Topografia 1 e 2

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28/08/2020
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Topografia
Parte 1: Revisão matemática
Acreúna
Agosto - 2020
Importância da topografia para 
as atividades agrícolas
Revisão matemática
Você vai fazer isso porque caso não entenda temas como ângulos,
trigonometria etc.;
Ângulos
Definição: chama-se ângulo a região compreendida entre duas
semi-retas de mesma origem não contidas numa mesma reta.
O ângulo α tem como vértice o
ponto O.
As semirretas r e s são os lados
do ângulo.
Ângulos
Os ângulos são medidos geralmente por (°) graus, (′) minutos e (″)
segundos e variam de 0° a 360°, sendo :
1° equivalente a 60’ 1’ = 
1°
60
(equivalente a 1° divido por 60)
1’ equivalente a 60” 1” = 
1′
60
(equivalente a 1’ divido por 60)
Os ângulos podem ser escritos de duas formas:
• Uma das formas é em graus, minutos e segundos (forma
sexagesimal do ângulo); - 3°15’32”
• A outra é no modo que chamamos de forma decimal do ângulo.
- 3,259°
Ângulos
3°15’32” = 3,259°
Nos dois casos o valor do ângulo é o mesmo
Transformar os ângulos da forma sexagesimal para a forma
decimal.
3° 15’ 32” = 3° 15’ + 
32
60
′
3° 15’+ 0,533’ = 3° 15,533’
0,533’ – ou seja, 32’’ = 0,533’
3° 15’ 32” 
1 º Passo:
2 º Passo:
3° 15,533’ = 3° + 
15,533
60
°
0,2588...º -> arredonda para 0,259º – ou 
seja, 15,533’ = 0,259º
3° + 0,259º = 3,259°
Ou seja, 3°15’32” = 3,259°
1 2
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Transformar os ângulos da forma sexagesimal para a forma
decimal.
306°25’02” = 306°25’ + 
2
60
′
306° 25’+ 0,033’ = 306° 25,033’
0,03333...’ -> arredonda para 0,033’ – ou seja, 
2’’ = 0,033’
306° 25’ 02”
1 º Passo:
2 º Passo:
306° 25,033’ = 306° + 
25,033
60
°
0,4172...º -> arredonda para 0,417º – ou 
seja, 25,033’ = 0,417º
306° + 0,417º = 306,417°
Ou seja, 306°25’02” = 306,2417°
Escreva os ângulos abaixo na forma decimal.
a)31°16’20” = 
b)13°15’12” = 
c)01°15’06” =
d)55°45’37” =
Exercício
Transformar os ângulos da forma decimal para a forma
sexagesimal.
3,259° = 3° + 0,259º = 3º + (0,259 x 60)’ = 3° 15,54’
15,54’ – ou seja, 0,259º = 15,54’
3,259º
1 º Passo:
2 º Passo:
3° 15,54’ = 3° + 15’ + 0,54’ = 3º15’ + 0,54 x 60 "
32,4”– ou seja, 0,54’ = 32,4”
= 3°15’32,4’’
Escreva os ângulos abaixo na forma sexagesimal.
a)31,854°= 
b)15,581°= 
c)01,777º=
Exercício
Classificação de ângulos Classificação de ângulos
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9 10
11 12
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Operações com ângulos
A importância de saber operar com ângulos vem da necessidade de
se realizar uma interação de vários ângulos dentro de uma única
figura geométrica (a planta de uma propriedade, por exemplo).
Pode-se operar com ângulos nas duas formas conhecidas, só que
operando com a forma decimal, terá que se fazer no final da
operação a transformação para a forma sexagesimal.
ATENÇÃO
Na adição de ângulos, somam-se os graus desses ângulos, seguidos da
soma dos minutos e segundos separadamente, fazendo as devidas
conversões sempre que os valores dos graus, minutos e segundos
ultrapassarem 360°, 60’ e 60”, respectivamente.
Adição
Exemplo:
a) 59°09’45” + 39°35’36” =
+
59º 09’ 45’’
39º 35’ 36’’
98°44’81”
Note que 81” é igual a 60” + 21” = 1’ + 21”. 
Então, a soma é igual a 98°45’21”.
