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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA – 
PARTE II 
PROFESSOR (A): COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA 
INE EAD – INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – PARTE II 
 
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SUMÁRIO 
Introdução .................................................................................................................................. 3 
1. Descontos ........................................................................................................................... 4 
1.1. Desconto simples comercial ......................................................................................... 4 
1.2.Desconto Simples Racional (por dentro) ....................................................................... 8 
1.3. Desconto comercial composto ...................................................................................... 9 
1.4. Desconto racional composto ....................................................................................... 11 
2. Rendas .............................................................................................................................. 13 
2.1. Tipos De Rendas: ........................................................................................................ 13 
3. AMORTIZAÇÃO ................................................................................................................ 22 
3.1 PLANOS DE AMORTIZAÇÕES: ................................................................................ 22 
4. Inflação .............................................................................................................................. 33 
5. Considerações finais....................................................................................................... 36 
6. Referências Bibliográficas ............................................................................................. 36 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Matemática Financeira tem extrema importância para a tomada de 
decisões na empresa e, sua aplicação quando bem desenvolvida, traz maior 
rentabilidade possibilitando o processo de maximização nos resultados. 
Certamente com uma boa base desse conhecimento traz à compreensão de 
problemas. 
Pode ser aplicada em diversas situações cotidianas como calcular as 
prestações de um financiamento de um móvel ou imóvel optando pelo 
pagamento à vista ou parcelado. A Matemática Financeira fornece o 
instrumental necessário à avaliação de negócios, de modo a identificar os 
recursos mais atraentes em termos de custos e os mais rentáveis no caso de 
investimentos financeiros ou de bens de capital. 
Nas situações mais simples e corriqueiras do dia-a-dia, como por 
exemplo, se você tem dinheiro em algum tipo de poupança/investimento, ou em 
um pequeno negócio, ou ambos, e quer comprar um carro ou um 
eletrodoméstico. Você deve decidir se paga à vista, mediante saque da 
aplicação ou do capital de giro da empresa, ou se acolhe o financiamento 
oferecido pelo vendedor. As ferramentas da Matemática Financeira vão indicar-
lhe a melhor decisão. Nas avaliações econômico-financeiras existe o binômio 
risco-retorno. Avaliação ou apuração do retorno de investimentos é um 
problema da Matemática Financeira. 
Já, o Risco é um problema da Estatística e pode ser definido como a 
possibilidade de perda. Diz respeito apenas à possibilidade de ocorrer um 
resultado diferente do esperado. Decisões com base em dados contábeis 
aumentam os riscos uma vez que se baseiam em dados passados. Decisões 
devem ser tomadas com base nas expectativas futuras, à luz das novas 
tendências e dos fluxos de caixa projetados. Na área de Recursos Humanos, 
para medir crescimento da folha, variação/evolução salarial, custo de 
benefícios, encargos sociais, entre outros. A Matemática Financeira é 
ferramenta para qualquer obra. 
Iniciaremos nossos estudos com o tema descontos. 
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1. DESCONTOS 
 
Chama-se desconto à diferença entre o Valor Nominal(N) de um título 
(Valor Futuro) “FV” e o Valor Presente ou Atual “PV” deste mesmo título [D = 
FV – PV]. 
Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais 
(por dentro). Define-se desconto como sendo o abatimento que o devedor faz 
jus quando antecipa o pagamento de um título ou quando o mesmo é 
resgatado antes de seu vencimento, ou ainda, como sendo o juro cobrado por 
um intermediário para antecipar o recebimento de um título, que representa um 
direito de crédito futuro. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no 
comércio em geral. Notações comuns na área de descontos: 
 
 D Desconto realizado sobre o título 
A ou PV Valor Atual ou Valor Presente de um título 
N ou FV Valor Nominal ou Valor Futuro de um título 
i Taxa de desconto 
n Número de períodos para o desconto 
 
1.1. Desconto simples comercial 
Ou simplesmente desconto por fora é o desconto aplicado sobre o valor 
nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no 
comércio em geral. O desconto comercial é uma convenção secularmente 
aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de curto 
prazo, merecendo, por isso, toda atenção especial, pois por essa convenção 
altera-se o conceito básico e verdadeiro da formação e da acumulação de juro, 
implicando, consequentemente, na determinação de taxas efetivas (custo 
financeiro efetivo). O cálculo desse desconto é análogo ao cálculo do juro 
simples. 
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Valor_Nominal&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Desconto
http://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_nominal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_nominal
http://pt.wikipedia.org/wiki/Com%C3%A9rcio
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O valor atual ou valor presente (PV) no desconto por fora, é calculado por: 
PV = FV-D 
PV = FV - FV.i.n 
 
