Questões resolvidas
Considere uma função de produção p que depende da quantidade x de um fator variável. Chama-se produtividade marginal do fator à derivada de p em relação a x. Admita agora a função de produção p(x) = 90 . x0,5, em que p é o número de toneladas (quantidade) produzido por mês de um produto e x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora). Utilizando a produtividade marginal, podemos afirmar que se x = 10.000, ou seja, se aumentarmos a quantidade de homens-hora trabalhando de 10.000 para 10.001, teremos:
Qual será o aumento na produção mensal se o número de homens-hora passar de 10.000 para 10.001?
a) Um decréscimo na produção de 0,45 tonelada
b) Um acréscimo na produção de 45 tonelada
c) Um aumento na produção de 0,45 tonelada
d) Um decréscimo na produção de 0,90 tonelada
e) Um aumento na produção de 0,90 tonelada
A taxa de variação instantânea da receita obtida com a venda de x unidades de um produto é dada pela receita marginal R’(x) e fornecida através da função quadrático a seguir: R’(x) = 6x – 1,5x². Sabe-se que, com a venda de 10 unidades, a receita (total) obtida foi de R$ 15.000.
Determine a receita (total) para uma venda de 30 unidades.
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PROBLEMA 01: Considere uma função de produção p que depende da quantidade x de um fator variável. Chama-se produtividade marginal do fator à derivada de p em relação a x. Admita agora a função de produção p(x) = 90 . x0,5 , em que p é o número de toneladas (quantidade) produzido por mês de um produto e x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora). Utilizando a produtividade marginal, podemos afirmar que se x = 10.000, ou seja, se aumentarmos a quantidade de homens-hora trabalhando de 10.000 para 10.001, teremos: a) Um decréscimo na produção de 0,45 tonelada, b) Um acréscimo na produção de 45 tonelada, c) Um aumento na produção de 0,45 tonelada d) Um decréscimo na produção de 0,90 tonelada e) Um aumento na produção de 0,90 tonelada, Resolução: Se p(x) = 90 . x0,5 , então a derivada de p será: p´ = 90 . 0,5 x0,5 - 1 => 45 . x -0,5 = 45 . 1 / x 0,5 para x = 10.000 => p´(10.000) = 45 / 10.000 0,5 p´(10.000) = 45 / 100 = 0,45 => p´(10.000) = 0,45 toneladas → Alternativa (c) Logo, se o número de homens-hora passar de 10.000 para 10.001, o aumento na produção mensal será de aproximadamente 0,45 tonelada. PROBLEMA 02: A taxa de variação instantânea da receita obtida com a venda de x unidades de um produto é dada pela receita marginal R’(x) e fornecida através da função quadrático a seguir: R’(x) = 6x – 1,5x² Sabe-se que, com a venda de 10 unidades, a receita (total) obtida foi de R$ 15.000. Desta forma, determine a receita (total) para uma venda de 30 unidades. Resolução: Foi dada R’(x) = 6x – 1,5x² A receita total será: R(x) = => R(x) = 6 . – 1,5 . + c => R(x) = 3x2 – 0,5x3 + c Cálculo de c => como na venda de 10 unidades a receita (total) foi de R$ 15.000, ou seja, R(10) = 15.000, teremos: R(10) = 3 . 102 – 0,5 . 103 + c => 15.000 = 3 . 100 – 0,5 . 1.000 + c 15.000 = 300 – 500 + c => 15.000 = -200 + c 15.000 + 200 = c => c = 15.200 Logo, a expressão da receita (total) é: R(x) = 3x2 – 0,5x3 + 15.200 Para x = 30 unidades, R(30) = 3 . 302 – 0,5 . 303 + 15.200 R(30) = 3 . 900 – 0,5 . 27.000 + 15.200 R(30) = 2.700 – 13.500 + 15.200 => R(30) = -10.800 + 15.200 => R(30) = R$ 4.400
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