81’’44’98º
Na forma decimal:
a) 59,1625° + 39,5933° = 98,7558°
Exemplo:
b) 260°09’55” + 139°35’35” =
+
260º 09’ 55’’
139º 35’ 35’’
399°44’90”
Note que 90” é igual a 60” + 30” = 1’ + 30”, 
e 399° é o mesmo que (360°= 0°) + 39°. 
Então, a soma é igual a 39°45’30”
90’’44’399º
Na forma decimal:
b) 260,1652° + 139,5930° = 399,7583° = 39,7583°
Lembre-se que 360° é igual a 0°, pois corresponde a uma volta completa na
circunferência.
ATENÇÃO
Adição
Exemplo:
c) 00°02’50” + 02°20’00” =
+
00º 02’ 50’’
02º 20’ 00’’
02°22’50”
50’’22’02º
Na forma decimal:
c) 0,04722° + 2,3333° = 2,3805°
Exemplo:
d) 14°59’56” + 01°21’12” =
+
14º 59’ 56’’
01º 21’ 12’’
15°80’68”
68’’80’15º
Note que 68” é igual a 60” + 8” = 1’ + 8”, 
e 80’ é igual a 60’ + 20’ = 1° + 20’. 
Então, a soma é igual a 16°21’08”.
Na forma decimal:
d) 14,9989° + 1,3533° = 16,3522°
Adição
Exercício
Faça a soma dos seguintes ângulos: 
a) 16°20’30” + 12°21’32” = 
b)10°02’50” + 02°20’02” = 
c) 359°02’50” + 02°20’02” =
d)58°42’50” + 02°30’02” =
e) 339°52’50” + 02°20’14” =
f) 330°32’40” + 42°44’36” =
Subtração
Na subtração de ângulos, subtraem-se os graus dos ângulos, seguidos da
subtração dos minutos e segundos separadamente, fazendo as devidas
conversões sempre que os valores dos graus, minutos e segundos
ultrapassarem 360°, 60’ e 60, respectivamente.
Se algum valor der negativo, deverá levar-se em conta que o ângulo, apesar
de estar separado por graus, minutos e segundos, tem um único valor. Você
terá a liberdade de usar este valor como um todo para suprir essa
necessidade, lembrando sempre das devidas conversões.
Exemplo:
9°14’35” - 2°25’33” = 7° -11’02”. 
-
9º 14’ 35’’
2º 25’ 33’’
02’’-11’7º
Note que -11’ é igual a 1° - 49’. 
Isso implica que teremos de tirar este 1 grau dos 7 graus existentes. 
Então, a subtração é igual a 06°49’02”
Se em 1º tem 60’, e se tem-
se -11’, logo realiza-se a
subtração desse grau em
minutos:
60’ – 11 = 49’
13 14
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Exemplo:
a) 59°09’45” - 39°35’36” = 20° -26’09”. 
-
59º 09’ 45’’
39º 35’ 36’’
09’’-26’20º
Note que -26’ é igual a 1° - 34’. 
Isso implica que teremos de tirar este 1 grau dos 20 graus existentes. 
Então, a subtração é igual a 19°34’09”
Se em 1º tem 60’, e se tem-se -26’, logo
realiza-se a subtração desse grau em minutos:
60’ – 26 = 34’
Na forma decimal:
a) 59,1625° - 39,5933° = 19,5691°
b) 280°10’20” - 139°05’15” = 141°05’05”. 
Na forma decimal:
b) 280,1722° - 139,0875° = 141,0847°
Subtração
Exemplo:
c) 09°09’05” - 02°35’36” = 07° -26’ -31”. 
-
09º 09’ 05’’
02º 35’ 36’’
-31’-26’07º
Note que os minutos e segundos são negativos:
Neste caso devemos começar a correção pelos minutos:
-26’ é igual a 1° - 34’. 
Isso implica que teremos de tirar este 1 grau dos 7 graus existentes. 
Então, a primeira correção da subtração é igual a 06°34’ -31”
Com os minutos positivos conseguimos corrigir os segundos.
Note que -31’’ é igual a 1’ – 29’’. 
Isso implica que teremos de tirar este 1 minuto dos 34 minutos existentes. 
