Apostila-Geometria-Espacial-1

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
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SUMÁRIO 
1 REPRESENTAÇÃO DE FORMAS TRIDIMENSIONAIS .................................. 5 
1.1 A representação tridimensional na antiguidade ............................................ 5 
1.2 Sistemas de projeção ................................................................................... 8 
1.3 Tipos de perspectiva ................................................................................... 10 
1.4 Representações tridimensionais ................................................................. 13 
2 ESTUDO DO PLANO ..................................................................................... 17 
2.1 Equações de um plano ............................................................................... 18 
2.2 Construção de planos por pontos e retas ................................................... 20 
2.3 Construção por uma reta e um ponto externo ............................................ 22 
2.4 Paralelismo dos planos ao sistema de referência XYZ ............................... 27 
3 GEOMETRIA ESPACIAL E DE POSIÇÃO ..................................................... 33 
3.1 Aplicações da geometria ............................................................................. 44 
3.2 Poliedros e corpos redondos ...................................................................... 50 
4 POLIEDROS: ÁREA DE SUPERFÍCIE .......................................................... 59 
4.1 Poliedros e suas propriedades ................................................................... 59 
4.2 Poliedros regulares ..................................................................................... 63 
4.3 Áreas de poliedros ...................................................................................... 64 
4.4 Problemas de aplicação.............................................................................. 67 
5 POLIEDROS: VOLUMES ............................................................................... 69 
5.1 Volume ........................................................................................................69 
5.2 Cálculo do volume de um poliedro: princípio de Cavalieri .......................... 72 
5.3 Problemas envolvendo volumes ................................................................. 77 
6 OS SOFTWARES EDUCACIONAIS: CRITÉRIOS DE ANÁLISE E SELEÇÃO
 80 
 
3 
 
6.1 Tipos de softwares educacionais ................................................................ 81 
6.2 Critérios de análise ..................................................................................... 84 
6.3 Os softwares educacionais de acesso livre e seu uso no contexto escolar 86 
6.4 Projetos pedagógicos com os softwares educacionais ............................... 90 
7 INTRODUÇÃO À GEOMETRIA EUCLIDIANA ESPACIAL ............................. 91 
7.1 Postulados de Euclides............................................................................... 92 
7.2 Retas no espaço ......................................................................................... 93 
7.3 Exemplos de demonstrações ...................................................................... 97 
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 101 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Prezado aluno! 
 
O grupo educacional Faveni, esclarece que o material virtual é semelhante 
ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um 
aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma 
pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é 
que esse aluno faça a pergunta em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a 
resposta. No espaço virtual, é a mesma coisa. Não hesite em perguntar, as 
perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de atendimento que serão 
respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância exigem do aluno tempo e 
organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura 
do texto base e à execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá 
reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A organização é o 
quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos definidos 
para as atividades. 
 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 REPRESENTAÇÃO DE FORMAS TRIDIMENSIONAIS 
A representação de objetos e formas tridimensionais é algo que vem desde 
a antiguidade, teve considerável evolução ao logo do tempo e, até hoje, é um tipo 
de representação muito importante e rico em detalhes. Este capítulo tem como 
propósito ampliar seus conhecimentos no que diz respeito à representação de 
formas tridimensionais. Neste capítulo, você perceberá a importância dos sistemas 
de projeção, conhecerá os conceitos básicos e a classificação desses sistemas. 
Para além de conceitos, você será convidado a desenvolver a habilidade de 
visualizar e expressar formas e espaços em três dimensões. 
1.1 A representação tridimensional na antiguidade 
Embora hoje se reconheça a importância da tridimensionalidade e das 
representações em perspectiva, nem sempre foi assim. Na antiguidade, 
considerava-se importante o ente representado, mas não a tridimensionalidade. 
Além disso, pessoas e objetos eram desenhados de acordo com sua relevância 
social. Não havia uma preocupação com o senso de distribuição e equilíbrio, e 
muitas pinturas tinham uma aparência achatada. Mais tarde, o Naturalismo grego e 
romano suavizaram as formas, mas o traçado com representação tridimensional 
ainda não era realizado (SANZI; QUADROS, 2014). 
Com a Renascença, grandes transformações no modo de pensar passam 
a permear as ideias daqueles que viviam nessa época. As descobertas de Nicolau 
Copérnico, as grandes viagens marítimas e a ampliação do conhecimento 
desencadearam uma nova forma de ver Deus, o homem e o mundo. A busca pelo 
conhecimento é uma grande marca do período. O pintor Giotto foi o primeiro a 
utilizar empiricamente o desenho de perspectiva em suas pinturas, inspirado pelo 
arquiteto Filippo Brunelleschi. Em 1511, o arquiteto Leon Baptista Alberti publicou 
seu primeiro desenho de perspectiva, chamado Della Pictura; depois, vieram 
Leonardo da Vinci, entre outros que são precursores atualmente no estudo da 
perspectiva (SANZI; QUADROS, 2014). 
 
6 
 
Veja, na Figura 1, o diagrama do experimento de Brunelleschi com 
perspectiva. 
 
 
A Renascença foi um grande marco para a evolução dos desenhos. 
Vejamos uma pintura renascentista de Giorgio Vasari, na Figura 2, a seguir. 
 
7 
 
 
 
A perspectiva é uma forma de representação muito importante que, como 
vimos, teve seus primeiros estudos há muitos anos, na renascença — período em 
que houve grandes mudanças e em que a arte, o desenho e a ciência evoluíram 
expressivamente. 
Sanzi e Quadros (2014, p. 11) definem perspectiva da seguinte forma: 
Perspectiva é um desenho que representa a realidade tridimensional, ou 
seja, denota os objetos como os vemos, dando uma ilusão de 
profundidade. O desenho de perspectiva é um eficiente instrumento de 
estudo e avaliação de produtos. Na arquitetura, permite simular formas, 
percursos, espaços e pensar detalhes que ilustrará a concepção de uma 
edificação. 
A perspectiva é muito utilizada no trabalho de arquitetos, engenheiros, 
projetistas e desenhistas. Por sua relevância e riqueza em detalhes, contribui para 
que o profissional possa expressar suas ideias de forma clara, exemplificando a 
proposta do projeto ou desenho. 
 
8 
 
1.2 Sistemas de projeção 
Entende-se o desenho como uma operação gráfica, onde se utilizam linhas 
que ajudam a representar e a compor o objeto. Quando se desenha, representa-sea realidade em um plano. A essa operação gráfica dá-se o nome de sistemas de 
projeção (SANZI; QUADROS, 2014). 
Um sistema de projeção é composto por três elementos básicos, que são 
os centros de projeção, as linhas projetantes e o plano de projeção. Sanzi e Quadros 
(2014) explicam que o centro de projeção é o lugar no espaço de onde saem as 
linhas projetantes que interceptam o objeto a ser representado. Já o plano de 
projeção é uma superfície ilimitada, onde o objeto projeta-se. Para entender melhor, 
vejamos um exemplo na Figura 3, onde temos o desenho da projeção de um ponto 
(objeto). 
 
Vamos conhecer agora os dois tipos de sistemas de projeção: o cônico e o 
cilíndrico. 
 
 
9 
 
Projeção cônica 
Na projeção cônica, as projetantes convergem para o centro de projeção, 
formando uma superfície semelhante à de um cone. Isso ocorre porque o centro de 
projeção está a uma distância finita em relação ao plano de projeção. Vejamos a 
Figura 4, que exemplifica uma projeção cônica (SANZI; QUADROS, 2014). 
 
Projeção cilíndrica 
 
Na projeção cilíndrica, as linhas projetantes são paralelas entre si e, além 
disso, o centro de projeção está a uma distância infinita em relação ao plano de 
projeção. Vejamos a Figura 5, que exemplifica uma projeção cilíndrica (SANZI; 
QUADROS, 2014). 
 
10 
 
 
1.3 Tipos de perspectiva 
Sanzi e Quadros (2014) explicam que o desenho de perspectiva origina-se 
de um sistema de projeções, e os dois tipos de projeções abordadas anteriormente 
(cônica e cilíndrica) dão origem a diversos tipos de desenho. Aqui, vamos observar 
o desenho de perspectivas paralelas e lineares exatas. Vejamos um quadro, 
elaborado por Sanzi e Quadros (2014, p. 14), com os sistemas de projeção e os 
tipos de desenho. 
 
 
11 
 
 
Sanzi e Quadros (2014) afirmam que, a partir do sistema de projeção 
cilíndrico, é possível desenhar uma perspectiva cujas retas projetantes são 
paralelas entre si, ou seja, produz-se uma perspectiva paralela. Veja a Figura 6. 
 
12 
 
 
Já, se o sistema de projeção utilizado for o cônico, Sanzi e Quadros (2014) 
destacam que as retas projetantes serão convergentes e produzirão uma 
perspectiva linear exata. Veja a Figura 7. 
 
