Capitulo 3

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Chapter 3 - 1
QUESTÕES PARA ABORDAR...
• Como os átomos se organizam em estruturas sólidas?
• Como a densidade de um material depende de sua
estrutura?
• Quando as propriedades do material variam com
a orientação da amostragem?
Capítulo 3: A Estrutura Cristalina dos Sólidos
Chapter 3 - 2
Fig. 3.4, Callister & Rethwisch 8e.
Sistemas de Cristais
7 sistemas de cristais
14 Estruturas de cristal
Célula unitária: menor volume repetitivo que contém 
o padrão reticulado completo de um cristal.
a, b, e c são as constantes do retículo
Chapter 3 - 3
Chapter 3 - 4
• Não denso, empacotamento
randômico
• Denso, empacotamento
ordenado
Estruturas densas de empacotamento ordenado
tendem a ter energias mais baixas.
Energia e Empacotamento
Energia 
r
Típico comprimento 
de ligação vizinha 
típica energia de 
ligação vizinha 
Energia
r
Títpico comprimento 
de ligação vizinha 
típica energia de 
ligação vizinha 
Chapter 3 - 5
• empacotamento periódico, 
matrizes 3D
Materiais Cristalinos...
-metais
-muitos ceramicos
-alguns polímeros
• empacotamento não periódico
Materiais Não cristalinos...
-estruturas complexas
-resfriamento rápido
SiO2 cristalino
SiO2 não cristalino "Amorfo" = Não cristalino
Adaptado da Fig. 3.23(b),
Callister & Rethwisch 8e.
Adaptado da Fig. 3.23(a),
Callister & Rethwisch 8e.
Materiais e Empacotamento
Si Oxigênio
• típico de:
• ocorre para:
Chapter 3 -
Virtual Materials Science & Engineering (VMSE)
6
• VMSE é uma ferramenta para visualização de tópicos da ciência dos materiais 
tais como cristalografia e estruturas poliméricas em 3D
• Disponível em: 
http://www.wiley.com/college/callister/CL_EWSTU01031_S/vmse/
Chapter 3 -
VMSE: Estruturas de Cristais Metálicas & 
Cristalografia
7
• VMSE permite visualização de estruturas, direções, planos, 
etc. e manipulação dos mesmos em 3D
Chapter 3 -
Células Unitárias para Metais 
8
• VMSE permite a visualização de células unitárias e manipulação
em 3D
• Exemplos de estruturas no VMSE
CFC HC
Chapter 3 - 9
• Tendem a ser densamente empacotadas.
• Razões para isto:
- Normalmente, somente um elemento está presente,
logo todos os raios atômicos são o mesmo.
- A ligação metálica é não direcional.
- Distâncias mais próximas da vizinhança tendem a ser pequenas
de forma a baixar a energia de ligação.
- A núvem eletrônica protege os núcleos uns dos outros
• Tem as estruturas mais simples.
Vamos analisar três destas estruturas...
Estruturas de Cristais Metálicas
Chapter 3 - 10
• Rara devido a baixa densidade de empacotamento
(somente o Po – Polônio – tem esta estrutura)
• Direções mais compactas são arestas do cubo.
• # Coordenação = 6
(# vizinhos próximos)
Estrutura Cúbica Simples (CS)
Chapter 3 - 11
• FEA para uma estrutura cúbica simples = 0.52
FEA = 
a3
4
3
p (0.5a) 31
átomos
célula unitária
átomo
volume
célula unitária
volume
Fator de Empacotamento Atômico (FEA)
FEA = 
Volume dos átomos em uma célula unitária*
Volume total da célula unitária
*assumindo modelo de esferas rígidas
Adaptado da Fig. 3.24,
Callister & Rethwisch 8e.
Direções de empacotamento
a
R=0.5a
contém 8 x 1/8 = 
1 atom/célula unitária
Chapter 3 - 12
• # coordenação = 8
Adaptado da Fig. 3.2,
Callister & Rethwisch 8e.
• Átomos tocam uns aos outros ao longo das
diagonais do cubo.
--Note: todos os átomos são idênticos;(o centro está em branco somente para 
visualização.)
Estrutura Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
ex: Cr, W, Fe (a), Tântalo, Molibdenio
2 átomos/célula unitária: 1 centro + 8 vértices x 1/8
Chapter 3 - 13
Fator de Empacotamento Atômico: CCC
a
FEA = 
4
3
p ( 3a/4 )32
átomos
célula unitária átomo
volume
a3
célula unitária
volume
comprimento = 4R =
Direção de empacotamento:
3 a
• FEA para estrutura CCC = 0.68
a
RAdaptado da 
Fig. 3.2(a), Callister & 
Rethwisch 8e.
a2
a3
Chapter 3 - 14
• # coordenação = 12
Adaptado da Fig. 3.1, Callister & Rethwisch 8e.
