4 Carregamento axial_alunos

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Resistência dos Materiais I
Prof. MSc. Priscilla Camargo 1
Conteúdo Programático • Módulo de Elasticidade (E)
• Lei de Hooke
• Coeficiente de Poisson
• Exercícios
• Exercício Proposto
• Correção da prova
• Introdução ao Capítulo 4 (Carregamento Axial) 
• Exercício proposto
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Capítulo	4	– Carregamento	Axial
1. Princípio de Saint-Venant
2. Análise de tensão e deformação para carregamento axial
- Carregamentos axiais estatisticamente determinados
- Carregamentos axiais estatisticamente indeterminados
- Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
3. Lei de Hooke Generalizada
4. Concentração de Tensões
5. Exercícios
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Princípio de Saint-Venant
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Anteriormente, desenvolvemos o conceito de tensão como um meio para medir a
distribuição de força no interior de um corpo.
E deformação como um meio para medir a deformação geométrica de um corpo.
Também mostramos que a relação matemática entre tensão e deformação depende do
tipo de material, em particular, se o material se comporta de maneira linear elástica, a
Lei de Hooke será aplicável e haverá uma relação proporcional entre tensão e
deformação.
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Princípio de Saint-Venant
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Com essa ideia em mente: considere o modo como uma barra retangular se deforma
elasticamente quando submetida a uma força P aplicada ao longo do eixo de seu
centroide.
O princípio Saint-Venant afirma que a tensão e
deformação localizadas nas regiões de aplicação de
carga ou nos apoios tendem a “nivelar-se” a uma
distância suficientemente afastada dessas regiões.
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Análise de Tensão e Deformação para carregamento axial
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Carregamentos axiais estatisticamente determinados - ISOSTÁTICO
Quando uma barra está presa somente
em uma extremidade e é submetida a
uma força axial, a equação de
equilíbrio da força aplicada ao longo
do eixo da barra é suficiente para
determinar a reação no suporte fixo.
É quando temos uma barra sob carga axial fixada em uma única extremidade.
ΣFx = 0
−R( − P* + P, = 0
R( = P, + P*
Este problema é isostático, porque 
apenas as equações de equilíbrio 
disponíveis são suficientes para 
determinar as reações de apoio
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Carregamentos axiais estatisticamente indeterminados – HIPERESTÁTICO
Neste caso o problema é estatisticamente indeterminado,
porque apenas as equações de equilíbrio não são suficientes
para determinar as reações de apoio.
É quando temos uma barra sob carga axial fixada em duas extremidades.
ΣFy = 0
F( + F. − 𝑃 = 0
F( + F. = P					(𝐈)
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Carregamentos axiais estatisticamente indeterminados
Neste caso, em que as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as
reações, deve-se estabelecer uma equação adicional, que leva em conta a maneira como
a estrutura se deforma. Este tipo de equação é chamado de: EQUAÇÃO DE
COMPATIBILIDADE OU CONDIÇÃO CINEMÁTICA.
Uma condição de compatibilidade exige que o 
deslocamento relativo da extremidade de uma 
barra em relação a outra seja igual à zero.
𝜹𝑨 𝑩⁄ = 0
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Carregamentos axiais estatisticamente indeterminados
Exemplo equação de compatibilidade: percebe-se que a força interna no segmento AC é
+FA (tracionando) e que no segmento CB é -FB (comprimindo), a equação de
compatibilidade pode ser escrita como:
𝛿𝐴𝐵 =
𝐹𝐴. 𝐿𝐴𝐶
𝐸𝐴
+
−𝐹𝐵. 𝐿𝐶𝐵	
𝐸𝐴
= 0
𝐹𝐵 =
𝐹𝐴. 𝐿𝐴𝐶
𝐿𝐶𝐵
		(𝐼𝐼)
F( + F. = P				(𝐼)
Isolando, temos a (II) equação:
Relembrando a (I) equação:
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Substituindo a Equação (II) na (I):
𝐹𝐴 +
𝐿𝐴𝐶
𝐿𝐶𝐵
. 𝐹𝐴 = 𝑃
𝐿𝐶𝐵𝐹𝐴 + 𝐿𝐶𝐴. 𝐹𝐴
𝐿𝐶𝐵
= 𝑃
𝐿𝐶𝐵. 𝐹𝐴 + 𝐿𝐴𝐶. 𝐹𝐴 = 𝑃. 𝐿𝐶𝐵
𝐹𝐴(𝐿𝐶𝐵 + 𝐿𝐴𝐶) = 𝑃. 𝐿𝐶𝐵
𝐹𝐵 =
𝐹𝐴. 𝐿𝐴𝐶
𝐿𝐶𝐵
		(𝐼𝐼) F( + F. = P				(𝐼)
Considerando LCB como 
dividendo (mmc):
Colocando em evidência:
Sendo que: LCB + LCA = L
Chega-se em:
𝐹𝐴 =
𝐿𝐶𝐵
𝐿
𝑃
𝐹𝐵 =
𝐿𝐶𝐴
𝐿
𝑃
Resulta que é necessário 
uma segunda equação para 
realizar a compatibilização.