13 
 
 
1.4 Representações tridimensionais 
Quando se representa um objeto, busca-se demonstrá-lo da forma mais 
clara e realista possível. É comum utilizar projeção ortográfica nas representações, 
pois, nelas, as linhas de projeção encontram o plano do desenho em ângulos retos, 
o que possibilita que se mantenha verdadeira em tamanho, formato e configuração. 
Isso evidencia a principal vantagem dos desenhos de vistas múltiplas, que é a 
possibilidade de posicionar os pontos de modo preciso, estimar o comprimento e a 
inclinação de retas e descrever o formato e a extensão de planos. Assim, pode-se 
comunicar as informações gráficas necessárias à descrição, à pré-fabricação e à 
execução de um projeto, por exemplo (CHING, 2012). 
Um ponto importante destacado por Ching (2012) é que um único desenho 
de vistas múltiplas não expressa perfeitamente um objeto, porque falta a 
profundidade, a terceira dimensão fica achatada no desenho. Por isso, somente 
 
14 
 
com a observação de vistas adicionais será possível um entendimento perfeito. Isso 
justifica a necessidade de uma série de vistas distintas e relacionadas para 
descrever a natureza tridimensional de uma forma. 
Vejamos um exemplo de uma representação de um objeto por meio de uma 
projeção ortogonal na Figura 8. 
 
Veja, pela Figura 8, que, para construir uma projeção ortogonal, 
desenhamos linhas projetantes paralelas a partir de vários pontos do objeto de 
modo que elas incidam perpendicularmente ao plano do desenho. Depois, 
conectamos os pontos projetados na ordem adequada para obter a vista do objeto 
ou da edificação no plano do desenho. A imagem que resulta no plano do desenho 
é chamada de vista ortogonal (CHING, 2012). 
Ching (2012) explica que existem duas convenções para regular a relação 
entre vistas ortogonais, que são: a) a projeção do primeiro ângulo, em que 
colocamos o objeto no primeiro quadrante e o projetamos para trás, como se 
projetássemos as sombras das faces internas dos planos do desenho — nesse 
caso, são projetados os aspectos do objeto mais próximos do observador; e b) a 
 
15 
 
projeção do terceiro ângulo, em que o objeto é posicionado no terceiro quadrante e, 
uma vez que o plano do desenho encontra-se entre o objeto e o observador, 
projetam-se as imagens do objeto para frente do plano do desenho — nesse caso, 
desenhamos e vemos as imagens nas faces externas do plano do desenho. 
Podemos encontrar nomenclaturas equivalentes de acordo com o livro que 
estivermos consultando. Por isso, cabe destacar que o primeiro quadrante pode ser 
entendido como primeiro diedro e, nesse mesmo raciocínio, terceiro quadrante pode 
ser entendido como terceiro diedro — são expressões equivalentes. Vejamos a 
Figura 9, que representa os quatro diedros, numerados de um a quatro no sentido 
horário, começando com o quadrante superior esquerdo. A Figura 9b ilustra as 
projeções do primeiro ângulo, e a Figura 9c, as projeções do terceiro ângulo 
(CHING, 2012). 
 
Os planos principais são o horizontal, o frontal e o lateral. Veja o exemplo 
desses três planos principais na Figura 10. 
 
16 
 
 
Ching (2012, p. 148) explica como organizar as vistas para facilitar a leitura 
e interpretação de um objeto tridimensional da seguinte forma: 
A distribuição mais comum de uma planta e suas elevações constitui na 
transposição do plano do desenho projetado sobre a caixa transparente 
em uma projeção de terceiro ângulo. Depois de cada vista ser projetada, 
giramos as vistas, a partir das arestas, sobre um único plano, representado 
pela superfície do desenho. A planta, ou vista superior, passa pra cima, no 
alto do desenho, e fica verticalmente alinhada com a vista, ou elevação 
frontal, enquanto a vista, ou elevação lateral, se alinha ao lado da frontal. 
O resultado é o conjunto coerente de vistas ortogonais relacionadas e 
separadas pelas arestas da caixa de projeção imaginária. 
A Figura 11 demonstra a organização das vistas, conforme mencionado 
pelo autor. 
 
17 
 
 
2 ESTUDO DO PLANO 
Após a definição de ponto e reta no espaço, o plano é mais um dos 
elementos da geometria analítica. O uso desse elemento é importante para a 
elaboração de referências em espaços vetoriais, por exemplo. A descrição de 
 
18 
 
problemas em planos abre visão espacial maior de como os problemas algébricos 
estão. Para maior compreensão desse tópico, é importante o conhecimento de 
vetores e suas operações de produto, equações de retas e visão espacial no espaço 
de R3. 
2.1 Equações de um plano 
No espaço tridimensional, uma reta pode ser descrita a partir de um vetor 
diretor, que fornece as direções e sentidos da reta e um ponto de referência 
(SANTOS; FERREIRA, 2009). Dessa forma, iniciamos com as equações vetoriais e 
chegamos às formas paramétricas, simétricas e reduzidas de uma reta. No plano, 
a obtenção das equações é semelhante ao tratamento de retas, no entanto, em vez 
de um único vetor e ponto, é necessário utilizar o conceito de que o produto escalar 
entre dois vetores ortogonais n e AP deve ser igual a zero. 
Nesse contexto, o vetor AP é um vetor pertencente ao plano e o vetor n é 
um vetor ortogonal (normal ao plano), como se vê na Figura 1. Iniciando assim, 
chegamos à equação geral do plano e, posteriormente, à reduzida (WINTERLE, 
2014). 
 
Como ponto de partida para obtenção da equação geral, iniciamos com o 
conceito de dois vetores ortogonais, conforme apresentado na Figura 1: 
 
19 
 
 
Em seguida, desenvolvemos essa igualdade até isolar o ponto P (x,y,z), que 
serão as variáveis da equação do plano, sendo assim: 
 
Essa é a representação da equação geral do plano. Como a soma de –ax1 
– by1 – cz1 será um número,podemos chamá-lo de constante d. A equação passa 
a ser chamada de equação reduzida do plano: 
ax + by + cz + d = 0 
Exemplo 1 — Qual é a equação reduzida do plano π que tenha como ponto 
A (2,–1,3) e vetor normal n (3,2,–4)? 
Solução: 
Da forma geral apresentada anteriormente: 
ax + by + cz + d = 0 
As constantes a, b e c são as componentes do vetor normal n: 
3x + 2y – 4z + d = 0 
O valor de d é dado pela soma a seguir: 
 
A equação reduzida fica sendo: 
 
Exemplo 2 — Determine a equação reduzida do plano π, que tenha o ponto 
A(2,1,3) e seja paralelo ao plano: 
 
 
20 
 
Solução: 
Para que um plano seja paralelo a outro, os vetores normais devem ser 
iguais, logo, da equação geral apresentada podemos aproveitar o vetor normal n 
que é (3,–4,–2). Em seguida, repetimos os anteriores. 
As constantes a, b e c são as componentes do vetor normal n: 
3x – 4y – 2z + d = 0 
O valor de d é dado pela soma a seguir: 
3x – 4y – 2z + 4 = 0 
 
2.2 Construção de planos por pontos e retas 
Construção por três pontos não colineares 
Quando temos três pontos no espaço, não colineares, podemos montar um 
plano π (STEINBRUCH; WINTERLE, 1995). 
Digamos que esses pontos se chamam A (xA,yA,zA), B (xB,yB,zB) e C 
(xC,yC,zC). Podemos montar dois vetores AB e AC, e com esses vetores utilizar o 
produto vetorial para encontrar um terceiro vetor ortogonal aos dois vetores. Com 
esse vetor n = AB × AC e qualquer um dos pontos, por exemplo A (xA,yA,zA), temos 
condições de montar a equação geral ou reduzida de um plano. Veja na Figura 2 a 
disposição desses pontos em um plano e a formação do vetor normal aos três 
pontos. 
 
21 
 
 
Exemplo 3 — Dados os pontos não colineares A (1,–1,2), B (2,1,–3) e C (–
1,–2,6), qual é a equação reduzida do plano π formado por eles? 
Solução: 
Inicialmente montamos os vetores AB e AC: 
AB = B – A = (1,2,–5) 
AC = C – A = (–2,–1,4) 
Em seguida, calculamos o vetor normal ao plano, que é dado pelo produto 
vetorial entre AB e AC: 
 
Com o vetor normal n e o ponto A, montamos a equação reduzida do plano: 
3x + 6y + 3z + d = 0 
O valor de d é dado pela soma a seguir: 
 
22 
 
 
A equação reduzida fica sendo: 
3x + 6y + 3z – 3 = 0 
Simplificando por 3: 
x + 2y + z – 1 = 0 
2.3 Construção por uma reta e um ponto externo 
Um plano também pode ser determinado por uma reta r e um ponto externo 
P que não pertença à reta r (SANTOS; FERREIRA, 2009). Para tanto, precisamos 
inicialmente montar um vetor QP, em que Q é o ponto que pertence à reta r, e o 
vetor diretor v da mesma reta. Com esses dois vetores, realizamos um produto 
vetorial v × QP que gerará o vetor normal ao plano π, como visto na Figura 3. 
Utilizando o ponto Q ou P, terminamos de construir a equação como foi no 
procedimento de três pontos visto anteriormente. 
 
