Aula1_fisica4_2019_1a

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Centro: Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza (CCMN). 
Unidade: Instituto de Física. 
Turma: FÍSICA IV-A 
Professor: Bruno de Moura Escher 
(coordenador) 
Sala: A318-4 
e-mail: bmescher@if.ufrj.br
2019/1
Aula 1: Apresentação do Curso e Revisão de 
Física III-A.
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Revisão matemática.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
• Física IV-A 2019/1: 
• Site do Curso; 
• Livros Textos; 
• Critérios de Aprovação, presenças, inscrição no AVA; 
• Prova de 2 Chamada e Pedidos de Vista de Prova. 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Revisão matemática.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Informações sobre o Curso de Física IV-A
Todas as Informações estão disponíveis no site do curso 
http://fisica4.if.ufrj.br
Informações sobre o Curso de Física IV-A
Todas as Informações estão disponíveis no site do curso 
http://fisica4.if.ufrj.br
Informações sobre o Curso de Física IV-A
Livros Texto Sugeridos: P.A. Tipler & Mosca, Física para 
cientistas e engenheiros (vol2. e vol3.); D. Halliday, R. Resnick & 
J. Walker, Fundamentos de Física; H.D. Young & R.A. Freedman, 
Física (vol3 e 4); Alonso & Finn, Física: um curso universitário.
Informações sobre o Curso de Física IV-A
Livros Texto Sugeridos: P.A. Tipler & Mosca, Física para 
cientistas e engenheiros (vol2. e vol3.); D. Halliday, R. Resnick & 
J. Walker, Fundamentos de Física; H.D. Young & R.A. Freedman, 
Física (vol3 e 4); Alonso & Finn, Física: um curso universitário.
Prova de Segunda Chamada:
Informações sobre o Curso de Física IV-A
A Prova de Segunda Chamada somente poderá ser feita com 
justificativa. Para mais informações, consulte o site 
em provas. 
Vista de Provas:
A vista de prova (parte discursiva) somente será permitida 
aos alunos regularmente inscritos e que solicitarem no prazo 
estabelecido pela resolução que trata do tema. Para mais 
informações, consulte o site em provas. 
Avaliações Extras (optativas):
Informações sobre o Curso de Física IV-A
O estudante é responsável por se inscrever e acompanhar as datas, 
prazos e normas das Avaliações Extras no AVA. Os alunos poderão 
fazer até QUATRO (4) Avaliações Extras que são opcionais. 
As duas notas das primeiras avaliações, E1 e E2, serão acrescidas na 
primeira nota, enquanto as das duas últimas avaliações, E3 e E4, 
serão somadas com a segunda nota. 
Cada Avaliação Extra vale 0,2 pontos. As Avaliações Extras serão 
compostas por QUATRO (4) questões objetivas e duração de UMA 
(1) hora ou sessenta minutos; 
A pontuação de cada Avaliação Extra será dada da seguinte forma: 
4 ou 3 acertos = 0,2 pontos; 
2 ou 1 acerto = 0,1 ponto e 
0 acerto = 0,0 pontos; 
Critérios de Aprovação.
Os Alunos inscritos devem se inscrever no sistema AVA. Na semipresencial, a presença em sala de aula não é 
obrigatória. O número máximo de faltas permitido é de três atividades. No AVA, o curso é denominado física 
4 2019/1. A chave de acesso é: f420191s.
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Critérios de Aprovação.
Os Alunos inscritos devem se inscrever no sistema AVA. Na presencial, a presença em sala de aula é 
obrigatória. O número máximo de faltas permitido é de sete (7). No AVA, o curso é denominado física 4 
2019/1. A chave de acesso é: f420191p.
Informações sobre o Curso de Física IV-A
Horário das Aulas: Quarta e Sexta, 08h-10h, 10h-12h e 13h-15h.
Ementa do Curso
• Objetivos Gerais: Habilitar o aluno a identificar os 
fenômenos em termos de regularidade, quantificação e 
relações necessárias; reconhecer os princípios 
fundamentais que generalizam essas relações; resolver 
problemas relativamente simples. 
• Ementa: Equações de Maxwell. Ondas eletromagnéticas. 
Energia e momento linear da luz. Fenômenos de 
Interferência. Difração. Polarização. Física Moderna. 
Noções de Relatividade Restrita. Efeitos fotoelétrico e 
Compton. Átomo de hidrogênio. Difração de Elétrons. 
Função de Onda. Eq. de Schroedinger. Princípio de 
Incerteza.
Informações sobre o Curso de Física IV-A
Horário das Aulas: Quarta e Sexta, 08h-10h, 10h-12h e 13h-15h.
Ementa do Curso
• Objetivos Gerais: Habilitar o aluno a identificar os 
fenômenos em termos de regularidade, quantificação e 
relações necessárias; reconhecer os princípios 
fundamentais que generalizam essas relações; resolver 
problemas relativamente simples. 
• Ementa: Equações de Maxwell. Ondas eletromagnéticas. 
Energia e momento linear da luz. Fenômenos de 
Interferência. Difração. Polarização. Física Moderna. 
Noções de Relatividade Restrita. Efeitos fotoelétrico e 
Compton. Átomo de hidrogênio. Difração de Elétrons. 
Função de Onda. Eq. de Schroedinger. Princípio de 
Incerteza.
Informações sobre o Curso de Física IV-A
Bem-Vindos ao 
Curso de Física IV-A 
2019/1
• Escolha um Livro Texto e siga a matéria por ele; 
• As notas de aula não devem ser usadas como único 
material didático. As notas servem apenas para 
facilitar a dinâmica em sala de aula; 
• Mantenha-se em dia com a matéria! 
• Faça os exercícios sugeridos e outros; 
• Dedique-se ao curso!!
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Lei de Gauss para o campo Elétrico; 
• Lei de Gauss para o campo Magnético; 
• Lei de Faraday; 
• Lei de Ampère; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento. 
