [(y + k)2 − k2] + k2 = 0
�
(x− k)2 + (y + k)2 − k2 = 0
�
(x− k)2 + (y + k)2 = k2.
Assim, para cada k ∈ R, a equac¸a˜o x2− 2 ·k ·x+k2+ y2+2 ·k · y = 0 determina um c´ırculo
de centro em (+k,−k) e raio √k2 = |k|.
QUESTA˜O 5
(2.0) Encontre parametrizac¸o˜es para as seguintes coˆnicas:
x2
4
+
y2
9
= 1, (x− 2)2 + (y + 3)2 = 9 e 4 · x + 1 = 3 · y2.
Soluc¸a˜o. Temos que (x, y) = (2 · cos(t), 3 · sen(t)), com t ∈ R, fornece uma parametrizac¸a˜o
para a elipse x2/4 + y2/9 = 1, pois
x2
4
+
y2
9
=
(2 · cos(t))2
4
+
(3 · sen(t))2
9
= cos2(t) + sen2(t) = 1
Temos que (x, y) = (2 + 3 · cos(t),−3 + 3 · sen(t)), com t ∈ R, fornece uma parametrizac¸a˜o
para o c´ırculo (x− 2)2 + (y + 3)2 = 9, pois
(x− 2)2 + (y+3)2 = (2+ 3 · cos(t)− 2)2 + (−3+ 3 · sen(t) + 3)2 = 9 · [cos2(t) + sen2(t)] = 1.
Finalmente, (x, y) = ((3 · t2 − 1)/4, t), com t ∈ R, fornece uma parametrizac¸a˜o para a
para´bola 4 · x + 1 = 3 · y2, pois se y = t e 4 · x + 1 = 3 · y2, enta˜o
x =
3 · y2 − 1
4
=
3 · t2 − 1
4
.
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