PV = FV (1-i.n) 
No cálculo do valor presente (atual) de um título pelo desconto comercial, 
o valor do desconto corresponde a diferença entre o valor nominal do título e o 
seu valor atual, logo: 
 
dc = VF - VPc 
VPc = VF - dc 
VPc = VF . (1 – i . n), no qual utilizaremos em nossos exercícios: 
Ac=N(1-in) 
Exemplo 1: Um capitalista investe R$ 18000,00 em letra de câmbio, com 
vencimento para 180 dias e renda fixada em 5% a.m de juros simples 
a- calcule o valor nominal do título? 
b- Se o título for descontado 120 dias antes do vencimento, quanto o 
investidor receberá por ele, se o desconto for comercial à taxa de 5% a.m? 
Solução: 
a- pv= 18000,00 
n= 180 dias 
i= 5% a.m (12x) 
Fv=? 
 
18000(chs) (pv) 
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60(i) 
180(n) 
(f) (i) (+) 23400,00 
 
Com (f) (int) soma-se o juros (+) ao pv 
No visor da hp12c está o valor nominal do título 
Não apague a memória neste instante 
 
b- 23400(chs) (pv) 
120(n) 
(f) (int) (-) 18720,00- valor descontado 
 
Lembrando que: 
Estamos lidando com desconto comercial; 
Ac= N. (1-i.n) 
Ac=valor que será resgatado; 
 
N= valor nominal (R$23400,00) 
I=5% a.m 
N=120 dias (4 meses) 
 
Ac= 23400.(1-0,05.4) 
Ac= 23400.(1-0,20) 
Ac= 23400.0,8 
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Ac= 18720,00 
 
 
O que é letras de câmbio? 
A letra de câmbio é uma ordem de pagamento à vista ou a prazo e é 
criada através de um ato chamado de saque. Diferente dos demais títulos de 
crédito, para a existência e operacionalização da letra de câmbio são 
necessárias três situações jurídicas distintas,a saber: 
- o sacador como sendo aquela parte que faz o saque, oportunidade em 
que fica criada a letra de câmbio como documento. Esta pessoa é quem dá a 
ordem de pagamento; 
- o sacado que representa a parte a quem a ordem é data, ou seja, é 
quem deve efetuar o pagamento; 
- o beneficiário, também chamado de tomador, sendo a pessoa que 
receberá o pagamento, sendo assim o beneficiário da ordem. 
 
Obs: É importante observar que não necessariamente as situações 
jurídicas são representadas por três pessoas ou partes distintas. Podem 
ocorrer circunstâncias em que a mesma pessoa possa está representando 
duas situações ao mesmo tempo. 
 
 
1.2.Desconto Simples Racional (por dentro) 
Também denominado de desconto verdadeiro ou desconto por dentro, é o 
desconto aplicado sobre o valor atual do título utilizando-se a para o cálculo a 
taxa efetiva (no conceito do valor inicial tomado como base do cálculo). O 
cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juro simples. 
O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual ou Presente do 
título. 
O valor atual, no desconto por dentro, é dado por: 
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)1( in
FV
PV

 
Cálculo do valor atual de um título pelo desconto racional 
 
Sabemos que dr = Fv – PV, 
portanto PV = FV – dr 
Mas dr = 
)1( in
FV
FV

 
 
 
dr=
)1(
)1(
in
FVinFV


 
dr= 
)1(
**
in
FVniFVFV


 
dr=
)*1(
**
ni
niFv

 
ou seja dr= 
)1( in
Nin

 
 
Diferença entre os descontos comercial e racional: 
 
Sendo dc = N . i . n e dr = 
)1( in
Nin

 
 
Isolando o N, teremos: 
 
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dr =
)1( in
Nin

=
)1( in
dc

 
 
Ou seja: 
 
dc=dr* (1+in) 
 
1.3. Desconto comercial composto 
Como o desconto comercial simples, o desconto comercial composto é 
calculado sobre o valor nominal do título. O valor atual é obtido por meio de 
uma sucessão de descontos sobre o valor nominal, isto é, sobre o valor 
expresso no título. Assim, 
Instante n: valor do título é N 
Instante n - 1 (ou 1 período anterior: valor do título era N - iN = N (1 - i) 
Instante n - 2: valor do título era (N - iN) - i (N - iN) = (N - iN) [1 - i] = 
= N(1 - i)[1 - i] = N (1 - i)2 
e, assim sucessivamente, n períodos antes do vencimento o valor do 
título era: 
 
 
 
O desconto comercial é a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor 
atual. Assim, 
 
 
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Exemplo .2: Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 
descontado um ano antes do vencimento à taxa de desconto bancário 
composto de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. 
A = ? 
N = R$ 20.000,00 
 i = 5% a.t. = 0,05 a.t. 
 n = 1 ano = 4 trimestres 
A = N (1 - i)n = 20.000 (1 - 0,05) 4 = 16.290,13 
Exemplo 3. Calcular o valor do desconto bancário composto de um título 
de R$ 20.000,00, 1 ano antes do vencimento à taxa de 5% ao trimestre, 
capitalizável trimestralmente. 
 
