Questão 6

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Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u).T(u).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(−3,2,2)T(u)=(−3,2,2)
	
	B
	T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)
	
	C
	T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)
	
	D
	T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)
Você acertou!
Como {(1,2),(3,4)}{(1,2),(3,4)}  é uma base de R2R2,  existe uma única TL tal que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4).  Dado u=(x,y)u=(x,y), temos que:
u=r(1,2)+s(3,4)u=r(1,2)+s(3,4)
{r+3s=x2r+4s=y{r+3s=x2r+4s=y
Escalonando o sistema, temos:
{r+3s=x−2s=y−2x{r+3s=x−2s=y−2x
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).
Portanto,  T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).
(Livro-base p. 119-122)
	
	E
	T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 uma transformação linear, definida por T(x,y)=(x−2y,x).T(x,y)=(x−2y,x).  
De acordo com a transformação linear dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz de transformação, considerando a base canônica de R2,R2, {e1=(1,0),e2=(0,1)}{e1=(1,0),e2=(0,1)}. 
Nota: 10.0
	
	A
	[T]=[0−201][T]=[0−201]
	
	B
	[T]=[11−21][T]=[11−21]
	
	C
	[T]=[1011][T]=[1011]
	
	D
	[T]=[1−210][T]=[1−210]
Você acertou!
A TL é definida por T(x, y) = (x-2y, x) =
[1−210][1−210].[xy][xy] , logo, 
A=[1−210]A=[1−210]  
(Livro-base p. 130-139).
	
	E
	[T]=[1−225][T]=[1−225]
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). 
De acordo com a transformação linear dada e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2:
Nota: 10.0
	
	A
	[1201].[1201].
Você acertou!
Observamos que
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).
Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201][1201]  (livro-base p. 130-139)
	
	B
	[1021].[1021].
	
	C
	[1210].[1210].
	
	D
	[2110].[2110].
	
	E
	[1012].[1012].
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Sejam B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)}B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)} bases de R2R2.  
De acordo com as bases acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, a matriz M de mudança de base de B1B1  para B2B2, [M]B1B2,[M]B2B1, é:
Nota: 0.0
	
	A
	M=[2−111]M=[2−111]
	
	B
	M=[5−42 1]M=[5−42 1]
	
	C
	M=[−53−21]M=[−53−21]
A matriz M é dada pelas coordenadas da combinação de B1B1 com B2.B2.
(1,1)=a11(−1,1)+a21(2,−3)(−1,0)=a12(−1,1)+a22(2,−3)(1,1)=a11(−1,1)+a21(2,−3)(−1,0)=a12(−1,1)+a22(2,−3)Resolvendo o sistema acima, tem-se M=[−53−21]M=[−53−21]
(Livro-base, 108-114).
	
	D
	M=[5−341]M=[5−341]
	
	E
	M=[5−1−23]M=[5−1−23]
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Leia as informações a seguir:
Uma matriz quadrada possui inversa se o seu determinante for diferente de zero. Ao multiplicar a matriz dada, com sua inversa, o resultado deve ser a matriz identidade de mesma ordem. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise a matriz  A=[1021]A=[1021] e assinale a alternativa que indica sua inversa:
Nota: 10.0
	
	A
	A−1=[10−21]A−1=[10−21]
Você acertou!
A inversa de A é a matriz A−1A−1, tal que:
A.A−1=IA.A−1=I.  assim, temos:
[1021][1021].[abcd][abcd] = [1001][1001]
[ab2a+c2b+d][ab2a+c2b+d] = [1001][1001]
assim, A−1=[10−21]A−1=[10−21]
(Livro-base p. 52-56).
	
	B
	A−1=[1021]A−1=[1021]
	
	C
	A−1=[−10−2−1]A−1=[−10−2−1]
	
	D
	A−1=⎡⎣10−212⎤⎦A−1=[10−212]
	
	E
	A−1=⎡⎣01−212⎤⎦A−1=[01−212]
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre operações com matrizes e dada as matrizes:
A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10]A=[x−w−z3y] , B=[z2yxw] e C=[−3−10−1−10].
Dado que A+B=CA+B=C, assinale a alternativa com a solução correta da equação matricial:
Nota: 10.0
	
	A
	x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.x=−3,z=−1,y=−2 e w=2.
	
	B
	x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
Você acertou!
A+B=C⇒A+B=C⇒ [x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.[x+z−w+2y−z+x3y+w]=[−3−10−1−10]x=−2,z=−1,y=−4 e w=2.
(Livro-base p. 40-51)
	
	C
	x=−5,z=−6,y=3 e w=2.x=−5,z=−6,y=3 e w=2.
	
	D
	x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.x=−1,z=−2,y=3 e w=−2.
	
	E
	x=4,z=−2,y=−4 e w=3.x=4,z=−2,y=−4 e w=3.
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3). 
De acordo com os vetores dados acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que descreve o vetor uu como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:v1, v2 e v3:
Nota: 10.0
	
	A
	u=v1−2v2+3v3u=v1−2v2+3v3.
	
	B
	u=2v1−v2+4v3.u=2v1−v2+4v3.
Você acertou!
Queremos encontrar α,β,γ∈Rα,β,γ∈R tais que u=αv1+βv2+γv3u=αv1+βv2+γv3, isto é, (−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹⎧⎨⎩α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.(−4,10,5)=(α+2β−γ,α+2γ,−2α+3β+3γ)⟹{α+2β−γ=−4,α+2γ=10,−2α+3β+3γ=5.Resolvendo o sistema linear anterior, obtemos α=2, β=−1 e γ=4.α=2, β=−1 e γ=4. Portanto, u=2v1−v2+4v3u=2v1−v2+4v3    (livro-base p. 89-93).
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3.u=−2v1+v2+4v3.
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3.u=10v1−7v2+4v3.
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.u=2v1−v2−4v3.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa:
I.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. (  ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-F
	
	B
	V-V-F
	
	C
	V-F-V
	
	D
	F-V-F
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI).  
Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI.
Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD).
Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base.
Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103).
	
	E
	F-V-V
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),
assinale a alternativa com as coordenadas do vetor u∈R2u∈R2, de modo que T(u)=(3,2,1)T(u)=(3,2,1).
Nota: 0.0
	
	A
	u=(−4,2).u=(−4,2).
	
	B
	u=(−3,3).u=(−3,3).
	
	C
	u=(4,2).u=(4,2).
	
	D
	u=(−1,2).u=(−1,2).
	
	E
	u=(1,2).u=(1,2).
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).
(Livro-base p. 119-122)
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Leia as informações que seguem:
Seja o espaço vetorial V=R4V=R4 e W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R}W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R} um subconjunto do espaço vetorial  VV.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale a sentença correta:
Nota: 10.0
	
	A
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade da soma  u+v∈Wu+v∈W.
	
	B
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	C
	WW não é subespaço de VV, porque não satisfazas duas propriedades da soma u+v∈Wu+v∈W e do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	D
	WW é um subespaço de VV.
Você acertou!
Para WW ser subespaço de VV , deve satisfazer as propriedades:
1. u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈Wu+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈W
2. ku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈Wku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈W
Logo WW  é subespaço.  
(Livro-base p. 82-86).
	
	E
	WW não é subespaço, porque (x.y,0,0)∉R4(x.y,0,0)∉R4.