• Revisão matemática.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Introdução:
• A interação eletromagnética é essencial para entendermos a 
dinâmica/constituição dos elementos em nossa volta, a 
estrutura da matéria (+ física quântica), os processos físicos 
e biológicos etc; 
• Intensidade das interações: Forte (nuclear), 1 ; 
Eletromagnética, 10^(-2); Fraca (decaimentos), 10^(-5); 
Gravitacional, 10^(-38);
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Introdução:
• Gregos já conheciam o Ambar (resina amarela - filme Parque dos 
Dinossauros), que se eletrizava, e os ímãs; 
• Antes de ~1700: Eletricidade e Magnetismo eram separados; 
• Eletricidade: Cavendish (1771-1773) e Coulomb (1785); 
• Magnetismo: W. Gilbert (1600 - Terra é um ímã); 
• Eletromagnetismo: H.C. Oersted (1820) -corrente elétrica e ímãs, 
A.M. Ampère (~1820) -lei de Ampère (entre fios); M. Faraday 
(~1831) -indução eletromagnética; 
• Reformulação do Eletromagnetismo: J.C. Maxwell (1831-1879) -
existência de ondas eletromagnéticas (demonstrado 1888, Hertz).
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria 
conhecida é: Interação Eletromagnética.
A interação eletromagnética está relacionada com uma 
propriedade fundamental: a carga elétrica (positiva ou negativa e 
quantizada - J.J. Thompson e R.A. Millikan).
Q = Ne
e = 1, 602110�19C ' 1, 610�19C
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Um tipo de INTERAÇÃO entre partículas que compõe a matéria 
conhecida é: Interação Eletromagnética.
A interação eletromagnética está relacionada com uma 
propriedade fundamental: a carga elétrica (positiva ou negativa e 
quantizada - J.J. Thompson e R.A. Millikan).
Q = Ne
e = 1, 602110�19C ' 1, 610�19C
Dada uma partícula com carga q, a força sentida por essa carga 
devido à presença de outras é (Força de Lorentz):
~F = q[ ~E + ~v ⇥ ~B]
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação: partículas com carga elétrica produzem campos 
elétrico e magnético no espaço, os quais afetam o movimento de 
outras partículas com carga elétrica.
Como um conjunto de partículas carregadas produz os campos 
elétrico e magnético no espaço?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação: partículas com carga elétrica produzem campos 
elétrico e magnético no espaço, os quais afetam o movimento de 
outras partículas com carga elétrica.
As equações de Maxwell são a resposta para essa questão.Além 
disso, as quatro equações de Maxwell explicam toda a interação 
e létr ica , magnét ica , e letromagnét ica e a rad iação 
eletromagnética.
Como um conjunto de partículas carregadas produz os campos 
elétrico e magnético no espaço?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
As eq. de Maxwell na forma integral são:
�E(t) =
I
S
~E(~r, t) • ~uNdS =
Q(t)
✏0
�B(t) =
I
S
~B(~r, t) • ~uNdS = 0
I
L
~E(~r, t) • d~l = � d
dt
Z
S
~B(~r, t) • ~undS = �
d�B(t)
dt
I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0
d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS
As integrais são realizadas em superfícies e circuitos fechados 
( ) ou superfícies abertas ( ) . 
+
I Z
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
As Eqs. de Maxwell na forma diferencial são: 
~r⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0
@ ~E
@t
(x, y, z, t)]
~r⇥ ~E(x, y, z, t) = �@
~B
@t
(x, y, z, t)
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
~r • ~B(x, y, z, t) = 0
O solução formal dos problemas da eletrodinâmica consiste em 
determinar (i) os campos elétricos e magnéticos, a partir da 
densidade de carga e da densidade de corrente e (ii) determinar 
o movimento das cargas, com a força de Lorentz e a lei da 
dinâmica, a partir dos campos elétricos e magnéticos. 
Densidade de Corrente de 
deslocamento.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Alguns símbolos que aparecem nas equações que vamos trabalhar 
na primeira parte do curso são:
~E(~r, t) ; ~B(~r, t) ; ✏0 ; µ0 ; Q(t) ; I(t)
I
S
;
Z
S
;
I
L
@
@t
; ~r ; ~r• ; ~r⇥
⇢(~r, t) ; ~J(~r, t)
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Alguns símbolos que aparecem nas equações que vamos trabalhar 
na primeira parte do curso são:
~E(~r, t) ; ~B(~r, t) ; ✏0 ; µ0 ; Q(t) ; I(t)
I
S
;
Z
S
;
I
L
@
@t
; ~r ; ~r• ; ~r⇥
⇢(~r, t) ; ~J(~r, t)
Quais os significados físicos desses símbolos, o que eles 
representam e como operar matematicamente com eles?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Lei de Gauss para o campo Elétrico; 
• Lei de Gauss para o campo Magnético; 
• Lei de Faraday; 
• Lei de Ampère; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento. 
• Revisão matemática.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Lei de Gauss para o campo elétrico:
�E(t) =
I
S
~E(~r, t) • ~uNdS =
Q(t)
✏0
O fluxo total do campo elétrico sobre uma superfície fechada é 
proporcional à CARGA TOTAL no interior dessa superfície: 
Aula 2: Equações de Maxwell.
, ✏0 = 8, 854⇥ 10�12
C2
Nm2
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Lei de Gauss para o campo elétrico:
�E(t) =
I
S
~E(~r, t) • ~uNdS =
Q(t)
✏0
O fluxo total do campo elétrico sobre uma superfície fechada é 
proporcional à CARGA TOTAL no interior dessa superfície: 
, ✏0 = 8, 854⇥ 10�12
C2
Nm2
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Exemplo: Calcule o campo elétrico produzido por uma partícula de 
carga “q" em repouso com a lei de Gauss. Considere que o campo 
elétrico é divergente. 
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Lei de Gauss para o campo Elétrico; 
• Lei de Gauss para o campo Magnético; 
• Lei de Faraday; 
• Lei de Ampère; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento. 
• Revisão matemática.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Lei de Gauss para o campo magnético:
�B(t) =
I
S
~B(~r, t) • ~uNdS = 0
O fluxo total do campo magnético sobre uma superfície fechada é 
sempre nulo! O que isso quer dizer?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Lei de Gauss para o campo magnético:
�B(t) =
I
S
~B(~r, t) • ~uNdS = 0
O fluxo total do campo magnético sobre uma superfície fechada é 
sempre nulo! O que isso quer dizer?