Exemplo 4 — Dada a reta r e o ponto P (2,2,–1) que não pertence a r, 
obtenha a equação reduzida do plano π que tenha essa reta e esse ponto. 
 
 
23 
 
Solução: 
Inicialmente extraímos o ponto Q da r: 
 
O vetor QP será então: 
 
Em seguida, calculamos o vetor normal ao plano, dado pelo produto vetorial 
entre v e QP: 
 
Com o vetor normal n e o ponto P (2,2,–1), montamos a equação reduzida 
do plano: 
4x + 5y + 7z + d = 0 
O valor de d é dado pela soma a seguir: 
 
A equação reduzida fica sendo: 
4x + 5y + 7z – 11 = 0 
Construção por duas retas paralelas 
Com duas retas paralelas, ou seja, r // s, podemos construir um plano π no 
espaço em que elas estão. Para isso, é necessário construir um vetor QP, em que 
o ponto Q é um ponto na reta s e P na reta r, como visto na Figura 4. Com o vetor 
QP e qualquer um dos vetores diretores v ou w (visto que eles são paralelos), 
 
24 
 
obtemos o vetor normal n pelo produto vetorial. Em seguida, construímos a equação 
do plano com o vetor e um dos pontos conhecidos (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
 
Exemplo 5 — Dadas as retas r e s paralelas a seguir, qual é a equação 
reduzida do plano π em que elas se encontram? 
 
Solução: 
Das retas r e s obtemos os pontos P e Q, respectivamente: 
 
25 
 
 
Perceba que na reta r houve a necessidade de transformar para equação 
paramétrica a fim de melhor visualização do ponto Q. O vetor QP será então: 
 
Em seguida, calculamos o vetor normal ao plano, o qual é dado pelo produto 
vetorial entre v e QP: 
 
Com o vetor normal n e o ponto P (0,1,–2), montamos a equação reduzida 
do plano: 
9x – 3y + 2z + d = 0 
O valor de d é dado pela soma a seguir: 
 
 
26 
 
A equação reduzida fica: 
9x – 3y + 2z + 7 = 0 
Construção por duas retas concorrentes 
Quando as retas são concorrentes, podemos utilizar os próprios vetores 
diretores u e v para obter o vetor normal n (SANTOS; FERREIRA, 2009). Para isso, 
realizamos o produto vetorial com u e v. Para montar a equação do plano π, usamos 
mais alguns dos pontos que estão nas retas. Veja no exemplo a seguir uma 
demonstração. 
Exemplo 6 — Qual é o plano π que possui as retas concorrentes r e s a 
seguir? 
 
Solução: 
Os vetores diretores u e v de r em s são, respectivamente: 
 
O vetor normal ao plano dado pelo produto vetorial entre u e v: 
 
Com o vetor normal n e o ponto P (–1,4,–8) da reta r, montamos a equação 
reduzida do plano: 
5x + 2y – z + d = 0 
O valor de d é dado pela soma a seguir: 
 
27 
 
 
A equação reduzida fica: 
5x + 2y – z – 11 = 0 
 
2.4 Paralelismo dos planos ao sistema de referência XYZ 
Paralelismo aos eixos coordenados Ox, Oy e Oz 
Quando a equação reduzida de um plano possui alguma de suas constantes 
(a,b,c) que acompanham as variáveis x, y e z, iguais a zero isoladamente, podemos 
deparar com situações em que o plano esteja posicionado paralelamente aos eixos 
coordenados (WINTERLE, 2014). 
Quando a, que é a primeira posição do vetor normal, for igual a zero, 
encontramos um caso do plano localizado paralelamente ao eixo Ox, como se vê 
na Figura 5. Quando a constante d iguala a zero também há, então, a coincidência 
do plano com o eixo. 
 
 
28 
 
Quando b, a segunda posição do vetor normal, for igual a zero, encontramos 
um caso do plano localizado paralelamente ao eixo Oy, como mostra a Figura 6. 
 
Quando c, a terceira posição do vetor normal, for igual a zero, encontramos 
um caso do plano localizado paralelamente ao eixo Oz, como se vê na Figura 7. 
 
 
29 
 
Exemplo 7 — Determine se os planos a seguir são paralelos aos eixos 
coordenados. 
 
Solução: 
 
Paralelismo aos planos XY, XZ e YZ 
Quando duas constantes do vetor normal são iguais a zero, podemos 
identificar paralelismo do plano em relação aos planos de referência XY, XZ e YZ. 
Se a e b forem iguais a zero, temos o paralelismo com plano de referência XY 
(WINTERLE, 2014), apresentado na Figura 8. 
 
30 
 
 
Se a e c forem iguais a zero, temos o paralelismo com plano de referência 
XZ (WINTERLE, 2014). A Figura 9 apresenta tal paralelismo. 
 
31 
 
 
Se b e c forem iguais a zero, temos o paralelismo com plano de referência 
YZ (WINTERLE, 2014), como mostra a Figura 10. 
 
32 
 
 
Exemplo 8 — Determine se os planos a seguir são paralelos aos planos 
coordenados. 
 
Solução: 
 
33 
 
 
3 GEOMETRIA ESPACIAL E DE POSIÇÃO 
Iniciaremos os estudos conhecendo os entes primitivos, que são aqueles 
que não têm definição, e são os elementos iniciais para a construção da geometria 
(OLIVEIRA, 2016): 
 Ponto — representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto, não tem 
dimensão, nem comprimento, nem largura e nem altura; 
 Reta — representada por letras minúsculas do nosso alfabeto, tem uma 
única dimensão e tem comprimento, mas não tem largura nem altura; 
 Plano — representado por letras minúsculas do alfabeto grego, tem duas 
dimensões, comprimento e largura, mas a altura é zero. 
Confira, na Figura 1, uma representação para os entes primitivos discutidos. 
 
 
34 
 
De acordo com Oliveira (2016), o conjunto de todos os pontos,retas e 
planos é denominado espaço. Algumas propriedades importantes que dispensam 
demonstrações são: 
I. existem infinitos pontos, retas e planos; 
II. o plano é infinito; 
III. três pontos não colineares definem um plano. 
No entanto, algumas propriedades exigem demonstrações para serem 
aceitas. Oliveira (2016, p. 156–157) exemplifica algumas delas: 
 A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°; 
 Em uma reta e também fora dela existem infinitos pontos; 
 Em um plano e também fora dele existem infinitos pontos; 
 Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma única reta que os 
contenha; 
 Dados três pontos não colineares do espaço, existe um único plano que os 
contenha; 
 Se uma reta tem dois de seus pontos distintos pertencentes a um plano, 
então essa reta está contida no plano. 
Quando as posições relativas entre duas retas pertencem a um mesmo 
plano, estas são chamadas de coplanares e, podem ser classificadas em três tipos: 
paralelas, quando não têm ponto em comum; concorrentes, quando têm um único 
ponto em comum; e, coincidentes, quando têm todos os pontos em comum 
(OLIVEIRA, 2016). Observe na Figura 2 as diferenças entre elas. 
 
 
35 
 
Retas que não pertencem a um mesmo plano são denominadas reversas. 
Observe as retas r e s na Figura 3 (OLIVEIRA, 2016). É importante destacar que 
retas reversas não necessitam ser ortogonais, ou seja, podem formar ângulo 
diferente de 90°. 
 
 
Oliveira (2016) afirma que um plano pode ser definido por: três pontos não 
colineares, uma reta e um ponto fora desta, duas retas paralelas, ou duas retas 
concorrentes. Observe a Figura 4. 
 
36 
 
 
Quanto à posição relativa entre uma reta e um plano, Oliveira (2016, p. 159) 
explica que ela pode ser: 
 Paralela — quando não há ponto em comum; 
 Concorrente — quando há apenas um ponto em comum; 
 Contida — quando a reta tem todos os seus pontos no plano; 
 Perpendicular — além de ser concorrente ao plano, forma um ângulo de 90° 
com ele. 
Para esse último caso, a reta deve ser ortogonal a duas retas concorrentes 
desse plano no ponto de intersecção, como mostra a Figura 5. 
 
 
37 
 
Quanto às posições relativas entre dois planos, estes planos podem ser: 
paralelos, quando não há intersecção; coincidentes, quando têm todos os pontos 
em comum, o que, na verdade, é o mesmo plano; e concorrentes, quando há uma 
reta em comum (OLIVEIRA, 2016). Observe a Figura 6. 
 