Então, a subtração é igual a 06°33’29”
Se em 1º tem 60’, e se tem-se -26’, logo
realiza-se a subtração desse grau em minutos:
60’ – 26 = 34’
Subtração
Se em 1’ tem 60’’, e se tem-se -31’’, logo realiza-
se a subtração desse grau em minutos:
60’’ – 31 = 29’’
Exercício
Faça a subtração dos seguintes ângulos: 
a)16°20’30” - 12°11’52” = 
b)16°48’30” - 12°21’12” = 
c)10°02’50” - 02°20’02” =
d)20°03’15” - 08°37’55” =
Multiplicação e divisão de ângulos
Na multiplicação ou divisão de ângulos por números reais procede-se da
maneira usual, ou seja, da mesma forma que se opera com números reais.
Não se deve esquecer das conversões, quando necessárias.
Exemplo:
a) 59°09’45” x 2 = 118°18’90”. 
x
59º 09’ 45’’
2
90’’18’118º
Note que 90” é igual a 60” + 30” = 1’ + 30”. 
Então, o produto é igual a 118°19’30”.
Na forma decimal:
a)59,1625º x 2 = 118,325º
Multiplicação e divisão de ângulos
Exemplo:
a) 260°30’50” ÷ 2 = 130°15’25”. 
÷
260º 30’ 50’’
2
25’’15’130º
Na forma decimal:
a)260,5139º ÷ 2 = 130,2570º
Exercício
Faça o produto dos seguintes ângulos por números naturais: 
a)16°48’30” x 2 = 
b)10°02’50” x 10 =
c)16°48’30” ÷ 2 = 
d) 20°03’15” ÷ 3 =
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Trigonometria
A trigonometria (pode-se dizer neste contexto) é a parte da Matemática
que oferece um meio de relacionar medidas angulares com medidas
lineares, ou seja, de forma a possibilitar, na Topografia, as
transformações de distâncias inclinadas por ângulos em distâncias
reduzidas ao horizonte, saber ângulos de inclinações de terreno tão
somente sabendo a sua altura e sua distância horizontal.
Lado do triângulo que fica oposto
ao ângulo em questão
Lado que fica nas adjacências do ângulo
Lado sempre oposta ao ângulo reto
Sendo CO = cateto oposto, CA = cateto adjacente e HI = hipotenusa,
temos as seguintes relações:
Utilizeuma calculadora científica que tenha no mínimo funções para calcular
seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tan), bem como suas respectivas
funções inversas: (sen –1 ), (cos –1 ) e (tan –1).
Para calcular o seno de 16°48’30”, você terá que transformar o ângulo na
forma decimal para depois tirar o seno.
Relembrando:
• 16º48’30’’ = 16º48’ + (30/60) → =16º48’+0,5’ = 16º48,5’ →
16º + (48,5/60) → 16º + 0,8083 → 16,8083º
Exemplo: Calcule o seno de 16º48’30’’:
(Sen) 16,8083° = 0,2892
Outros exemplos: 
Para Cos 17°30’00”, você deverá digitar (Cos) 17,5000 = 0,9537 
Para Tan 30°, você deverá digitar (Tan) 30 = 0,57735 
Para Sen 12°10’01”, você deverá digitar (Sen) 12.1669 = 0,2107
Agora faremos o contrário: vamos calcular qual ângulo tem o seno igual
a 0,423.
Você deverá digitar:
(Sen–1) 0,423 = 25,0241º = 25°01’27”
Outros exemplos:
(Cos–1) 0,9537 = 17,5000 = 17°30’11”
(Tan–1) 0,57735 = 29,9999 = 30°00’00”
Exercício
Calcule, com o auxílio de calculadora científica: 
a) Sen de 23°02’50” = 
b) Cos de 23°02’50” = 
c) Tan de 23°02’50” = 
d) Sen de 203°12’15” = 
e) Cos de 203°12’15” = 
f) Tan de 203°12’15” = 
g) Cossec de 203°12’15” = 
h) Sec de 203°12’15” = 
i) Cotg de 203°12’15” = 
Calcule, com o auxílio de uma calculadora científica, o ângulo (â), cujo
valor trigonométrico está descrito a seguir:
Exercício
a) Sen â = 0,245, então â = 
b)Cos â = 0,67, então â = 
c) Tan â = 0,874, então â = 
d)Cos â = 0,4, então â = 
e) Tan â = 48, então â = 
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Unidades de medida
A ideia de medidas nasceu da necessidade de se quantificar distâncias,
porções de terras, áreas de propriedades, entre outras coisas. Com isso
veio também a padronização e a criação de um sistema para que em todo
o mundo falasse e entendesse que quantidades seriam estas.