Interpretação física: Não existem monopolos magnéticos. Até o 
momento, nunca se observou essas cargas de campo magnético. Se 
existissem, poderíamos demonstrar/entender teoricamente a 
quantização da carga elétrica.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Exemplo: Calcule o campo magnético com a lei de Gauss. É 
possível encontrar a solução anterior obtida para o campo 
elétrico?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Lei de Gauss para o campo Elétrico; 
• Lei de Gauss para o campo Magnético; 
• Lei de Faraday; 
• Lei de Ampère; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento. 
• Revisão matemática.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Lei de Faraday-Henry:I
L
~E(~r, t) • d~l = � d
dt
Z
S
~B(~r, t) • ~undS = �
d�B(t)
dt
A variação temporal do fluxo magnético, sobre uma superfície "S" 
de contorno "L", produz um campo elétrico.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Exemplo: Calcule o campo elétrico produzido por um campo 
magnético variável no tempo. O campo magnético é diferente de 
zero apenas no interior da circunferência de raio “r”, cujo valor 
em qualquer ponto é:
r
~B(~r, t) = B0(t)ẑ
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• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Lei de Gauss para o campo Elétrico; 
• Lei de Gauss para o campo Magnético; 
• Lei de Faraday; 
• Lei de Ampère; 
• Vetor densidade de corrente de deslocamento. 
• Revisão matemática.
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Revisão de Física III-A.
Lei de Ampère-Maxwell:I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0
d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS
Ampère: a corrente elétrica I total que atravessa uma superfície 
“S”, de contorno “L”, gera um campo magnético.
+
µ0 = 4⇡ ⇥ 10�7
N
A2
A =
C
s
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Exemplo: Calcule o campo magnético produzido por uma corrente 
estacionária "i" que passa por um fio linear e retilíneo. 
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Maxwell: a variação temporal do fluxo elétrico, sobre uma 
superfície “S”, de contorno “L”, gera um campo magnético.
Lei de Ampère-Maxwell:I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0
d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS+
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Maxwell: a variação temporal do fluxo elétrico, sobre uma 
superfície “S”, de contorno “L”, gera um campo magnético.
Lei de Ampère-Maxwell:I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0
d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS+
As três primeiras equações do eletromagnetismo são válidas 
tanto nos casos eletro e magnetostáticos quanto na 
eletrodinâmica. Como Maxwell percebeu que as equações do 
eletromagnetismo estavam incompletas e como resolveu esse 
problema?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Vamos considerar o processo de carga de um capacitor com fios 
longos. O contorno L (círculo preto da figura) que escolhemos 
para usarmos está na figura. Escolhemos a superfície "S" de tal 
forma a não encostar no fio e nenhuma corrente elétrica a 
atravessa. Como modificar a Lei de Ampère para obtermos um 
campo magnético não nulo? Maxwell nos mostrou como alterar.
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Lei de Gauss para o campo elétrico:
�E(t) =
I
S
~E(~r, t) • ~uNdS =
Q(t)
✏0
Lei de Gauss para o campo magnético:
�B(t) =
I
S
~B(~r, t) • ~uNdS = 0
Lei de Faraday-Henry:I
L
~E(~r, t) • d~l = � d
dt
Z
S
~B(~r, t) • ~undS = �
d�B(t)
dt
Lei de Ampére-Maxwell:I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t)� µ0✏0
d
dt
Z
S
~E(~r, t) • ~undS
Corrente de Deslocamento
+
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Revisão de Física III-A.
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Revisão matemática. 
• Teoremas de Gauss e Stokes/Green;• Gradiente; 
• Divergente; 
• Rotacional.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
As equações do eletromagnetismo na forma integral podem ser 
transformadas na forma diferencial através dos teoremas de 
Gauss (divergência) e de Stokes/Green (demonstração no fim): I
S
~A(~r) • ûNdS =
Z
V
~r • ~A(~r)dV
O fluxo total de um campo A sobre uma superfície fechada “S”, 
que engloba o volume “V" é igual à integral volumétrica do 
divergente do campo.
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Revisão de Física III-A.
As equações do eletromagnetismo na forma integral podem ser 
transformadas na forma diferencial através dos teoremas de 
Gauss (divergência) e de Stokes/Green (demonstração no fim): I
S
~A(~r) • ûNdS =
Z
V
~r • ~A(~r)dV
O fluxo total de um campo A sobre uma superfície fechada “S”, 
que engloba o volume “V" é igual à integral volumétrica do 
divergente do campo.
I
L
~A(~r) • d~l =
Z
S
h
~r⇥ ~A(~r)
i
• ûNdS
O fluxo do rotacional do campo A sobre uma superfície “S”, com 
contorno “L", é igual à integral (fechada) de linha do campo.
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Revisão de Física III-A.
Lei de Gauss para o campo elétrico:
Obtemos o resultado:
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
Z
V
~r • ~E(~r, t)dV =
I
S
~E(~r, t) • ûNdS =
Q(t)
✏0
=
1
✏0
Z
V
⇢(~r, t)dV
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Lei de Gauss para o campo elétrico:
Obtemos o resultado:
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
Z
V
~r • ~E(~r, t)dV =
I
S
~E(~r, t) • ûNdS =
Q(t)
✏0
=
1
✏0
Z
V
⇢(~r, t)dV
Lei de Ampère:I
L
~B(~r, t) • d~l = µ0I(t) = µ0
Z
S
~J(~r, t) • ûNdS =
Z
S
~r⇥ ~B(~r, t) • ûNdS
Obtemos o resultado:
~r⇥ ~B(~r, t) = µ0 ~J(~r, t)
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Revisão de Física III-A.
Vimos que um triângulo invertido com uma seta (o operador 
Nabla) aparece no conjunto das Eqs. de Maxwell na forma 
diferencial. Vamos revisar algumas propriedades e aplicações 
desse operador. 
