RCMAT No 2 COMPLETA

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REVISTA DO CLUBE DE MATEMÁTICOS
Número 2 | Março de 2019Número 2 | Março de 2019
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
 
 
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RCMat 
REVISTA DO CLUBE DE MATEMÁTICOS 
 
NÚMERO 2 – MARÇO DE 2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMITÊ EDITORIAL 
 
André Luís Santos Maia – RJ 
Antônio Eurico da Silva Dias – RJ 
Carlos Eddy Esaguy Nehab – RJ 
Cícero Thiago Magalhães – CE 
Cristiano Marcell – RJ 
Feres Fares – SP 
Haroldo Costa Silva Filho – RJ 
Jean Renato da Cunha Machado de Lira – RJ 
José Régis Azevedo Varão Filho – SP 
Kellem Corrêa Santos – DF 
Pablo Aguiar De Maio – RJ 
Renato de Oliveira Caldas Madeira – RJ 
Ronald Alexandre Martins – DF 
Ronald Simões – RJ 
Samuel Liló Abdalla – SP 
Vinícius do Nascimento S. Mano – RJ 
 
 
 
 
Capa: Vinícius Mano Imagem: Freepik.com 
 
EXPEDIENTE 
Os artigos assinados são de responsabilidade dos autores. É permitida a reprodução de 
artigos desde que seja citada a fonte. 
A RCMat é uma publicação semestral do Clube de Matemáticos, localizado na Rua Luiz 
Lengruber, 210, Iucas, Teresópolis – RJ. 
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
 
 
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RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
 
 
iii 
 
SUMÁRIO 
 
A Poesia e a Matemática não são Inimigas (Marco Lucchesi) 1 
Apresentação 10 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
Questões de aritmética dos concursos de admissão ao 6º ano dos colégios militares 
(Renato Madeira) 11 
Um jeito diferente de resolver inequações (Renato Madeira) 22 
Minicurso de teoria dos números – parte 2 (Jean Lira) 30 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
Um notável teorema (Chico Nery) 35 
Números complexos e lugares geométricos (Renato Madeira) 38 
PARTE 3 – ENSINO UNIVERSITÁRIO 
Entendendo os épsilons e deltas (Renato Madeira) 54 
PARTE 4 – OLIMPÍADAS 
Algumas questões da 8ª OMCPLP (Kellem Côrrea Santos) 61 
Ângulos adventícios (Renato Madeira) 63 
PARTE 5 – MAGISTÉRIO 
Projeto Semana Olímpica – Somando Resultados e Multiplicando Vitórias (Antônio 
Marcos e Antônio Fernandes) 69 
O concurso para docentes do Colégio Militar de Brasília de 2013: uma prova que não 
foi fácil (Ronald Alexandre Martins) 73 
Padrões, Conjecturas e Demonstrações na Matemática Escolar (Claudio Buffara) 80 
Um resultado sensacional de Pi (Diogo Dantas de Sousa) 87 
Valor esperado (Haroldo Costa Silva Filho) 92 
PARTE 6 – APLICAÇÕES 
A Matemática do Sudoku (Samuel Liló Abdalla) 104 
As calculadoras de hoje (Alexandre Ali) 113 
PARTE 7 – VARIEDADES 
Raiz de três sobre três (Júlia Dias de Oliveira) 116 
A gente pergunta. Você resolve. 117 
A gente pergunta. Você resolve. (Soluções dos Leitores) 119 
 
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
 
 
iv 
Você pergunta. A gente resolve. 123 
Charges do Professor (Cristiano Marcell) 128 
Um pouco de história – Sophie Germain (Renato Madeira) 129 
adinhas (Renato Madeira) 132 
A Poesia e a Matemática não são Inimigas 
Marco Lucchesi 
 
 
 
1 
 
Para o matemático Ion Barbu existe uma terra, de imprecisas coordenadas, onde a poesia 
e a geometria se encontram. Talvez no espelho de Alice, no corpo friável corpo do número 
ou na pele porosa da palavra, pois tudo é linguagem. Ou ainda no espaço entre as vogais, 
na curva imperiosa de um fractal. Sendo linguagem, também é silêncio. 
 
2 
A severa progressão de uma fórmula pode assustar, como se dentro dela houvesse um 
demônio, para os que se aterrorizam, diante da aspereza ilusória de uma selva de cactos. 
E, de pronto, as coisas se elucidam como um raio, quando elaboramos o processo, e tudo 
se desdobra mediante intensa transição. Segue-se a descoberta de um mundo solidário e 
transparente que a fórmula pouco a pouco desvela e denuncia. 
 
3 
 
O pensamento fractal é a mais subida revelação da amizade entre as lágrimas de Heráclito 
e o sorriso de Parmênides. 
 
001
 
4 
 
Todo objeto fractal guarda dentro de si um domador de leões. As garras e os dentes 
respondem pelo Caos. Uma pergunta insiste de assalto: até quando há de permanecer 
adestrável? 
 
5 
 
Não é possível aproximar-se da matemática sem uma reserva de espanto e vertigem diante 
das camadas mais profundas e da distribuição dos números primos. Para Novalis, não 
pode haver matemático desprovido de entusiasmo. 
 
6 
 
No centro do rigor matemático, subsiste o direito de sonhar, o mesmo que me despertou, 
na juventude, o paradoxo do Grande Hotel de Hilbert. O matemático é um hóspede 
permanente desse espaço pois, assim como o poeta, não sabe e nem pode abrir mão da 
metáfora. 
 
7 
 
Para Yuri Manin, a matemática é um dialeto especializado da língua natural. E seu tecido 
interligado por metáforas. 
 
002
 
8 
 
A ideia de beleza não se restringe à simplicidade. Mas a uma ciência dos padrões, em que 
o elemento complexo não se envergonha de si mesmo. 
E haveria razão de? 
 
9 
 
A última prova de um teorema segundo, Godfrey Hardy, reside na beleza. Se assim não 
fosse, bastava sacrificá-lo em prol de uma inteligência estética. 
 
10 
 
Considerar mais de perto a força epistêmica da beleza. 
 
11 
 
A matemática e a poesia coincidem enquanto instâncias radicais da criação, com o mesmo 
destemor de quem se equilibra numa corda sobre o abismo. 
 
12 
 
Indaga Leopold Kronecker: os matemáticos não são verdadeiros poetas inatos? 
 
003
13 
 
Para tratar das geometrias pós-euclidianas e da teoria das funções é preciso minimamente 
praticá-las, sem o que desaparecem o sabor e o risco da aventura de pensar. Por outro 
lado, sem um quantum de ingenuidade ontológica, ainda que mantida sob latência poética, 
seria árduo reunir dispersas demandas, ingentes multiplicidades, que migram, 
obliquamente, entre domínios quase intransitivos, entre a geometria e a poesia, cujo 
diálogo mal começou. Uma dose de não-saber constitui saída de emergência. 
 
14 
 
Dar as boas-vindas à noção de obstáculo epistemológico, enquanto intrínseca espessura 
da matemática, como um belo por de sol no horizonte, como limite do pensamento 
apolíneo, sem desprezar a beleza da noite e suas potências absolutas. 
 
15 
 
A matemática profunda e a alta poesia comunicam-se de múltiplas maneiras e se dilatam 
sob o signo das coisas inúteis, como a entendem Hardy e Pessoa. Inúteis. Sublimes. 
 
16 
 
Buscar isomorfismos ente a poesia e a matemática é não penetrar o diálogo que antecede 
as respectivas métricas, aqueles elementos solidários e menos vivíveis que as unem, justo 
quando se mostram quase irredutíveis entre si. 
 
004
 
17 
 
“O Infinito” de Leopardi corresponde à ideia de Hardy e Whitehead, segundo a qual uma 
formulação muito ampla não pode abrir mão de uma particularidade feliz que acabe por 
limitá-la, conferindo-lhe certo sabor. No poema leopardiano, a vegetação impede que se 
alcance o último horizonte. 
 
18 
Aproximar a poesia e a matemática no espaço de um meta-saber, não através do prestígio 
que cada qual possua, a fim de evitar um anacrônico projeto colonial. 
 
19 
 
A poesia fractal e a poesia do fractal. E não se trata de um jogo de palavras. 
 
20 
 
O matemático insiste sobre a beleza de seu ofício, ao passo que o poeta insiste com a 
verdade. 
 
21 
 
Tema para um interminável seminário de filosofia: o matemático inventa ou descobre? 
 
 
005
22 
Tema para uma aula de poesia: qual o tecido metafórico da matemática? 
 
23 
 
Pensar através de palavras. Números. Imagens. Ganhos e perdas. Um passo a mais: não 
pensar a música senão em sua linguagem. 
 
24 
 
Uma tácita nostalgia platônica assombra certos matemáticos voltados para as geometrias 
pós-euclidianas. Imperioso levantar a guarda com as leituras de Kurt Göddel, um 
verdadeiro tônico. 
 
25 
 
... E sobretudo depois do “não” de Aristóteles aos números platônicos.26 
Relativizar a universalidade da matemática acima do paralelo 42, insiste Ubiratan 
d’Ambrosio, e não sucumbir diante dos fantasmas. 
 
27 
A poesia e a matemática não são inimigas. 
 
 
006
28 
E nem tampouco a história da matemática. Recuperar a plasticidade incerta na elaboração 
dos conceitos renova um conjunto de atalhos e encontros improváveis, sobretudo nos 
ensaios às cegas, quando se defrontam ruas sem saída. Leia-se em Objetos fractais o 
“elogio do regresso a problemas muito antigos”. 
 
29 
 
A história do pensamento matemático não se traduz por uma teodiceia vitoriosa do 
progresso linear, ou de uma falsa ideologia da construção. 
 
30 
Ainda: a história da matemática é feita de clivagens, paradas bruscas, ensaios frustrados, 
esperas seculares, que a solução de continuidade procura enfrentar com uma inteligência 
de Horus. Segundo Spengler, o corpo da história da matemática não é uma tênia. 
 
31 
 
A continuar com Spengler, a história da matemática e da poesia coincidem como formas 
de um preciso Zeitgeist, obra de estilo, segundo um corte epocal bem definido. 
 
32 
 
Assim: A matemática grega distingue-se da matemática barroca pela atitude que 
guardam diante do infinito. Enquanto a segunda o persegue com denodo, a primeira 
procura evitá-lo com seu escudo de Aquiles, protegendo-se da descoberta dos irracionais. 
 
007
 
33 
A Quinta de Beethoven e a Ilha de Mandelbrot. Deixar-se arrebatar, como quem entrega 
as armas. 
 
34 
 
A linguagem como lugar-tenente, grafada nos símbolos matemáticos. Eis o poema de 
Novalis, diante da superação de números, figuras: formas vicárias que ocupam o lugar de 
uma realidade oceânica total. 
 
35 
 
Poética da matemática ou matemática da poesia. A solução mais produtiva consiste em 
abraçar o primeiro e abandonar o segundo. 
 
36 
Matematizar o real ou decidir poetizá-lo: falso dilema que recai sobre o mundo-língua. 
 
37 
 
Uma formulação de Ion Barbu: “assim como na estética o lirismo extremo é considerado 
antipoético, podemos dizer que o extremo ideal é antigeométrico”. 
 
008
 
38 
 
A intuição não é um crime na matemática. Anote-se: “poucas fórmulas cegas combinadas 
com ideias visionárias”. 
 