N = R$ 20.000,00 
 d = ? 
i= 5% a.t. 
n = 4 trimestres 
Pela fórmula temos: 
d= N [1 - (1 - i)n] = 20000[1 - (1 - 0,05) 4 ] = $ 3.709,88 
Na HP-12C, teremos: 
 
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1.4. Desconto racional composto 
O valor do desconto é calculado sobre o valor atual, como também o é em 
desconto racional simples, divergindo apenas por agora considerarmos uma 
capitalização, ou seja, usarmos potenciação como em capitalização composta. 
O valor nominal é o valor que consta no título e é dado por: 
 














n
n
n
n
i
Ndr
i
N
Ndr
ANdr
i
N
A
iAN
)1(
1
1
)1(
)1(
)1(
 
 
Exemplo 4: Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de 
seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m., capitalizável mensalmente, 
determinou um valor de resgate de R$ 12.400,00? 
Solução 
Ar= 12.400,00 
Nr= ? 
 i = 10% a.m. 
 n = 3 meses 
Nr= Ar (1 +i) n 
Nr= 12.400 . (1 + 0,1) 3 
Nr= 12.400 . 1,331000 
Nr= 16.504,40 
 
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Pela HP-12C 
 
Exemplo 5: Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40 
vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 
46,41% a.a. capitalizado trimestralmente? 
Solução 
Nr= 16.504,40 
Ar = ? 
i = 46,41% a.a. cap trimestralmente = 11,6025% a.t. 
n = 9 meses = 3 trimestres 
A= 
ni
N
)1( 
 
A= 00,870.11
)116025,01(
40,504.16
3


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RENDAS 
 
Renda é a soma dos rendimentos pagos aos fatores de produção para 
obter o produto num determinado período, composto por aluguéis, lucros, 
salários e juros. 
Renda Nacional é a soma de todas as rendas recebidas pelos 
proprietários dos fatores de produção utilizados durante o ano, ou seja, o custo 
dos fatores, salários e ordenados, juros, aluguéis, lucros mais as transferências 
do Governo para o setor privado (subsídios e pensões). 
 
Uma Renda ou uma Série Financeira é uma sucessão de capitais (termos 
da renda) que podem ser pagamentos e/ou recebimentos, ocorridos em pontos 
diversos no tempo (Fluxo de Caixa). 
Exemplos: 
- Recebimento do salário, pagamento de taxas (luz, água), pagamento de 
uma prestação, recebimento dos juros da Poupança, etc. 
- O pagamento de 3 prestações mensais de $ 150,00, sem entrada, para 
a compra de um produto cujo preço à vista é $ 380,00, constitui uma renda que 
é assim representada: 
 
2.1. Tipos De Rendas: 
Em geral as condições de prazo, valores dos termos, taxa de juros, 
periodicidade, são pré-estabelecidas 
o que implica numa classificação para as rendas. 
As rendas podem ser classificadas: 
A) quanto ao prazo: 
- temporárias: o prazo dos pagamentos ou recebimentos é finito 
- perpétuas: prazo infinito 
B) quanto aos valores dos termos: 
- uniforme: termos iguais 
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- variável: termos distintos 
C) quanto à periodicidade: 
- periódica: períodos iguais 
- não periódica: períodos distintos 
D) quanto à ocorrência do 1o termo: 
- imediata: ocorre no 1o período de pagamento 
- diferida: a chamada série com carência 
Iniciemos nosso estudo através das rendas imediatas: 
POSTECIPADAS: (ou Imediatas): quando os pagamentos ocorrem no fim de 
cada período 
 
Exemplo: Renda imediata de 6 termos mensais de R$ 100,00 
 0 1 2 3 4 
5 6 
 
............................................................. 
     
  
 100 100 100 100 
100 100 
 
ANTECIPADAS: quando os pagamentos ocorrem no início de cada período 
 
Exemplo: Renda antecipada de 6 termos mensais de R$ 100,00 (1+5) 
 0 1 2 3 
4 5......................................................... 
     
  
 100 100 100 100 
100 100 
 
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DIFERIDAS: (ou com Carência) quando há um prazo de carência entre o 
valor atual 
e o início dos pagamentos. 
 
Exemplo: Renda de 6 termos mensais de R$ 100,00 com 3 meses de carência. 
 1 2 3 4 5 6 
 
0......1......2......3.................................................. 
      