Tanto faz se eu disser que andei 2 km, 2.000 m, 200.000 cm ou ainda
20 hm.
O sistema métrico decimal utilizado tem como unidade fundamental o m
(metro). Os múltiplos e submúltiplos do metro são os seguintes:
• Quilômetro (km) – equivalência: 1 km = 1000m
• Hectômetro (hm) – equivalência: 1 hm = 100m.
• Decâmetro (dam) – equivalência: 1 dam = 10m.
• Decímetro (dm) – equivalência: 1 dm = 0,1m.
• Centímetro (cm) – equivalência : 1 cm = 0,01m.
• Milímetro (mm) – equivalência: 1 mm = 0,001m.
Unidades de medida de superfície
As unidades de medidas de superfícies são usadas para a indicação de
áreas de figuras planas e poligonais que representam áreas patrimoniais.
As mais usadas são as seguintes:
• Quilômetro quadrado (km)² – equivalência: 1 km² = 1.000.000 m²
• Hectômetro quadrado (hm)² – equivalência: 1 hm² = 10.000 m²
• Decâmetro quadrado (dam)² – equivalência: 1 dam² = 100 m²
• Decímetro quadrado (dm) – equivalência: 1 dm² = 0,01 m²
• Centímetro quadrado (cm) ² – equivalência: 1 cm² = 0,0001 m²
• Milímetro quadrado (mm) ² – equivalência: 1 mm² = 0,000001 m²
Unidades de medida de superfície agrárias 
• Centiare (ca) – equivalência: 1 ca = 1 m².
• Are (a) – equivalência: 1 a = 1 dam² = 100 m².
• Hectare (ha) – equivalência: 1 ha = 1 hm² = 10.000 m²
Tanto faz eu falar que a minha propriedade tem 2 ha de área, como eu
falar que tenho 200 a, 20.000 ca ou ainda 20.000 m².
Exemplo de conversões:
a) 3,32 m em km 
Cálculo: 
Sendo 1 km ⇒1000m e X km ⇒ 3,32m, então:
1 Km
X Km
= 
1000 m
3,32 m
→ 1000X = 3,32 → X = 
3,32
1000
→ X = 0,00332 km
b) 456,13 dm em cm
Cálculo:
Sendo 1 dm ⇒ 10 cm e 456,13 dm ⇒ X cm, então:
1 dm
456,13 dm
= 
10 cm
X cm
→ X = 456,13 x 10 → X = 4561,3 cm
c) 408,13 dam² em ca
Cálculo:
Sendo, 1 dam2 ⇒ 100m2 ⇒ 100ca (pois, 1 ca = 1m²) e 408,13 dam2 ⇒ X ca,
então:
Exemplo de conversões:
1 dam²
408,13 dam²
= 
100 ca
X ca
→ X = 100 x 408,13 → X = 40813 ca
d) 32 ha em m²
Cálculo:
Sendo, 1 ha ⇒ 10000m² e 32ha ⇒ X m² , então:
1 ha
32 m²
= 
10000 m²
X m²
→ X = 32 x 10000 → X = 320000 m²
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Exercício
Converta as seguintes medidas lineares e de superfície:
a) 123,00 m em km =
b) 0,25 km em m =
c) 52,13 cm em m =
d) 34,70 m em mm =
e) 13,00 m² em km² =
f) 185 km² em m² =
Topografia
Parte 2: Conceitualização, equipamentos topográficos e distâncias.
Acreúna
Agosto - 2020
Topografia é a representação exata do terreno numa folha de papel.
Topografia
Todas as distâncias no desenho são distâncias
horizontais, articuladas a partir de técnicas e
cálculos de projeções em um plano.
Um exemplo são as curvas de nível que
representam as formas do relevo local no
plano.
A Topografia é dividida em dois ramos:
A Topologia é definida como a parte da Topografia que se preocupa
com as formas exteriores da superfície da Terra e as leis que regem
o seu modelado.
A Topometria é um ramo da Topografia que tem como objetivo as
medições de elementos característicos de uma determinada área.
Esse ramo divide-se em: Planimetria, Altimetria e Planialtimetria.
A Planimetria é a parte da Topografia que estuda o terreno levando em
consideração somente dimensões e coordenadas planimétricas. Nesse
caso não se tem ideia do relevo do terreno em questão, estudando-se
apenas suas distâncias e ângulos horizontais, localização geográfica e
posição (orientação).
