MÉTODO DAS FORÇAS (FLEXIBILIDADE OU COMPATIBILIDADE)

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HIPERESTÁTICA I – Professora Silvia Maria Baptista Kalil 
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CAPÍTULO II 
 
MÉTODO DAS FORÇAS (FLEXIBILIDADE OU COMPATIBILIDADE) 
 
1 - GRAU DE ESTATICIDADE OU GRAU DE HIPERESTATICIDADE ( gh) 
 
1a)Hiperestaticidade Externa - ge 
 
 Sejam as estruturas abaixo, a primeira possui 4 (quatro) reações de apoio a determinar 
e, para tal, dispomos das 3 (três) equações universais da Estática no plano ( �Fx=0 , �Fy=0 , 
�Mz=0 ). A segunda possui 5 (cinco) reações de apoio a determinar e 4 (quatro) equações 
para tanto, isto é, as três equações fundamentais da Estática no plano ( �Fx=0 , �Fy=0 , 
�Mz=0 ) e de mais uma (momento fletor nulo em B). Observa-se, desta forma, deficiência de 
uma equação para resolver o problema de cálculo das reações vinculares nos dois casos 
analisados. 
 Esta deficiência é chamada de Grau de Hiperestaticidade Externo da Estrutura. Assim, 
pode-se definir Grau de Hiperestaticidade Externo da Estrutura como sendo o número de 
equações suplementares necessárias para o cálculo das reações de apoio da estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1b) Hiperestaticidade Interna - gi 
 
Vejamos o exemplo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcularmos as solicitações internas, temos que romper a estrutura em uma seção “ S ", 
porém observa-se que qualquer seção que cortarmos a estrutura ficaremos com 6 (seis) 
incógnitas e possuímos somente 3(três) equações ( �Fx=0 , �Fy=0 , �Mz=0 ) para tal. 
 Assim pode-se definir Grau de Hiperestaticidade Interno da Estrutura como sendo o 
número de equações suplementares que necessitamos conhecer para traçar os diagramas de 
esforços internos 
 
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Q N 
M 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1c) Hiperestaticidade total - gh 
 
 Sabemos que para resolver uma estrutura necessitamos conhecer as reações vinculares 
e as solicitações internas. Desta forma, define-se Grau de Hiperstaticidade Total da Estrutura 
como sendo a soma de seus graus hiperstáticos externo e interno. 
 
 gh=ge+gi 
 
 
2 – CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS QUANTO À ESTATICIDADE 
 
 Quanto à estaticidade as estruturas são classificadas em: 
 
 HIPOSTÁTICAS se gh < 0 
ISOSTÁTICAS se gh = 0 
HIPERESTÁTICAS se gh > 0 
 
 
EXEMPLOS: 
 
 
 
Classifique quanto à estaticidade e determine o grau de hiperestaticidade total. 
 
1. 
 
R: g h= 0 (isostática) 
 
 
 
 
S1 
S2 
Q 
N 
M 
Q 
N 
M 
Q N M 
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2. 
 
 R: gh = 0 (hipostática) ineficácia vincular 
 
 
 
3. 
 
R: gh = -2 (hipostática) 
 
 
 
 
4. R: gh = 3 (hiperestática) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5. 
 R: gh = 2 (hiperestática) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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q 
 l 
 
6. 
 
 
 
 
 R : gh = 3 (hiperestática) 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
 
 R: gh = 0 (isostática) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 – O MÉTODO DAS FORÇAS 
 
 3a)A idéia do processo 
 
 Seja a estrutura abaixo, uma vez hiperestática : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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q 
 X1 
 
= 
 
+ 
 
 
X1 
� 
 
�11 
 
 
q 
 Nenhuma alteração do ponto de vista estático ocorrerá se encararmos a estrutura na 
forma abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conhecido o gh, liberamos o número de graus de liberdade necessários para converter a 
estrutura em uma estrutura isostática. Esta estrutura chamamos de forma principal ou sistema 
fundamental . Para preservar a compatibilidade estática introduzimos o esforço ( no caso X1) 
existente no vínculo rompido, que continua sendo incógnita do problema. Observe-se que na 
passagem da estrutura para a forma principal, liberamos uma deformação, que não existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
 Assim devemos impor a estrutura na forma principal, a condição de serem nulos os 
deslocamentos na direção da incógnita X1, isto é : 
 