Uma definição operacional do operador Nabla se dá em termos de 
coordenadas cartesianas xyz (no espaço 3D): 
~r ⌘ î @
@x
+ ĵ
@
@y
+ k̂
@
@z
(̂i = x̂, ĵ = ŷ, k̂ = ẑ)
<latexit sha1_base64="ym5l+hTXovF7cWuuTKURrOVD7Eg=">AAACIHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhzChDFaEeZFGHrxOMG9wFpGmqVbXJqWJBVn6Ufx4lfx4kERvemnMesK6uYDIT/+/+chef5exKhUlvVpLCwuLa+sFtaK6xubW9vmzm5LhrHApIlDFoqOhyRhlJOmooqRTiQICjxG2t7oYuK3b4mQNOTXahwRN0ADTn2KkdJSz6yVnSFSCU3PsvsurTgVmOFNLo1/pFEu3adHPbNkVa2s4DzYOZRAXo2e+eH0QxwHhCvMkJRd24qUmyChKGYkLTqxJBHCIzQgXY0cBUS6SbZgCg+10od+KPThCmbq74kEBVKOA093BkgN5aw3Ef/zurHyT92E8ihWhOPpQ37MoArhJC3Yp4JgxcYaEBZU/xXiIRIIK51pUYdgz648D63jqq356qRUP8/jKIB9cADKwAY1UAeXoAGaAIMH8ARewKvxaDwbb8b7tHXByGf2wJ8yvr4BIB6jkA==</latexit><latexit sha1_base64="ym5l+hTXovF7cWuuTKURrOVD7Eg=">AAACIHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhzChDFaEeZFGHrxOMG9wFpGmqVbXJqWJBVn6Ufx4lfx4kERvemnMesK6uYDIT/+/+chef5exKhUlvVpLCwuLa+sFtaK6xubW9vmzm5LhrHApIlDFoqOhyRhlJOmooqRTiQICjxG2t7oYuK3b4mQNOTXahwRN0ADTn2KkdJSz6yVnSFSCU3PsvsurTgVmOFNLo1/pFEu3adHPbNkVa2s4DzYOZRAXo2e+eH0QxwHhCvMkJRd24qUmyChKGYkLTqxJBHCIzQgXY0cBUS6SbZgCg+10od+KPThCmbq74kEBVKOA093BkgN5aw3Ef/zurHyT92E8ihWhOPpQ37MoArhJC3Yp4JgxcYaEBZU/xXiIRIIK51pUYdgz648D63jqq356qRUP8/jKIB9cADKwAY1UAeXoAGaAIMH8ARewKvxaDwbb8b7tHXByGf2wJ8yvr4BIB6jkA==</latexit><latexit sha1_base64="ym5l+hTXovF7cWuuTKURrOVD7Eg=">AAACIHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhzChDFaEeZFGHrxOMG9wFpGmqVbXJqWJBVn6Ufx4lfx4kERvemnMesK6uYDIT/+/+chef5exKhUlvVpLCwuLa+sFtaK6xubW9vmzm5LhrHApIlDFoqOhyRhlJOmooqRTiQICjxG2t7oYuK3b4mQNOTXahwRN0ADTn2KkdJSz6yVnSFSCU3PsvsurTgVmOFNLo1/pFEu3adHPbNkVa2s4DzYOZRAXo2e+eH0QxwHhCvMkJRd24qUmyChKGYkLTqxJBHCIzQgXY0cBUS6SbZgCg+10od+KPThCmbq74kEBVKOA093BkgN5aw3Ef/zurHyT92E8ihWhOPpQ37MoArhJC3Yp4JgxcYaEBZU/xXiIRIIK51pUYdgz648D63jqq356qRUP8/jKIB9cADKwAY1UAeXoAGaAIMH8ARewKvxaDwbb8b7tHXByGf2wJ8yvr4BIB6jkA==</latexit><latexit sha1_base64="ym5l+hTXovF7cWuuTKURrOVD7Eg=">AAACIHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhzChDFaEeZFGHrxOMG9wFpGmqVbXJqWJBVn6Ufx4lfx4kERvemnMesK6uYDIT/+/+chef5exKhUlvVpLCwuLa+sFtaK6xubW9vmzm5LhrHApIlDFoqOhyRhlJOmooqRTiQICjxG2t7oYuK3b4mQNOTXahwRN0ADTn2KkdJSz6yVnSFSCU3PsvsurTgVmOFNLo1/pFEu3adHPbNkVa2s4DzYOZRAXo2e+eH0QxwHhCvMkJRd24qUmyChKGYkLTqxJBHCIzQgXY0cBUS6SbZgCg+10od+KPThCmbq74kEBVKOA093BkgN5aw3Ef/zurHyT92E8ihWhOPpQ37MoArhJC3Yp4JgxcYaEBZU/xXiIRIIK51pUYdgz648D63jqq356qRUP8/jKIB9cADKwAY1UAeXoAGaAIMH8ARewKvxaDwbb8b7tHXByGf2wJ8yvr4BIB6jkA==</latexit>
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Vimos que um triângulo invertido com uma seta (o operador 
Nabla) aparece no conjunto das Eqs. de Maxwell na forma 
diferencial. Vamos revisar algumas propriedades e aplicações 
desse operador. 
Uma definição operacional do operador Nabla se dá em termos de 
coordenadas cartesianas xyz (no espaço 3D): 
~r ⌘ î @
@x
+ ĵ
@
@y
+ k̂
@
@z
Note que, por si só, o operador nabla não possui módulo, direção e 
sentido bem definidos. A aplicação dele em funções escalares e 
vetores que possui significado concreto! 
