Exercicios De Reforco

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Exercícios de Reforço 
 
Essa é uma série de exercícios destinados à fixação dos temas estudados em Geometria 
Analítica. A resolução detalhada está nos Cadernos de Exercícios 1 a 5. Bons estudos! 
 
 
Caderno de Exercícios 1: 
 
1. Considere os pontos A, B, C e D localizados nos vértices do quadrado abaixo. 
 
 
 
Dentre as afirmativas a seguir, determine quais são verdadeiras e quais são falsas. 
a) CDAB // 
b) ACAB // 
c) BDAC // 
d) CDAC  
e) BDAC  
f) BDCD  
 
2. Determine o módulo do vetor indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine a inclinação do vetor v

. 
 
 
 
4. Determine o módulo e a inclinação do vetor v

. 
 
 
 
5. Determine a inclinação do vetor u

. 
 
 
 
6. Qual é a inclinação do vetor v

? 
 
 
 
7. O que é um vetor nulo? 
 
8. O quadrado abaixo apresenta a posição dos pontos A a P. 
 
 
 
 
 
Determine o vetor associado a cada uma das seguintes operações. 
a) AEAB  
b) FJEG  
c) NFNP  
d) DHIL  
e) MEMN  
f) CDAC  
d) KLIJ  
h) GCIK  
i) MN3 
j) GH2 
 
9. Considere os vetores u

 e v

 representados a seguir. 
 
 e 
 
Determine a soma vu

 . 
 
10. Calcule a diferença vu

 onde u

 e v

 são dados a seguir. 
 
 e 
 
11. Determine o vetor r

 como combinação linear dos vetores u

 e v

 onde vur

32  e u

 e v

 são os 
vetores dados a seguir. 
 
 e 
 
 
 
12. Sabendo que o módulo do vetor ) ,7( w

 é igual a 12,2066, determine o valor de  . 
 
13. Determine as componentes do vetor v

 sabendo que seu módulo é igual a 17 e sua inclinação é 
igual a 60°. 
 
14. Sejam )1 ,1(u

 e )2 ,3(v

. Calcule o módulo de vu

45  . 
 
 
Caderno de Exercícios 2: 
 
1. Dado o vetor AB onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine || AB . 
 
2. Determine o módulo de um vetor v

 cuja origem está no ponto (2, 3) e cuja extremidade está no 
ponto (-1, 1). 
 
3. Dado o vetor AB onde A=(3, 7) e B=(5, 11), determine a sua direção. 
 
4. Sejam os vetores kjiu

472  e kjiv

365  . Determine vu

. . 
 
5. O que são vetores equipolentes? 
 
6. Considere os vetores )3 ,2(u

 e )7 ,5(v

. Determine 
a) vu

 
b) vu

25  
c) vu

 
d) vu

 
e) vu

32  
 
7. Sendo )3 ,2(A e )5 ,8(B , determine as componentes de AB . 
 
8. Calcule o módulo do vetor kjiv

572  . 
 
9. Sejam )3 ,1 ,1(M e )1 ,2 ,3(N , determine o módulo de MN . 
 
10. Qual é o vetor resultante da multiplicação do escalar 3 pelo vetor )6 ,3 ,4( v

? 
 
11. Calcule w

5 onde w

 é igual a )2 ,4 ,0 ,7 ,1( . 
 
12. Sejam )4 ,10 ,6(P e )2 ,5 ,2(Q , calcule v

2 onde PQv 

. 
 
13. Considere os vetores )4 ,1 ,5 ,3(u

 e )6 ,2 ,0 ,4(v

. Calcule vu

34  . 
 
14. Determine o produto escalar vu

. onde )7 ,3 ,5 ,1 ,2(u

 e )1 ,3 ,8 ,2 ,5(v

. 
 
15. Calcule o produto escalar entre os vetores )0 ,5(u

 e )6 ,0(v

 utilizando a expressão 
cos.||.||. vuvu

 . 
 
16. Dados os vetores )2 ,1 ,4(a

 e )1 ,4 ,3( b

, calcule o produto vetorial ba

 . 
 
17. Dados os vetores )2 ,1 ,4(a

 e )1 ,4 ,3( b

, calcule o produto vetorial ab

 . 
 
GABRIEL GUSTAVO
Realce
 
 
Caderno de Exercícios 3: 
 
1. Sabendo que a equação reduzida da reta r é y=ax+b, encontre a equação da reta que passa pelos 
pontos A=(3, 1) e B=(4, 3). 
 
2. Determine a inclinação da reta r de equação y=2x-5. 
 
3. Verifique se o ponto P=(1, -3) pertence à reta r definida por y=2x-5 apresentada no exercício 
anterior. 
 
4. Considere a reta r dos Exercícios 1 e 2 cuja equação é y=2x-5. Verifique se o ponto Q=(2, 6) 
pertence à reta r. 
 
5. Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y=2x-5 com o eixo y. 
 
6. Considere a reta 123  xy . Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta. 
 
7. Utilizando a expressão ).( 00 xxmyy  , determine a equação da reta s que passa pelos pontos 
A=(2, 5) e B=(4, 3). 
 
8. Considere a reta t representada na figura abaixo. 
 
 
 
Com base nas informações apresentadas, escreva a equação reduzida da reta t. 
 