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Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial
Essa equação pode ser expressa em termos das cargas aplicadas por meio de uma relação:
carga-deslocamento, que depende do comportamento do material.
Onde:
𝛿 =
𝑃. 𝐿
𝐴. 𝐸
δ = deslocamento de um ponto na barra;
L = distância original entre os pontos;
P = força axial, algumas vezes representado por N;
A = área da seção transversal da barra;
E = módulo de elasticidade para o material.
Em comportamento linear elástico:
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Convenção de Sinais
• Considera-se força e deslocamento como POSITIVOS se provocarem,
respectivamente tração e alongamento.
• Considera-se força e deslocamento NEGATIVOS se provocarem compressão e
contração respectivamente.
POSITIVO NEGATIVO
FORÇA Quando em TRAÇÃO Quando em COMPRESSÃO
DESLOCAMENTO Quando ALONGANDO Quando COMPRIMINDO
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Exercício de Fixação
2. Dois cabos de aço A-36 são usados para suportar
o motor de 3,25 kN (325 kg). O comprimento original
de AB é 800 mm e o de A’B’ é 800,2 mm. Determine
a força suportada por cada cabo quando o motor é
suspenso por eles. Cada cabo tem área de seção
transversal de 6,25 mm².
𝐹AB = 1,469	𝑘𝑁
𝐹AJBJ = 1,781	𝑘𝑁
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Exercício Proposto
3. A haste de aço A-36 tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de
ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a haste. Determine as reações
em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. Despreze o tamanho do
colar em C. (Eaço = 200 GPa)
𝐹A = 16,6	𝑘𝑁	
𝐹𝐵 = 3,39	𝑘𝑁
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Exercício Proposto
4. O conjunto é composto por um tubo AB de alumínio com área de seção transversal
de 400 mm². Uma barra de aço A-36 com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar
rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kN for aplicada à barra,
determine o deslocamento da extremidade C da barra. Considere Eaço = 200GPa e Eal =
70 GPa.
δO = 4,20	mm
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Conteúdo
Fim
• Correção da prova
• Introdução ao Capítulo 4 (Carregamento Axial) 
• Exercícios proposto
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Conteúdo Programático
• Correção dos exercícios proposto na aula passada
• Lei de Hooke Generalizada
• Concentração de Tensões
• Exercícios de fixação
• Exercícios propostos
• Correção da prova
• Introdução ao Capítulo 4 
(Carregamento Axial) 
• Exercícios proposto
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Lei de Hooke Generalizada
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Todos os exemplos considerados até agora tratavam de elementos delgados submetidos a 
forças axiais, isto é, a forças com direção de um único eixo.
Escolhemos esse eixo como o eixo x,
designamos por F ou P a força interna
em uma dada localização e as
componentes de tensão correspondentes
eram σx = F/A, σy = 0, e σz = 0.
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Lei de Hooke Generalizada
19Carregamento multiaxial
Vamos agora considerar elementos estruturais submetidos a
cargas que atuam nas direções dos três eixos coordenados e
produzem tensões normais σx, σy e σz que são todas diferentes de
zero. Essa condição é conhecida como carregamento multiaxial.
Ø Se o material em um ponto estiver sujeito a um estado de tensão triaxial (σx, σy e σz),
deformações normais associadas serão desenvolvidas no material (𝜀x, 𝜀y e 𝜀z)
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Lei de Hooke Generalizada
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Ø As tensões podem ser relacionadas com as deformações pelo princípio da
superposição, coeficiente de Poisson (ε𝑙𝑎𝑡 = −𝜈𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔) e pela Lei de Hooke, como
aplicável na direção uniaxial (ε = σ/𝐸)
Ø Para mostrar como isso ocorre:
Considere a deformação normal
do elemento na direção x, causada
pela aplicação isolada de cada
tensão normal:
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Lei de Hooke Generalizada
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Ø Quando 𝝈𝒙 é aplicada, o elemento alonga-se na direção x e a deformação 𝜺`𝒙 nessa
direção é dada por:
ε`x =
σx
E
Ø A aplicação de 𝝈𝐲 provoca contração do elemento com uma deformação 𝜺``𝐱 na
direção x, dada por:
ε``x = −ν
σy
E
Ø Da mesma forma, a aplicação de 𝝈𝒛 provoca uma contração uma deformação 𝜺```𝐱 na
direção x tal que:
ε′``x = −ν
σz
E
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Lei de Hooke Generalizada
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Ø Quando essas três deformações normais são superpostas, a deformação normal εx , é
determinada para o estado de tensão triaxial
𝛆𝐱 =
𝟏
𝑬
[𝛔𝐱 − 𝝂(𝛔𝐲 + 𝛔𝐳)
𝛆𝐲 =
𝟏
𝑬
[𝛔𝐲 − 𝝂(𝛔𝐱 + 𝛔𝐳)
𝛆𝐳 =
𝟏
𝑬
[𝛔𝐳 − 𝝂(𝛔𝐱 + 𝛔𝐲)
Ø Equações semelhantes podem ser
desenvolvidas para as deformações
normais nas direções y e z, e os
resultados finais podem ser escritos como:
Lei de Hooke generalizada para carregamento multiaxial de um 
material isotrópico homogêneo. (Estado de tensão triaxial) 
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Lei de Hooke Generalizada
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Ø Essas equações são válidas somente se o princípio da superposição for aplicável
(que nada mais é que: o efeito resultante deve ser a soma de cada parcela dos efeitos
parciais), o que exige uma resposta linear elástica do material
Ø E a aplicação de deformações que não provoquem alterações graves na forma do 
material - isto é, exigem-se pequenas deformações.