(̂i = x̂, ĵ = ŷ, k̂ = ẑ)
<latexit sha1_base64="ym5l+hTXovF7cWuuTKURrOVD7Eg=">AAACIHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhzChDFaEeZFGHrxOMG9wFpGmqVbXJqWJBVn6Ufx4lfx4kERvemnMesK6uYDIT/+/+chef5exKhUlvVpLCwuLa+sFtaK6xubW9vmzm5LhrHApIlDFoqOhyRhlJOmooqRTiQICjxG2t7oYuK3b4mQNOTXahwRN0ADTn2KkdJSz6yVnSFSCU3PsvsurTgVmOFNLo1/pFEu3adHPbNkVa2s4DzYOZRAXo2e+eH0QxwHhCvMkJRd24qUmyChKGYkLTqxJBHCIzQgXY0cBUS6SbZgCg+10od+KPThCmbq74kEBVKOA093BkgN5aw3Ef/zurHyT92E8ihWhOPpQ37MoArhJC3Yp4JgxcYaEBZU/xXiIRIIK51pUYdgz648D63jqq356qRUP8/jKIB9cADKwAY1UAeXoAGaAIMH8ARewKvxaDwbb8b7tHXByGf2wJ8yvr4BIB6jkA==</latexit><latexit sha1_base64="ym5l+hTXovF7cWuuTKURrOVD7Eg=">AAACIHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhzChDFaEeZFGHrxOMG9wFpGmqVbXJqWJBVn6Ufx4lfx4kERvemnMesK6uYDIT/+/+chef5exKhUlvVpLCwuLa+sFtaK6xubW9vmzm5LhrHApIlDFoqOhyRhlJOmooqRTiQICjxG2t7oYuK3b4mQNOTXahwRN0ADTn2KkdJSz6yVnSFSCU3PsvsurTgVmOFNLo1/pFEu3adHPbNkVa2s4DzYOZRAXo2e+eH0QxwHhCvMkJRd24qUmyChKGYkLTqxJBHCIzQgXY0cBUS6SbZgCg+10od+KPThCmbq74kEBVKOA093BkgN5aw3Ef/zurHyT92E8ihWhOPpQ37MoArhJC3Yp4JgxcYaEBZU/xXiIRIIK51pUYdgz648D63jqq356qRUP8/jKIB9cADKwAY1UAeXoAGaAIMH8ARewKvxaDwbb8b7tHXByGf2wJ8yvr4BIB6jkA==</latexit><latexit sha1_base64="ym5l+hTXovF7cWuuTKURrOVD7Eg=">AAACIHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhzChDFaEeZFGHrxOMG9wFpGmqVbXJqWJBVn6Ufx4lfx4kERvemnMesK6uYDIT/+/+chef5exKhUlvVpLCwuLa+sFtaK6xubW9vmzm5LhrHApIlDFoqOhyRhlJOmooqRTiQICjxG2t7oYuK3b4mQNOTXahwRN0ADTn2KkdJSz6yVnSFSCU3PsvsurTgVmOFNLo1/pFEu3adHPbNkVa2s4DzYOZRAXo2e+eH0QxwHhCvMkJRd24qUmyChKGYkLTqxJBHCIzQgXY0cBUS6SbZgCg+10od+KPThCmbq74kEBVKOA093BkgN5aw3Ef/zurHyT92E8ihWhOPpQ37MoArhJC3Yp4JgxcYaEBZU/xXiIRIIK51pUYdgz648D63jqq356qRUP8/jKIB9cADKwAY1UAeXoAGaAIMH8ARewKvxaDwbb8b7tHXByGf2wJ8yvr4BIB6jkA==</latexit><latexit sha1_base64="ym5l+hTXovF7cWuuTKURrOVD7Eg=">AAACIHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhzChDFaEeZFGHrxOMG9wFpGmqVbXJqWJBVn6Ufx4lfx4kERvemnMesK6uYDIT/+/+chef5exKhUlvVpLCwuLa+sFtaK6xubW9vmzm5LhrHApIlDFoqOhyRhlJOmooqRTiQICjxG2t7oYuK3b4mQNOTXahwRN0ADTn2KkdJSz6yVnSFSCU3PsvsurTgVmOFNLo1/pFEu3adHPbNkVa2s4DzYOZRAXo2e+eH0QxwHhCvMkJRd24qUmyChKGYkLTqxJBHCIzQgXY0cBUS6SbZgCg+10od+KPThCmbq74kEBVKOA093BkgN5aw3Ef/zurHyT92E8ihWhOPpQ37MoArhJC3Yp4JgxcYaEBZU/xXiIRIIK51pUYdgz648D63jqq356qRUP8/jKIB9cADKwAY1UAeXoAGaAIMH8ARewKvxaDwbb8b7tHXByGf2wJ8yvr4BIB6jkA==</latexit>
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Revisão matemática. 
• Teoremas de Gauss e Stokes/Green; 
• Gradiente; 
• Divergente; 
• Rotacional.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Gradiente: Aplicação do operador Nabla em escalares.
Considere uma função escalar “f”. Como definir o seguinte 
símbolo?
~rf(x, y, z, t) = ~rf(~r, t) =?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Gradiente: Aplicação do operador Nabla em escalares.
Considere uma função escalar “f”. Como definir o seguinte 
símbolo?
~rf(x, y, z, t) = ~rf(~r, t) =?
O resultado do operador nabla em um escalar é um vetor, cujas 
componentes cartesianas são dadas por:
~rf(~r, t) = î@f
@x
(~r, t) + ĵ
@f
@y
(~r, t) + k̂@f
@z
(~r, t)
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Exemplos (1D): Calcule o gradiente das seguintes funções. 
f(x) = c f(x) = x f(x) = x2 f(x) = x3 f(x) = x� x2 + x3/10
Exemplos (2D): Calcule o gradiente das seguintes funções. 
f(x, y) = x2 + y2 f(x, y) =
1
x2 + y2 f(x, y) = (x� y)
2
Exemplos (3D): Calcule o gradiente das seguintes funções. 