39 
 
Os poetas e matemáticos gregos abusavam da analogia e do litotes para plasmar sua 
derradeira expressão. 
 
40 
 
A imaginação na matemática e na poesia se assemelham: como num voo cego, ideia sem 
corpo, imprecisa demanda que leva adiante, como quem não sabe mas pressente, não 
alcança mas intui. 
 
009
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Essa é a 2ª edição da Revista do Clube de Matemáticos – RCMat. Nós tivemos a 
honra de abrir essa edição com um artigo escrito especialmente para nossos leitores pelo 
Marco Lucchesi, atual presidente da Academia Brasileira de Letras (ABL), que, além de 
diversas facetas, também é pesquisador em filosofia da Matemática. 
Nessa edição estamos consolidando a periodicidade semestral de nossa revista. 
Atualmente, estamos com uma equipe de mais de 100 professores voluntários colaborando 
com a publicação, todos imbuídos no objetivo de divulgar e melhorar o ensino da 
Matemática. 
Na seção A GENTE PERGUNTA VOCÊ RESOLVE publicamos diversas soluções 
das questões propostas na 1ª edição e que nos foram enviadas por nossos leitores, além de 
propormos novas questões. Na seção VOCÊ PERGUNTA A GENTE RESOLVE 
apresentamos a solução de questões que recebemos de nossos leitores. Essa interação com 
você leitor nos deixa muito felizes e motivados para seguir em frente. 
Temos artigos em todos os segmentos propostos: ensino fundamental, médio, 
superior, olimpíadas, magistério e aplicações. Menção especial deve ser feita ao artigo sobre 
a Semana Olímpica da E. M. Liege Gama Rocha, de Coruripe – AL e o quanto essa 
iniciativa beneficiou seus alunos. Além disso, temos a oportunidade de trazer um relato 
sobre a 8ª Olimpíada de Matemática da Comunidade dos Países de Língua Portuguesa 
(OMCPLP) feito por uma das líderes da equipe, incluindo duas questões resolvidas dessa 
prova. 
Nas próximas edições esperamos trazer ainda mais novidades, mas, para tanto, 
precisamos de vocês leitores. Interajam conosco pelo e-mail revistarcmat@gmail.com ou 
pela nossa página no Facebook (https://www.facebook.com/revistadoclubedematematicos/). 
Envie suas dúvidas de Matemática, enunciados de questões que você gostaria de ver 
resolvidas, sugestões de pautas, o que você quiser, pois essa revista é de todos nós. 
Se você é professor(a) ou estudante de Matemática, envie também suas sugestões ou 
junte-se a nós e seja também um autor da RCMat. 
 
 
Comitê Editorial 
010
mailto:revistarcmat@gmail.com
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https://www.facebook.com/revistadoclubedematematicos/
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RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
 
QUESTÕES DE ARITMÉTICA DOS CONCURSOS DE ADMISSÃO AO 6º ANO 
DOS COLÉGIOS MILITARES 
 
Renato de Oliveira C. Madeira 
madematica.blogspot.com 
 
 
Nessa postagem será apresentada uma coletânea de questões de aritmética de 
concursos recentes de admissão ao 6º ano de diversos Colégios Militares. 
Inicialmente, vamos apresentar, de maneira sucinta, alguns assuntos que podem 
ser úteis à resolução das questões 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
 
Na base de numeração 10, os algarismos que podem ser utilizados são 0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7, 8 e 9. 
O nosso sistema de numeração é um sistema posicional. Os algarismos de um 
número possuem valores relativos distintos dependendo de sua posição. 
Chamamos de valor absoluto ou próprio de um algarismo o seu valor 
independente da sua posição no número. 
O valor relativo é o valor que o algarismo assume no número em função da 
posição que ocupa neste. 
Assim, no número 123 (cento e vinte e três), os algarismos 1, 2 e 3 possuem 
valores relativos 100, 20 e 3, respectivamente. 
Observe que a função do algarismo 0 é marcar que uma posição está vazia. 
Assim, no número 12, o algarismo 1 tem valor relativo 10 e no número 102, tem valor 
absoluto 100. 
Os algarismos de um número são dispostos em “ordens” da direita para a 
esquerda e cada três ordens formam uma classe. 
A primeira ordem é a unidade simples, a segunda ordem é a dezena simples, e a 
terceira ordem a centena simples. Essas três ordens formam a classe das unidades simples. 
A quarta ordem é a unidade de milhar, a quinta ordem a dezena de milhar e a 
sexta ordem a centena de milhar. Essas três ordens formam a classe dos milhares. 
A sétima ordem é a unidade de milhão, a oitava ordem a dezena de milhão e a 
nona ordem a centena de milhão. Essas três ordens formam a classe dos milhões. 
A classificação é similar para números maiores. 
 
Uma consequência do nosso sistema de numeração posicional é que, sendo A, 
B, C, D, E, F algarismos do número ABCDEF, então esse número pode ser representado 
na forma 100.000 A 10.000 B 1.000 C 100 D 10 E F. +  +  +  +  + 
 
 
REGRAS DE DIVISIBILIDADE 
 
Um número é múltiplo de 2 se, e somente se, seu último algarismo é par. 
O resto da divisão de um número por 2 é igual ao resto da divisão do seu último 
algarismo por 2. 
 
011
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
Um número é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos é 
múltipla de 3. 
O resto da divisão de um número por 3 é igual ao resto da soma dos seus 
algarismos por 3. 
 
Um número é múltiplo de 4 se, e somente se, seus dois últimos algarismos 
formam um número múltiplo de 4. 
O resto da divisão de um número por 4 é igual ao resto da divisão por 4 do 
número formado por seus dois últimos algarismos. 
 
Um número é múltiplo de 5 se, e somente se, seu último algarismo é 0 ou 5. 
O resto da divisão de um número por 5é igual ao resto da divisão do seu último 
algarismo por 5. 
 
Um número é múltiplo de 8 se, e somente se, seus três últimos algarismos 
formam um número múltiplo de 8. 
O resto da divisão de um número por 8 é igual ao resto da divisão por 8 do 
número formado por seus três últimos algarismos. 
 
Você enxergou algum padrão nas regras de divisibilidade das potências de 2? 
Será que você consegue criar uma regra geral e explicar porquê? 
 
Um número é múltiplo de 10 se, e somente se, seu último algarismo é 0. 
O resto da divisão de um número por 10 é igual ao seu último algarismo. 
 
Será que você consegue criar uma regra geral também para as potências de 10? 
 
 
CONTAGEM 
 
Muitos problemas envolvem a contagem da quantidade de algarismos escritos 
quando se escreve uma lista de números ou vice-versa. 
Para fazer esse tipo de problemas é preciso analisar os números com cada 
quantidade de algarismos. 
 
Números com 1 algarismo – 1, 2,..., 9 
A quantidade de números de 1 algarismo é ( )9 1 1 9.− + = 
A quantidade de algarismos utilizados para escrever todos os números de 1 
algarismo é 9 1 9. = 
 
Números com 2 algarismos – 10, 11, 12,..., 98, 99 
A quantidade de números de 2 algarismos é ( )99 10 1 90.− + = 
A quantidade de algarismos utilizados para escrever todos os números de 2 
algarismo é 90 2 180. = 
 
Números com 3 algarismos – 100, 101, 102,..., 998, 999 
A quantidade de números de 3 algarismos é ( )999 100 1 900.− + = 
A quantidade de algarismos utilizados para escrever todos os números de 3 
algarismo é 900 3 2700. = 
012
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
 
Seguindo a mesma ideia, é possível obter esse resultado para qualquer 
quantidade de algarismo. 
 
Para exemplificar, vamos calcular quantos algarismos utilizamos para escrever 
todos os números de 1 a 200. 
 
Quantidade de números de 1 algarismo: 9 
Quantidade de algarismos escritos: 9 1 9 = 
 
Quantidade de números de 2 algarismos: 90 
Quantidade de algarismos escritos: 90 2 180 = 
 
Quantidade de números de 3 algarismos: ( )200 100 1 101− + = 
Quantidade de algarismos escritos: 101 3 303 = 
 
Assim, a quantidade de algarismos usada é 9 180 303 492.+ + = 
 
A seguir encontram-se os enunciados das questões. Tente resolvê-las de maneira 
independente e, se necessário, consulte os assuntos apresentados no início desse artigo. 
Caso você não consiga resolver, consulte a resolução no final do artigo e, ainda 
que você tenha conseguido, dê uma olhada nas soluções também, pois elas podem trazer 
alguma ideia útil. 
 
 
1) (CMBH 2018) A agência de turismo ZUNZARAVÁ possui um pacote de viagens de 
sete dias para a Disney no valor de R$ 9.567,00, por pessoa. Marcos irá com quinze 
amigos, ou seja, eles irão pagar R$ 153.072,00 ao todo. Ao informar a seus colegas o 
valor total da viagem, Marcos inverteu o algarismo da dezena de milhar com o da unidade 
de milhar. Qual a diferença entre o valor real e o valor informado por Marcos? 
a) R$ 45,00 b) R$ 630,00 c) R$ 18.000,00 
d) R$ 198.000,00 e) R$ 360.000,00 
 
2) (CMBH 2019) Gabriel escolheu uma senha numérica com oito algarismos diferentes 
para seu celular. Ele não utilizou o algarismo 1, pois nasceu em 11 de novembro de 2001. 
Além disso, Gabriel não utilizou as ordens vizinhas de um algarismo com seu sucessor 
ou com seu antecessor (ou seja, Gabriel não utilizou senhas da forma 98326745 ou 
23489576). Para tornar a senha mais forte, Gabriel adotou os seguintes critérios: 
- foram utilizados pelo menos quatro algarismos pares; 
- se o algarismo sete for utilizado o algarismo cinco não será utilizado; 
- se o algarismo dois ocupar a dezena simples, o algarismo cinco deve ocupar a unidade 
de milhar; 
- ou o algarismo três ou o algarismo sete deve ocupar a unidade de milhão; 
- a centena de milhar é ocupada pelo algarismo oito; 
- um algarismo par ocupa a dezena de milhão. 
Sabendo que Gabriel escolheu o algarismo dois para a dezena simples, é correto afirmar 
que: 
a) Foram utilizados quatro algarismos ímpares. 
b) A unidade simples é ocupada por um algarismo ímpar. 
c) O algarismo nove ocupa a centena simples. 
013
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
d) O algarismo zero ocupa a centena de milhar. 
e) A centena simples é ocupada por um número par. 
 
3) (CMF 2019) Belarmino fez um levantamento do número de questões de Matemática 
que ele resolveu durante um ano. Como é apaixonado por adivinhações, ele decidiu criar 
a seguinte senha para representar o número de questões resolvidas: ABCDEF, em que 
cada letra representa um algarismo diferente de 0 a 5. Além disso, sabe-se que: 
- A é um número divisível por dois. 
- AB é um número divisível por cinco. 
- ABC é um número divisível por três. 
- ABCD é um número divisível por dez. 
- ABCDE é um número cuja soma de seus algarismos é 14. 
- ABCDEF é um número múltiplo de três. 
Sobre a senha ABCDEF, é correto afirmar que 
a) o valor relativo de C é 4.000. 
b) o valor absoluto da ordem das centenas é 5. 
c) o número ABCDEF tem seis classes. 
d) o valor posicional de F é 2. 
e) o valor relativo da segunda ordem é 20. 
 