Há algumas condições para que os planos sejam definidos de uma forma 
ou de outra. Para que seja paralelo, o plano deve ser paralelo a duas retas 
concorrentes do outro plano. Veja a Figura 7. 
 
38 
 
 
Por outro lado, para que seja perpendicular, um plano deve ser 
perpendicular a duas retas concorrentes do outro. Veja a Figura 8. 
 
No espaço em três dimensões, ou seja, no espaço tridimensional, utilizamos 
o sistema cartesiano ortogonal, em que temos três retas orientadas mutuamente 
perpendiculares, os eixos cartesianos, para representar um ponto no espaço 
tridimensional. Essas retas encontram-se no ponto O de coordenadas (0,0,0), que 
 
39 
 
é a origem do sistema cartesiano, como mostra a Figura 9 (LEITE; CASTANHEIRA, 
2017). 
 
O eixo x é o eixo das abscissas, o eixo y é o eixo das ordenadas e o eixo z 
é o eixo das cotas. Neste sistema, formam-se entre os três planos cartesianos: o 
plano xy, o plano xz e o plano yz. Veja a Figura 10 (LEITE; CASTANHEIRA, 2017). 
 
O ponto P1 está no plano xy, o ponto P2 está no plano xz e o ponto P3 está 
no plano yz. Para representar um ponto P(x, y, z) no espaço tridimensional, traçam-
se três planos paralelos a esses planos cartesianos. Em consequência, obtém-se 
 
40 
 
um paralelepípedo retângulo, como mostra a Figura 11 (LEITE; CASTANHEIRA, 
2017). 
 
Dessa forma, um ponto no espaço tem uma tripla ordenada de números 
reais, que são suas coordenadas cartesianas ortogonais (LEITE; CASTANHEIRA, 
2017). 
 
 
41 
 
 
 
 
A seguir, veja alguns exemplos de aplicação prática da geometria especial 
de posição apresentados por Dante (2008). 
 
42 
 
Exemplo 1: objetos da vida real podem representar a intersecção entre dois 
planos, e o porta-revistas é um deles. 
 
Exemplo 2: note que, na cadeira de praia da Figura 15, o encosto e o 
assento podem ser vistos como partes de planos secantes; e as ripas de madeira, 
como retas paralelas entre si. 
 
 
43 
 
Exemplo 3: o Obelisco aos Heróis de 1932, em São Paulo, representado 
na Figura 16a, dá a ideia de reta perpendicular a um plano. A Torre de Pisa, na 
Itália, representada na Figura 16b, dá a ideia de reta oblíqua a um plano. 
 
Exemplo 4: os notebooks abertos dão a ideia de planos oblíquos, como 
podemos observar na Figura 17. E, quando estão nas posições representadas pela 
Figura 18, dão a ideia de planos perpendiculares. 
 
 
44 
 
 
3.1 Aplicações da geometria 
Apresentaremos nesta seção algumas aplicações práticas dos conceitos de 
figuras geométricas planas, como área e perímetro. Veja a seguir alguns exemplos 
envolvendo geometria plana e aplicações do teorema de Pitágoras. 
Exemplo 1: determine quantos metros quadrados de carpete de madeira 
serão necessários para forrar uma sala quadrada, sabendo que a medida de seu 
lado é 6,45 m. 
Solução: 
 
Portanto, serão necessários 41,60 m² de carpete de madeira. 
 
45 
 
Exemplo 2: você quer fazer uma pipa em forma de losango, de tal forma 
que as varetas meçam 75 cm e 50 cm. Nessas condições, quantos centímetros 
quadrados de papel de seda você irá usar para fazer essa pipa? 
Solução: 
 
Portanto, a área de papel de seda necessária é de 1.875 cm². 
Exemplo 3: um terreno tem a forma de um trapézio de bases 35 m e 24 m, 
com altura igual a 22 m. Calcule a área desse terreno. 
Solução: 
 
 
46 
 
Exemplo 4: um terreno tem formato retangular, de modo que um de seus 
lados mede 30 m, e o outro, 40 m. Será preciso construir uma cerca que passe pela 
diagonal desse terreno. Assim, considerando que cada metro de cerca custará 
R$ 12,00, quanto será gasto, em reais, para a sua construção? 
Solução: como a cerca passa pela diagonal do retângulo, devemos calcular 
o seu comprimento e multiplicar pelo valor de cada metro. Para encontrar a medida 
da diagonal de um retângulo, deve-se observar que esse segmento o divide em dois 
triângulos retângulos, como mostra a Figura 19. 
 
 
 
Dessa forma, sabemos que o terreno terá 50 m de cerca. Como cada metro 
custará R$ 12,00, teremos: 
50 ∙ 12 = 600 
Ou seja, serão gastos R$ 600,00 nessa cerca. 
Exemplo 5: duas estacas de madeira, perpendiculares ao solo e de alturas 
diferentes, estão distantes uma da outra a 1,5 m. Será colocada entre elas outra 
 
47 
 
estaca de 1,7 m de comprimento, que ficará apoiada nos pontos A e B, como mostra 
a Figura 20. Assim, verifique qual é a diferença entre a altura da maior estaca e a 
altura da menor estaca, nessa ordem, em centímetros (cm). 
 
 
Usando o teorema de Pitágoras, teremos: 
 
48 
 
 
Barreto (2013) apresenta um problema clássico da geometria plana, que é 
o da determinação da altura de uma torre ou de um poste medindo-se o tamanho 
da respectiva sombra produzida pela luz solar. Para isso, o autor nos leva a imaginar 
uma torre cuja sombra, em determinada hora do dia, seja de 20 metros. Para 
determinar a altura dessa torre, sem precisar medi-la diretamente, deve-se 
conhecer a altura de outro objeto e o comprimento de sua sombra naquela mesma 
hora do dia. Supondo que a pessoa que deseja saber o comprimento da torre tenha 
altura de 1,80 m e sua sombra meça 1 m, basta notar a semelhança entre os 
triângulos formados pelas sombras e pelas alturas da torre e da pessoa. Como a 
inclinação (α) dos raios de luz é a mesma para determinar as duas sombras, os 
ângulos das bases dos dois triângulos são respectivamente congruentes. Observe 
a Figura 22. 
 
49 
 
 
Note que setrata de um caso de semelhança de triângulos, cujos lados são 
respectivamente proporcionais. Quando dizemos que a tangente do ângulo α é a 
mesma nos dois triângulos, estamos dizendo que a razão entre os catetos opostos 
e adjacentes é a mesma nos dois triângulos: tg α = H⁄x = h⁄y. Assim, H⁄20,00 = 
1,80⁄1, então H = 36 metros (BARRETO, 2013). Veja a seguir um problema aplicado 
de Barreto (2013). 
 
50 
 
 
3.2 Poliedros e corpos redondos 
Se prestarmos atenção, o mundo como conhecemos é tridimensional. 
Quando andamos nas ruas vemos prédios (prismas), lixeiras (cilindros), bolas 
(esferas), contêineres (paralelepípedos) e outras formas geométricas (OLIVEIRA, 
2016). Veja a seguir alguns exemplos envolvendo sólidos geométricos. 
Exemplo 1: um engenheiro deseja construir uma caixa d’água em um 
prédio. As dimensões internas projetadas são as seguintes. Comprimento: 6 m; 
largura: 5 m; altura: 2,5 m. Calcule o volume dessa caixa d’água em metros cúbicos 
e em litros (L). 
Solução: 
 
51 
 
 
Como a unidade de medida utilizada foi o metro, pode-se dizer que o volume 
da caixa d’água é de 75 m³. 
Agora vamos calcular o volume em litros. Para isso, faremos a 
transformação de metros cúbicos para litro. Lembre-se que 1 litro é igual a 1 dm³. 
Então: 
 
A caixa d’água possui 75 m³, tendo, portanto, a capacidade, expressa em 
litros, de 75.000 L. 
Exemplo 2: calcular o volume de uma lata de um determinado produto, que 
apresenta formato de cilindro circular reto e cujas medidas são: 8 cm de raio e 22 cm 
de altura. Considere π = 3,14. 
Solução: 
 
52 
 
 
Para calcular o volume do cilindro, deve-se calcular, inicialmente, a área da 
base desse cilindro, que é um círculo. 
 
Calculando o volume do cilindro, em centímetros cúbicos: 
 
Como a unidade de medida utilizada foi o centímetro, pode-se dizer que o 
volume da lata é de 4421,12 cm³. 
Exemplo 3: uma lata de refrigerante tem formato cilíndrico, com 6,5 cm de 
diâmetro e 12 cm de altura. Qual é a capacidade máxima de líquido que a lata de 
refrigerante pode armazenar, em mililitros? 
Solução: 
 
Para calcular o volume do cilindro, deve-se calcular, inicialmente, a área da 
base desse cilindro, que é um círculo. 
 