Se a deformação normal resultante for positiva, isso indicará que o material alonga-se, 
ao passo que uma deformação normal negativa indicará que o material contrai-se. 
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Lei de Hooke Generalizada
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Ø Como o material é isotrópico (suas propriedades mecânicas e térmicas são as 
mesmas em todas direções), ele permanecerá um bloco retangular quando submetido 
às tensões normais, isto é, nenhuma deformação por cisalhamento será́ produzida no 
material.
Deformação de cisalhamento
Ø MAS, se agora aplicarmos uma tensão de cisalhamento 𝜏xy ao elemento, observações
experimentais indicam que o material se distorcerá somente devido a uma deformação
por cisalhamento 𝛾xy, isto é, 𝜏xy não causará outras deformações no material.
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Lei de Hooke Generalizada
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Ø Portanto, a Lei de Hooke para tensão de cisalhamento e deformação por
cisalhamento pode ser escrita como:
Deformação de cisalhamento
𝛾xy =
,
q
𝜏xy 𝛾yz =
,
q
𝜏yz 𝛾xz =
,
q
𝜏xz
Ø As tensões de cisalhamento tenderão a
deformar um elemento em forma de cubo
do material transformando-o em um
paralelepípedo obliquo.
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Lei de Hooke Generalizada
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Deformação de cisalhamento
𝐺 =
E
2(1 + 𝜈)
Ø Onde a constante G é chamada de módulo de rigidez ou módulo de elasticidade 
transversal do material, dado em Pa, por:
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Resumo dos Conceitos acerca da Lei de Hooke Generalizada
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Pontos importantes:
ü Quando um material homogêneo e isotrópico é submetido a um estado de tensão
triaxial, a deformação em uma das direções da tensão é influenciada pelas
deformações produzidas por TODAS as tensões. Isso é o resultado do efeito de
Poisson e, por sua vez, resulta na forma generalizada da lei de Hooke;
ü Uma tensão de cisalhamento aplicada a material homogêneo e isotrópico produzirá
somente deformação por cisalhamento no mesmo plano.
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Concentração de Tensões
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Até agora, se admitiu que a tensão média, de acordo com o valor determinado pela
expressão 𝜎 = F/A é a tensão crítica ou significativa
Concentrações de tensão ocorrem em seções onde a área da seção transversal muda
repentinamente. Quanto mais severa a mudança, maior a concentração de tensão.
Furos e transições acentuadas em uma seção transversal criarão concentrações de
tensão.
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Concentração de Tensões
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Obtemos o fator de concentração de tensão K em um gráfico, o qual foi determinado
por estudos experimentais. Esse valor é multiplicado pela tensão média para obter-se a
tensão máxima na seção transversal pela expressão: 𝜎uáw = 𝐾. 𝜎uéz
Trajetória de tensões e 
distribuições de tensões 
normais para barras 
planas com: entalhes, 
furos centralizados e 
filetes laterais.
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Concentração de Tensões – furos centralizados
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Concentração de Tensões – filetes laterais
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Concentração de Tensões – entalhes
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Exercício de Fixação
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5. A barra de cobre abaixo está sujeita a uma carga uniforme ao longo de suas bordas.
Se tiver comprimento a = 300, largura b = 50 mm e espessura t = 20 mm antes da
aplicação da carga, determine seus novos comprimento, largura e espessura após a
aplicação da carga. Considere Eco = 120 GPa e 𝜈co = 0,34.