4) (CMF 2019) Observe a seguinte operação: A298 5647 B998 5947.+ − = Sabendo que 
os algarismos A, 5 e B são todos distintos (diferentes) entre si e que o número de 
divisores de A é igual à metade de A, o valor do dobro de A somado com o triplo de 
B é igual a 
a) 27 b) 32 c) 33 d) 37 e) 43 
 
5) (CMF 2018) Todos os números naturais, começando pelo número 1, são colocados de 
maneira ordenada, como descrito abaixo: 
12345678910111213... 
Na sequência de números acima, a 11ª posição é ocupada pelo algarismo 0. Sendo assim, 
o algarismo que ocupará a 300ª posição é o 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
 
6) (CMF 2018) Alfredo estava efetuando a seguinte soma: 
7 77 777 7777 77 7777,+ + + + + sendo a última parcela um número composto por 
2017 algarismos 7. Qual é o algarismo da ordem das dezenas do resultado dessa soma? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
014
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
7) (CMRJ 2019) 
Na revista Amazing Fantasy #15, é publicada, pela primeira vez, uma história do O 
Homem-Aranha. Ele se tornaria o herói mais popular da Marvel. (agosto de 1962). 
Disponível em <https://super.abril.com.br/comportamento/a-cronologia-dos-super-herois/>. Acesso em: 21 ago 2018. (Adaptado) 
 
www.vírgula.com.br. Agosto/2018. (Adaptado) 
No texto, o #15 indica o exemplar de número quinze da publicação. Entretanto, podemos 
utilizar símbolos com outros significados. Na adição abaixo, #, @ e * substituem alguns 
algarismos. Em sequência crescente, quais os valores obtidos para os referidos símbolos? 
1 5 @ 2
* 8 #
2 0 1 9
+ 
a) 2; 4; 7 b) 1; 2; 3 c) 3; 4; 7 d) 2; 3; 7 e) 4; 5; 8 
 
8) (CMB 2018) A mais famosa arma da Mulher-Maravilha é o laço da verdade, que obriga 
quem for laçado a contar a verdade. 
 
Disponível em: http://baixarlegendas.site. Acesso em: 10 Ago 2017. 
Ao laçar um inimigo com esse laço, a Mulher-Maravilha pergunta por um código secreto. 
Obrigado a falar a verdade, o inimigo responde que o código é o produto dos 5 algarismos 
de um número. E esse número é tal que 
I – o algarismo da primeira ordem desse número é o maior número natural de 1 algarismo. 
II – o algarismo da unidade de milhar é igual a um terço do algarismo da primeira ordem 
desse número. 
015
https://super.abril.com.br/comportamento/a-cronologia-dos-super-herois/
https://super.abril.com.br/comportamento/a-cronologia-dos-super-herois/
http://www.vírgula.com.br/
http://www.vírgula.com.br/
http://baixarlegendas.site/
http://baixarlegendas.site/
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
III – o algarismo da segunda ordem desse número é igualà diferença entre o algarismo 
da ordem da unidade simples e o algarismo da quarta ordem desse número. 
IV – o algarismo da dezena de milhar desse número é um quarto da soma dos algarismos 
da primeira e da quarta ordem desse número. 
V – o algarismo da centena simples desse número é igual à metade da soma dos 
algarismos da primeira e da quinta ordem desse número. 
Assim, sabendo que o inimigo falou a verdade sobre os algarismos que compõem o 
número e calculando corretamente o produto desses algarismos, podemos afirmar que o 
código é 
a) 1.944 b) 2.916 c) 3.888 d) 33.669 e) 34.669 
 
9) (CMR 2018) Dado o número de 6 (seis) algarismos 35A74B divisível ao mesmo 
tempo por 3, 4 e 5, onde A e B representam números naturais de 0 a 9. Qual o menor 
valor possível de 3 A B? + 
a) 0 b) 3 c) 6 d) 8 e) 9 
 
10) (CMC 2019) O número 2018 é formado por quatro dígitos distintos: 0, 1, 2 e 8. 
Mudando as posições desses quatro dígitos é possível determinar 24 números diferentes, 
por exemplo: 0128, 0821, 2180, 8210, etc. A soma desses 24 números distintos, 
representados no sistema de numeração decimal, é igual a: 
a) 66.000 b) 66.066 c) 66.726 d) 73.326 e) 133.188 
 
11) (CMCG 2018) As letras C, M e G representam algarismos que foram omitidos na 
adição abaixo. Sabe-se que letras diferentes representam algarismos diferentes e que 
letras iguais representam algarismos iguais. 
 
Assim, a adição C M C G+ + + é igual a 
a) 11 b) 16 c) 21 d) 26 e) 31 
 
12) (CMPA 2018) No Laboratório de Matemática (LABMAT) do Colégio Militar de 
Porto Alegre (CMPA), existe uma calculadora muito curiosa que, apesar de realizar as 
operações corretamente, apresenta letras no visor, correspondentes aos algarismos 
digitados. Para algarismos distintos, aparecem letras distintas. Por exemplo, digitando o 
número 7396, aparece no visor “CMPA”. Nesta calculadora, subtraindo do “CMPA” o 
número correspondente a “TDTL”, encontra-se como resposta “BPCL”. Nesta mesma 
calculadora, para que apareça “LABMAT” no visor, deve-se digitar o número 
a) 865361. b) 865362. c) 866361. d) 361362. e) 365362. 
 
 
016
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
As respostas das questões são 
1) c; 2) c; 3) e; 4) d; 5) c; 6) c; 7) c; 8) b; 9) c; 10) d; 11) c; 12) a 
 
Em seguida estão as resoluções das questões para consulta. 
 
1) c 
O valor total da viagem é R$ 153.072,00, que tem algarismo da dezena de milhar 5 e da 
unidade de milhar 3. 
O valor informado por Marcos aos colegas foi R$ 135.072,00. 
Assim, a diferença entre o valor real e o valor informado é 
153.072,00 135.072,00 18.000,00− = reais. 
 
2) c 
Algarismos que podem ser utilizados na senha: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
(1) foram utilizados pelo menos quatro algarismos pares; 
(2) se o algarismo sete for utilizado o algarismo cinco não será utilizado; 
(3) se o algarismo dois ocupar a dezena simples, o algarismo cinco deve ocupar a unidade 
de milhar; 
(4) ou o algarismo três ou o algarismo sete deve ocupar a unidade de milhão; 
(5) a centena de milhar é ocupada pelo algarismo oito; 
(6) um algarismo par ocupa a dezena de milhão. 
 
6 3 8 0 5 9 2 4 
dezena 
de 
milhão 
unidade 
de 
milhão 
centena 
de 
milhar 
dezena 
de 
milhar 
unidade 
de 
milhar 
centena 
simples 
dezena 
simples 
unidade 
simples 
 
Analisando as proposições do enunciado que foram numeradas acima, vamos preencher 
a senha numérica. 
• A dezena simples é 2. 
(5) a centena de milhar é 8 
(4) Como a unidade de milhão é uma ordem vizinha da centena de milhar, então o 
algarismo 7 não pode ser utilizado. Assim, a unidade de milhão é 3. 
(3) Como a dezena simples é 2, então a unidade de milhar é 5. 
(2) Como a unidade de milhar é 5, então o algarismo 7 não é utilizado. 
• Nesse momento, os algarismos disponíveis são 0, 4, 6 e 9. A dezena de milhar não pode 
ser 7, 9, 6 ou 4, então a dezena de milhar é 0. 
(6) Como um algarismo par ocupa a dezena de milhão e esse algarismo não pode ser 4, 
então a dezena de milhão é 6. 
• Nesse momento, os algarismos disponíveis são 4 e 9. A centena simples não pode ser 
4, então é igual a 9. 
• A unidade simples deve ser o algarismo restante, 4. 
 
Portanto, a alternativa correta é c). 
 
3) e 
- A é um número divisível por dois, então A é par o que implica  A 0,2,4 . 
- AB é um número divisível por cinco, então  B 0,5 . 
- ABC é um número divisível por três, então A B C+ + é múltiplo de 3. 
017
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
- ABCD é um número divisível por dez, então D 0.= 
Como as letras representam algarismos diferentes, então B 5= e  A 2,4 . 
Como A B C+ + é múltiplo de 3, então A 5 C+ + é múltiplo de 3, o que implica 
A C 2+ + é múltiplo de 3. 
- ABCDE é um número cuja soma de seus algarismos é 14, então 
A B C D E 14 A 5 C 0 E 14 A C E 9.+ + + + =  + + + + =  + + = 
Como A C 2+ + é múltiplo de 3, então ( )A C E 9 A C 2 E 11,+ + =  + + + = o que 
implica que E e 11 deixam o mesmo resto por 3, ou seja, E 1+ é múltiplo de 3. 
Os algarismos ainda não usados são 1, 2, 3, 4, então E 2.= 
Os algarismos disponíveis são 1, 3 e 4, e  A 2,4 , então A 4.= 
Como A C E 9 4 C 2 9 C 3.+ + =  + + =  = 
- ABCDEF é um número múltiplo de três, então A B C D E F 14 F+ + + + + = + é múltiplo 
de 3, o que implica F 2+ é múltiplo de 3, ou seja,  F 1,4 . Mas, nesse momento, só há 
um algarismo ainda não usado, o que implica F 1.= 
Portanto, ABCDEF 453021.= 
Vamos analisar as alternativas. 
a) INCORRETA 
O valor relativo de C é 3000. 
b) INCORRETA 
O valor absoluto da ordem das centenas é 0. 
c) INCORRETA 
O número ABCDEF tem 6 ordens e 2 classes completas. 
d) INCORRETA 
No caso de F, tanto seu valor absoluto quanto seu valor relativo (posicional) são 1. 
e) CORRETA 
O valor absoluto da segunda ordem é 2 e seu valor relativo 20. 
 
4) d 
( ) ( )
( )
A298 5647 B998 5947 1000 A 298 5647 1000 B 998 5947
1000 A B 1000 A B 1
+ − =   + + −  + = 
  − =  − =
 
Como que os algarismos A, 5 e B são todos distintos (diferentes) entre si, então 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A,B 2,1 ; 3,2 ; 4,3 ; 7,6 ; 8,7 ; 9,8 . 
Vamos analisar a quantidade de divisores dos possíveis valores de A. 
( )d 2 2;= ( )d 3 2;= ( )d 4 3;= ( )d 7 2;= ( )d 8 4;= ( )d 9 3= 
Como o número de divisores de A é metade de A, então A 8= e B 7.= 
O valor do dobro de A somado com o triplo de B é igual a 
2 A 3 B 2 8 3 7 16 21 37. +  =  +  = + = 
 
5) c 
Vamos contar quantas posições são ocupadas pelos números, considerando sua 
quantidade de algarismos. 
Os números de 1 algarismo são 9 e ocupam 9 1 9 = posições. 
Os números de 2 algarismos são ( )99 10 1 90− + = e ocupam 90 2 180 = posições. 
Restam 300 180 9 111− − = posições que serão ocupadas por 
111
37
3
= números de 3 
algarismos. 
018
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
O 37º número de 3 algarismos é dado por ( )N 100 1 37 N 136.− + =  = Portanto, o 
algarismo que ocupa a 300ª posição é 6. 
 