53 
 
 
Vejamos agora exemplos de inscrição e circunscrição de sólidos, tronco de 
pirâmide e tronco de cone, e também um exemplo da física envolvendo óptica 
geométrica. 
Exemplo 1: suponha que 8 bolinhas em forma de esfera tenham sido 
colocadas dentro de um cubo que tem volume igual a 512 cm³. Considere que as 
esferas estão armazenadas no cubo como mostra a Figura 24. Nesse contexto, qual 
é o raio de cada esfera? 
 
Solução: para resolver esta questão, vamos partir do volume do cubo, pois 
assim podemos descobrir a aresta do cubo. 
 
54 
 
 
Observe que temos dois diâmetros (um em cada esfera) que, juntos, 
coincidem com a aresta do cubo. Do mesmo modo, podemos perceber que temos 
4 raios que coincidem com a aresta do cubo, o que significa dizer que quatro raios 
equivalem à aresta do cubo: 
 
Exemplo 2: uma caixa d’água tem o formato de um tronco de pirâmide de 
bases quadradas e paralelas, como mostra a Figura 25, na qual são apresentadas 
as medidas referentes ao interior da caixa. Nessas condições, verifique o volume 
total da caixa d’água. 
 
55 
 
 
 
Para calcular o volume do tronco da pirâmide, precisamos encontrar o lado 
menor, então, utilizaremos a proporção da altura maior com a menor e do lado maior 
com o lado menor: 
 
56 
 
 
Para encontrar o volume do tronco da pirâmide, faremos o volume da 
pirâmide menor, depois o volume da pirâmide maior e diminuímos um pelo outro. 
 
Por fim, fazemos: 
 
 
57 
 
Exemplo 3: um recipiente cônico foi projetado de acordo com o desenho 
da Figura 26, no qual o tronco do cone foi obtido de um cone de altura igual a 18 cm. 
Qual é o volume desse recipiente em cm³? 
 
 
 
58 
 
Exemplo 4: um salão de beleza projeta instalar um espelho que aumenta 
1,5 vezes o tamanho de uma pessoa posicionada em frente a ele. Para o aumento 
ser possível e a imagem se apresentar direita (direta), a pessoa deve se posicionar, 
em relação ao espelho: 
a) antes do centro da curvatura. 
b) no centro da curvatura. 
c) entre o centro de curvatura e o foco. 
d) entre o foco e o vértice do espelho. 
Solução: para aumentar a imagem, o espelho precisa ser côncavo, pois se 
o espelho for convexo a imagem será sempre menor. Ilustrando o espelho, teremos 
a imagem da Figura 27. 
 
Para a imagem ser maior do que o objeto e direita, ela precisa estar entre o 
foco e o vértice do espelho. Para não cometer erro nesse tipo de problema, 
Nussenzveig (2014, p. 28-29) sugere que observemos as seguintes regras: 
1. A luz incide da esquerda para a direita e a luz refletida viaja da direita 
para a esquerda. 
2. As distâncias objeto e imagem são medidas de P para V e Q para V, 
respectivamente, sendo positivas (objeto e/ou imagem reais) quando P e/ou Q estão 
à esquerda de V, e virtuais (negativas) quando à direita. 
3. A distância focal é FV (positiva para F à esquerda de V). 
4. O raio de curvatura é CV (positivo para um espelho côncavo). 
 
59 
 
5. Distâncias verticais são positivas acima do eixo e negativas abaixo. 
No caso do exemplo, raios irão se encontrar atrás do espelho, formando 
uma imagem maior. Para conhecer um pouco mais sobre óptica, você pode 
consultar o livro de Nussenzveig (2014). 
A geometria molecular é a forma com que cada molécula se arranja no 
espaço. As moléculas não são planas, mas elas têm forma e volume. A geometria 
de cada molécula depende do número de ligações que faz o átomo central, que é 
aquele que faz o maior número de ligações em uma molécula. 
A Teoria da Repulsão Eletrônica da Camada de Valência (VSEPR) diz que 
todos os elétrons da camada de valência se repelem entre si, e essa repulsão ocorre 
porque todos eles têm carga negativa, e dois corpos não ocupam o mesmo lugar no 
espaço. Por consequência, cada nuvem eletrônica, que é a região do espaço onde 
está cada par de elétrons, vai estar o mais longe possível uma da outra, em torno 
do átomo central. 
4 POLIEDROS: ÁREA DE SUPERFÍCIE 
Os poliedros são figuras geométricas no espaço, equivalentes aos 
polígonos no plano. Na verdade, eles são constituídos por polígonos. 
4.1 Poliedros e suas propriedades 
Os poliedros são figuras geométricas com características específicas no 
espaço em 3D. Mas antes de descrevê-los, vamos relembrar o que são polígonos. 
Estes são definidos como uma região em um plano, delimitada por segmentos de 
reta contidos no plano e que satisfazem as seguintes condições (AZEVEDO FILHO, 
2015): 
 Cada extremidade de qualquer segmento é a extremidade de exatamente 
dois segmentos; 
 Dois segmentos consecutivos quaisquer nunca são colineares; 
 Dois segmentos não consecutivos quaisquer jamais se interceptam. 
 
60 
 
Os segmentos são os lados, e suas extremidades são os vértices. Os 
polígonos podem ser convexos ou côncavos. Um polígono convexo é aquele que 
tem todos os seus ângulos internos menores que 180º. Se o polígono apresentar 
algum ângulo interno maior que 180º, ele é considerado não convexo ou côncavo 
(Figura 1). 
 
Os poliedros são, então, uma região no espaço delimitada por polígonos 
(Figura 2), e suas propriedades são (AZEVEDO FILHO, 2015): 
 Cada lado de qualquer polígono é lado de exatamente dois polígonos; 
 Dois polígonos consecutivos quaisquer nunca são coplanares; 
 Dois polígonos não consecutivos quaisquer nunca se interceptam. 
Os polígonos são chamados de faces do poliedro, os lados das faces são 
chamados de arestas, e os vértices das faces são os vértices do poliedro. A reunião 
das faces é chamada de superfície ou fronteira do poliedro. 
 
61 
 
 
Os poliedros também podem ser convexos ou côncavos (Figura 3). Em cada 
poliedro, podemos traçar segmentos de retas entre pontosde diferentes faces. Se 
todos os pontos desses segmentos estiverem contidos no polígono, ele é convexo; 
do contrário, ele é côncavo. 
 
Relação de Euler 
Os poliedros convexos podem ter muitas formas, com diferentes números 
de vértices (V), arestas (A) e faces (F) (Figura 4). Suas características estão 
descritas no Quadro 1, a seguir. 
 
62 
 
 
 
 
 
63 
 
Como para os casos dos polígonos, a alguns poliedros são atribuídos 
nomes devido ao número de faces. Veja os exemplos a seguir. 
 
Os poliedros convexos obedecem a uma relação entre seu número de 
vértices, arestas e faces (AZEVEDO FILHO, 2015). Essa relação é estabelecida por 
um dos teoremas mais importantes da geometria euclidiana espacial, conhecido 
como relação de Euler. O teorema diz que: se V, A e F são, respectivamente, o 
número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo, então: 
V – A + F = 2 
4.2 Poliedros regulares 
Os poliedros podem ser regulares, ou seja, para serem regulares, eles 
precisam obedecer às seguintes regras: 
 Ser convexo; 
 Ter todas as faces formadas por polígonos regulares e congruentes entre 
si; 
 Ter os vértices formando ângulos congruentes. 
Existem apenas cinco poliedros regulares, mostrados na Figura 5. 
 
64 
 
 
4.3 Áreas de poliedros 
Os poliedros, como visto na seção anterior, apresentam faces formadas por 
polígonos. Assim, para se encontrar a área de um poliedro, basta encontrar as áreas 
dos polígonos das faces e somá-las. Por exemplo, se tivermos um cubo com arestas 
medindo 10 cm, qual seria a sua área? O cubo é um poliedro regular com seis faces 
iguais. A área de uma das faces é Af = 10 ∙ 10 = 100 cm². Assim, a área total será 
A = 6 ∙ 100 = 600 cm². 
 
65 
 
 
 
66 
 
 
Agora, vamos ver como calcular a área de polígonos não regulares. Por 
exemplo, observe o prisma da Figura 6, chamado de prisma reto — pois suas 
arestas laterais são perpendiculares aos planos que definem os polígonos das faces 
superior e inferior. Nesse caso, as faces superior e inferior formam um triângulo, e 
as faces laterais, um retângulo. A área total é dada pela soma das áreas de todas 
 
67 
 
as faces, ou seja, das áreas triangulares superior e inferior, mais as áreas dos três 
paralelogramos laterais. 
 
4.4 Problemas de aplicação 
Suponha o paralelepípedo mostrado na Figura 7, a seguir: qual seria sua 
área? 
 
Esse paralelepípedo tem seis faces, cujas faces inferior e superior são 
iguais, e as laterais opostas também. Vamos calcular cada uma delas. 
 