A Altimetria é a parte da Topografia que estuda o terreno levando em
consideração somente dimensões e coordenadas altimétricas. Nesse caso
se tem ideia do relevo do terreno em questão, estudando-se apenas suas
distâncias e ângulos verticais.
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A Planialtimetria é a parte da Topografia que estuda o terreno levando
em consideração as dimensões e coordenadas planimétricas e altimétricas.
Nesse caso se tem ideia do relevo do terreno em questão, estudando-se
suas distâncias horizontais e verticais, ângulos horizontais e verticais,
localização geográfica e posição (orientação).
Os equipamentos de Topografia são indispensáveis para os
levantamentos e locações. Dividem-se em:
• Instrumentos (equipamentos usados nas medições):
→ Estação total, nível de luneta, teodolito, trena, distanciômetro
eletrônico, mira-falante (quando usado como trena) , etc.
• Acessórios (equipamentos que auxiliam na medição).
→ Mira-falante (quando usada para auxiliar o nível de luneta e
teodolito utilizando seus fios), nível de cantoneira, baliza, piquete,
estaca, estaca testemunha, bastão com prisma, tripé, etc.
Equipamentos topográficos Acessórios 
Piquetes, estacas, estacas testemunhas:
Os piquetes são utilizados para materializar os pontos topográficos. Eles
podem ser feitos artesanalmente em madeira de boa qualidade para
penetrar no solo.
As estacas testemunhas, possuem 40 a 50 cm de altura, apresentando como
característica um corte na parte superior. Sua função é auxiliar a
localização dos piquetes.
As estacas (40 a 50 cm de altura), servem para trabalhos de
estaqueamento, que é uma técnica onde se colocam todas as estacas
alinhadas, objetivando-se o levantamento topográfico.
Balizas:
Acessórios 
É um acessório utilizado para facilitar a visualização dos pontos
topográficos, materializados por piquetes, no momento da medição dos
ângulos horizontais.
É utilizada também para auxiliar no alinhamento de uma poligonal, perfil,
seção transversal e na medição da distância horizontal através de trena, e
também, juntamente com a trena, serve para medir ângulos de 90º
Balizas:
Acessórios 
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Miras-falantes:
Acessórios 
As miras falantes, também chamadas de miras estadimétricas ou
estádia, são réguas centimetradas que servem para auxiliar as
medições de distâncias horizontais, através da Taqueometria,
utilizando os fios superior, médio e inferior e distâncias verticais
com o uso do fio médio.
• Sua leitura é realizada em milímetros;
• Cada barrinha centimetrada equivale a 10 mm.
• Deve ser colocada totalmente verticalizada e em
cima do ponto a ser trabalhado.
0 mm
200 mm
450 mm
545 mm
653 mm
Nível de cantoneira:
Acessórios 
É um pequeno acessório com um nível de bolha que pode ser acoplado às
balizas, miras falantes e bastões objetivando a verticalizaçãodesses
acessórios.
São acessórios de madeira ou alumínio que servem para apoiar os
teodolitos, níveis de luneta, estações totais e antenas GNSS´s. Além disso
auxiliam na calagem dos instrumentos.
A última parte consta de uma base nivelante, também chamada de prato,
onde de instala os instrumentos de topografia
Tripés:
Acessórios 
Trenas:
Instrumentos 
No manuseio das trenas devem-se evitar os seguintes erros: 
As trenas são instrumentos muito utilizados para mensurar diferenças
de nível e principalmente distâncias horizontais. Se utilizados de forma
adequada proporcionam boas respostas quanto à exatidão.
• Erro de catenária que é ocasionado pelo peso da trena. 
➢ O erro ocorre pois ao invés de se medir
uma distância no plano (DH), mede-se um
arco.
Trenas:
Instrumentos 
No manuseio das trenas devem-se evitar os seguintes erros: 
• Falta de horizontalidade da trena.
Nesse caso as distâncias ficam maiores do que o valor real. Para minimizar
o erro, utilizam-se balizas para ajudar na horizontalidade da trena.
• A falta de verticalidade da baliza é outro erro que ocorre com
bastante frequência.
Trenas:
Instrumentos 
No manuseio das trenas devem-se evitar os seguintes erros: 
• Outro erro comum é a dilatação do material das trenas
ocasionado por tensões excessivas no material. Para minimizar
isso devem-se escolher trenas de boa qualidade.