• Átomos se tocam ao longo das diagonais de face.
--Note: Todos os átomos são idênticos; (os brancos são apenas para
visualização).
Estrutura Cúbida de Face Centrada (CFC)
ex: Al, Cu, Au, Pb, Ni, Pt, Ag
4 átomos/unidade celular: 6 faces x 1/2 + 8 vértices x 1/8
Chapter 3 - 15
• FEA para CFC = 0.74
Fator de Empacotamento Atômico: CFC
FEA máximo atingível
FEA = 
4
3
p ( 2a/4 )34
átomos
célula unitária átomo
volume
a3
célula unitária
volume
Direção de empacotamento: 
comprimento = 4R = 2 a
Célula unitária contém:
6 x1/2 + 8 x 1/8 
= 4 átomos/célula unitáriaa
2 a
Adaptado da
Fig. 3.1(a),
Callister & Rethwisch 
8e.
Chapter 3 - 16
• FEA para HC = 0.74
Fator de Empacotamento Atômico: HC
FEA máximo atingível
FEA = 
4
3
p ( R )36
átomos
célula unitária átomo
volume
Volume hexágono célula unitária
volume
Direção de empacotamento: 
comprimento = 2R = a
Célula unitária contém:
12 x1/6 + 2 x½ + 3 
= 6 átomos/célula unitária
Chapter 3 - 17
Densidades das Classes de Materiais
ρmetais > ρcerâmicas > ρpolímeros
Por que?
Dados da Tabela B.1, Callister & Rethwisch, 8e.
ρ (
g/
cm
 )3
Grafita/ 
Cerâmicas/ 
Semicond
Metais/ 
Ligas
Compósitos/ 
fibrasPolímeros
1
2
20
30
*FVRE, FCRE, & FARE são fibras de
Vidro, Carbono, & Aramida -Reforçadas
com compostos Epoxi (valores baseados em
60% da Fração de Volume das fibras alinhadas
em uma matriz epóxi).10
3
4
5
0.3
0.4
0.5
Magnésio
Alumínio
Aços
Titânio
Cu,Ni
Estanho, Zi
Prata, Mo
Tântalo
Ouro, W
Platina
G rafita
Silicio
Vidro -soda
Concreto
Nitreto de Si
Diamante
Óx, Alumínio
Zircônia
H DPE, PS
PP, LDPE
PC
PTFE
PET
PVC
Silicone
Madeira
FARE *
FCRE *
FVRE*
Fibras de vidro
Fibras de Carbono 
Fibras de Aramida
Metais possuem...
• alto empacotamento
(ligação metálica)
• grandes massas atômicas
Cerâmicas possuem...
• empacotamento menos
denso
• elementos mais leves
Polímeros possuem...
• baixa densidade de empa-
cotamento. (amorfo)
• elementos leves (C,H,O)
Compósitos possuem...
• valores intermediários
Em geral
Chapter 3 - 18
Polimorfismo 
• Duas ou mais estruturas cristalinas para o mesmo material 
(alotropia/polimorfismo)
titânio
a, b-Ti
carbono
diamante, grafite 
CCC
CFC
CCC
1538ºC
1394ºC
912ºC
d-Fe
g-Fe
a-Fe
liquido
Sistema Ferro
Chapter 3 - 19
Alotropia 
Estabilidade+ -
Carbono
Chapter 3 - 20
Pontos Coordenados
Pontos coordenados para o centro da 
célula unitária são
a/2, b/2, c/2 ½½½
Pontos coordenados para o vértice da 
célula unitária são 111
Translação: múltiplo inteiro das 
constantes do retículo à idêntica 
posição em outra célula unitária 
z
x
y
a b
c
000
111
y
z
•
2c
•
•
•
b
b
Chapter 3 - 21
Direções Cristalográficas
1. Vetor posicionado (se necessário) para passar 
pela origem.
2. Registram-se as posições em termos das 
dimensões da célula unitária a, b, e c
3. Ajustar para valores inteiros menores
4. Coloque entre colchetes, sem vírgulas
[uvw]ex: 1, 0, ½ => 2, 0, 1=> [ 201 ]
-1, 1, 1
Famílias de direções <uvw>
Algorítmo
onde a barra acima do número representa um 
índice negativo
[ 111 ]=>
Chapter 3 - 22
Planos Cristalográficos
• Índices de Miller: Em todos os sistemas cristalinos
(exceto hexagonal), os planos cristalográficos são
especificados por estes índices. Quaisquer dois
planos paralelos entre si possuem índices idênticos.