~r = xî+ yĵ + zẑ = xx̂+ yŷ + zẑ
f(~r) = ~r • ~r = x2 + y2 + z2
f(~r) = ~r • ~r = f0 cos (kxx+ kyy + kzz)
f(~r) = 1/(~r • ~r) f(~r) = 1/(
p
~r • ~r)
Faça os gráficos (1D e 2D) das funções e dos gradientes.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação física do gradiente:
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação física do gradiente:
A direção do gradiente de uma função escalar fornece a direção 
de maior variação da função escalar. De fato, a deriva parcial de 
uma função ao longo de uma direção u qualquer vale:
@f
@û
(~r, t) = lim
s!0
f(~r + sû, t)� f(~r, t)
s
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação física do gradiente:
A direção do gradiente de uma função escalar fornece a direção 
de maior variação da função escalar. De fato, a deriva parcial de 
uma função ao longo de uma direção u qualquer vale:
@f
@û
(~r, t) = lim
s!0
f(~r + sû, t)� f(~r, t)
s
= û • ~rf(~r, t)
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação física do gradiente:
A direção do gradiente de uma função escalar fornece a direção 
de maior variação da função escalar. De fato, a deriva parcial de 
uma função ao longo de uma direção u qualquer vale:
@f
@û
(~r, t) = lim
s!0
f(~r + sû, t)� f(~r, t)
s
= û • ~rf(~r, t)
Podemos definir Força conservativa (vetor) através do gradiente 
da energia potencial (escalar).
~F (~r) = �~rU(~r)
<latexit sha1_base64="/E/JLXAkzwzeH/ykucjJcAz2oJ4=">AAACEXicbZBPS8MwGMbT+W/Of1WPXoJDmAdHK4JehKEgHifYbbCWkWbpFpamJUkHo/QrePGrePGgiFdv3vw2Zl0R3Xwh5MfzvC/J+/gxo1JZ1pdRWlpeWV0rr1c2Nre2d8zdvZaMEoGJgyMWiY6PJGGUE0dRxUgnFgSFPiNtf3Q99dtjIiSN+L2axMQL0YDTgGKktNQza+6Y4PQmm90iO748ycnlyGcoc370nlm16lZecBHsAqqgqGbP/HT7EU5CwhVmSMqubcXKS5FQFDOSVdxEkhjhERqQrkaOQiK9NN8og0da6cMgEvpwBXP190SKQiknoa87Q6SGct6biv953UQFF15KeZwowvHsoSBhUEVwGg/sU0GwYhMNCAuq/wrxEAmElQ6xokOw51dehNZp3dZ8d1ZtXBVxlMEBOAQ1YINz0AC3oAkcgMEDeAIv4NV4NJ6NN+N91loyipl98KeMj2954Z1o</latexit><latexit sha1_base64="/E/JLXAkzwzeH/ykucjJcAz2oJ4=">AAACEXicbZBPS8MwGMbT+W/Of1WPXoJDmAdHK4JehKEgHifYbbCWkWbpFpamJUkHo/QrePGrePGgiFdv3vw2Zl0R3Xwh5MfzvC/J+/gxo1JZ1pdRWlpeWV0rr1c2Nre2d8zdvZaMEoGJgyMWiY6PJGGUE0dRxUgnFgSFPiNtf3Q99dtjIiSN+L2axMQL0YDTgGKktNQza+6Y4PQmm90iO748ycnlyGcoc370nlm16lZecBHsAqqgqGbP/HT7EU5CwhVmSMqubcXKS5FQFDOSVdxEkhjhERqQrkaOQiK9NN8og0da6cMgEvpwBXP190SKQiknoa87Q6SGct6biv953UQFF15KeZwowvHsoSBhUEVwGg/sU0GwYhMNCAuq/wrxEAmElQ6xokOw51dehNZp3dZ8d1ZtXBVxlMEBOAQ1YINz0AC3oAkcgMEDeAIv4NV4NJ6NN+N91loyipl98KeMj2954Z1o</latexit><latexit sha1_base64="/E/JLXAkzwzeH/ykucjJcAz2oJ4=">AAACEXicbZBPS8MwGMbT+W/Of1WPXoJDmAdHK4JehKEgHifYbbCWkWbpFpamJUkHo/QrePGrePGgiFdv3vw2Zl0R3Xwh5MfzvC/J+/gxo1JZ1pdRWlpeWV0rr1c2Nre2d8zdvZaMEoGJgyMWiY6PJGGUE0dRxUgnFgSFPiNtf3Q99dtjIiSN+L2axMQL0YDTgGKktNQza+6Y4PQmm90iO748ycnlyGcoc370nlm16lZecBHsAqqgqGbP/HT7EU5CwhVmSMqubcXKS5FQFDOSVdxEkhjhERqQrkaOQiK9NN8og0da6cMgEvpwBXP190SKQiknoa87Q6SGct6biv953UQFF15KeZwowvHsoSBhUEVwGg/sU0GwYhMNCAuq/wrxEAmElQ6xokOw51dehNZp3dZ8d1ZtXBVxlMEBOAQ1YINz0AC3oAkcgMEDeAIv4NV4NJ6NN+N91loyipl98KeMj2954Z1o</latexit><latexit sha1_base64="/E/JLXAkzwzeH/ykucjJcAz2oJ4=">AAACEXicbZBPS8MwGMbT+W/Of1WPXoJDmAdHK4JehKEgHifYbbCWkWbpFpamJUkHo/QrePGrePGgiFdv3vw2Zl0R3Xwh5MfzvC/J+/gxo1JZ1pdRWlpeWV0rr1c2Nre2d8zdvZaMEoGJgyMWiY6PJGGUE0dRxUgnFgSFPiNtf3Q99dtjIiSN+L2axMQL0YDTgGKktNQza+6Y4PQmm90iO748ycnlyGcoc370nlm16lZecBHsAqqgqGbP/HT7EU5CwhVmSMqubcXKS5FQFDOSVdxEkhjhERqQrkaOQiK9NN8og0da6cMgEvpwBXP190SKQiknoa87Q6SGct6biv953UQFF15KeZwowvHsoSBhUEVwGg/sU0GwYhMNCAuq/wrxEAmElQ6xokOw51dehNZp3dZ8d1ZtXBVxlMEBOAQ1YINz0AC3oAkcgMEDeAIv4NV4NJ6NN+N91loyipl98KeMj2954Z1o</latexit>
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Revisão matemática. 