6) c 
Observe que as ordens da centena em diante não afetam em nada o algarismo das dezenas 
da nossa soma. Assim, podemos analisar apenas o resultado de 
2016 parcelas
7 77 77 7 77 2016 77 2000 77 16 7.+ + + = +  =  +  + 
Observe também que 77 2000 não altera o algarismo das dezenas, então o algarismo das 
dezenas da soma original é igual ao algarismo das dezenas de 77 16 7 1239, + = que é 3. 
 
7) c 
1 5 @ 2
* 8 #
2 0 1 9
+ 
0 # 9 2 2 # 11 2 # 9 # 7    +   + =  = 
0 @ 9 8 @ 8 17 @ 8 11 @ 3    +   + =  = 
Note que aqui temos “vai 1”. 
0 * 9 6 * 5 1 15 * 6 10 * 4    + +   + =  = 
Note que novamente teremos “vai 1”. 
Portanto, os valores obtidos, em ordem crescente, são 3; 4; 7. 
 
8) b 
I – o algarismo da primeira ordem desse númeroé o maior número natural de 1 algarismo. 
Logo, o algarismo da unidade simples é 9. 
II – o algarismo da unidade de milhar é igual a um terço do algarismo da primeira ordem 
desse número. 
Logo, o algarismo da unidade de milhar é 
1
9 3.
3
 = 
III – o algarismo da segunda ordem desse número é igual à diferença entre o algarismo 
da ordem da unidade simples e o algarismo da quarta ordem desse número. 
O algarismo da segunda ordem, ou seja, da dezena simples, é igual à diferença entre o 
algarismo da unidade simples e o da unidade de milhar (4ª ordem). Assim, o algarismo 
da dezena simples é 9 3 6.− = 
IV – o algarismo da dezena de milhar desse número é um quarto da soma dos algarismos 
da primeira e da quarta ordem desse número. 
O algarismo da dezena de milhar é um quarto da soma do algarismo da unidade simples 
(1ª ordem) e da unidade de milhar (4ª ordem), ou seja, é igual a ( )
1
9 3 3.
4
 + = 
V – o algarismo da centena simples desse número é igual à metade da soma dos 
algarismos da primeira e da quinta ordem desse número. 
O algarismo da centena simples é metade da soma dos algarismos da unidade simples (1ª 
ordem) e da dezena de milhar (5ª ordem), ou seja, é igual a ( )
1
9 3 6.
2
 + = 
Portanto, o número é 33669 e o código 3 3 6 6 9 2916.    = 
 
019
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
9) c 
Se 35A74B é divisível por 3, então 3 5 A 7 4 B 19 A B+ + + + + = + + é múltiplo de 3, o 
que implica que A B 1+ + é múltiplo de 3. 
Se 35A74B é divisível por 4, então o número 4B é divisível por 4, o que implica 
 B 0,4,8 . 
Se 35A74B é divisível por 5, então  B 0,5 . 
Como  B 0,4,8 e  B 0,5 , então B 0.= 
Como A B 1 A 0 1 A 1+ + = + + = + é múltiplo de 3, então  A 2,5,8 . 
O menor valor possível de 3 A B + ocorre quando A 2= e é 3 A B 3 2 0 6. + =  + = 
 
10) d 
Vamos, inicialmente, analisar o número 2. Ele vai ocupar a unidade simples em 3 2 1 6  = 
números, pois podemos escolher 3 algarismos para a dezena simples, 2 para a centena 
simples e apenas 1 para a unidade de milhar. Da mesma forma, ele vai ocupar a dezena 
simples em 6 números, a centena simples em 6 números e a unidade de milhar em 6 
números. 
Assim, o algarismo 2 contribuirá para a soma de todos os números com 
6 2 6 20 6 200 6 2000 6 2222. +  +  +  =  
O mesmo ocorre para os outros algarismos que vão contribuir com 6 1111 e 6 8888 (o 
algarismo 0 não contribui para a soma, pois seu valor relativo também é sempre 0). 
Portanto, a soma dos 24 números é 
( )6 1111 6 2222 6 8888 6 1111 2222 8888 6 12221 73326. +  +  =  + + =  = 
 
11) c 
0 C 9 12 7 C 5 21 12 C 17 C 5    + +   + =  = 
Note que aqui temos “vai 1”. 
0 G 9 8 5 2 G 1 17 8 8 G 17 8 G 11 G 3    + + +    +   + =  = 
Novamente temos “vai 1”. 
0 M 9 12 2 M 9 1 21 12 12 M 21 12 M 20 M 8    + + +    +   + =  = 
Portanto, C M C G 5 8 5 3 21.+ + + = + + + = 
 
12) a 
Digitando o número 7396, aparece no visor “CMPA”, então C 7,= M 3,= P 9= e 
A 6.= 
A conta proposta é a seguinte: 
7396
TDTL
B97L
− 
Vamos começar da direita para a esquerda. Temos duas opções. 
1ª) 6 L L 2L 6 L 3− =  =  = (não convém) 
Essa opção não convém, pois M 3= e letras diferentes representam algarismos 
diferentes. 
2ª) 16 L L 2L 16 L 8.− =  =  = 
Note que, nesse caso, “pegamos 1 emprestado”. 
Na próxima operação, devemos observar que, como T não é 9 e nem 8, nesse caso, não é 
necessário “pegar emprestado”. Assim, temos: 
9 1 T 7 T 1.− − =  = 
020
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
Na próxima operação, sabemos de antemão que será necessário pegar emprestado. Assim, 
temos: 
13 D 9 D 4.− =  = 
Finalmente, temos: ( )7 1 1 B B 5.− − =  = 
Assim, para aparecer LABMAT, devemos digitar 865361. 
 
021
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PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
 
UM JEITO DIFERENTE DE RESOLVER INEQUAÇÕES 
 
Renato de Oliveira C. Madeira 
madematica.blogspot.com 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Chamamos de inequação produto-quociente aquela onde numerador e 
denominador são compostos por um produto de funções, geralmente polinômios, 
elevados a um determinado expoente inteiro. 
Normalmente, a resolução de inequações produto-quociente é feita com o auxílio 
de um quadro de estudo de sinais, como no exemplo a seguir: 
 
Exemplo: Encontre os valores reais de x tais que 
3 4
5 7
(x 1) (x 2)
0.
(1 x) (2 x)
+ +

− −
 
 
Os fatores elevados a expoentes ímpares terão o sinal da função da base, pois elevar uma 
função a um expoente ímpar não altera seu sinal. 
Os fatores elevados a um expoente par serão sempre não negativos. 
Dessa forma, o quadro de estudo de sinais de 
3 4
5 7
(x 1) (x 2)
0
(1 x) (2 x)
+ +

− −
 será o seguinte: 
 
 x 2 − x 2= − 2 x 1−   − x 1= − 1 x 1−   x 1= 1 x 2  x 2= x 2 
( )3x 1+ − − − • + + + + + 
( )4x 2+ + • + + + + + + + 
( )51 x− + + + + + o − − − 
( )72 x− + + + + + + + o − 
3 4
5 7
(x 1) (x 2)
(1 x) (2 x)
+ +
− −
 − • − • + o − o + 
 
Vamos agora selecionar os valores maiores ou iguais a zero. Assim, temos: 
     S 2 1,1 2, .= −  −  + 
 
Essa foi a maneira que eu aprendi na escola e durante muito tempo a forma que 
eu ensinava meus alunos. Fica meio grande, mas eu até achava simpático. 
Eu já lecionava há quase 10 anos, quando um aluno disse que havia aprendido 
com outro professor um jeito muito mais fácil e rápido de fazer essas inequações. Procurei 
o professor citado, meu amigo Haroldo Costa Filho, que me indicou o livro Solving 
Problems in Algebra and Trigonometry de V. Litvinenko e A. Mordkovich - MIR 1988 
(páginas 141 a 146) para estudar esse assunto, chamado Método dos Intervalos. 
Atualmente, não faço mais quadros de sinais. Os dois métodos são equivalentes, 
mas o Método dos Intervalos representa uma grande economia de tempo e espaço, e 
facilita muito a resolução, principalmente, das inequações com mais termos. 
 
022
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
MÉTODO DOS INTERVALOS 
 
Seja a função ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 k
p1 2
n n n
1 2 k
mm m
1 2 p
x a x a x a
f x ,
x b x b x b
−  −   −
=
−  −   −
 onde 
1 2 kn ,n , ,n , 1 2 pm , m , , m são números naturais e 1 2 ka ,a , ,a , 1 2 pb , b , , b são 
números reais quaisquer diferentes entre si. 
Os pontos 1 2 ka ,a , ,a são os pontos onde a função se anula (raízes) e os pontos 
1 2 pb , b , , b são pontos de descontinuidade da função. 
O expoente da raiz ou do ponto de descontinuidade, quando a função está escrita 
na forma acima, é também chamado de multiplicidade da raiz ou do ponto de 
descontinuidade. 
Marcando todas as raízes e pontos de descontinuidade da função na reta real, a 
mesma fica dividida em k p 1+ + intervalos. Em cada um desses intervalos a função é 
contínua e preserva o sinal. 
As seguintes propriedades servem de base para a resolução das inequações: 
• Se c é o maior entre os números ia e jb , então a função ( )f x é positiva no intervalo 
( )c,+ . 
• Se ia (ou jb ) é tal que o expoente in (ou jm ) da função ( )
in
ix a− (ou ( )
jm
jx b− ) é 
um número ímpar, então os intervalos adjacentes a ia (ou jb ) apresentam sinais 
diferentes e o ponto é chamado ponto simples. 
• Se ia (ou jb ) é tal que o expoente in (ou jm ) da função ( )
in
ix a− (ou ( )
jm
jx b− ) é 
um número par, então os intervalos adjacentes a ia (ou jb ) apresentam sinais iguais e o 
ponto é chamado ponto duplo. 
Assim, nota-se que ao passar por um ponto simples a função muda de sinal, 
enquanto ao passar por um ponto duplo, o sinal da função não se altera. 
 
O método acima pode ser resumido pelos seguintes passos: 
(1) Todas as raízes da função ( )f x obtida no lado esquerdoda desigualdade devem ser 
marcadas na reta real com “bolas fechadas” (raízes do numerador) e seus pontos de 
descontinuidade (raízes do denominador) com “bolas abertas”. 
(2) Devem ser identificados os pontos simples e duplos. Os pontos duplos devem ser 
sublinhados. 
(3) Da direita para a esquerda, começando acima da reta real, uma curva ondulada é 
desenhada passando por todos os pontos marcados de forma que, ao passar por um ponto 
simples, a curva cruze a reta real (mude de sinal) e, ao passar por um ponto duplo, a curva 
permaneça do mesmo lado da reta real (conserve o sinal). Alternativamente, pode-se 
apenas indicar o sinal em cada intervalo, mantendo o sinal ao passar por um ponto duplo 
e invertendo o sinal ao passar por um ponto simples. 
(4) Os intervalos apropriados são escolhidos de acordo com o sinal da desigualdade na 
curva chamada curva de sinais. 
 
Vamos resolver pelo método dos intervalos a inequação que havíamos feito na introdução 
desse artigo, utilizando o quadro de sinais. 
 