68 
 
 
Assim, a área total é dada por: 
 
Observe, agora, o paralelepípedo inclinado, ou oblíquo, mostrado na Figura 
8. As faces da frente e das costas são inclinadas, e o ângulo é dado por x. Para 
encontrarmos sua área, primeiramente, precisamos encontrar a altura h. Assim: 
 
Ou seja: 
 
As áreas das faces da frente e das costas são: A1 = a h = a c sen(x). A área 
total, então, é: 
 
 
69 
 
5 POLIEDROS: VOLUMES 
Volume pode ser pensado como a quantidade de espaço ocupado por 
qualquer coisa ou objeto mensurável. 
5.1 Volume 
Intuitivamente, o volume representa a quantidade de espaço ocupado por 
um objeto em questão, sendo necessário compará-lo com alguma unidade 
existente. Podemos considerar como unidade de volume um cubo de arestas igual 
a uma unidade de comprimento, chamado de cubo unitário. Assim, se o cubo tiver 
arestas de 1 cm, seu volume, por definição, é 1cm3. Portanto, para calcularmos o 
volume de algum objeto, precisamos saber quantos cubos unitários cabem no 
espaço do objeto. A soma dos volumes dos cubos unitários é o volume total do 
objeto. 
Veja o seguinte exemplo da Figura 1, a seguir. Suponha um cubo unitário 
de 1 cm3. A barra é formada por 10 cubos unitários, sendo, assim, seu volume de 
10 × 1 cm3 = 10 cm3. A placa é formada por 10 barras, ou 10 × 10 = 100 cubos 
unitários, cujo volume é 100 cm3. Já o cubo é formado por 10 placas, ou seja, 1000 
cubos unitários, com volume de 1000 cm3. 
 
 
70 
 
Volume de um paralelepípedo retangular 
Um paralelepípedo possui seis faces, entre as quais duas a duas são 
opostas iguais e paralelas. Paralelepípedos podem ser retos ou oblíquos, 
dependendo de duas faces laterais serem perpendiculares à base, ou não. A Figura 
2, a seguir, mostra um exemplo de um paralelepípedo reto retângulo, com todas 
suas faces em forma de retângulos. 
 
As dimensões do paralelepípedo retângulo são: comprimento a, largura b e 
altura c. Se a = b = c, nós temos um caso particular, cujo paralelepípedo é um cubo. 
Veremos, então, dois teoremas sobre volumes. 
Teorema 1 
 
71 
 
 
 
Agora, se tivermos um cubo cuja aresta seja p/q, podemos decompor cada 
uma em partes iguais, com comprimento 1/q. Assim, o cubo ficará dividido em p3 
cubos justapostos com arestas 1/q, com volume de: 
 
 
 
72 
 
 
 
Teorema 2 
 
O volume de um paralelepípedo reto retângulo, de dimensões a, b, c ∈ R+*, 
é dado pelo produto das dimensões, ou seja, V = a ∙ b ∙ c. 
5.2 Cálculo do volume de um poliedro: princípio de Cavalieri 
Nesta seção, veremos como calcular o volume de outros poliedros, por meio 
do princípio de Cavalieri, o qual pode ser resumido em dois pontos (LULA, 2013), 
conforme a seguir. 
 Se duas porções planas são tais que toda reta secante a elas e paralela a 
uma reta dada determina nas duas porções segmentos de reta cuja razão 
é constante, então a razão entre as áreas dessas porções é a mesma 
constante. 
 Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano 
dado determina nos sólidos seções cuja razão é constante, então a razão 
entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. 
Assim, segundo o princípio de Cavalieri, se tivermos dois sólidos quaisquer 
com mesma altura, e os seccionarmos em uma mesma altura qualquer, tendo as 
seções sempre a mesma área, podemos concluir que os volumes desses dois 
sólidos são iguais (Figura 3). 
 
73 
 
 
Volume de um prisma 
 
A Figura 4, a seguir, mostra alguns exemplos de prismas, cujas laterais são 
formadas por paralelogramos, e sua nomenclatura é baseada na forma das bases. 
O prisma é classificado como reto quando suas arestas laterais são perpendiculares 
à base, e oblíquo, no contrário. 
 
O volume do prisma é dado pelo próximo teorema. 
 
 
74 
 
Teorema 3 
 
 
 
 
 
Volume de uma pirâmide 
 
 
75 
 
Vamos iniciar definindo uma pirâmide. Seja P um polígono contido em um 
plano α, e V um ponto fora desse plano. Uma pirâmide é a união dos segmentos 
com extremidades do ponto V e nos vértices de P (Figura 6). 
 
Podemos, então, dizer que os elementos principais de uma pirâmide são 
(REIS, 2014): 
 Vértice — é o ponto V fora do plano α; 
 Base — é a região poligonal contida em α; 
 Altura — a altura h é a distância entre o vértice V e o plano α; 
 Arestas da base — são os lados do polígono da base; 
 Arestas laterais — são os segmentos com extremidade no ponto V e nos 
vértices da base; 
 Faces laterais — são os triângulos cujos lados são duas arestas laterais 
consecutivas e a aresta da base correspondente (na Figura 6, existem as 
faces VAB, VBC, VCD, VDE e VEA). 
Uma pirâmide oblíqua é aquela cuja projeção do vértice V no plano da base 
não coincide com o centro do polígono, conforme mostrado na Figura 7. 
 
76 
 
 
Já uma pirâmide reta regular é aquela cuja base é um polígono regular, e a 
projeção do vértice V no plano é o centro do polígono, conforme a Figura 8. 
 
As características da pirâmide regular são as seguintes: 
 
77 
 
 
 
5.3 Problemas envolvendo volumes 
Problema 1 
Dada a pirâmide regular com base quadrada, mostrada na Figura 9: qual é 
o seu volume? 
 
 
78 
 
 
 
Problema 2 
Dado o poliedro representado na Figura 10, com suas dimensões: qual é o 
seu volume? 
 
Para calcularmos o volume do poliedro, podemos dividi-lo em poliedros 
menores. Assim, calculamos o volumede cada poliedro menor e somamos para 
encontrar o volume total. 
Subdividindo como indicado no esquema da Figura 11, vamos calcular o 
volume de cada parte. Note que a divisão mostrada é apenas uma sugestão. O 
poliedro poderia ser dividido de diversas maneiras possíveis. 
 
79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80 
 
6 OS SOFTWARES EDUCACIONAIS: CRITÉRIOS DE ANÁLISE E SELEÇÃO 
Os softwares educacionais são recursos e ferramentas pedagógicas, frutos 
do desenvolvimento das tecnologias de comunicação e informação. No cenário 
digital, há uma gama de programas educativos que otimizam o trabalho nas escolas, 
dando suporte ao processo de ensino e aprendizagem. De acordo com Teixeira e 
Brandão (2003, p. 2), um software educacional “[...] é todo aquele software que 
possa ser usado com algum objetivo educacional, pedagogicamente defensável, 
por professores e alunos, qualquer que seja o objetivo para o qual ele foi criado [...]”. 
Oliveira (2001, p. 73) complementa dizendo que o software é um “[...] produto [...] 
adequadamente utilizado pela escola, mesmo que não tenha sido produzido com a 
finalidade de uso no sistema escolar [...]”. Ou seja, do ponto de vista desses autores, 
mesmo que o software não tenha sido criado especificamente para fins 
pedagógicos, ele pode se tornar um software educacional — isso vai depender da 
forma como ele será utilizado no contexto educacional, com quais objetivos, etc. 
Esses softwares foram inseridos nas escolas brasileiras a partir de 1970, 
com as universidades públicas, conforme discorre Penha (2014). Valente (1999) 
observa que o uso do computador na educação se desenvolveu aqui por meio de 
eventos relacionados à informática realizados nas universidades, com convidados 
estrangeiros. A utilização do computador na educação se associava ao uso de 
programas de informática voltados para o ensino de conteúdo específicos das 
disciplinas na área de exatas, como química, matemática e física. 
O ambiente digital expandiu as possibilidades do trabalho com essas 
tecnologias a serviço da educação. No entanto, todo software deve passar por 
análise prévia do professor e da instituição escolar. É importante avaliar as 
características de cada software, assim como sua aplicabilidade dentro do projeto 
político-pedagógico da escola e do planejamento do docente. (CERIGATTO, 2018) 
 
 
81 
 
 
6.1 Tipos de softwares educacionais 
Há vários autores que classificam os softwares conforme sua função e suas 
características específicas. A seguir, você pode ver os sete tipos de softwares 
educativos classificados por Valente (1999) e Oliveira (2001). 
 Tutorial: é um tipo de software que se caracteriza fundamentalmente por 
atividades pedagógicas organizadas de forma sequenciada. O usuário pode 
seguir as sequências das informações apresentadas, ou pode mudar de 
tópicos assim que desejar por comandos dados pelo tutorial (VALENTE, 
1999). Nesse tipo de software, o aluno realiza as atividades, mas não é 
possível ter “[...] pista sobre o processamento dessa informação e se está 
entendendo o que está fazendo. Ele pode até estar processando a 
informação fornecida, mas não temos meios para nos certificar se isso está 
acontecendo [...]” (VALENTE, 1999, p. 90). 
 Softwares de exercício e prática ou exercitação: são programas 
educativos que apresentam exercícios para a revisão de conteúdos e 
reforço de conhecimento. Eles têm como principais características a 
memorização e a repetição, de acordo com Oliveira (2001). Não há a 
preocupação com relação à compreensão do aluno a respeito do conteúdo 
exposto. Ao final dos exercícios, é feito um “relatório” de desempenho do 
usuário. Com esse tipo de software, o professor pode ter à sua disposição 
dados importantes referentes a esse desempenho. 
 