• Teoremas de Gauss e Stokes/Green; 
• Gradiente; 
• Divergente; 
• Rotacional.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Divergente: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere um campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Divergente: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere um campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Podemos usar as operações vetoriais de produto escalar e 
produto vetorial entre dois vetores. Com o produto escalar, temos 
o divergente:
~r • ~F (x, y, z, t) = ~r • ~F (~r, t) = @Fx
@x
(~r, t) +
@Fy
@y
(~r, t) +
@Fz
@z
(~r, t)
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Divergente: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere um campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Podemos usar as operações vetoriais de produto escalar e 
produto vetorial entre dois vetores. Com o produto escalar, temos 
o divergente:
~r • ~F (x, y, z, t) = ~r • ~F (~r, t) = @Fx
@x
(~r, t) +
@Fy
@y
(~r, t) +
@Fz
@z
(~r, t)
Note que o divergente de um campo vetorial é um escalar.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Exemplos (1D): Calcule o divergente dos seguintes campos. 
~f(x) = ~c ~f(x) = xî ~f(x) = xĵ ~f(x) = f(x)̂i
Exemplos (2D): Calcule o divergente dos seguintes campos. 
~f(x, y) = xî+ yĵ ~f(x, y) = xî� yĵ ~f(x, y) = ~f0sen(kxx+ kyy)
Exemplos (3D): Calcule o divergente dos seguintes campos. 
~f(~r) = ~r ~f(~r) = (~r • ~r)~r ~f(~r) = ~f0 ⇥ ~r
~f(~r) = ~f0 cos (kxx+ kyy + kzz) = ~f0 cos (~k • ~r)
Faça os gráficos dos campos vetoriais e compare com a função do 
divergente obtida.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação física do divergente:
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação física do divergente:
O significado físico do divergente aparece de modo direto na 
análise de escoamentos de fluidos. Considere um vetor que 
representa o fluxo de um fluido. O divergente desse vetor 
fornece a taxa com que a densidade desse fluido diminui.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Interpretação física do divergente:
O significado físico do divergente aparece de modo direto na 
análise de escoamentos de fluidos. Considere um vetor que 
representa o fluxo de um fluido. O divergente desse vetor 
fornece a taxa com que a densidade desse fluido diminui.
O gráfico do campo vetorial, com divergente não nulo e rotacional 
nulo, é~F (~r) = xî+ yĵ
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
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Revisão de Física III-A.
• Física IV-A 2019/1; 
• Equações de Maxwell na forma integral e diferencial; 
• Revisão matemática. 
• Teoremas de Gauss e Stokes/Green; 
• Gradiente; 
• Divergente; 
• Rotacional.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Rotacional: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere uma campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Rotacional: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere uma campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Podemos usar as operações vetoriais de produto escalar e 
produto vetorial entre dois vetores. Com o produto vetorial, 
temos o rotacional:
~r⇥ ~F =
2
664
î ĵ k̂
@
@x
@
@y
@
@z
Fx(~r, t) Fy(~r, t) Fz(~r, t)
3
775 =
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.Rotacional: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere uma campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Podemos usar as operações vetoriais de produto escalar e 
produto vetorial entre dois vetores. Com o produto vetorial, 
temos o rotacional:
~r⇥ ~F =
2
664
î ĵ k̂
@
@x
@
@y
@
@z
Fx(~r, t) Fy(~r, t) Fz(~r, t)
3
775 =
î
✓
@Fz
@y
� @Fy
@z
◆
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Rotacional: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere uma campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Podemos usar as operações vetoriais de produto escalar e 
produto vetorial entre dois vetores. Com o produto vetorial, 
temos o rotacional:
~r⇥ ~F =
2
664
î ĵ k̂
@
@x
@
@y
@
@z
Fx(~r, t) Fy(~r, t) Fz(~r, t)
3
775 =
î
✓
@Fz
@y
� @Fy
@z
◆
+ĵ
✓
@Fx
@z
� @Fz
@x
◆
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Rotacional: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere uma campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Podemos usar as operações vetoriais de produto escalar e 
produto vetorial entre dois vetores. Com o produto vetorial, 
temos o rotacional:
~r⇥ ~F =
2
664
î ĵ k̂
@
@x
@
@y
@
@z
Fx(~r, t) Fy(~r, t) Fz(~r, t)
3
775 =
î
✓
@Fz
@y
� @Fy
@z
◆
+ĵ
✓
@Fx
@z
� @Fz
@x
◆
+k̂
✓
@Fy
@x
� @Fx
@y
◆
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Rotacional: Aplicação do operador Nabla em vetores.
Considere uma campo vetorial “F”. Como definir a aplicação do 
nabla, com características vetoriais, em outro vetor?
Podemos usar as operações vetoriais de produto escalar e 
produto vetorial entre dois vetores. Com o produto vetorial, 
temos o rotacional:
~r⇥ ~F =
2
664
î ĵ k̂
@
@x
@
@y
@
@z
Fx(~r, t) Fy(~r, t) Fz(~r, t)
3
775 =
î
✓
@Fz
@y
� @Fy
@z
◆
+ĵ
✓
@Fx
@z
� @Fz
@x
◆
+k̂
✓
@Fy
@x
� @Fx
@y
◆
Note que o rotacional de um campo vetorial é 
um vetor.
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
Revisão de Física III-A.
Exemplos (1D): Calcule o rotacional dos seguintes campos. 
~f(x) = ~c ~f(x) = xî ~f(x) = xĵ ~f(x) = f(x)̂i
Exemplos (2D): Calcule o rotacional dos seguintes campos. 
~f(x, y) = xî+ yĵ ~f(x, y) = xî� yĵ ~f(x, y) = ~f0sen(kxx+ kyy)
Exemplos (3D): Calcule o rotacional dos seguintes campos. 
~f(~r) = ~r ~f(~r) = (~r • ~r)~r ~f(~r) = ~f0 ⇥ ~r
~f(~r) = ~f0 cos (kxx+ kyy + kzz) = ~f0 cos (~k • ~r)
Faça os gráficos dos campos vetoriais e compare com o campo 
rotacional obtido.