023
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
Exemplo: Encontre os valores reais de x tais que 
3 4
5 7
(x 1) (x 2)
0.
(1 x) (2 x)
+ +

− −
 
 
As raízes de ( )
3 4
5 7
(x 1) (x 2)
f x
(1 x) (2 x)
+ +
=
− −
 são 1− e 2,− e os pontos de descontinuidade (raízes 
do denominador) são 1 e 2. 
Os pontos correspondentes a 1,− 1 e 2 são pontos simples (expoentes ímpares) e o ponto 
correspondente a 2− é um ponto duplo (expoente par) e deve ser marcado no diagrama. 
Vamos agora dispor os pontos na reta real e identificar o sinal para x 2, que é positivo. 
Cada vez que passamos por um ponto simples o sinal muda, pois muda o sinal de um dos 
fatores sem alterar os outros. Quando passamos por um ponto duplo, o sinal permanece o 
mesmo. 
 
 
Escolhendo os intervalos marcados com sinal positivo e as raízes (pontos marcados com 
“bola fechada”) e lembrando de excluir os pontos marcados com “bola aberta”, obtemos 
o conjunto solução:      S 2 1,1 2, .= −  −  + 
Observe que a curva traçada indica o sinal da função em cada intervalo, mas NÃO é 
o gráfico da função. Nos pontos de descontinuidade, por exemplo, o gráfico da função 
apresenta assíntotas verticais. 
 
A seguir são propostos alguns problemas que podem ser resolvidos usando esse método, 
mas se você preferir pode continuar usando o quadro de sinais. 
 
1) (CN 1983) A soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação: 
3
2 11 10
( x 3)
0
(x x 2) (5 x) (2x 8)
− +

+ −  −  −
 é: 
a) 11 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2 
 
2) (CN 1987) Qual a solução do sistema abaixo? 
4
1
x 2 x 2 5 x 4 6 0
1500x x 80−
 +  − − − +  
 
 +  
 
a) x 85 b) 30 x 50  
c) 20 x 85  d) 20 x 50  ou x 85 
e) 20 x 30  ou 50 x 85  
 
024
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
3) (CN 1990) O maior valor inteiro que verifica a inequação ( ) ( ) ( )x x 1 x 4 2 x 4 +  −   − 
é: 
a) 1. b) negativo. c) par positivo. 
d) ímpar maior que 4 . e) primo. 
 
4) O número de soluções inteiras da inequação 
4 2
2
x 2x 8
0
x x 1
− −

+ −
 é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) infinitas 
 
5) A função ( )
4 3 2
2
x 3x 4x
f x
x 4x 4
+ −
=
+ −
 é negativa em dois intervalos de números reais. A 
soma dos comprimentos desses dois intervalos é: 
a) 
1
2
 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2 
 
6) (EFOMM 2010) O gráfico das três funções polinomiais do 1 grau a, b e c definidas, 
respectivamente, por ( )a x , ( )b x e ( )c x , estão representadas abaixo. 
 
Nessas condições, o conjunto solução da inequação 
( )( ) ( )( )
( )( )
5 6
3
a x b x
0
c x

 é 
a) ( )  )4; 1 3;− −  + b)    )4; 1 3;− −  + 
c) ( )  ); 4 1;− −  − + d)  )4;+ 
e)  4− 
 
7) (CMRJ 2003) Seja D o domínio da função ( )
( ) ( )2 2
2
2x 7x 6 2x 7x 5
f x
x 5x 6
− + − +
=
− −
. O 
complementar de D em relação a , onde é o conjunto dos números reais, é: 
a)    
3 5
, 1 1, 2, 6,
2 2
   
− −    +      
 b)  
5
,1 ,
2
 
−  + 
 
 
c)  
3 5
1,1 , 2 ,6
2 2
   
−     
   
 d)  
3
, 2,
2
 
−  + 
 
 
025
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
e)  
3 5
1, 2, 6,
2 2
   
−   +   
   
 
 
8) A solução da inequação 
2
2 2
x ax
0
x ax 2a
−

− + +
, onde a 0 é: 
a)      , 2a a,0 a,−   − + b)      , 2a a,0 a,−   − + 
c)    a,0 a,2a−  d)    2a,a 0, a − 
e)    2a,a 0, a − 
 
9) (ITA 1967) Em qual dos casos vale a desigualdade 
2 2
2
x ax 2a
0
x (a 2)x 2a
− −

− + +
? 
a) a 0 , x 2a b) a 0= , x a 
c) a 2 , 2 x a  d) a 2 , a x 2−   
e) a 2 , x 2a 
 
10) (EFOMM 2012) O conjunto solução da inequação 
( ) ( )
2
10
3 2
3
log x
4
0
x 1 1 x
 
+ 
  
+  −
 é: 
a)  
1 1
1, ,1 1,
2 2
   
− −   +   
   
 b) 
1 1 2
1, ,1 ,
2 2 3
    
− −   +        
 
c)  
1 1
1, ,1 1,
2 2
   
− −   +      
 d) 
1 1 2
1, ,1 1,
2 2 3
    
− −      
     
 
e) 
1 1 2
1, ,1 1,
2 2 3
    
− −      
     
 
 
As soluções dos problemas anteriores encontram-se a seguir, para que você confira suas 
respostas ou a solução de alguma questão que não tenha conseguido resolver. 
 
1) e 
( )( )
3 3
2 11 10 11 10 10
( x 3) ( x 3)
0 0
(x x 2) (5 x) (2x 8) x 2 x 1 (5 x) 2 (x 4)
− + − +
  
+ −  −  − + −  −   −
 
Vamos representar as raízes (bolas cheias) e os pontos de descontinuidade (bolas vazadas) 
sobre a reta real, e marcar os de multiplicidade par (sublinhado). 
Para x 5 , a expressão é positiva. Vamos marcar 
 
     S 2,1 3,4 4,5 = −   
A soma dos valores inteiros do conjunto solução é 1 0 3 2− + + = . 
 
2) e 
026
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
( )( )4 4
4
x 2 x 2 5 x 4 6 0 x 2 x 2 5 x 4 6 0
x 4 5 x 4 6 0 x 0
+  − − − +   + − − − + 
 − − − +   
 
24y x 4 y 5y 6 0 2 y 3= −  − +     
42 x 4 3 16 x 4 81 20 x 85  −    −     
( )( )21 1500 x 80x 1500 x 50 x 301500x x 80 x 80 0 0
x x x
− − + − −+   +      
 
0 x 30 x 50     
Efetuando a interseção dos dois intervalos obtidos, visto que x deve satisfazer as duas 
inequações, temos 20 x 30  ou 50 x 85  
 
3) e 
 
Dispondo as três raízes sobre a reta real, obtemos o seguinte estudo de sinal da expressão. 
 
   x 2 1 x 4 S , 2 1,4  −     = − −  
Portanto, o maior número inteiro que verifica a inequação é 3 , que é primo. 
 
4) b 
( )( )
( ) ( )
2 24 2
2 2
2
2
x 4 x 2x 2x 8
0 0
x x 1 x x 1
x 2 x 2
x 2 0, x 0
x x 1
− +− −
  
+ − + −
+ −
+     
+ −
 
As raízes da equação 2x x 1 0+ + = são 
1 5
2
− 
 que são os pontos de descontinuidade 
da função. 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
x x 1 x 4 2 x 4 x x 1 x 4 2 x 4 0
x 4 x x 1 2 0 x 4 x x 2 0 x 4 x 2 x 1 0
 +  −   −   +  − −  −  
 −   + −   −  + −   −  +  − 
 
x1 5 1 5
2 x ou x 2 x 1
2 2
− − − +
 −      
027
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
 
5) b (ARML 2010) 
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
4 3 2 2
2
x 3x 4x x x 4 x 1
f x
x 4x 4 x 2 2 2 x 2 2 2
+ − + −
= =
+ − − − + − − −
 
 
Logo, ( )f x é negativa em 2 2 2, 4 2 2 2,1   − − −  − +    e a soma dos comprimentos 
dos intervalos é ( ) ( )( ) ( )( )4 2 2 2 1 2 2 2 1− − − − + − − + = . 
Note que, no diagrama, 0 é uma raiz de multiplicidade par. 
 
6) c 
A raiz de ( )a x é 1− , a raiz de ( )b x é 3 e raiz de ( )c x é 4− . 
Na fração 
( )( ) ( )( )
( )( )
5 6
3
a x b x
c x

, 1− é raiz de multiplicidade 5 , 3 é raiz de multiplicidade 
6 e 4− é um pontode descontinuidade de multiplicidade 3 . Assim, 3 é um ponto duplo 
e os outros dois são pontos simples. 
 
Escolhendo os intervalos de sinais maiores ou iguais a zero, temos 
( )  )S , 4 1,= − −  − + . 
 
7) c 
( )
( ) ( )2 2
2
2x 7x 6 2x 7x 5
f x
x 5x 6
− + − +
=
− −
 
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )
2 2
2
2x 7x 6 2x 7x 5 2x 3 x 2 2x 5 x 1
0 0
x 6 x 1x 5x 6
− + − + − − − −
   
− +− −
 
 
       D
3 5 3
D , 1 1, 2, 6, C D 1,1 , 2 5,6
2 2 2
     
= − −    +  = − = −            
 
 
8) e 
( )
( )( )
( )
( )( )
2
2 2
x ax x x a x x a
0 0 0
x 2a x a x 2a x ax ax 2a
− − −
    
− − + − +− + +
 
As raízes da fração são 0 e a ; e os pontos de descontinuidade são a− e 2a . Como a 0, 
temos 2a a 0 a  − . 
028
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1 – ENSINO FUNDAMENTAL 
 
 
   S 2a,a 0, a =  − 
 
9) d 
( )( )
( )( )
2 2
2
x ax 2a x 2a x a
0 0
x a x 2x (a 2)x 2a
− − − +
  
− −− + +
 
As raízes da fração são a− e 2a ; e os pontos de descontinuidade são a e 2 . Entretanto, 
não sabemos a ordem dessas raízes, pois ela depende do valor de a . 
Se a 2 , então a 2 a 2a−    , e temos: 
 
a x 2 a x 2a−      
Logo, se a 2 e a x 2−   , vale a igualdade. 
 
10) a 
Analisando a função ( ) 210
3
f x log x
4
 
= + 
 
, temos: 
( ) 2 2
3 1 1 1
f x 0 x 1 x 0 x
4 4 2 2
  +   −   −   , 
( ) 2 2
3 1 1
f x 0 x 1 x x
4 4 2
=  + =  =  =  
( ) 2 2
3 1 1 1
f x 0 x 1 x 0 x x
4 4 2 2
  +   −    −   . 
Observe que a condição de existência da função logarítmica é sempre satisfeita, pois o 
logaritmando 
2 3x
4
 
+ 
 
 é sempre positivo. 
Vamos dispor as raízes e pontos de descontinuidade sobre a reta real e marcar aqueles de 
multiplicidade par a fim de aplicar o “Método dos Intervalos”. 
 