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• São instrumentos destinados à medição de ângulos verticais e
horizontais (com auxílio das balizas); e,
• Juntamente com o auxílio das miras falantes, também fazem a medição
de distâncias horizontais (utilizando-se da taqueometria planimétrica) e
verticais (nivelamento taqueométrico e nivelamento trigonométrico),
pois possuem os fios estadimétricos.
Teodolitos:
Instrumentos 
Nível de luneta:
Instrumentos 
• São instrumentos que servem para mensuração de distâncias verticais
entre dois ou mais pontos.
• Também podem ser utilizados para medir distâncias horizontais com
auxílio da mira falante, aplicando-se a Taqueometria planimétrica
É um instrumento eletrônico utilizado na obtenção de ângulos,
distâncias e coordenadas usados para representar graficamente uma
área do terreno, sem a necessidade de anotações;
Estação total:
Instrumentos 
A estação total tem autonomia para se coletar e
executar os dados ainda em campo, utilizando-se
um notebook;
Estação total:
Instrumentos 
Com uma estação total é possível se realizarem levantamentos, locações,
determinar ângulos horizontais e verticais, distâncias verticais e
horizontais, localização e posicionamento da área a ser trabalhada.
Elementos geométricos levantados em campo através de operações 
com a estação total
a) Ângulos horizontais obtidos através do círculo horizontal, com um giro
em torno do seu eixo vertical.
O ângulo horizontal (Hz): é medido entre dois alinhamentos do terreno
levando-se em conta apenas o plano horizontal. Imagine um canto de cerca
de uma propriedade, o ângulo formado entre os dois lances de cercas de
direções diferentes é um exemplo de ângulo horizontal.
O zênite (z) encontra-se no infinito vertical superior, e o nadir no infinito
vertical inferior. Deles partem os ângulos zenitais e nadirais.
55 56
57 58
59 60
28/08/2020
11
b) Ângulos verticais obtidos através do círculo vertical, medido com o giro
em torno do eixo horizontal da estação total.
Ângulo vertical (v): é medido entre a direção inclinada de um ponto
(vértice do ângulo) e um outro (mais alto ou mais baixo do que o primeiro)
em relação à linha do horizonte. Pode ser ascendente (+) ou descendente (-),
conforme se encontre acima (aclive) ou abaixo (declive) da linha do
horizonte.
Distância horizontal (DH): é a distância medida entre dois pontos no plano
horizontal. O ângulo formado no vértice A, pelas retas da distância
horizontal e inclinada é o ângulo vertical (V).
Para calcular a distância horizontal (DH) = (cateto adjacente) a partir
do ângulo vertical (V) = (ângulo â) e da distância inclinada = (hipotenusa),
temos:
DH = DI x cos(V)
Para calcular a distância horizontal a partir do ângulo e da distância
vertical, temos:
DH =
DV
Tan (V)
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
Exemplo 
Usando calculadora, informe qual a distância horizontal quando:
a) A distância vertical for igual a 15,00 m e o ângulo vertical igual a
06°00’36”.
1º Passo: Transformar o ângulo para forma decimal
06°00′36′′ = 06°00′ +
36
60
→ 06°0,6′ = 06° +
0,6
60
→ 06° + 0,01°→ 06,01°
2º Passo: Calcular a DH
𝐷𝐻 =
15
tan(06,01°)
→ 𝐷𝐻 =
15
0,1053
→ DH = 142,450 m 
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
Exemplo 
Usando calculadora, informe qual a distância horizontal quando:
b) A distância vertical for igual a 150,00 m e o ângulo vertical igual a
16°00’00”.
Neste caso não precisa-se transformar para a forma decimal, visto
que os minutos e segundos são nulos
1º Passo: Calcular a DH
𝐷𝐻 =
15
tan(16°)
→ 𝐷𝐻 =
150
0,2868
→ DH = 523,013 m 
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
Exemplo 
Usando calculadora, informe qual a distância horizontal quando:
c) A distância inclinada for igual a 150,00 m e o ângulo vertical igual a
2°10’00”.