 
 100 100 100 100 100 
100 
 
INTERMEDIÁRIAS: (ou com Balões) quando durante o plano de 
pagamento ocorrerem valores intermediários; descapitalizam-se os mesmos 
para o valor presente, e então, utilizamos as Rendas Postecipadas ou as 
Rendas Antecipadas. (ex.: Compra de Imóvel parcelando a entrada em 4 
pgtos anuais e o restante em 120 parcelas mensais) 
Exemplo: Renda de 6 termos mensais de R$ 100,00 com 1 balão de R$ 250,00 
no 2º. Mês e outro balão de R$ 135,00 no 5º. mês. 
 0 1 2 3 4 5 6 
 .............................................................. 
       
 100 100 100 100 100 100 
   
 250 135 
 
 
 
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Exemplos: 
I.RENDAS POSTECIPADAS ou IMEDIATAS 
 
Quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período 
 
Fórmulas matemáticas: 
 
PMT=








ii
i
PV
n
n
*)1(
1)1(
 PMT=





 
i
i
FV
n 1)1(
 
A Calculadora HP 12C está programada com essas fórmulas para fazer os 
cálculos necessários. Isto ocorre quando colocamos a calculadora no modo g 
END para as RENDAS POSTECIPADAS. 
 
Exemplo 06: Qual o valor à vista (atual) de uma compra em 10 parcelas 
mensais de 
 R$ 80,00 cada uma, sem entrada (renda postecipada), à taxa 
de 5% a.m.? 
 
PV = ? PMT = 80 i = 5% a.m. n = 10 meses 
 
PV = ? 
 
0........1........2........3........4........5........6........7........8........9........10 
           
 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 
 
Na calculadora HP 12C: 
g END 80 CHS PMT 5 i 10 n 0 FV PV  PV = 617,74 
 
 
 Na HP 12C: g END 80 CHS PMT 5 i 10 n 0 FV PV  617,74 
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Exemplo 07: Qual o valor das prestações na compra de uma TV 14”, que à 
vista custa 
R$ 545,00, sendo o financiamento em 6 meses, sem entrada, com a taxa de 
4,11% a.m.? 
 
 
0........1........2........3........4........5........6 
      
? ? ? ? ? ? PMT 
 
 
Na HP 12C: g END 545 CHS PV 4.11 i 6 n 0 FV PMT  104,34 
 
Exemplo 08: Na compra de um produto de valor à vista igual a R$ 700,00 que 
será paga em 5 prestações mensais, iguais de R$ 156,92 cada uma, sem 
entrada, qual a taxa de juros no negócio? 
 
 Na HP 12C: g END 700 CHS PV 156.92 PMT 5 n 0 FV i  
3,93% a.m. 
 
II. RENDAS ANTECIPADAS 
 
Quando os pagamentos ocorrem no início de cada período. 
 
Fórmulas matemáticas: 
 
A Calculadora HP 12C está programada com essas fórmulas para fazer os 
cálculos necessários. Isto ocorre quando colocamos a calculadora no modo g 
BEG para as RENDAS ANTECIPADAS. 
 
 
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Exemplo: Qual o valor à vista (atual) de uma compra em 15 pagamentos 
mensais de R$ 49,30 cada uma, sendo a 1a. prestação paga no momento da 
compra, à taxa de 1% a.m.? 
 
 PV = ? 
  
 
0......1.......2.......3.......4......5.......6.......7.......8........9......10.......11.......12.......13..
.....14 (1+14) 
              
  
 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 49,30 
49,30 49,30 49,30 49,30 
 
 
 Fórmula: 
PMT=








ii
i
PV
n
n
*)1(
1)1(
...fazer... 
 
 
 
 
 Na HP 12C: g BEG 49.30 CHS PMT 1 i 15 n 0 FV PV  
690,38 
 
 
 
Exemplo 09: Qual o valor das prestações na compra de um refrigerador que à 
vista custa R$ 984,50, sendo o financiamento em 6 meses, sendo a 1a. no 
momento da compra (1 + 5)), com a taxa de 4,32% a.m.? 
 
 984,50 
  
 0........1........2........3........4........5 
       
 ? ? ? ? ? ? PMTINE EAD – INSTITUTO NACIONAL DE ENSINO 
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PMT=
ii
i
PMTPV
n
n
*)1(
1)1(



 
 
PMT=
0432,,0*)0432,01(
1)0432,01(
50,984
6
6


 PMT
 
 
 
 Na HP 12C: g BEG 984.50 CHS PV 4.32 i 6 n 0 FV PMT  
181,91 
 
Exemplo 10: Quanto se deve depositar, no início de cada semestre, num 
banco que paga 18% a.a., para constituir o montante de R$ 5.000,00 no fim de 
3 anos? 
 
