Exercicios_Revisao

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Exercícios de revisão
Derivação
1. Defina o conceito de derivada de uma função real. Apresente uma interpretação geométrica da
derivada de uma função.
2. Explique o que você entende por diferencial de uma função f (x).
3. Relembre as regras de derivação para: o produto de duas funções; o quociente de duas funções;
da composição de duas funções, da inversa de uma função.
4. Calcule a derivada das seguintes funções em relação à x
f (x) = x4 +3x2−6, f (x) = 2x
2 +3x+1
5x3− x+2
, f (x) =
√
1+ x2, f (x) =
1√
1+ x2
,
f (x) =
√
1+ x
1− x
, f (x) =
√
x+
√
x+
√
x, f (x) = ln
(
1+ sinx
1− sinx
)
, f (x) = tanx,
f (x) = arccosx, f (x) = sinhxcoshx, f (x) = exp
(
cosx2
)
f (x) = xx.
Desafio: Considere as funções fn(x), onde n é um inteiro não negativo, definidas da seguinte forma:
se x 6= 0, então fn(x) = xn sin(1/x); se x = 0, então fn(x) = 0. Responda e justifique:
• A função f0(x) é contínua em x = 0?
• A função f1(x) é contínua em x = 0? A derivada de f1(x) existe em x = 0?
• A função f2(x) é contínua em x = 0? Mostre que a derivada de f2(x) existe em x = 0. A derivada
de f2(x) é contínua em x = 0?
Desafio: Use recursivamente a regra de derivação para o produto de duas funções e estabeleça uma
fórmula para a enésima derivada do produto de duas funções.
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Séries de Taylor
1. Seja f (x) uma função real e infinitamente diferenciável em um intervalo real de raio r > 0,
centrado no ponto x0. Escreva a fórmula para expansão de Taylor de f (x) em torno de x0.
2. No exercício anterior, faça x0 = 0 e obtenha a fórmula para a expansão de Maclaurin de f (x).
3. Explique por que a funcão f (x) =
√
x não pode ser expandida em série de Maclaurin. Essa
função pode ser expandida em série de Taylor centrada no ponto x = 1?
4. Expanda em Série de Taylor as seguintes funções, em torno do ponto indicado.
f (x) = ex, f (x) = sinx, f (x) = cosx, f (x) = sinhx, f (x) = coshx, (em x = 0)
f (x) = ln(x) , f (x) =
√
x, f (x) =
1√
x
, f (x) =ex, f (x) = sin
(
π
2
x
)
, (em x = 1)
Integração
1. Relembre a teoria da integração de Riemann.
2. Enuncie e prove o Teorema Fundamental do Cálculo.
3. A partir da regra de derivação do produto de duas funções, deduza a fórmula de integração por
partes.
4. Calcule as seguintes integrais:∫
xαdx (α 6=−1) ,
∫ 1
x
dx,
∫ 1
1+ x2
dx,
∫ (
a2 + x2
)−1
dx,∫ 1√
1− x2
dx,
∫ 1
a2 + x2
dx,
∫
x2 sinxdx,
∫
lnxdx,
Teorema do Valor Médio
1. Enuncie o Teorema do Valor Médio para derivadas.
2. Enuncie o Teorema do Valor Médio para integrais.
3. Seja f : [a,b]→R contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Mostre que se f (a) = f (b), então
existe um ponto c ∈ (a,b) tal que f ′(c) = 0.
4. Explique por que uma função f (x), real e contínua em um intervalo [a,b], necessariamente tem
um zero em (a,b) se f (a) f (b)< 0.
5. Se uma função f (x) real é contínua no intervalo (a,b) e se tem f (a) f (b)< 0, podemos garantir
que f (x) tem um zero neste intervalo? Justifique.
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6. Reflita sobre em quais situações o Teorema do Valor Médio pode ser útil para você em seu curso.
Sistemas Lineares
1. Considere o seguinte sistema de m equações lineares nas n incógnitas x1,x2, . . . ,xn :
a1,1 x1 +a1,2 x2 + · · ·+a1,n xn = b1,
a2,1 x1 +a2,2 x2 + · · ·+a2,n xn = b2,
...
am,1 x1 +am,2 x2 + · · ·+am,n xn = bm.
Escreva este sistema linear nas formas vetorial e matricial. Escreva a matriz aumentada desse
sistema.
2. Quando a matriz aumentada de um sistema linear está na forma escalonada?
3. Defina o conceito de característica (posto ou rank) de um sistema linear.
4. Um sistema de equações lineares pode ou não ter solução. Quando ele possui solução, esta pode
ser única ou podem existir infinitas diferentes soluções. Quais são as condições que garantem
que um sistema de equações lineares possui solução e quando esta solução será única? Um
sistema linear pode ter exatamente 5 soluções diferentes?
5. Resolva o seguinte sistema linear pelo método de Cramers:
x−2y+ z+5 = 0, −2x+3y−10z = 6, 2y−5x =−7.
6. Resolva o seguinte sistema linear da forma que você souber.
2x+ y+w−3z =−13,
4y+2z− x−w = 1,
3x+ y−2w = 9,
x+ y+ z+w =−2.
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