9. Considere a reta t apresentada no exercício anterior. Encontre a equação reduzida de t utilizando a 
expressão ).( 00 xxmyy  . 
 
10. Seja a reta r definida pela equação reduzida 115  xy . Escreva a equação de r no formato geral. 
 
11. Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos M=(2, 4) e N=(5, 3). 
 
12. Encontre uma equação vetorial para a reta r passando pelos pontos A=(1, 2, 1) e B=(2, 3, 3). 
 
13. Considere o Exercício 11. Obtenha as equações paramétricas da reta r. 
 
14. Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações 
 
 








tz
ty
tx
r
32
41
23
:1 e 








tz
ty
tx
r
4
52
31
:2 
 
15. Mostre que as retas r e s dadas por 
 








tz
ty
tx
r
31
4
21
: e 








tz
y
tx
s
21
5
32
: 
são ortogonais. 
 
16. Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais g=(1, 9, 6)+t.(3, -2, 4) e h=(0, 3, -5)+t.(-
6, 4, -8). Mostre que g e h são paralelas. 
 
17. Sejam as retas 








tz
ty
tx
w
23
33
52
: e 








hz
hy
hx
s
41
23
21
: 
Verifique se w e s são concorrentes. Em caso afirmativo, determine o ponto P de intersecção dessas 
retas. 
 
 
Caderno de Exercícios 4: 
 
1. Determine uma equação geral cartesiana do plano  . Considere o vetor n

 normal a  e o ponto A 
pertencente a  onde )2 ,5 ,3(n

 e )4 ,2 ,1(A . 
 
 
 
2. Considere o Exercício 1. Encontre uma equação geral para  substituindo a, b e c pelas 
componentes do vetor normal n

 e calculando o valor de d a partir da relação 000 czbyaxd  . 
 
 
 
3. Considere os pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C . Determine uma equação geral do plano 
 que contém os pontos A, B e C. 
 
 
 
4. Resolva o Exercício 3 substituindo a, b e c pelas componentes do vetor normal n

 e calculando o 
valor de d a partir da relação 000 czbyaxd  . 
 
5. Encontre uma equação vetorial do plano  que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e 
)3 ,2 ,5(C dado no Exercício 3. 
 
6. Utilize o produto misto para encontrar uma equação geral do plano  que passa pelos pontos 
)2 ,6 ,2(A , )4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C apresentados no Exercício 3. 
 
7. Considere o plano  definido por 020254  zyx . Determine os pontos A, B e C de 
intersecção do plano  com os eixos coordenados x, y e z, respectivamente. 
 
8. Seja o plano  definido por 020254  zyx conforme o Exercício 7. Determine as intersecções 
do plano  com os planos xy, yz e xz. 
 
9. Encontre um sistema de equações paramétricas do plano  que passa pelos pontos )2 ,6 ,2(A , 
)4 ,1 ,3(B e )3 ,2 ,5(C dados no Exercício 3. 
 
10. Seja r a reta dada pelas equações 








tz
ty
tx
21
5
32
. Verifique se r é paralela ao plano  dado por 
)233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
 
11. Considerando o Exercício 10, verifique se r está contida no plano  . 
 
12. Verifique se o ponto )3 ,2 ,4(A pertence ao plano )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  
definido no Exercício 10. 
 
 
 
13. Encontre o ângulo formado entre os planos 05:  zyx e 01232:  zyx . 
 
 
Caderno de Exercícios 5: 
 
1. Considerando os pontos A e B representados abaixo, determine a distância d(A, B). 
 
 
 
2. Sejam A=(2, 5, -4) e B=(3, 3, 2). Calcule d(A, B) e d(B, A). 
 
3. Determine a distância entre o ponto P=(5, 7) e a reta r:y=2x+2. 
 
4. Sabendo que A=(1, 0, 3) e r:M=(3t+1, 2t, 5t-2), encontre a distância entre o ponto A e a reta r. 
 
5. Encontre a distância entre o ponto D=(4, 1, 6) e o plano :2x+3y+z-2=0. 
 
6. Qual é a equação reduzida de uma circunferência com centro em C=(2, 2) e raio r=4?7. Determine a equação geral de uma circunferência com centro em C=(1, 3) e raio r=3? 
 
8. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y2+2x+6y=8? 
 
9. A figura abaixo apresenta uma elipse com centro na origem, semi-eixo vertical igual a 3 e semi-eixo 
horizontal igual a 4. 
 
 
 
Com base nessas informações, determine a equação canônica dessa elipse. 
 
 
 
10. Determine qual é a cônica de equação 25x2+9y2+100x+18y-116=0. 
 
11. Determine a equação canônica da hipérbole apresentada na figura abaixo. 
 
 
 
12. Determine a equação da parábola apresentada abaixo. 
 
 
 
13. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y-10=0? 
 
14. Determine qual é a cônica de equação igual a y2+2x+3y+5=0. 
 
15. Represente graficamente a parábola dada por x2-6x-y+5=0.