 
1 1
S 1, ,1 1,
2 2
   
 = − −   +   
   
 
 
 
029
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1– ENSINO FUNDAMENTAL 
 
 
MINICURSO DE TEORIA DOS NÚMEROS - PARTE 2 
 
Jean Lira 
 
 
Antes de continuarmos estudando as divisões, que começamos na 1ª edição, 
vamos entender melhor o que é o nosso sistema de numeração decimal. 
Imagine que temos um determinado número de pedrinhas sobre uma mesa e 
queremos juntar essas pedrinhas em saquinhos, sempre colocando 10 pedrinhas em um 
saquinho. Fazendo isso conseguimos 37 saquinhos e sobram 4 pedrinhas na mesa. 
Agora vamos colocar esses saquinhos em caixas, sempre colocando 10 
saquinhos em uma caixa. Após esse processo temos 3 caixas e sobram 10 saquinhos, 
certo? Então ficamos, em cima da mesa, com 3 caixas, 7 saquinhos e 4 pedrinhas. Você 
sabe dizer quantas pedrinhas tínhamos inicialmente na mesa? Se você pensou 374 está 
correto. Parabéns! 
Mas 3, 7 e 4 eram exatamente o número de caixinhas, saquinhos e pedrinhas, 
respectivamente, que ficaram em cima da mesa. Isso é coincidência?! Não. Nosso sistema 
de numeração se chama decimal justamente porque contamos assim, sempre agrupando 
elementos de 10 em 10. Repare que separamos as pedras da seguinte forma: 
 
300 (nas caixas) + 70 (nos saquinhos) + 4(que sobraram na mesa), 
 
ou seja, a posição dos algarismos em um número diz para a gente quantas vezes 
agrupamos de 10 em 10 a ordem anterior, ou seja, quantos “saquinhos”, “caixinhas”, 
“armários”, etc... podemos formar, então, por exemplo, o número 2435 pode ser escrito 
como: 
 
2000 + 400 + 30 + 5. 
 
Forma polinomial de um número 
 
Como acabamos de ver, podemos separar os números em múltiplos de 10, 100, 
1000, ..., dependendo da posição do algarismo. Então, o número 54327 é também 
 
50000 + 4000 + 300 + 20 + 7, 
ou ainda: 
 
5 10000 4 1000 3 100 2 10 7. +  +  +  + 
 
Nossa, que grande! Vamos reduzir isso um pouco utilizando as potências de 10: 
 
4 3 2 1 05 10 4 10 3 10 2 10 7 10 . +  +  +  +  
 
Um pouco melhor. Agora não precisamos escrever tantos zeros. Essa última 
forma chamamos de forma polinomial de um número. 
 
Generalizando, se temos um número 1 2 3 ,= nN a a a a onde 1 2 3, , , , na a a a 
são seus algarismos, então ele pode ser escrito como: 
030
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1– ENSINO FUNDAMENTAL 
 
 
1 2 3 1 0
1 2 3 110 10 10 10 10 .
− − −
−=  +  +  + +  +
n n n
n nN a a a a a 
 
Agora que relembramos como funciona o nosso sistema de numeração decimal, 
podemos voltar a falar de divisão. 
 
Alguns critérios de divisibilidade 
 
Os critérios de divisibilidade servem para sabermos, sem muito esforço, se um 
número é divisível por outro, ou seja, é uma condição que um número N deve satisfazer 
para poder ser divisível por outro número k. 
 
Vamos agora ver os critérios de divisibilidade para alguns números: 
 
Critério de divisibilidade por 2 
 
Para um número ser divisível por 2, basta que seu último algarismo seja par. 
 
Exemplo: 325 438 é divisível por 2, pois 8 é par. 
 
Provando: 
( )
1 2 3 1 0
1 2 3 1
1 1 2 2 3 3 1 1
1 2 3 1
2 1 3 2 4 3 1
1 2 3 1
10 10 10 10 10
2 5 2 5 2 5 2 5
2 2 5 2 5 2 5 5
2 ,
− − −
−
− − − − − −
−
− − − − − −
−
=  +  +  + +  +
 =   +   +   + +   +
 =    +   +   + +  +
 = + 
n n n
n n
n n n n n n
n n
n n n n n n
n n
n
N a a a a a
N a a a a a
N a a a a a
N k a k
 
Logo se o último algarismo for divisível por 2, então o número N também será. 
 
O resto na divisão de N por 2 é 0, se N é par, ou 1, se N é ímpar. 
 
Critério de divisibilidade por 3 
 
Para um número ser múltiplo de 3, então a soma dos algarismos desse número deve ser 
múltipla de 3. 
 
Exemplo: 234 576 é divisível por 3, pois 2 3 4 5 7 6 27,+ + + + + = que é múltiplo de 3. 
 
Provando: 
Vamos reparar que 
2 3 410 99 1 , 10 999 1 , 10 9999 1= + = + = + ou seja 
 vezes
10 999 9 1,= +n
n
 
então: 
1 2 3 1 0
1 2 3 110 10 10 10 10
n n n
n nN a a a a a
− − −
−=  +  +  + +  + 
1 2 3 1
1 2 3
(999 9 1) (999 9 1) (999 9 1) (9 1)−
− − −
 =  + +  + +  + + +  + +n n
n n n
N a a a a a 
1 2 3 1 1 2
1 2 3
999 9 999 9 999 9 9−
− − −
 =  +  +  + +  + + + +n n
n n n
N a a a a a a a 
031
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1– ENSINO FUNDAMENTAL 
 
1 2 3 1 1 2
1 2 3
3 333 3 333 3 333 3 3−
− − −
 
 =   +  +  + +  + + + + 
 
 
n n
n n n
N a a a a a a a 
1 23 , =  + + + + nN k a a a k 
Como 3k é múltiplo de 3, então N será múltiplo de 3 se 1 2 na a a+ + + for múltiplo de 
3. 
 
O resto na divisão de N por 3 é o resto da soma dos algarismos de N por 3. 
 
Critério de divisibilidade por 4 
 
Um número será múltiplo de 4, quando o número formado pelos seus dois últimos 
algarismos for múltiplo de quatro. 
 
Exemplo: 3 456 984 é divisível por 4, pois 84 é divisível por 4. 
 
Provando: 
( )
1 2 3 1 0
1 2 3 1
3 4 5 1 0
1 2 3 1
1
10 10 10 10 10
100 10 10 10 10 10
100 10 ,
− − −
−
− − −
−
−
=  +  +  + +  +
 =   +  +  + +  +
 =  + + 
n n n
n n
n n n
n n
n n
N a a a a a
N a a a a a
N k a a k
 
Como 100k é múltiplo de 4, então para que N seja múltiplo de 4, 1 110 n n n na a a a− −+ = 
deve ser múltiplo de 4. 
 
O resto na divisão de N por 4 é o resto do número formado pelos dois últimos algarismos 
de N por 4. 
 
Critério de divisibilidade por 5 
 
Um número será múltiplo de 5 se o último algarismo for 0 ou 5. 
 
Exemplo: O número 654 375 é divisível por 5, pois termina em 5. 
 
O resto na divisão de N por 5 é o resto do último algarismo de N por 5. 
 
Critério de divisibilidade por 6 
 
Um número será múltiplo de 6, se for múltiplo de 2 e de 3. 
 
Exemplo: O número 432 642 é múltiplo de 6, pois termina em 2, que é par, e a soma dos 
seus algarismos é 4 3 2 6 4 2 21,+ + + + + = que é múltiplo de 3. 
 
O resto na divisão de N por 6 é o resto da soma do algarismo das unidades de N com o 
quádruplo da somados demais algarismos por 6. (Será que você consegue provar isso?) 
 
 
 
032
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1– ENSINO FUNDAMENTAL 
 
Critério de divisibilidade por 7 
 
Um número será divisível por 7 se a diferença entre o número obtido se retirando o 
algarismo das unidades e o dobro do algarismo das unidades for divisível por 7. 
 
Exemplo: 406 é múltiplo de 7, pois 40 2 6 28,−  = que é múltiplo de 7. 
 
Critério de divisibilidade por 8 
 
Um número será divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos 
for divisível por 8. 
 
Exemplo: 5 432 840 é múltiplo de 8, pois 840 8 105=  é múltiplo de 8. 
 
O resto na divisão de N por 8 é o resto do número formado pelos três últimos algarismos 
de N por 8. 
 
Note que um número N será divisível por k2 se o número formado pelos k últimos 
algarismos de N for múltiplo de k. Além disso, o resto na divisão de N por k2 é igual ao 
resto do número formado pelos k últimos algarismos de N por k2 . 
 
Exemplos: O número 1 113 392 é múltiplo de 416 2 ,= pois 3392 16 212.=  
 
Critério de divisibilidade por 9 
 
Um número será divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for múltipla de 9. 
 
Exemplo: 524 322 é divisível por 9, pois 5 2 4 3 2 2 18,+ + + + + = que é múltiplo de 9. 
 
O resto na divisão de N por 9 é o resto da soma dos algarismos de N por 9. 
 
Critério de divisibilidade por 10 
 
Um número será divisível por 10 se o seu último algarismo for 0. 
 
Exemplo: 876 543 890 é múltiplo de 10, pois termina em 0. 
 
O resto na divisão de N por 10 é o último algarismo de N (algarismo das unidades). 
 
Note que um número N será divisível por k10 se os k últimos algarismos de n forem 
iguais a 0. Além disso, o resto na divisão de N por k10 é igual ao número formado pelos 
k últimos algarismos de N. 
 
Exemplo: O número 1 576 000 é múltiplo de 31000 10 ,= pois seus 3 últimos algarismos 
são 0. 
 
 
 
033
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 1– ENSINO FUNDAMENTAL 
 
Critério de divisibilidade por 11 
 
Um número será divisível por 11 se a soma dos seus algarismos de ordem ímpar menos a 
soma dos seus algarismos de ordem par for um múltiplo de 11. 
 
Exemplo: O número 627 é múltiplo de 11, pois ( )6 7 2 11,+ − = que é múltiplo de 11. 
 
Sugestão para demonstração: Considere 10 11 1,= − 100 99 1,= + 1000 1001 1,= − 
10 000 9999 1,= + 100 000 100 001 1,= − na representação 
k k 1 2 1
k k 1 2 1 0n 10 a 10 a 10 a 10 a a .
−
−=  +  + + + + 
 
O resto na divisão de N por 11 é o resto da soma dos seus algarismos de ordem ímpar 
menos a soma dos seus algarismos de ordem par por 11. 
 
 
Deixarei para o leitor o desafio de demonstrar as propriedades por 5, 6, 7, 8, 9, 
10 e 11. Caso tenha alguma dificuldade, não se preocupe, pois na próxima edição faremos 
essas demonstrações e falaremos sobre números primos. 
 
 
034
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
UM NOTÁVEL TEOREMA 
 
Chico Nery 
 
 
Quando estamos resolvendo problemas de geometria plana sintética e nos 
deparamos com triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras e as relações 
trigonométricas do primeiro quadrante, via de regra, são suficientes. Ao passarmos a 
trabalhar com triângulos não retângulos, um teorema de notável eficácia é o “Teorema 
dos Cossenos”, também conhecido como Lei dos Cossenos. 
O que ele afirma realmente? 
Dado um triângulo ABC, de lados com medidas 𝑎, 𝑏 e 𝑐, é sempre correto 
afirmar que: 
 
2 2 2 ˆ2 cos .= + −   a b c b c A 
 
 
É necessário observar que, mesmo que o triângulo ABC seja retângulo em A, a 
Lei dos Cossenos permanece válida, pois: 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. cos 90° = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 0 ⇔ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐² 
 
Esse teorema se emparelha em importância e aplicabilidade ao Teorema de 
Pitágoras e, por isso, alguns o chamam de “Teorema de Pitágoras Estendido”. 
 