 Na HP 12C: g BEG 5000 CHS FV 6 n 0 PV 
 
 18 ENTER 100 : 1 + 
 2 1/x yx 
1 - 100 x 
 i 
PMT  617,58 
 
 
 
III. RENDAS DIFERIDAS ou com CARÊNCIA 
 
Quando há um prazo de carência entre o valor atual e o início dos pagamentos. 
 
Exemplo 11: Um empréstimo de R$ 8.600,00 vai ser amortizado em 10 
prestações mensais, após 4 meses de carência. Qual o valor das prestações 
a taxa de 4,5% a.m.? 
 
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 8.600 FV1 
   
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10 
 
0......1......2......3.......4........................................................................................... 
          
 
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 
? 
Na HP 12C: 
 
1O.) Cálculo do Valor Atualizado do Financiamento após a Carência 
(Presente FV1): 
 
 8600 CHS PV 4.5 i 4 n 0 PMT FV  FV 
= 10.255,66 
 
 2O.) Cálculo do Valor das Prestações Mensais (PMT) 
 
 10255,66 CHS PV g BEG 4.5 i 10 n 0 FV PMT  PMT 
= 1.240,29 
 
 3O.) Resolvendo na calculadora HP 12C, direto, de uma vez só: 
 
 8600 CHS PV 4.5 i 4 n 0 PMT FV CHS PV 10 n 0 FV g 
BEG PMT 
 
 PMT = 1.240,29 
 
 
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Exemplo 12: Qual o valor do financiamento liberado e pago em 10 
prestações mensais iguais de R$ 345,23 após uma carência de 3 meses, à 
taxa de 3,85% a.m.? 
 
 PV1 
   
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 0......1......2......3.......................................................................................... 
          
 P M T = 345,23 
 
Na HP 12C: 
 
1O.) Cálculo do Valor do Financiamento (Presente PV1) da carência – 
valor atualizado da dívida para fazer o financiamento 
 
 345.23 CHS PMT 3.85 i 10 n 0 FV g BEG PV  
PV=2929,77 
 
 2229,77 CHS FV 3.85i 3n PV1990,85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. AMORTIZAÇÃO 
 
É o processo mediante o qual se extingue gradualmente uma dívida, por 
meio de uma série de pagamentos periódicos. Cada pagamento, inclui os juros 
vencidos e uma parte referente à amortização da dívida. 
 
3.1 PLANOS DE AMORTIZAÇÕES: 
 
SISTEMA AMERICANO ou PAGAMENTO PERIÓDICO DE 
JUROS/ENCARGOS: 
 
O financiamento é pago da seguinte forma: 
 
 - Ao final de cada período, são pagos apenas os juros daquele período; 
- No final do período contratado, além dos juros, o principal também é 
integralmente pago. 
 
Exemplo 13: Desenvolver uma tabela de planos de Financiamentos, de acordo 
com as condições: 
- Principal financiado: R$ 1.000,00 - Prazo do 
financiamento: 5 meses 
- Taxa de juros: 5% a.m. 
 
 P 
 r Saldo 
 a Juros Pagamento 
Amortização 
 z Devedor 
 o 
 1 1.000,00 50,00 50,00 0,00 
 
 2 1.000,00 50,00 50,00 0,00 
 
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 3 1.000,00 50,00 50,00 0,00 
 
 4 1.000,00 50,00 50,00 0,00 
 
 5 1.000,00 50,00 1.050,00 1.000,00 
 
Na HP 12C: 
1000 ENTER 5% + 50 - 
 5% + 50 - 
 5% + 50 - 
 5% + 50 - 
 5% +      1.050,00 
 
SISTEMA FRANCÊS/PRICE ou de PRESTAÇÕES IGUAIS/CONSTANTES: 
 
O plano de amortização de dívidas que é mais aplicada na prática é, 
inegavelmente o de prestações constantes. O financiamento é pago em 
prestações iguais a cada período, cada uma sendo subdividida em duas partes: 
 
 - Os juros do período são calculados sobre o saldo no início do período;e 
- A amortização do principal é obtida pela diferença entre o valor da 
prestação e o 
 valor de juros do período. 
 
As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga 
os juros e a outra o principal. 
 
A dívida fica completamente paga na última prestação. 
 
 PMT=








ii
i
PV
n
n
*)1(
1)1(
 
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 Sendo: PMT = Prestação e PV = Valor Presente 
 
Exemplo 14: Desenvolver uma tabela de planos de Financiamentos, de 
acordo com as condições pelo Price: 
 
- Principal financiado: R$ 1.000,00 - Prazo do financiamento: 5 meses 
- Taxa de juros: 5% a .m. 
 