• Algorítmo
1. Identifica-se a interceptação do plano com os eixos em
termos de a, b, c
2. Tome os inversos da interceptação
3. Reduza ao menor valor inteiro
4. Coloque entre parênteses, sem vírgulas
i.e., (hkl )
Chapter 3 - 23
Planos Cristalográficos
Adaptado da Fig. 3.10, Callister & 
Rethwisch 8e.
Chapter 3 - 24
Planos Cristalográficos
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (110)
exemplo a b c
z
x
y
a b
c
4. Índices de Miller (100)
1. Intercepta 1 1 ¥
2. Inversos 1/1 1/1 1/¥
1 1 0
3. Redução 1 1 0
1. Intercepta 1/2 ¥ ¥
2. Inversos 1/½ 1/¥ 1/¥
20 0
3. Redução 1 0 0
exemplo a b c
Chapter 3 - 25
Planos Cristalográficos
z
x
y
a b
c
•
•
•
4. Índices de Miller (634)
exemplo
1. Intercepta 1/2 1 3/4
a b c
2. Inverso 1/½ 1/1 1/¾
2 1 4/3
3. Redução 6 3 4
(001)(010),
Família de Planos {hkl}
(100), (010),(001),Ex: {100} = (100),
Chapter 3 - 26
ex: densidade linear do Al na direção 
[110]
a = 0.405 nm
Densidade Linear
• Densidade Linear dos átomos º DL =
a
[110]
Unidade de comprimento 
do vetor direção
Número de átomos 
# átomos
comprimento
13.5 nm
2a/Ö2
2DL -==
Adaptado da
Fig. 3.1(a),
Callister & Rethwisch 
8e.
Chapter 3 - 27
Densidade Planar do Fe (100)
Solução: @ T < 912ºC o Fe tem estrutura CCC.
(100)
Raio do Fe R = 0.1241 nm
R
3
34a =
Adaptado da Fig. 3.2(c), Callister & Rethwisch 8e.
unid. Repetitiva 2D
= Densidade Planar = 
a 2
1
átomos
Unid. Repet. 2D
= 
nm2
átomos12.1
m2
átomos= 12.1 x 1018
1
2
R
3
34área
Unid. Repet. 2D
Chapter 3 - 28
• Monocristais
-Propriedades variam
com a direção: anisotrópico.
-Exemplo: o módulo de
elasticidade (E) em Ferro CCC:
Dados da Tabela 3.3, 
Callister & Rethwisch 8e. 
• Policristais
-Propriedades podem/não podem
variar com a direção.
-Se os grãos são orientados
aleatoriamente: isotrópico.
(Epoli ferro = 210 GPa)
-Se os grãos são
texturizados, anisotrópico.
200 mm
Adaptado da Fig. 4.14(b), 
Callister & Rethwisch 8e.
Monocristais vs Policristais
E (diagonal) = 273 GPa
E (aresta) = 125 GPa
Chapter 3 - 29
• A maioria dos materiais para engenharia são policristais.
• Nb-Hf-W placa com solda por feixe de elétrons.
• cada "grão" é um único cristal.
• Se os grãos são aleatoriamente orientados,
as propriedades gerais do componente não são direcionais.
• Tamanhos de grão estão comumente entre 1nm – 2cm
(i.e., de algumas a milhões de camadas atômicas).
Adaptado da Fig. K, 
páginas de inserção de 
Callister 5e.
1 mm
Policristais
Isotropico
Anisotrópico
Chapter 3 -
VMSE: Exercícios de Planos Cristalográficos
30
Chapter 3 -
VMSE Arranjos Atômicos Planares
31
• VMSE permite a visualização de arranjos planares e a rotação
destes em 3D
Plano CCC (110)
Chapter 3 - 32
Resumo
• Átomos podem se organizar em estruturas cristalina
ou amorfa. 
• Pode-se predizer a densidade de um material, 
conhecendo-se o peso atômico, raio atômico, e 
geometria de cristal (e.g., CFC, CCC, HC).
• Estruturas metálicas típicas são CFC, CCC, e 
HC. Número de coordenação e fator de empacotamento
atômico são os mesmos para estruturas CFC e HC.
• Pontos cristalográficos, direções e planos são 
especificados em termos de esquemas de índices.
Direções cristalográficas e planos são relacionados às 
densidades atômicas lineares e densidades planares. 
Chapter 3 - 33
• Alguns materiais podem ter mais de uma estrutura
cristalina. Isto é chamado de polimorfismo (ou 
alotropia). 
Resumo
• Materiais podem ser monocristais ou policristalinos. 
Propriedades dos materiais variam com a orientação do
monocristal (i.e., são anisotrópicas), mas são geralmente
não-direcionais (i.e., são isotrópicas) em policristais grãos 
aleatoriamente orientados.
• Difração Raio-X é usada para determinação da
estrutura cristalina e espaçamento interplanar.