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Interpretação física do rotacional:
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Interpretação física do rotacional:
O significado físico do rotacional também aparece diretamente na 
análise de escoamento de fluidos. Considere um vetor que 
representa o fluxo de um fluido. O rotacional desse vetor possui 
a direção do eixo de rotação instantâneo do fluido.
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Interpretação física do rotacional:
O significado físico do rotacional também aparece diretamente na 
análise de escoamento de fluidos. Considere um vetor que 
representa o fluxo de um fluido. O rotacional desse vetor possui 
a direção do eixo de rotação instantâneo do fluido.
O gráfico do campo vetorial, com divergente nulo e rotacional não 
nulo, é~F (~r) = �yî+ xĵ
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
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As Eq. de Maxwell na forma diferencial são: 
~r⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0
@ ~E
@t
(x, y, z, t)]
~r⇥ ~E(x, y, z, t) = �@
~B
@t
(x, y, z, t)
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
~r • ~B(x, y, z, t) = 0
Como você interpreta essas equações, agora que se aprendeu o 
significado físico do Divergente e do Rotacional? 
Densidade de Corrente de 
deslocamento.
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Exercícios: Demonstre as seguintes identidades
~a • (~b⇥ ~c) = ~b • (~c⇥ ~a) = ~c • (~a⇥~b)
~a⇥ (~b⇥ ~c) = ~b(~a • ~c)� ~c(~a •~b)
~r⇥ [~rf(~r)] = ~0 ~r • [~r⇥ ~F (~r)] = 0
~r⇥ [~r⇥ ~F (~r)] = ~r[~r • ~F (~r)]�r2 ~F (~r)
~r⇥ [f(~r)~F (~r)] = [~rf(~r)]⇥ ~F (~r) + f(~r)~r⇥ ~F (~r)
~r • [f(~r)~F (~r)] = [~rf(~r)] • ~F (~r) + f(~r)~r • ~F (~r)
Exercício: Calcule todas as primeiras derivadas parciais, em 
relação a x, y, z e t, o divergente e o rotacional do campo
~F (~r, t) = ~f0 cos (kxx+ kyy + kzz � !t) = ~f0 cos
⇣
~k • ~r � !t
⌘
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PARTE EXTRA DA AULA 1: 
Dedução das equações de Maxwell diferenciais. 
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Lei de Gauss para o campo elétrico na forma diferencial:
I
S
~E(x, y, z, t) • ~uNdS = [Ex(x+ dx, y, z, t)� Ex(x, y, z, t)]dydz
+[Ey(x, y + dy, z, t)� Ey(x, y, z, t)]dxdz
+[Ez(x, y, z + dz, t)� Ez(x, y, z, t)]dxdy
= [
@Ex
@x
+
@Ey
@y
+
@Ez
@z
]dV =
dQ
✏0
~r • ~E(x, y, z, t) = ⇢(x, y, z, t)
✏0
div[ ~E(x, y, z, t)] =
⇢(x, y, z, t)
✏0
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Lei de Gauss para o campo magnético na forma diferencial:
div[ ~B(x, y, z, t)] = 0
~r • ~B(x, y, z, t)] = 0
O argumento é igual ao utilizado para o campo elétrico. A 
diferença é que não se tem "cargas" magnéticas.
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
= [
@Ey
@x
� @Ex
@y
]dxdy
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
= [
@Ey
@x
� @Ex
@y
]dxdy
� d
dt
Z
S
~B • ~uNdS =
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
= [
@Ey
@x
� @Ex
@y
]dxdy
� d
dt
Z
S
~B • ~uNdS =�
d
dt
[Bz(x, y, z, t)dxdy]
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Lei de Faraday-Henry na forma diferencial:
a b
cd
I
L
~E • d~l = (
Z b
a
+
Z c
b
+
Z d
c
+
Z a
d
) ~E • d~l
= Ex(x, y, z, t)dx +Ey(x+ dx, y, z, t)dy
�Ex(x, y + dy, z, t)dx �Ey(x, y, z, t)dy
= [
@Ey
@x
� @Ex
@y
]dxdy
� d
dt
Z
S
~B • ~uNdS =�
d
dt
[Bz(x, y, z, t)dxdy]
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
Portanto,encontra-se:
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O raciocínio anterior se aplica para os quadradinhos em y-z e z-x:
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
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O raciocínio anterior se aplica para os quadradinhos em y-z e z-x:
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
@Ez
@y
� @Ey
@z
= �@Bx(x, y, z, t)
@t
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O raciocínio anterior se aplica para os quadradinhos em y-z e z-x:
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
@Ez
@y
� @Ey
@z
= �@Bx(x, y, z, t)
@t
@Ex
@z
� @Ez
@x
= �@By(x, y, z, t)
@t
Aula 1: Apresentação do Curso 2019/1 e 
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O raciocínio anterior se aplica para os quadradinhos em y-z e z-x:
@Ey
@x
� @Ex
@y
= �@Bz(x, y, z, t)
@t
@Ez
@y
� @Ey
@z
= �@Bx(x, y, z, t)
@t
@Ex
@z
� @Ez
@x
= �@By(x, y, z, t)
@t
Uma forma mais simples de escrever essas equações é dada por
~r⇥ ~E(x, y, z, t) = � @
@t
~B(x, y, z, t)
rot[ ~E(x, y, z, t)] = � @
@t
~B(x, y, z, t)
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Lei de Ampére-Maxwell na forma diferencial.
Pode-se usar o resultado anterior, com a definição do vetor 
DENSIDADE DE CORRENTE:
I(t) =
Z
S
~J(x, y, z, t) • ~uNdS
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Lei de Ampére-Maxwell na forma diferencial.
Pode-se usar o resultado anterior, com a definição do vetor 
DENSIDADE DE CORRENTE:
I(t) =
Z
S
~J(x, y, z, t) • ~uNdS
Encontra-se:
~r⇥ ~B(x, y, z, t) = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0
@ ~E
@t
(x, y, z, t)]
rot[ ~B(x, y, z, t)] = µ0[ ~J(x, y, z, t) + ✏0
@ ~E
@t
(x, y, z, t)]
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