Tração, compressão e cisalhamento - Resistência dos materiais

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Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
prof.douglas.pucgo@gmail.com
Resistência dos materiais I – SLIDES 02
Capítulo 2
Tração, compressão e 
cisalhamento
SLIDES 02 – Capítulo 2 / Tração, compressão e cisalhamento
REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
2.1 Cargas resultantes internas
2
Corpo mantido em 
equilíbrio mediante 
4 forças externas
A distribuição de forças 
internas representa o 
efeito da parte superior
Figuras 1.2
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2.1 Cargas resultantes internas
3
Figuras 1.2
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2.2 Tensões
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Viu-se anteriormente que a força e o momento que agem em
um ponto específico da área seccionada de um corpo
representam os efeitos resultantes da distribuição de forças
que agem sobre a área seccionada.
Em REMA, busca-se obter essa resultante de distribuição de
carga interna e, por isso, deve-se estabelecer o conceito de
tensão.
Considerando que o material é contínuo, isto é, possui
continuidade ou distribuição uniforme de matéria e sem
vazios. O material deve ser coeso, isto é, todas as porções
estão interligadas e sem separações.
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2.2 Tensões
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Figura 1.10
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2.2 Tensões
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Uma força ΔF atuando em
uma área ΔA pode ser
decomposta em suas três
componentes ΔFx, ΔFy e ΔFz,
tangentes e normais à área,
respectivamente.
Quando ΔA tende a zero, ΔF
também tende, mas o
quociente entre força e área
tende a um limite que é
denominado tensão.
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Tensão Normal
A força por unidade de área que age perpendicularmente à
área ΔA, é definida como tensão normal σ (sigma). Como ΔFz
é perpendicular à área:
A
Fz
A
z



 0
lim
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Tensão Normal
As tensões normais podem ser de tração ou de compressão:
F F F F
Tração (+) Compressão (-)
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Tensão de Cisalhamento
A força por unidade de área que age tangencialmente à área
ΔA, é definida como tensão de cisalhamento τ (tau).
Componentes:
A
Fx
A
zx



 0
lim
A
Fy
A
zy



 0
lim
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Estado geral de tensões
Seccionando o corpo em planos paralelos ao plano x-z e ao
plano y-z, pode-se obter um elemento de volume cúbico
(Figuras 1.10 b e c) que representa o estado de tensões no
ponto (Figura 1.12), tendo como referência os eixos x, y e z.
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Figuras 1.10
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2.2 Tensões
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Figura 1.12
Estado geral de tensões
A representação matricial do
estado de tensões no ponto
se dá por meio do tensor de
tensões:
zzyzx
yzyyx
xzxyx



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Unidades do SI para tensões:
2
1Pa1
m
N

2
310kPa1
m
N

2
610MPa1
m
N

2
910GPa1
m
N

2
1MPa1
mm
N

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Tensão normal média
Considerando que uma barra esteja submetida a uma
deformação uniforme e constante, ter-se-á a σ constante. A
soma de cada ΔF aplicados nos respectivos ΔA (Figuras 1.13)
resultará na carga P.
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Figuras 1.13
(a) (b)
(c)
Tensão normal média
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Figura 1.13d
Tensão normal média
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2.2 Tensões
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Tensão normal média
Fazendo ΔA → dA e ΔF → dF e observando que σ é constante,
tem-se:
APdAdF
A
  
A
P

σ = tensão normal média
P = força normal interna resultante
A = área da seção transversal
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2.2 Tensões
 Exemplo 1.6 (1)
 A barra na figura abaixo tem largura constante de
35 mm e espessura de 10 mm. Determine a tensão
normal média quando ela é submetida à carga
mostrada.
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2.2 Tensões
 Exemplo 1.9 (2)
 O elemento “AC” mostrado na figura a seguir está
submetido a uma força vertical de 3 kN. Determine
a posição “x” dessa força de modo que a tensão
de compressão média no apoio liso “C” seja igual à
tensão de tração média na barra “AB”. A área da
seção transversal da barra é 400 mm² e a área em
“C” é 650 mm².
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Exemplo 1.9 (2)
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Exemplo 1.9 (2)
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Tensões cisalhantes - revisão
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Figuras 1.10
Componente da 
tensão que age 
no plano de 
cisalhamento
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Tensão cisalhante média
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Ao se aplicar uma força F (grande) 
a uma barra sobre apoios rígidos, 
ocorrerá a ruptura do material ao 
longo dos planos AB e CD.
Figuras 1.20
O DCL da porção central indica as 
forças de cisalhamento necessárias 
para o equilíbrio.
V = F/2
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Tensão cisalhante média
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A
V
med 
Figuras 1.20
τmed = tensão de cisalhamento média na seção, considerando que 
todos os pontos nesta seção têm este mesmo valor
τmed
V = força de cisalhamento interna resultante na seção determinada 
pelas equações de equilíbrio
A = área da seção transversal
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Cisalhamento Direto
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Esse exemplo representa um caso 
de cisalhamento direto, pois o 
cisalhamento é causado pela 
ação direta da carga aplicada F.
Exemplo → acoplamentos 
simples que utilizam parafusos, 
pinos, material de solda etc.
Cuidado → a aplicação da equação 
é apenas uma aproximação.
A
V
med 
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Cisalhamento Simples ou Direto
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Acoplamentos de cisalhamento simples, também denominado de 
juntas sobrepostas
Figuras 1.21
Considera-se que 
os elementos são 
finos e que a porca 
não está muito 
apertada
Permite desprezar 
o momento devido 
à força F e o atrito 
entre os 
elementos
Os DCL mostram 
que a força no 
parafuso e na 
junção é apenas F
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Cisalhamento Duplo
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Duas superfícies de cisalhamento devem ser consideradas, também 
denominado de juntasde dupla superposição
Figuras 1.22
Considera-se 
que os elemento 
são finos e que 
a porca não está 
muito apertada
Permite desprezar 
o momento devido 
à força F e o atrito 
entre os 
elementos
V = F/2
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2.2 Tensões
 Exemplo 1.10 (3)
 Determinar a σmed e a τmed nas seções a-a e b-b.
 Considerar seção quadrada de 40mm x 40mm.
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2.2 Tensões
 Exemplo 1.11 (4)
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2.2 Tensões
 Exemplo 1.11 (4)
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2.2 Tensões
 Exemplo 1.11 (4)
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2.2 Tensões
 Exemplo 1.11 (4)
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50 mm
75 mm
25 mm
40 mm
3000 N Exemplo 1.12 (5)
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Tensão Admissível
O projeto de um elemento estrutural deve restringir a tensão
atuante a um limite seguro.
É preciso escolher uma tensão admissível que restrinja a
carga aplicada a um valor menor do que a carga que o
elemento pode suportar totalmente.
Isso deve ser feito devido às incertezas do carregamento, do
atendimento às dimensões e às propriedades de resistência
do material seja durante a execução ou ao longo da vida útil.
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Tensão Admissível
Assim, a análise estrutural deve considerar a carga admissível
(Fadm) tendo como referência um Fator de Segurança (FS) para
uma carga de ruptura (Frup):
atuante
rup
adm
rup
F
F
F
F
FS  OU
atuante
rup
adm
rup
FS





O valor de FS depende dos materiais empregados e do tipo de
estrutura considerada, principalmente.
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Projeto de acoplamentos simples
O objetivo é determinar as dimensões da seção transversal de
tal modo que:
FS
rup
admatuante

 
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 Exemplo 1.17 (6)
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 Exemplo 1.17 (6)