Análise Matematica 01

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1º Etapa – Lista 01
1. Marque todas as alternativas corretas:
( X ) Se r é um número racional não nulo e α é um número irracional, então r + α e r . α
também são números irracionais.
( ) Se α e β são números irracionais, então α + β é também um número irracional.
( ) Se α + β é um número racional, então α e β são números racionais.
( X ) Se a . b = a . c, então b = c. Não tenho certeza.
( ) Se x e y são números irracionais, então x y irracional.
( X ) Dado x ϵ ℝ, sempre existe n ϵ ℕ tal que n > x. 
 ( X ) A soma de dois números racionais é também um número racional.
( ) Se r é raiz da equação xn + na -1 xn -1 +... + a1x + a0 = 0, com ϵ ℤ, então r é um número inteiro.
2. Sejam f; g : D → ℝ duas funções limitadas. Mostre que
sup(f + g) ≤ sup(f) + sup(g).
inf ( f + g ) > inf (f) + inf (g)
sup(c f) = c.sup (f) e inf(c f)= c.inf quando c > 0.
Caso c > 0 tem – se sup (c .f) = c . inf ( f ) e inf (c f)= c . sup (f).
Sejam A= f ( x) ,B = g(x) ,C = (f + g) , X ={ f (x) +g (x) ,x € X }.
Evidentemente Cc A + B, logo sup ( f+ g)=Sup c < sup (A + B)= sup A + sup B + sup (g).
Além disso ,sup {c.f(x) ,x € X}= sup ( C A)= C. SUP A, quando c > 0.
3. (a) Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.
(b) Todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
(c) Todo subconjunto de um conjunto não-enumerável é não-enumerável.
 ( X )Verdadeiro ( ) Falso
(d) Todo subconjunto X ℕ que é limitado também é finito. ( X ) Verdadeiro ( ) Falso.
4. (a) Não pode existir uma bijeção f : X → Y entre um conjunto finito X com uma
parte própria Y ϲ X. ( )Verdadeiro ( X ) Falso
(b) Qual dos conjuntos abaixo é enumerável?
( ) ℕ x ℕ ( X ) O conjunto de Cantor ( ) O conjunto dos números irracionais
(c) O Conjunto dos números reais, com as operações de soma e produto usuais, é um
conjunto não vazio.
Além disso, nos reais está definida uma relação de ordem, fazendo com que este
conjunto seja ordenado.
Finalmente, o que difere o conjunto dos racionais e dos reais é o fato dele ser um
subconjunto do conjuntos dos números reais, ou seja, todo subconjunto não vazio
que é limitado superiormente possui supremo.
(d) Para todo número real x ≥ -1 e todo número natural n, temos que vale a desigualdade
(1 + x) n ≥ 1 + nx. Essa famosa desigualdade é conhecida como desigualdade de
Bernoulli.
5. a) De exemplo de uma sequencia (an) tal que na >0 para todo n, lim = 1 e lim.
R: A sequencia (5 n ⁄ 3n n!) é convergente.
 (b) Dê exemplo de uma sequência (b n ) tal que b n > 0 para todo n, limbn = 10
(c) Dê exemplo de uma sequência (c n ) tal que c n > 0 para todo n e lim c n = 0
6. Sejam a; b ϵ ℝ ˖ . Prove que +.
R: Suponhamos que . Vamos analisar ab.
Ab > Se A= ab
 então A < ou .
7. (a) Toda sequência convergente é limitada.
 ( X )Verdadeiro ( ) Falso
(b) Toda sequência limitada é convergente. 
( x ) Verdadeiro ( ) Falso
(c) Toda sequência limitada é monótona.
 ( ) Verdadeiro ( X ) Falso
(d) Se uma sequência monótona (a n ) possui uma subsequência convergente, então (an) é
convergente.
 ( ) Verdadeiro ( X ) Falso 
(e) A soma de duas sequências divergentes é divergente. 
( ) Verdadeiro ( X ) Falso
(f) Toda sequência divergente é não limitada.
 ( ) Verdadeiro ( X ) Falso
(g) Toda sequência alternada é divergente. 
( ) Verdadeiro ( X ) Falso
(h) Se uma sequência (a n)diverge, então(|a n |)também diverge.
 ( ) Verdadeiro ( X )Falso ?