 P 
 r Saldo 
 a Juros Pagamento 
Amortização 
 z Devedor 
 o 
 1 1.000,00 50,00 230,97 180,97 
 
 2 819,03 40,95 230,97 190,023 629,03 31,45 230,97 199,52 
 
 4 429,49 21,47 230,97 
209,50 
 
 5 219,99 11,00 230,97 
219,97 
 
Na HP 12C: 
 
A Prestação (PMT) obtém-se como nas Rendas Postecipadas. 
Na HP 12 C: 
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1000 CHS PV 
 5 i 
 5 n Calcula a prestação : PMT 
 0 FV 
 PMT = 230,97 
Juros nas prestações: 1 f AMORT (de 
uma em uma) 
 
 1 f AMORT  50,00 Amortização do Principal: x ><y 
 
 x >< y  180,97 Novo Saldo Devedor: RCL PV 
 
 RCL PV  819,03 
 
Ex. 15: Um empréstimo de R$ 100.000,00 feito à taxa de 10% am, por quatro 
meses, deve ser pago no sistema Price, determine o pagamento mensal e 
fazer um demonstrativo do estado da dívida nesses quatro meses 
 
 
 
 
 
Podemos resolver também pelo Excel: 
 
08,547.31
1,0*)1,01(
1)1,01(
000.100
*)1(
1)1(
4
4







ii
i
PV
PMT
n
n
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E assim, construímos a tabela Price: 
 
n PMT Juros Amortização 
Saldo 
Devedor 
0 100000 
1 31.547,08 10000 21.547,08 78.452,92 
2 31.547,08 7845,292 23.701,79 54.751,13 
3 31.547,08 5475,113 26.071,97 28.679,17 
4 31.547,08 2867,917 28.679,16 0,00 
 
 
 
 
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Lembrando que: 
 
Juros= taxa * saldo devedor 
 
Amortização = PMT – Juros 
 
Saldo Devedor= Saldo devedor anterior menos amortização 
 
 
SISTEMA SAC - AMORTIZAÇÕES CONSTANTES: 
 
O financiamento é pago em prestações uniformemente decrescentes, cada 
uma sendo subdividida em duas partes: 
 
- Os juros do período são calculados sobre o saldo no início do periodo; 
 
- A amortização do principal é calculada pela divisão do principal pelo número 
total de prestações; consequentemente as quotas de amortização são todas 
iguais. 
 
Exemplo 15: 
 
Desenvolver uma tabela de planos de Financiamentos, de acordo com as 
condições pelo SAC: 
 
- Principal financiado: R$ 1.000 - Prazo do 
financiamento: 5 meses 
- Taxa de juros: 5% a.m. 
 
 
 
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 r Saldo 
 a Juros Pagamento 
Amortização 
 z Devedor 
 o 
 1 1.000,00 50,00 250,00 
200,00 
 
 2 800,00 40,00 240,00 
200,00 
 
 3 600,00 30,00 230,00 
200,00 
 
 4 400,00 20,00 220,00 
200,00 
 
 5 200,00 10,00 210,00 
200,00 
 
 
Obtém-se o Valor Constante da Amortização, dividindo-se a dívida pelo número 
de parcelas. 
 
No exemplo: 1.000  5 = 200 
 
Na HP 12C: 
 
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1000 ENTER 5  STO 1 (AMORTIZAÇÂO) 
 
1000 ENTER 5% RCL 1 +  1a . prestação 
 800 ENTER 5% RCL 1 +  2a . prestação 
 600 ENTER 5% RCL 1 +  3a . prestação 
 400 ENTER 5% RCL 1 +  4a . prestação 
 200 ENTER 5% RCL 1 +  5a . prestação 
 
Sistema de Amortização Crescente - SACRE 
 
A diferença do SAC – Sistema de amortização constante para o SACRE – 
Sistema de Amortização Crescente é apenas o recalculo, ou seja, um novo 
calculo após um determinado período de andamento do contrato. O SACRE é 
baseado na mesma metodologia do SAC, mas, sempre considerando o prazo 
remanescente (que falta) para pagar. Assim o recalculo força o crescimento da 
amortização e a rapidez do pagamento. 
Ao contrário do que acontece no SAC a parcela de amortização não é 
constante e sim crescente, o que permite que a dívida seja paga mais 
rapidamente. O primeiro recálculo acontece com 12 (doze) meses e poderá 
tornar-se trimestral na hipótese da prestação não estar amortizando (pagando/ 
quitando) a dívida; 
No SACRE, a partir de um determinado período, durante o prazo de 
financiamento, a prestação tende a cair continuamente até o final do 
financiamento. Exatamente por isto, o percentual de comprometimento da 
renda neste tipo de mecanismo de amortização tende a ser mais alto, em cerca 
de 30%, pois no decorrer do prazo do financiamento as prestações devem cair, 
e com isto diminuirá o grau de comprometimento da renda. Atualmente o 
SACRE é adotado pela Caixa Econômica Federal nas suas linhas que usam 
recursos do FGTS, como a Carta de Crédito FGTS Individual. 
 