 
 � 10 + �11 . X1 = 0 
 
 
 A equação acima é conhecida como EQUAÇÂO DE COMPATIBILIDADE DE 
DESLOCAMENTOS 
 Chamaremos de Estado 0 o diagrama de momentos fletores da estrutura submetida 
somente ao carregamento externo e de Estado 1 o diagrama de momentos fletores da estrutura 
submetida somente a uma força ou momento unitário aplicado na direção da incógnita 1. Assim, 
lembrando o cálculo de deslocamentos estudado no capítulo anterior, para calcular � 10 basta 
integrar os momentos do estado 0 com o do estado 1 e para calcular �11 basta integrar os 
momentos do estado 1 com ele msmo. Isto é: 
 
 
 
X1 
q 
1 
.X1 
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-ql2/2 
l 
1 
1 
1 
 
 dsEI
MM
.1010 �=δ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EI
ql
dxxqx
EI
ds
EI
MM
8
..2/1.
4
210
10
−=−== ��δ 
 
 
 
 
 
 dsEI
MM
.1111 �=δ 
 
 
 
 
 
 
 
EI
l
EI
dx
EI
xx
ds
EI
MM
3
1...
3
11
11 ==== ��δ 
 
 Levando os valores de � 10 e � 11 na equação de compatibilidade de deslocamentos 
tem-se: 
 
 qlx 8
3
11
10
1 == δ
δ
 
 
 
 As demais reações e esforços internos podem ser obtidos por superposição de efeitos, 
ou diretamente na forma principal. 
 Utilizando o princípio da superposição de efeitos temos: 
 
 
q 
l 
l 
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8
)
8
3
.(2/
2
210 qlqllqlMMM AAA −=+−=+= 
8
5
)
8
3
.(110
ql
qlqlVVV AAA =−=+= 
qlxqxMMxM xx )8
3
.(2/)( 2)(1)(0 +−=+= 
22,148
3)
8
3.(1)(
2
.0)(1)(0
ql
M
l
xqlqxQQxQ máxxx =�=�+=+= 
 
 
 
 
 
 
 
8
2ql
 
 
8
5ql
 ql8
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES 
 
 
 
 
 
 8
5ql
 ql8
3− 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A B 
 
 
X1 
 
 
X2 
X3 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES 
 
 
 
 
 
8
2ql− 22,14
2ql
 
 
 
 
 
3b) O Mètodo dasForças propriamente 
 
 Seja a estrutura abaixo, 3 (três) vezes hiperestática que desejamos resolver: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3b1)gh=1 
 
 
 
3b2)Forma Principal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3b3)Aplicando o Princìpio da Superposição de Efeitos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = . X1 + .X2 + .X3 
10δ 20δ 11δ 21δ 12δ 22δ 13δ 23δ 
 
 
 30δ 31δ 32δ 33δ 
 
 
 
 
 
 
3b4)Equações de Compatibilidade 
 
 
 
 O giro em A deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste) 
 
 
 03.2.1. 13121110 =+++ XXX δδδδ 
 
 
 O giro em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira espécie (engaste) 
 
 
 03.2.1. 23222120 =+++ XXX δδδδ 
 
 
 O deslocamento horizontal em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de 
terceira espécie (engaste) 
 
 
 03.2.1. 33233130 =+++ XXX δδδδ 
 
 
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 Assim possuímos um sistema de 3 (três) equações ecom 3(três) incógnitas, que pode ser 
resolvido por qualquer proceisso. 
 Os deslocamentos ijδ e 0iδ são os delocamentosem uma estrutura isostática onde 
 
 
 ijδ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observe-se que ijδ corresponde ao deslocamento (linear/angular) no grau de liberdade I 
devido à uma força/momento unitário aplicado no grau de liberdade j. 
 Reescrevendo o sistema de equações de forma matricial teremos: 
 
 
 
 11δ 12δ 13δ X1 10δ 0 
 
 21δ 22δ 23δ . X2 + 20δ = 0 
 
 31δ 32δ 33δ X3 30δ 0 
 
 
 0. iXF δ
���
= 
 
onde 
 
 adeFlexibiliddeMatrizF ....=
�
 
 )..(Re.... incógnitasdundantesdeVetorX =
�
 
CAUSA 
LUGAR 
DESLOCAMENTO 
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 tesIndependenTermosdeVetorio ......=δ
�
 
 
 
 
3b5) Cálculo dos coeficientes ijij e δδ ............... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3b6) Cálculo das solicitações finais que podem ser obtidas pelo Princípio da 
Superposição de Efeitos . 
 
 
 3.2.1. 3210 XMXMXMMM +++= 
 3.2.1. 3210 XQXQXQQQ +++= 
 3.2.1. 3210 XNXNXNNN +++= 
ds
GA
QQ
ds
EA
NN
ds
EI
MM jijiji
ii ��� ++= χδ
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GA
QQ
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EA
NN
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