𝒂` = 302,42	𝑚𝑚
𝒃` = 49,67	𝑚𝑚
𝒄` = 19,98	𝑚𝑚
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Exercício de Fixação
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6. O componente de máquina mostrado abaixo tem 20 mm de espessura e é feito de
bronze C86100. Determine a carga máxima que pode ser aplicada com segurança se for
especificado um fator de segurança de 2,5 em relação à falha por escoamento. Dados:
(𝜎lim	)𝑏𝑟𝑜𝑛𝑧𝑒 = 331𝑀𝑃𝑎)
𝐹𝒇𝒊𝒍𝒆𝒕𝒆 = 91,8	𝑘𝑁
𝐹𝑜𝑟𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜 = 65,42	𝑘𝑁
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Exercício Proposto
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7. Se o bloco retangular mostrado abaixo estiver sujeito a uma pressão uniforme
p = 20 kPa, determine a mudança no comprimento de cada lado. Considere E = 600 kPa e
coeficiente de Poisson 𝜐 = 0,45.
𝜹𝒂 = −0,0133	𝑐𝑚
𝜹𝒃 = −0,00667	𝑐𝑚
𝜹𝒄 = −0,0100	𝑐𝑚
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Exercício Proposto
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8. As tensões principais em um ponto são
mostrados na figura abaixo. Se o material for
grafite, para o qual Eg = 5,6 GPa e 𝜐 = 0,23,
determine as deformações principais:
𝜺𝒙 = 0,02428
𝜺𝒚 = −0,01415
𝜺𝒛 = −0,03106
Z X
y
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Conteúdo
Fim
• Correção dos exercícios proposto na aula passada
• Lei de Hooke Generalizada
• Exercícios de fixação
• Exercícios propostos
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Conteúdo Programático
• Correção dos exercícios propostos na aula passada
• Exercícios de Fixação sobre Carregamento Axial
• Correção dos exercícios proposto na 
aula passada
• Lei de Hooke Generalizada
• Exercícios de fixação
• Exercícios propostos
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Exercício de Fixação – carregamento axial 
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9. O poste de alumínio 6061-T6 mostrado abaixo é
reforçado com um núcleo de latão vermelho. Se este
conjunto suportar uma cargade compressão axial resultante
P = 45 kN, aplicada na tampa rígida, determine a tensão
normal média no alumínio e no latão. Considere Elat = 105
GPa e Eal = 70 GPa.
𝜎A� = 5,131	𝑀𝑃𝑎	
	𝜎���ã� = 7,524	𝑀𝑃𝑎
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Exercício de Fixação – carregamento multiaxial
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10. A haste é feita de alumínio 2014-T6. Se for submetida à carga de tração de 
700 N e tiver diâmetro de 20 mm, determine as deformações principais em um 
ponto sobre a superfície da haste. Considere E = 73,1 GPa e e 𝜈 = 0,35:
𝜀𝑚𝑎𝑥 = 30,5. 10��
𝜀𝑖𝑛𝑡 = −10,7. 10��
𝜀𝑚𝑖𝑛 = −10,7. 10��
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Exercício de Fixação – concentração de tensões
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11. A distribuição de tensão resultante ao
longo da seção AB para a barra é mostrada
na figura. Por essa distribuição, determine
o valor aproximado da força axial
resultante P aplicada à barra. Além disso,
qual é o fator de concentração (K) de
tensão para essa geometria?
𝐾 = 1,6
𝑃 = 36	𝑘𝑁
r = 20mm
D = 120mm
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Exercício de Fixação – concentração de tensões
42
12. A barra de aço tem as dimensões mostradas na figura. Determine a força axial
máxima P que pode ser aplicada de modo a não ultrapassar uma tensão de tração
admissível σ = 150 MPa.
𝐾 = 1,4
𝑃𝑓𝑖𝑙𝑒𝑡𝑒 = 64,28	𝑘𝑁
𝑃𝑓𝑢𝑟𝑜 = 44,08	𝑘𝑁
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Exercício de Fixação – carregamento axial
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13. A coluna de aço A-36 é usada para 
suportar as cargas simétricas dos dois pisos de 
um edifício. Determine o deslocamento vertical 
de sua extremidade, A, se P1 = 200 kN, P2 = 
310 kN e a coluna tiver área de seção transversal 
de 14.625 mm².
𝛿 = −1,74769	𝑚𝑚
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Exercício de Fixação – carregamento axial
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14. A coluna de aço A-36 é usada para 
suportar as cargas simétricas dos dois pisos de 
um edifício. Determine as cargas P1 e P2 se A 
se mover 3 mm para baixo e B se mover 2,25 
mm para baixo quando as cargas forem 
aplicadas. A coluna tem área de seção 
transversal de 14.625 mm².
𝑃1 = 304,7	𝑘𝑁
𝑃2 = 609,38	𝑘𝑁
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Conteúdo
Fim
• Correção dos exercícios propostos na aula passada
• Exercícios de Fixação sobre Carregamento Axial