 
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n PMT Juros Amortização Saldo Devedor 
0 100000 
1 33273,36 10000 23273,36 76726,64 
2 32023,36 7672,664 24350,696 52375,944 
3 30773,36 5237,594 25535,7656 26840,1784 
4 29523,36 2684,018 26839,34216 0,83624 
 
 
36,023.321250
1250
4
5,0*1,0*000.100
36,273.33
500.1736,773.15
1,0
4
1
*5,0*000.100
1699,3
)5,01(*000.100
12
1
1
1













PMTPMT
r
PMT
PMT
PMT
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EXERCÍCIOS 
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01) A compra de um produto de valor à vista igual a R$ 600,00, será pago 
pela Tabela Price, em 4 prestações mensais, postecipadas. Se a taxa de 
juros contratada for de 3,5% a.m., encontrar o valor da prestação constante 
e elaborar a planilha do Plano de Amortizacão. 
 
Prazo Pagamento Juro Amortização 
Saldo Devedor 
_______________________________________________________________
__________ 
1 
_______________________________________________________________
__________ 
 
2 
_______________________________________________________________
__________ 
 
3 
_______________________________________________________________
__________ 
 
4 
_______________________________________________________________
__________ 
 
2) Uma pessoa financia R$ 6.850,00 em 5 pagamentos mensais, com a taxa 
mensal de juros de 4,5% a.m., através do Sistema SAC. Elaborar a 
planilha do Plano de Amortização. 
 
 Prazo Saldo Juro Pgto. 
Amortização 
1 
2 
3 
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4 
5 
 
 
03) Desenvolveruma planilha para o pagamento, através do Sistema 
Americano, da seguinte operação de empréstimo: 
 
 - capital emprestado: R$ 15.880,00 
 - prazo: 4 meses 
 - juros: 4,51% a.m. 
 
Resumos dos sistemas de amortização 
I.Sistema de Pagamento único: um único pagamento no final. 
II.Sistema de Pagamentos variáveis: vários pagamentos 
diferenciados. 
III.Sistema Americano: pagamento no final com juros calculados 
período a período 
IV.Sistema de Amortização Constante (SAC): a amortização da 
dívida é constante e igual em cada período. 
V. Sistema Price ou Francês (PRICE): as prestações são iguais. 
VI. Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as 
médias dos sistemas SAC e Price. 
VII. Sistema Alemão: os juros são pagos antecipadamente com 
prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde 
aos juros cobrados no momento da operação. 
 
 
 
 
 
 
 
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4. INFLAÇÃO 
 
Em economia, inflação é a queda do valor de mercado ou poder de 
compra do dinheiro. Isso é equivalente ao aumento no nível geral de preços. 
Inflação é o oposto de deflação. Inflação zero, ou muito baixa, é uma situação 
chamada de estabilidade de preços. 
Em alguns contextos, a palavra inflação é utilizada para significar um 
aumento no suprimento de dinheiro e a expansão monetária, o que é às vezes 
visto como a causa do aumento de preços; alguns economistas (como os da 
Escola austríaca) preferem o primeiro significado, em vez de definir inflação 
pelo aumento de preços. Assim, por exemplo, alguns estudiosos da década de 
1920 nos EUA referem-se a inflação, ainda que os preços não estivessem 
aumentando naquele período. Mas de um modo geral, a palavra inflação é 
usada como aumento de preços, a menos que um significado alternativo seja 
expressamente especificado. Outra distinção também se faz quando analisam-
se os efeitos internos e externos da inflação: externamente, a inflação se traduz 
mais por uma desvalorização da moeda local frente a outras, e internamente 
ela se exprime mais no aumento do volume de dinheiro e aumento dos preços. 
Um exemplo clássico de inflação foi o aumento de preços no Império 
Romano, causado pela desvalorização dos denários que, antes confeccionados 
em ouro puro, passaram a ser fabricados com todo tipo de impurezas. O 
imperador Diocleciano, ao invés de perceber essa causa, já que a ciência 
econômica ainda não existia, culpou a avareza dos mercadores pela alta dos 
preços, promulgando em 301 um edital que punia com a morte qualquer um 
que praticasse preços acima dos fixados. 
 
