Algebra linear Apol 1 Questão 8

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Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u).T(u).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(−3,2,2)T(u)=(−3,2,2)
	
	B
	T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)
	
	C
	T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)
	
	D
	T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)
Você acertou!
Como {(1,2),(3,4)}{(1,2),(3,4)}  é uma base de R2R2,  existe uma única TL tal que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4).  Dado u=(x,y)u=(x,y), temos que:
u=r(1,2)+s(3,4)u=r(1,2)+s(3,4)
{r+3s=x2r+4s=y{r+3s=x2r+4s=y
Escalonando o sistema, temos:
{r+3s=x−2s=y−2x{r+3s=x−2s=y−2x
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).
Portanto,  T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).
(Livro-base p. 119-122)
	
	E
	T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)