Nesse breve artigo não pretendo resolver nenhum problema em particular, mas 
sim mostrar duas belas aplicações da Lei dos Cossenos que geram dois outros teoremas, 
ou, em outras palavras, duas interessantes propriedades geométricas: 
 
A Lei dos Cossenos pode nos levar a um belo resultado trigonométrico: 
 
035
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
Dado o seguinte triângulo ABC: 
 
 
 
Apliquemos a Lei dos Cossenos: 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 
(𝑚 + 𝑛)2 = ℎ2 + 𝑛2 + ℎ2 +𝑚2 − 2𝑏𝑐. cos⁡(𝛼 + 𝛽) 
𝑚2 + 𝑛2 + 2𝑚𝑛 = 𝑚2 + 𝑛2 + 2ℎ2 − 2𝑏𝑐. cos⁡(𝛼 + 𝛽) 
2𝑚𝑛 = 2ℎ2 − 2𝑏𝑐. cos⁡(𝛼 + 𝛽) 
cos(𝛼 + 𝛽) =
ℎ2 −𝑚𝑛
𝑐𝑏
=
ℎ
𝑐
.
ℎ
𝑏
−
𝑚
𝑐
.
𝑛
𝑏
 
e, finalmente: 
 
( )cos cos cos sen sen .+ =  −       
 
Sabendo disso, agora podemos calcular, por exemplo, o cosseno de 75⁰. 
 
cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos 45°. 𝑐𝑜𝑠30° − 𝑠𝑒𝑛45°. 𝑠𝑒𝑛30° 
cos 75° =
√2
2
.
√3
2
−
√2
2
.
1
2
 
cos 75° =
√6 − √2
4
 
 
A Lei dos Cossenos pode nos mostrar qual é a relação entre 3 números positivos: 
𝑎, 𝑏 e 𝑐 quando eles são as medidas dos lados de um triângulo: 
 
036
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
Podemos considerar, sem perda de generalidade, que 𝑎 ≥ 𝑏 ≥ 𝑐. 
Apliquemos a Lei dos Cossenos e, em seguida, efetuemos uma série de 
passagens: 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 
⇔ cos �̂� =
𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎²
2𝑏𝑐
 
�̂� é a medida de um ângulo interno do triângulo (logo 0° < �̂� < 180°) e, 
portanto: 
1 > 𝑐𝑜𝑠𝐴 > −1⇔ 1 >
𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2
2𝑏𝑐
> −1⇔ 
⇔2𝑏𝑐 > 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 > −2𝑏𝑐 ⇔ 
⇔ −𝑏2 − 𝑐2 + 2𝑏𝑐 > −𝑎2 > −𝑏2 − 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ⇔ 
⇔⁡𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 < 𝑎2 < 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑏𝑐 ⇔ 
⇔ (𝑏 − 𝑐)² < 𝑎² < (𝑏 + 𝑐)² ⇔ 
 
 −   +b c a b c 
 
Traduzindo: Três números positivos são medidas dos lados de um triângulo se, 
e somente se, qualquer um deles for menor do que a soma e maior do que a diferença dos 
outros dois. 
Sabendo disso, agora podemos entender porque, por exemplo, os números 1,7 e 
9 não podem ser as medidas dos lados de um triângulo, pois não é verdade que: 9 1 7. + 
Já os números 3,7 e 9 podem ser as medidas dos lados de um triângulo, pois: 
7 − 3 < 9 < 7 + 3. 
 
 
037
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PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
NÚMEROS COMPLEXOS E LUGARES GEOMÉTRICOS 
 
Renato de Oliveira C. Madeira 
madematica.blogspot.com 
 
 
 
Representação no plano de Argand-Gauss 
 
Seja um número complexo z x yi,= + onde x e y são números reais e i é a unidade 
imaginária e satisfaz 2i 1.= − Essa representação é denominada forma algébrica do 
número complexo. 
Os números complexos podem ser representados no plano cartesiano, onde a parte real 
corresponde à abscissa e a parte imaginária corresponde à ordenada. O eixo das abscissas 
(Ox) é chamado eixo real e o das ordenadas (Oy) chamado eixo imaginário. O plano que 
tem um número complexo associado a cada um de seus pontos é chamado plano 
complexo ou plano de Argand-Gauss. 
O ponto ( )P x, y correspondente ao número complexo z x yi= + é chamado imagem do 
complexo e o número complexo z x yi= + é chamado afixo do ponto ( )P x, y . 
 
 
 
Na figura acima, temos ( )x Re z= é a parte real, ( )y Im z= é a parte imaginária, 
( )arg z = é o argumento e 
2 2r OP z x y= = = + é o módulo, tudo relativo ao número 
complexo z x yi.= + 
O número complexo z x yi= + fica determinado conhecendo-se seu módulo e seu 
argumento, pois x r cos=   e y r sen .=   Assim, 
 
( )z x yi r cos r sen i r cos isen r cis .= + =  +   =  +  =   
 
Essa representação é denominada forma trigonométrica do número complexo. 
038
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica 
 
Sejam dois números complexos 1 1 1z r cis=  e 2 2 2z r cis=   representados na forma 
trigonométrica, então o produto desses números complexos é dado por 
 
( )1 2 1 2 1 2z z r r cis , =    + 
 
ou seja, para multiplicar dois números complexos, devemos multiplicar seus módulos e 
somar seus argumentos. 
 
Verifique essa igualdade a partir da multiplicação de dois números complexos na forma 
algébrica e das fórmulas de seno e cosseno da soma de dois arcos. 
 
Considere agora um número complexo w cis=  de módulo unitário. A multiplicação de 
um número complexo z r cis=   por w resulta um número complexo cuja imagem no 
plano de Argand-Gauss é igual à imagem de z rotacionada no sentido anti-horário do 
ângulo , argumento de w. 
 
 
 
Em particular, se multiplicarmos z por i, que tem argumento 90 , a imagem do complexo 
resultante é a imagem de z rotacionada de 90 no sentido anti-horário. 
 
039
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PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
 
Raízes da unidade 
 
As raízes de nz 1 1 cis2 ,= =   *n , são denominadas raízes n-ésimas da unidade e, 
de acordo com a 2ª fórmula de De Moivre, são dadas por: 
 
( )
k
2k
cis , k 0,1,2, , n 1
n

 = = − 
 
As imagens no plano de Argand-Gauss das raízes n-ésimas da unidade são vértices de um 
polígono regular de gênero n inscrito em uma circunferência de raio 1 . 
 
A figura a seguir mostras a representação das raízes cúbicas da unidade. 
 
 
040
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PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
É interessante também notar que o produto de duas raízes n-ésimas da unidade é outra 
raiz n-ésima da unidade, pois p q p q+  =  . 
 
Lugar Geométrico 
 
Um lugar geométrico ( )L.G. é o conjunto de todos os pontos que possuem uma 
determinada propriedade. 
Assim, se o conjunto L é o lugar geométrico dos pontos que possuem uma propriedade 
p , então: 
1°) Se o ponto A L , então A possui a propriedade p ; e 
2°) Se o ponto A possui a propriedade p , então A L . 
 
Por exemplo, o lugar geométrico dos pontos do plano que distam uma unidade de um 
ponto P é uma circunferência de centro em P e raio 1. 
 
Distância entre imagens de dois números complexos 
 
A distância entre as imagens dos números complexos z e 0z é 0z z− . 
 
 
 
Representação de uma circunferência 
 
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que 0z z r,− = onde 
*r ,+ é o lugar 
geométrico dos pontos que estão a uma distância r da imagem do número complexo 0z , 
ou seja, uma circunferência de centro em 0z e raio r . 
 
041
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
 
Note que usando a relação 
2
z z z , = temos: 
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0z z r z z r z z z z r z z z z r− =  − =  −  − = = − − = 
( )22 20 0 0 0 0 0 0z z z z z z z z r z z z z z z z r 0  −  −  +  =   −  −  + − = 
Assim, uma equação da forma z z a z a z b 0 +  +  + = representa uma circunferência de 
centro ( )a− e raio 
2
a b.− 
 
Representação da mediatriz de dois pontos 
 
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que 1 2z z z z− = − é o lugar geométrico 
dos pontos que equidistam das imagens de 1z e 2z , ou seja, é a mediatriz do segmento 
determinado pelas imagens de 1z e 2z . 
 
 
 
042
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PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
Representação de uma elipse 
 
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que 1 2z z z z 2a− + − = , onde 
1 22a z z − , é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias às imagens de 
1z e 2z é constante e igual a 2a, ou seja, é uma elipse de focos 1z e 2z , e eixo maior 
2a . 
 
 
Representação de uma hipérbole 
 
O conjunto dos pontos do plano complexo tais que 1 2z z z z 2a− − − = , onde 
1 22a z z − , é o lugar geométrico dos pontos cujo módulo da diferença das distâncias 
às imagens de 1z e 2z é constante e igual a 2a, ou seja, é uma hipérbole de focos 1z e 
2z , e eixo maior 2a . 
 
 
043
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PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
Antes de passarmos aos problemas, vou apresentar algumas referências bibliográficas 
para quem quiser pesquisar mais sobre esse assunto. 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICAS: 
 
(1) Guimarães, Caio dos Santos. Matemática em nível IME-ITA, Volume 1: Números 
Complexos e Polinômios. São José dos Campos: Vestseller, 2008. 
(2) Oliveira, Marcelo Rufino de. Coleção Elementos da Matemática, 4: números 
complexos, polinômios, geometria analítica. 1ª ed. Belém: 2013. 
(3) Yaglom, I. M. Complex Numbers in Geometry. Londres: Academic Press, 1968. 
(4) Deaux, Roland. Introduction to the Geometry of Complex Numbers. New York: 
Dover, 2008. 
(5) Carmo, M. P., Morgado, A. C. e Wagner, E. Trigonometria, Números Complexos. 
Rio de Janeiro: SBM, 2001. 
 
Vamos agora tentar resolver alguns probleminhas aplicando as ideias apresentadas. 
Depois que você tentar resolvê-los, recomendo ler as soluções (que estão logo após os 
enunciados) mesmo que você tenha conseguido fazer. 
 
PROBLEMAS: 
 
1) (ITA 1974) Seja kz um número complexo, solução da equação ( )
5 5z 1 z 0,+ + = 
k 0,1, 2,3, 4.= Podemos afirmar que: 
a) todos os kz , k 0,1,2,3,4= estão sobre uma circunferência. 
b) todos os kz , k 0,1,2,3,4= estão sobre uma reta paralela ao eixo real. 
c) todos os kz , k 0,1,2,3,4= estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário. 
d) a equação não admite solução. 
e) n.d.a. 
 
2) (ITA 1978) O lugar geométrico, no plano complexo, representado pela equação: 
o ozz z z z z k 0,− − + = onde k é um número real positivo e 
2
oz k, é: 
a) uma hipérbole com centro oz . 
b) uma elipse com um dos focos em oz . 
c) uma circunferência com centro em oz . 
d) uma parábola com vértice em oz . 
e) n.d.a. 
 
3) (ITA 1981) Sejam a e k constantes reais, sendo a 0 e 0 k 1.  De todos os números 
complexos z que satisfazem a relação z ai ak,−  qual é o de menor argumento? 
a) ( )2 2z ak 1 k ia 1 k= − +  − 
b) ( )2 2z k 1 k ia 1 k= − −  − 
c) ( )2 2z k 1 k i 1 k= − −  − 
d) ( )2 2z k 1 k ia 1 k= − − −  − 
e) z a ik= + 
044
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
4) (ITA 1981) O conjunto A definido por ( ) ( ) A z ; z i z i 4=  −  − = representa no 
plano complexo: 
a) uma elipse cujos focos se encontram nos pontos i e i.− 
b) uma circunferência de centro no ponto ( )0,1 e raio 2. 
c) uma circunferência de centro no ponto ( )0,0 e raio 4. 
d) um par de retas que se cortam no ponto ( )1,1 . 
e) nenhuma das anteriores. 
 