82 
 
 Softwares de investigações: nessa categoria, se incluem os softwares 
capazes de localizar informações complementares, como programas 
referentes a enciclopédias e dicionários. 
 Programação: relaciona-se a softwares que permitem que os usuários, 
professores ou alunos, criem seus próprios protótipos de programas. Para 
Valente (1999), ao programar, o aluno realiza diversas ações importantes 
para a aquisição de novos conhecimentos: “[...] a realização de um 
programa exige que o aprendiz processe informação, transforme-a em 
conhecimento que, de certa maneira, é explicitado no programa [...]” 
(VALENTE, 1999, p. 90). 
 Processador de texto ou aplicativos: são programas que não foram 
criados necessariamente com fins educacionais, mas que podem ser 
utilizados com essa finalidade. Referem-se a processadores de texto, 
planilhas eletrônicas, editores de apresentação multimídia. São voltados 
para a realização de tarefas específicas, que permitem a criação e a 
reflexão a respeito do que foi elaborado. 
 Simulação e modelagem: são programas que criam situações que se 
assemelham à realidade, permitindo também a realização de experiências 
e a simulação de fenômenos. Valente (1999) chama a atenção para a 
construção de conhecimento e o engajamento que esses programas 
exigem. Na simulação, o educando pode testar hipóteses, tomar decisões, 
analisar, sintetizar e aplicar conhecimentos, ou seja, precisa assumir uma 
postura ativa. Na modelagem, o aluno vai simular acontecimentos e 
fenômenos por meio dos programas. Por mais que pareçam ser 
semelhantes, Bornatto (2002, p. 68) faz uma distinção entre softwares de 
simulação e modelagem: 
Ao usuário da simulação, cabe a alteração de certos parâmetros e a 
observação do comportamento do fenômeno, de acordo com os valores 
atribuídos. Na modelagem, o modelo do fenômeno é criado pelo aprendiz, 
que utiliza recursos de um sistema computacional para implementá-lo. 
Uma vez implementado, o aprendiz pode utilizá-lo como se fosse uma 
simulação. 
 
83 
 
 Jogos: os softwares de jogos educativos podem ter características dos 
tutoriais ou de softwares de “simulação aberta”. Isso depende da interação 
do aprendiz com o computador. De modo geral, o jogo, na educação, 
contribui para a construção de conhecimento não somente no ato de jogar, 
em que ocorre a tomada de decisões e atitudes para a resolução de 
problemas, mas após o ato de jogar. Nesse sentido, o professor dá 
oportunidades para que o aluno discuta os procedimentos e a solução no 
decorrer dos jogos, recriando situações e apresentando conflitos e desafios. 
O objetivo do docente é propiciar condições para o aluno compreender o 
que está fazendo (VALENTE, 1999). 
Você ainda deve considerar a contribuição de Tavares (2017), que dividiu 
os softwares de acordo com a ênfase no processo de ensino e aprendizagem. 
Conforme pesquisa realizada pela autora, foi possível elencar três modalidades, 
conforme o nível de aprendizagem, a aprendizagem do sujeito e os paradigmas 
educacionais de um software. Veja no Quadro 1, a seguir. 
 
 
 
Como você viu no Quadro 1, os programas podem atender a determinadas 
características. Os softwares do tipo tutorial se enquadram no nível de 
aprendizagem do tipo sequencial, por exemplo, pois visam a transmitir informações 
 
84 
 
aos alunos. Já em relação à aprendizagem do sujeito, esse tipo de software é 
heurístico, pois dá ênfase à transmissão de conteúdo. Tem ainda uma abordagem 
comportamentalista. Já os softwares de programação, por exemplo, podem ser 
considerados criativos, do tipo algoritmo e dentro de um paradigma educacional 
construtivista. (CERIGATTO, 2018) 
6.2 Critérios de análise 
Após explorar as classificações de softwares educacionais, você vai ver 
agora os critérios de avaliação desses programas para o seu uso no contexto 
educacional. Existem diversas metodologias para avaliar softwares educacionais. 
Aqui, você vai conhecer melhor o modelo TUP (Technology, Usability and Pedagogy 
— tecnologia, usabilidade e pedagogia), de autoria de Bednarik (2004). No Quadro 
2, a seguir, você pode ver três vertentes do modelo,a partir do levantamento de 
Tavares (2017). 
 
 
85 
 
 
 
 
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6.3 Os softwares educacionais de acesso livre e seu uso no contexto escolar 
Com base na classificação de softwares feita no tópico anterior, você vai 
conhecer alguns softwares de acesso livre e seu potencial para o contexto escolar, 
conforme o exame de Tavares (2017). 
 Tabela periódica virtual: um exemplo de software de acesso livre dentro 
da classificação tutorial é a tabela periódica virtual, que apresenta na 
linguagem de tutorial todos os elementos da tabela periódica de química, 
além de exibir dados e classificar os elementos químicos. Ela pode auxiliar 
nos estudos de química a qualquer hora e lugar, já que o programa pode 
ser acessado por meio de smartphones. É uma boa forma de o aluno 
estudar e recordar os elementos químicos e seus elementos. Veja a Figura 
1. 
 
 
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 Math Master (Mestre da Matemática): é um jogo típico de exercício e 
prática de exercitação. É de acesso gratuito, pode ser acessado no 
smartphone e propõe ao usuário testes desafiadores de adição, subtração, 
multiplicação e divisão. O jogo exercita o fazer contas mentalmente, o 
raciocínio lógico e rápido e a memória. Pode ser usado por várias faixas 
etárias, tanto na educação infantil quanto com adultos. Veja na Figura 2 
(CERIGATTO, 2018). 
 
 
 Construct: um exemplo de software classificado como programação é o 
Construct, um programa direcionado para usuários não programadores. Por 
meio dele, é possível criar jogos básicos de forma rápida. Há a versão 
gratuita e também a paga, que é profissional e garante mais recursos. O 
ambiente intuitivo permite ao usuário selecionar, redimensionar e arrastar 
objetos, adicionar animações, comportamentos aos personagens do jogo, 
criar o ambiente visual, etc. É uma boa forma de envolver os alunos em um 
 
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trabalho criativo, pois exige postura ativa e ações importantes para a 
aquisição de novos conhecimentos. Veja na Figura 3. 
 
 
 
 Laboratórios virtuais: um exemplo de software gratuito de simulação é o 
IrYdium — Virtual Chemistry Lab, que pode ser muito útil ao ensino de 
ciências para simular experimentos, já que nem sempre as escolas têm 
laboratórios para a realização de experiências. O software educacional 
permite que os usuários selecionem centenas de reagentes e os manipulem 
virtualmente, como se estivessem em um laboratório real de química 
executando experiências diversas. Veja na Figura 4 (CERIGATTO, 2018). 
 
 
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 Jogos lúdicos: você vai conhecer um jogo educativo lúdico que tem como 
objetivo ensinar regras de trânsito. Vrum usa um ambiente lúdico para 
possibilitar ao aluno aprender de forma prazerosa e dinâmica, com desafios 
que despertam o interesse e motivam o processo de ensino e 
aprendizagem. Seu conteúdo é baseado nas Diretrizes Nacionais da 
Educação para o Trânsito do DENATRAN (Departamento Nacional de 
Trânsito), especificamente para os alunos do 6º ao 9º ano do ensino 
fundamental. Oferece sua versão gratuita com recursos limitados. Veja na 
Figura 5, a seguir. (CERIGATTO, 2018) 
 
 
 
90 
 
6.4 Projetos pedagógicos com os softwares educacionais 
Após ver exemplos de vários tipos de softwares e suas principais funções 
no contexto educacional, você vai conhecer um projeto pedagógico com o uso de 
um jogo educativo em sala de aula. O jogo é chamado A Fazenda e tem como 
objetivo trazer à tona questões de preservação do meio ambiente, uso de 
agrotóxicos, etc. O jogo, baseado no trabalho de Silva e Passerino (2007), é um 
software para a educação ambiental. Foi desenvolvido em Flash 8, tem uma 
interface agradável e leve e é um simulador de uma fazenda. O usuário deve 
gerenciá-la a fim de torná-la produtiva. 
O personagem principal do jogo é o fazendeiro, que precisa desenvolver 
sua fazenda, comprando insumos, fazendo plantios de acordo com as estações do 
ano, servindo ração às galinhas de seu galinheiro, etc. Na Figura 6, você pode ver 
a interface do jogo. (CERIGATTO, 2018) 
 
 
 
O simulador A Fazenda, de acordo com Silva e Passerino (2007), é um jogo 
simples e também motivador, que incentiva a descoberta e envolve os estudantes 
em situações-problema. O aluno precisa manter a fazenda “viva”. Para isso, deve 
colocar em prática seus conhecimentos sobre áreas diversas — meio ambiente, 
ecologia, área financeira, de gestão, etc. 
Foram realizados testes com o jogo no Colégio Sinodal Tiradentes e 
também na Escola São Luís, ambas do Rio Grande do Sul, em turmas de 4º ano. 
 