2º Passo: Calcular a DH
𝐷𝐻 = 150 𝑥 cos(02,167)→ 𝐷𝐻 = 150 𝑥 0,9993→ DH = 149,895 m 
1º Passo: Transformar o ângulo para forma decimal
02°10′00′′ = 02° +
10
60
→ 02° + 0,167°→ 02,167°
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
61 62
63 64
65 66
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12
Com o auxílio de uma calculadora, determine a distância horizontal
(DH) quando:
a) A distância inclinada for igual a 1325,00 m e o ângulo vertical for igual a 
12°45’02”. 
b)A distância vertical for igual a 5,00 m e o ângulo vertical for igual a 
02°45’12”. 
c) A distância vertical for igual a 0,50 m e o ângulo vertical for igual a 
0°59’12”. 
d)A distância inclinada for igual a 830,00 m e o ângulo vertical for igual a 
9°45’02”.
Exercício
Distância vertical ou diferença de nível: é a distância medida entre dois
pontos num plano vertical, que é perpendicular ao plano horizontal.
Para calcular a distância vertical em relação ao ângulo vertical e a
distância inclinada, temos:
DH = DI x sen (V)
Para calcular a distância vertical a partir do ângulo vertical e da distância 
horizontal, temos:
DV = DH x tan (V)
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
Exemplo 
Usando calculadora, informe qual a distância vertical
quando:
a) A distância horizontal for igual a 1670,00 m e o ângulo vertical igual a
00°10’36”.
1º Passo: Transformar o ângulo para forma decimal
00°10′36′′ = 00°10′ +
36
60
→ 00°10′ + 0,6′ = 00° +
10,6
60
→ 0,1767°
2º Passo: Calcular a DV
𝐷𝑉 = 1670,00 x tan(0,1767º) → 𝐷𝑉 = 1670,00 𝑥 0,003084→ DV = 5,150 m 
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
Exemplo 
Usando calculadora, informe qual a distância vertical
quando:
b) A distância inclinada for igual a 250,00 m e o ângulo vertical igual a
02°10’10”.
1º Passo: Transformar o ângulo para forma decimal
02°10′10′′ = 02°10′ +
10
60
→ 02°10′ + 0,167′ = 02° +
10,167
60
→ 02º + 0,1695º → 2,1695°
2º Passo: Calcular a DV
𝐷𝑉 = 250,00 x sen(2,1695º) → 𝐷𝑉 = 250,00 𝑥 0,03786→ DV = 9,465 m 
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
Com o auxílio de uma calculadora, determine a distância vertical (DV)
quando:
a) A distância horizontal for igual a 852,00 m e o ângulo vertical for igual a
02°16’02”.
b) A distância inclinada for igual a 305,00 m e o ângulo vertical for igual a
01°05’12”.
c) A distância horizontal for igual a 1852,00 m e o ângulo vertical for igual a
00°16’02”.
d) A distância inclinada for igual a 3005,00 m e o ângulo vertical for igual a
02°15’12”.
Exercício
Distância inclinada: é a distância medida entre dois pontos, seguindo a
inclinação da superfície do terreno.
Para calcular a distância inclinada, temos:
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
67 68
69 70
71 72
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Exemplo 
Usando calculadora, informe qual a distância inclinada quando:
a) A distância horizontal for igual a 167,00 m e o ângulo vertical igual a
00°10’36”.
1º Passo:Transformar o ângulo para forma decimal
00°10′36′′ = 00°10′ +
36
60
→ 00°10′ + 0,6′ = 00° +
10,6
60
→ 0,1767°
2º Passo: Calcular a DI
DI=
167
cos(0,1767)
→ 𝐷𝐼 =
167
0,9999
→ DH = 167,017 m 
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
Exemplo 
Usando calculadora, informe qual a distância inclinada quando:
b) A distância vertical for igual a 250,00 m e o ângulo vertical igual a
02°10’10”.
1º Passo: Transformar o ângulo para forma decimal
02°10′10′′ = 02°10′ +
10
60
→ 02°10′ + 0,167′ = 02° +
10,167
60
→ 02º + 0,1695º → 2,1695°
2º Passo: Calcular a DI
DI=
250
sen(2,1695)
→ 𝐷𝐼 =
250
0,03786
→ DH = 6603,28 m 
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
Com o auxílio de uma calculadora, determine a distância inclinada
(DI) quando:
a) A distância horizontal for igual a 425,00 m e o ângulo vertical for igual a
16°45’36”.
b)A distância vertical for igual a 12,00 m e o ângulo vertical for igual a
00°25’06”.
Exercício
Cateto Adjacente
C
at
e
to
 O
po
st
o
73 74
75