5) (ITA 1982) Considere a família de curvas do plano complexo, definida por 
1
Re C,
z
 
= 
 
 onde z é um complexo não-nulo e C é uma constante real positiva. Para cada 
C temos uma: 
a) circunferência com centro no eixo real e raio igual a C. 
b) circunferência com centro no eixo real e raio igual a 
1
.
C
 
c) circunferência tangente ao eixo real e raio igual a 
1
.
2C
 
d) circunferência tangente ao eixo imaginário e raio igual a 
1
.
2C
 
e) circunferência com centro na origem do plano complexo e raio igual a 
1
.
C
 
 
6) (ITA 1998) Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as 
soluções da equação 6z 1.= A área deste polígono, em unidades de área, é igual a: 
a) 3 b) 5 c)  d) 
3 3
2
 e) 2 
 
7) (ITA 1997) Considere no plano complexo um hexágono regular centrado em 0z i.= 
Represente por 1 2 6z ,z , , z seus vértices, quando percorridos no sentido anti-horário. Se 
1z 1= então 32z é igual a 
a) 2 4i+ 
b) ( ) ( )3 1 3 3 i− + + 
c) ( )6 2 2 i+ + 
d) ( ) ( )2 3 1 2 3 3 i− + + 
e) ( )2 6 2 i+ + 
 
8) (ITA 2003) Determine o conjunto dos números complexos z para os quais o número 
z z 2
w
z 1 z 1 3
+ +
=
− + + −
 pertence ao conjunto dos números reais. Interprete (ou 
identifique) esse conjuntogeometricamente e faça um esboço do mesmo. 
 
045
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
9) (ITA 2007) Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais 
que
z 2z
3
z 2i z 2i
+ =
− +
 e 0 z 2i 1 . −  
 
10) (ITA 2018) As raízes do polinômio 2 3 4 5 6 71 z z z z z z z ,+ + + + + + + quando 
representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono cuja área é: 
a) 
2 1
2
−
 b) 
2 1
2
+
 c) 2 d) 
3 2 1
2
+
 e) 3 2 
 
11) (IME 2014) Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado 
pela desigualdade z 26i 10−  , sejam 1 e 2 os valores máximo e mínimo de seu 
argumento. O valor de 1 2 − é 
a) 1
5
tan
12
−  −  
 
 b) 1
5
2 tan
13
−    
 
 
c) 1
5
tan
13
−  
 
 
 d) 1
5
2 tan
12
−    
 
 
e) 1
12
2 tan
5
−    
 
 
 
12) (IME 1980) Um velho manuscrito descrevia a localização de um tesouro enterrado: 
“Há somente duas árvores, A e B, em um terreno plano, e um canteiro de tomates. A é 
uma mangueira e B é uma jabuticabeira. A partir do centro K do canteiro, meça a distância 
em linha reta até a mangueira. Vire 90 à esquerda e percorra a mesma distância até o 
ponto C. Volte ao canteiro. Meça a distância em linha reta até a jabuticabeira. Vire 90 
à direita e percorra a mesma distância até o ponto D. O tesouro está no ponto médio T do 
segmento CD”. 
Um aventureiro achou o manuscrito, identificou as árvores, mas, como o canteiro 
desaparecera com o passar do tempo, não conseguiu localizá-lo e desistiu da busca. O 
aluno Sá Bido, do IME, nas mesmas condições, diz que seria capaz de localizar o tesouro. 
Mostre como você resolveria o problema, isto é, dê as coordenadas de T em função das 
coordenadas de ( )A 5,3= e ( )B 8,2 .= 
 
 
Se você já tentou resolver as questões anteriores, convido-o a ler as soluções propostas 
que seguem. 
 
SOLUÇÕES PROPOSTAS: 
 
1) c 
( ) ( ) ( )5 5 5 5 55 5 5z 1 z 0 z 1 z z 1 z z 1 1 z+ + =  + = −  + = −  + = −  
z 1 z + = 
Os números complexos z que satisfazem a última igualdade estão sobre a mediatriz dos 
pontos ( )1,0− e ( )0,0 , ou seja, sobre a reta 
1
x ,
2
= − que é uma reta paralela ao eixo 
imaginário. 
 
046
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PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
2) c 
Sabemos que para qualquer número complexo z, temos 
2
z z z . = Assim, temos: 
( )( )o o o o o ozz z z z z k 0 z z z z z z k− − + =  − − = −  
( )( )
2 2
o o o o o oz z z z z z k z z z k − − = −  − = − 
22 2
o o o oz k z k 0 z z z k  −   − = − 
A equação anterior representa uma circunferência de centro em oz e raio 
2
oz k.− 
 
3) a 
a 0 0 k 1 0 ak a       
A equação z ai ak−  corresponde a um disco de circunferência de centro ( )0,a e raio 
ak, representado na figura a seguir. 
 
Seja OP tangente à circunferência, então o ponto P é imagem do complexo de menor 
argumento. Vamos calcular as partes real OB e imaginária OC desse número complexo. 
No triângulo retângulo OPA, temos: 
( )2 2 2 2 2 2 2 2 2OP OA AP a a k a 1 k OP a 1 k= − = − = −  = − 
2 2OA PC AP OP a PC ak a 1 k PC ak 1 k OB =    =  −  = − = 
( ) ( )2 2 2 2OP OA OC a 1 k a OC OC a 1 k=   − =   = − 
Logo, o complexo de menor argumento é ( )2 2z ak 1 k a 1 k i.= − + −  
 
4) b 
( ) ( ) 2z i z i 4 z i 4 z i 2−  − =  − =  − = 
Essa equação significa que a distância entre os complexos z e o complexo i, cuja imagem 
no plano complexo é o ponto ( )0,1 , é constante e igual a 2. 
Logo, o conjunto A representa uma circunferência de centro ( )0,1 e raio 2. 
 
 
047
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PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
5) d 
1 1 1 1 1 z z 1 1
Re C z z 2C z z z z z z 0
z 2 z z 2 z z 2C 2C
+   
= + =  =  + =     − − =   
   
 
Note que essa expressão é similar a uma equação de circunferência. 
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
z z z z z z z z
2C 2C 2C 2C 2C 2C4C 4C 4C 4C
      
 − − + =  − − =  −  − =      
      
 
2
2
1 1 1 1
z z
2C 2C 2C4C
 − =  − = 
Essa equação representa uma circunferência de centro 
1
,0
2C
 
 
 
 e raio 
1
,
2C
 que tangencia 
o eixo imaginário e está representada na figura a seguir. 
 
 
Podemos também resolver essa questão usando a forma algébrica. Seja z x yi,= + com 
x, y , então 
2 2 2 2 2 2
1 1 x yi x y 1 x
i Re C
z x yi x yi zx y x y x y
−  
=  = −  = = 
+ −  + + +
 
2 2
2 2 2 2 2
2 2
x 1 1 1 1 1
x y x 2 x y x y
C 2C 2C 2C4C 4C
   
 = +  −  + + =  − + =   
   
 
Novamente obtivemos a equação de uma circunferência de centro 
1
,0
2C
 
 
 
 e raio 
1
.
2C
 
 
6) d 
As soluções da equação 6z 1= formam, no plano de Argand-Gauss, um hexágono inscrito 
em uma circunferência de raio 1. Portanto, sua área é 
21 3 3 3
S 6 .
4 2
=  = 
Essa situação está representada a seguir no plano de Argand-Gauss: 
048
RCMat – Revista do Clube de Matemáticos nº 2 – março de 2019 
PARTE 2 – ENSINO MÉDIO 
 
 
Observe, ainda, que, pela 2ª fórmula de De Moivre, temos: 
6 2kz 1 cis0 z 1cis , k 0,1,2, ,5.
6

= =  = = 
 
7) b 
A figura a seguir representa os números complexos citados no enunciado no plano de 
Argand-Gauss. 
 
Seja 1 0w z z 1 i.= − = − Vamos obter w' a partir da rotação de w por um ângulo de 
2
3

 
no sentido anti-horário. Assim, temos: 
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( )
2 2 5 6 2 6 2
w ' 1 i cis 2 cis cis 2 cis 2 i
3 4 3 12 4 4
3 1 3 1
i
2 2
     − + 
= − = −  = = + =  
   
− +
= +
 
O número complexo 3z w ' i,= + então 
3
3 1 3 1 3 1 3 3
z w ' i i i i
2 2 2 2
− + − +
 = + = + + = + 
( ) ( )
32z 3 1 3 3 i = − + + 
 
8) 
( ) ( )z z 2Re z z z 2 2Re z 2 , z+ =  + + = +    
*z z 2w z 1 z 1 3
z 1 z 1 3
+ +
=   − + + − 
− + + −
 
Observe que o numerado z z 2+ + é um número real, então w será um número real se, e 
somente se, a raiz quadrada que aparece no denominador estiver definida e for não-nula, 
o que ocorre quando seu radicando é positivo. 
( )z 1 z 1 3 0 z 1 z 1 3 − + + −   − + − −  
Sabemos que z 1− representa a distância de z ao ponto ( )1,0 e z 1+ representa a 
distância de z ao ponto ( )1,0 ,− então a equação ( )z 1 z 1 3− + − − = significa que a soma 
das distâncias de z aos pontos ( )1,0 e ( )1,0− é igual a 3, ou seja, z está sobre uma elipse 
de focos ( )1,0 e ( )1,0− e eixo maior 2a 3.= O semieixo menor é dado por 
2
2 2 2 23 5 5b a c 1 b .
2 4 2
 
= − = − =  = 
 
 
A equação ( )z 1 z 1 3− + − −  representa a região exterior à elipse descrita acima, 
conforme mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
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9) 
Inicialmente, notemos que 
z z
.
z 2i z 2i
 
=  
−  + 
 Fazendo 
z
w x yi,
z 2i
= = +
+
 com x, y , 
temos: 
( ) ( )
z 2z
3 w 2w 3 x yi 2 x yi 3
z 2i z 2i
3x yi 3 3x 3 y 0 x 1 y 0
+ =  + =  − + + = 
− +
 + =  =  =  =  =
 
( ) ( )
z
1 z z 2i z z 2i 2 Im z i 2i Im z 1
z 2i
 =  = +  − =    =  =
+
 
Logo, o conjunto dos números complexos z que satisfazem 
z 2z
3
z 2i z 2i
+ =
− +
 é a reta 
y 1= no plano de Argand-Gauss. 
A desigualdade 0 z 2i 1 −  corresponde a um disco de circunferência de centro ( )0, 2 
e raio 1, exceto o centro. 
Como a reta y 1= tangencia a circunferência de centro ( )0, 2 e raio 1 no ponto ( )0,1 , 
então o conjunto A dos números complexos que satisfazem às duas expressões é 
composto apenas pelo ponto de tangência, ou seja,  A i .= 
 
Note que o número complexo i é afixo do ponto ( )0,1 do plano de Argand-Gauss. 
 
10) d 
Sabemos que ( )( )7 6 5 4 3 2 8z 1 z z z z z z z 1 z 1,− + + + + + + + = − cujas raízes são os 
vértices de um octógono