91 
 
Por meio do jogo, pode-se colocar o aluno em contato com a problemática ambiental 
a partir do gerenciamento da fazenda. 
Assim, softwares como esse podem ser trabalhados em projetos 
pedagógicos de forma interdisciplinar, envolvendo várias áreas e disciplinas. Os 
professores podem observar as tomadas de decisões e o desempenho de cada 
estudante no gerenciamento de sua fazenda, levantando questões relacionadas ao 
meio ambiente, à vida dos animais, etc. (CERIGATTO, 2018). 
 
 
 
7 INTRODUÇÃO À GEOMETRIA EUCLIDIANA ESPACIAL 
O conhecimento de geometria que temos hoje deve-se aos trabalhos 
publicados por Euclides, em aproximadamente 200 a.C. Em uma das obras mais 
influentes de todos os tempos, com termos considerados simples, o “Pai da 
Geometria” a definiu como conhecemos até hoje (AZEVEDO FILHO, 2015; 
SANTOS, 2016). 
 
92 
 
7.1 Postulados de Euclides 
A geometria que você conhece hoje é baseada em conhecimentos que vêm 
de 300 a.C.. Euclides, matemático grego que viveu em Alexandria, foi responsável 
por escrever Elementos, um dos mais famosos trabalhos dentro da matemática 
(AZEVEDO FILHO, 2015; SANTOS, 2016). A obra consiste em 13 volumes, dos 
quais os seis primeiros tratam de geometria plana elementar. Euclides apresentou 
o assunto com nove “noções comuns”, cinco postulados e mais de 150 proposições 
(AZEVEDO FILHO, 2015; SANTOS, 2016). 
Segundo o matemático, a geometria pode ser vista como uma ciência 
dedutiva que atua a partir de noções comuns e postulados (ou axiomas) (SANTOS, 
2016). A seguir, estão listados as noções comuns e os postulados contidos no 
primeiro livro da obra, traduzidos diretamente do original (BICUDO, 2009 apud 
SANTOS, 2016). 
Noções comuns: 
1. As coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; 
2. Caso sejam adicionadas coisas iguais a coisas iguais, os todos são 
iguais; 
3. Caso sejam subtraídas iguais de iguais, as restantes são iguais; 
4. Caso sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais; 
5. Os dobros da mesma coisa são iguais entre si; 
6. As metades da mesma coisa são iguais entre si; 
7. As coisas que se ajustam uma à outra são iguais entre si; 
8. O todo é maior do que a parte; 
9. Duas retas não contêm uma área. 
Postulados: 
1. Ficar postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto; 
2. Prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta; 
3. Com todo centro e distância, descrever um círculo; 
4. Serem iguais entre si todos os ângulos retos; 
 
93 
 
5. Caso uma reta, caindo sobre duas outras, faça os ângulos interiores e do 
mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, 
ilimitadamente, encontram-se no lado no qual estão os menores do que dois retos 
(π) (figura 1). 
 
Os postulados de Euclides, embora exibam certa simplicidade, foi o primeiro 
modelo para o espaço físico, além do mais duradouro. A estrutura proposta pelo 
matemático permaneceu intacta por mais de dois mil anos. Apenas com a 
descoberta de geometrias não euclidianas que a comunidade matemática acabou 
revisando a sua obra, reforçando suas demonstrações e seus postulados 
(SANTOS, 2016). 
7.2 Retas no espaço 
As retas são linhas infinitas formadas por pontos, e dois pontos distintos 
determinam uma única reta. Já um plano é um subconjunto do espaço R3, onde dois 
pontos quaisquer podem ser ligados porum segmento de reta contido nesse 
subconjunto. Podemos afirmar que três pontos não colineares entre si determinam 
um único plano que passa por eles. 
Observe essas representações na Figura 2, a seguir. 
 
94 
 
 
Duas retas no espaço R3 podem ser classificadas como: paralelas, 
concorrentes ou reversas. Chamamos de retas coplanares aquelas que pertencem 
a um mesmo plano. A seguir, veja sobre cada uma delas. 
 
95 
 
 
 
Caso a angulação entre as retas concorrentes seja de 90º, elas podem ser 
chamadas de perpendiculares. 
 
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7.3 Exemplos de demonstrações 
Nesta seção, você verá como resolver alguns teoremas que envolvem retas 
no espaço. Primeiramente, definiremos alguns axiomas da geometria espacial. 
 Axioma 1: por dois pontos do espaço, passa uma, e somente uma, reta. 
 Axioma 2: dada uma reta do espaço, existem pontos que pertencem à reta 
e pontos que não pertencem à reta. 
 Axioma 3: por três pontos do espaço não situados na mesma reta, passa 
um, e somente um, plano. 
Teorema 1. Por uma reta r e um ponto P exterior a essa reta, passa um 
único plano. 
Inicialmente, tome em r dois pontos distintos A e B. Note que os pontos A, 
B e P são não colineares. Pelo axioma 3, passará apenas um único plano por esses 
 
98 
 
três pontos. Como a reta r possui dois de seus pontos no plano, ou seja, A e B, logo 
ela está contida nele. Assim, passarão um único plano por uma reta r e um ponto P 
exterior à mesma. 
Teorema 2. Por duas retas concorrentes 
r e s, passa um único plano. 
Suponha duas retas concorrentes r e s, com ponto comum P. Tome os 
pontos A e B em cada reta e distintos. Pelo axioma 3, esses três pontos definem 
um único plano. Como ambas as retas possuem dois de seus pontos no plano, elas 
estão contidas nele. Assim, por duas retas concorrentes r e s, passa um único plano. 
 
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BIBLIOGRAFIA 
AZEVEDO FILHO, M. F. Geometria euclidiana espacial. 3. ed. Fortaleza: 
EdUECE, 2015. Disponível em: 
https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/177804/2/Livro_Matematica_ 
BARRETO, M. Trama matematica: principios e novas praticas no ensino medio. 
Campinas:Papirus, 2013. 224 p. 
 
 
CASTRO, J. V. B. J. Poliedros côncavos e convexos. 2014. Disponível em: 
https://www.infoescola.com/matematica/poliedros-concavos-e-convexos/. Acesso 
em: 27 jun. 2019. 
 
 
CHING, F. D. Desenho para arquitetos. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
DANTE, L. R. Matematica: contexto & aplicacoes: ensino medio. Sao Paulo: Atica, 
2008.3 v. 1320 p. 
 
 
ESPLUGAS, R. Fórmulas de áreas de polígonos. [2010]. Disponível em: 
https://sci-culture.com/br/matematica/geometria/poligonos/poligonos-formulas.html. 
Acesso em: 27 jun. 2019. 
 
 
GEOMETRIA espacial: Tronco de Piramides - Lista 5. [S. l.: s. n.], 2017. 1 video 
(57 min 2 s). Publicado pelo canal Videoaula IFC Campus Sombrio. Disponivel em: 
https://www.youtube.com/watch?v=QM5tGGq1O4U. Acesso em: 25 nov. 2020. 
Geometria%20Euclidiana%20Espacial.pdf. Acesso em: 27 jun. 2019. 
 
 
LULA, K. P. Aplicações do princípio de Cavalieri ao cálculo volumes e áreas. 
2013. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Programa de Mestrado Profissional 
em Matemática em Rede Nacional, Instituto de Matemática e Estatística, 
Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2013. 
 
 
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. 
Porto Alegre: Bookman, 2014. (Série Tekne). 
SANZI, G.; QUADROS, E.S. Desenho de perspectiva. São Paulo: Érica, 2014. 
(Série Eixos). 
 
 
SODRÉ, U. Geometria plana e espacial: elementos de geometria espacial. 2006. 
Disponível em: 
 
102 
 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/geometria/espacial/element.htm. Acesso 
em: 06 jun. 2019.