Definição: Denário 
O sistema monetário romano incluía o denário (denarius, em latim, plural 
denarii), uma pequena moeda de prata que era a de maior circulação no 
Império Romano. 
É geralmente aceito que no fim da República e no início do Principado, o 
denário correspondia ao salário diário de um trabalhador. Com um denário era 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Moeda_romana
http://pt.wikipedia.org/wiki/Latim
http://pt.wikipedia.org/wiki/Moeda
http://pt.wikipedia.org/wiki/Prata
http://pt.wikipedia.org/wiki/Imp%C3%A9rio_Romano
http://pt.wikipedia.org/wiki/Rep%C3%BAblica_Romana
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sal%C3%A1rio
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possível comprar em torno de 8 quilos de pão. 
Segundo a cronologia de maior aceitação, actualmente, entre os estudiosos, o 
denário foi cunhado pela primeira vez em 211 a.C., durante a República, e valia 
10 asses, daí o seu nome, que significa "que contém dez" em latim e em 
português. Contudo, há autores que referem que esta moeda começou a ser 
cunhada cerca de 187 a.C., em Brútio - outros, como S. I. Kovaliov, defendem 
que começou a ser emitido por volta de 268 a.C. Em torno de 141 a.C., foi 
reavaliado para 16 asses, devido à diminuição do tamanho do asse. O denário 
continuou a ser a principal moeda em circulação no Império até sua 
substituição pelo antoniniano, em meados do século III d.C. O conteúdo de 
prata do denário flutuou com o tempo, a depender das circunstâncias políticas 
e econômicas, tendo sido reduzido paulatinamente. Um áureo (moeda de ouro) 
valia 25 denários. 
Mesmo após a sua extinção, o denário continuou a servir de unidade de conta 
no Império Romano. Posteriormente, diversos países adotaram o termo 
"denário" (ou uma variação) para designar as suas moedas nacionais, como o 
denier francês e o dinar usado em países árabes. A própria palavra dinheiro, 
em português ( dinero, em espanhol e denaro em italiano), vem do latim 
denarius. 
 
 
 
A inflação pode ser contrastada com a reflação, que é ou um aumento de 
preços de um estado deflacionado, ou alternativamente, uma redução na taxa 
de deflação (ou seja, situações em que o nível geral de preços está caindo em 
uma taxa decrescente). Um termo relacionado é desinflação, que é uma 
redução na taxa de inflação, mas não o suficiente para causar deflação. 
Para abordarmos sobre a taxa da inflação é preciso que relembremos de 
taxas. 
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a 
realização de alguma operação financeira. 
Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três 
tipos principais de taxas: 
 Taxa Nominal: quando o período de formação e incorporação dos juros 
ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Asse
http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_portuguesa
http://pt.wikipedia.org/wiki/187_a.C.
http://pt.wikipedia.org/wiki/268_a.C.
http://pt.wikipedia.org/wiki/141_a.C.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Antoniniano
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81ureo
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ouro
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dinar
http://pt.wikipedia.org/wiki/Dinheiro
http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_castelhana
http://pt.wikipedia.org/wiki/Italiano
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Exemplos: 
1200% ao ano com capitalização mensal. 
250% ao semestre com capitalização mensal. 
300% ao ano com capitalização trimestral. 
 Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e 
incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está 
referida. 
Exemplos: 
100% ao mês com capitalização mensal. 
450% ao semestre com capitalização semestral. 
1300% ao ano com capitalização anual. 
 
 Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do 
período da operação. 
 
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a 
diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma 
ligação íntima entre as três taxas, dadas por: 
1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação) 
 
 
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início 
do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então 
o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a 
variação real no final deste mês, será definida por: 
vreal = 1 + ireal 
vreal = resultado / (1 + iinflação) 
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02 
 
o que significa que a taxa real no período, foi de: 
ireal = 2% 
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5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
A indisponibilidade de recursos para fazer um investimento leva o 
indivíduo a contrair um empréstimo. E, para sanar este compromisso pode 
recorrer a diversas formas de pagamento, que recebem o nome de Sistema de 
Amortização. 
Como já vimos, amortização também pode ser entendida como, um 
processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que 
são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestaçãocorresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do 
saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que juros são 
sempre calculados sobre o saldo devedor e, para calcular as prestações é 
preciso entender sobre conceitos que estudamos até então, como taxas. 
A inflação é outro tema corriqueiro, e é preciso um aprofundamento neste 
assunto tão importante. Aqui, foi feito uma abordagem inicial sobre os 
conceitos de inflação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
ASSAF NETO, Alexandre, Matemática Financeira e Suas Aplicações, Edit. 
Atlas, 2006. 
 
ARAÚJO, C. R. V., Matemática Financeira, Edt. Atlas, São Paulo, 1993. 
 
PINHEIRO, C. O. Aprenda a usar sua HP12C para calcular ganhos na 
poupança, CDB e ações de 
 
VERAS, L.L. Matemática Financeira:Uso de calculadoras financeiras. 6ª. Ed. 
São Paulo: Ed. Atlas, 2009.