MÁQUINA DE CORRENTE ALTERNADA (CC)

Prévia do material em texto

/HideToolbar true /HideMenubar true /HideWindowUI true
/FitWindow true /CenterWindow true » »/HideWindowUI true
/FitWindow true /CenterWindow true » »FullScreen/HideToolbar
true /HideMenubar true /HideWindowUI true /FitWindow true
/CenterWindow true » »!!
MÁQUINAS DE CORRENTE
ALTERNADA)
Máquina de Indução (MI) e Máquina
Síncrona (MS)
Cursino Brandão Jacobina
Dept. de Eng. Elétrica - Universidade Federal da Paraíba
58109-970 Campina Grande - PB
June 10, 2005
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 1
Máquinas trifásica genérica
i k
g n
k
gv
+ -
λk
g
k
gv i g= krk
λgkd
dt
+
função das correntes 
e indutâncias 
λgk
(b)
(a)
v
s1
s2
s3
r1r2
r3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
vr2
r
i r2
r vr1
r
vr3
r
i r3
r
i r1
r
sn
sn
sn
rn
rn
rn
θrωr
c
ce
m
λr1r
s1
sλ
λs2
s
λr2
r
λs3
s
λr3
r
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 2
Convenções e hipóteses
• Máquina simétrica trifásica composta por: três fases no estator idênticas de
índices s1, s2, e s3; três fases no rotor idênticas de índices r1, r2 e r3.
• Ângulos elétricos entre bobinas de estator ou rotor igual a 2π/3 radianos
elétricos.
• Correntes ”positivas” criam fluxos positivos no sentido do eixo.
• Convenção receptor.
• Máquina bipolar: número de par de pólos P= 1, no caso multipolar θr = Pθm.
• Distribuição senoidal do fluxo magnético.
• Entreferro constante: comprimento do circuito magnético servindo para o
cálculo da indutância é independente do ângulo θm, ou seja, máquina a pólos
lisos.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 3
Convenções e hipóteses
• Máquina não saturada (coenergia (W’) igual a energia (W)), podendo-se
escrever para o fluxo total e conjugado:
λt = ∑λi (fluxo total igual a soma dos fluxos parciais) e
ce = dW/dθm.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 4
Notações
vss, v
r
r; i
s
s, i
r
r e λ
s
s, λ
r
r: tensões, corrente e fluxos nas bobinas do estator e rotor,
respectivamente. O expoente s e r indica o utilizado: s→ estator e rotor r →
rotor.
Ls, Lr: indutância própria de uma bobina do estator e do rotor,
respectivamente (Ls1 = Ls2 = Ls3 = Ls e Lr1 = Lr2 = Lr3 = Lr).
Ms, Mr: indutância mútua entre duas bobinas do estator e entre duas
bobinas do rotor, respectivamente (Ms12 = Ms23 = Ms31 = Ms e Mr12 = Mr23 =
Mr31 = Mr).
Msrcos(θi): indutância mútua entre uma bobina do estator e uma do rotor
separadas por um ângulo θi (repartição senoidal da indução electromagnética
no entreferro).
Rs, Rr: resistências de uma bobina do estator e do rotor respectivamente.
(Rs1 = Rs2 = Rs3 = Rs e Rr1 = Rr2 = Rr3 = Rr).
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 5
Fluxos
Fluxos estatóricos:
λss1 = Lsi
s
s1+Msi
s
s2+Msi
s
s3+Msrcos(θr)i
r
r1+Msrcos(θr +2π/3)i
r
r2+Msrcos(θr +4π/3)i
r
r3
λss2 = Msi
s
s1+Lsi
s
s2+Msi
s
s3+Msrcos(θr +4π/3)i
r
r1+Msrcos(θr)i
r
r2+Msrcos(θr +2π/3)i
r
r3
λss3 = Msi
s
s1+Msi
s
s2+Lsi
s
s3+Msrcos(θr +2π/3)i
r
r1+Msrcos(θr +4π/3)i
r
r2+Msrcos(θr)i
r
r3
Fluxos rotóricos: λrr1, λ
r
r2 e λ
r
r3 (escritos de forma análoga).
Fluxos na forma matricial:
λss123= Lssi
s
s123+Lsri
r
r123 (1)
λrr123= Lrsi
s
s123+Lrr i
r
r123 (2)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 6
iss123=


iss1
iss2
iss3

 irr123=


irr1
irr2
irr3

 λss123=


λss1
λss2
λss3

 λrr123=


λrr1
λrr2
λrr3


Lss=


Ls Ms Ms
Ms Ls Ms
Ms Ms Ls

 Lrr =


Lr Mr Mr
Mr Lr Mr
Mr Mr Lr


Lsr = Msr


cos(θr) cos(θr +2π/3) cos(θr +4π/3)
cos(θr +4π/3) cos(θr) cos(θr +2π/3)
cos(θr +2π/3) cos(θr +4π/3) cos(θr)


Lrs = Msr


cos(θr) cos(θr +4π/3) cos(θr +2π/3)
cos(θr +2π/3) cos(θr) cos(θr +4π/3)
cos(θr +4π/3) cos(θr +2π/3) cos(θr)


Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 7
Tensões
Tensão numa bobina
v = Ri+
dλ
dt
Tensões na máquina:
vss123= Rsi
s
s123+
dλss123
dt
(3)
vrr123= Rr i
r
r123+
dλrr123
dt
(4)
onde:
vss123=
[
vss1 v
s
s2 v
s
s3
]T
vrr123=
[
vrr1 v
r
r2 v
r
r3
]T
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 8
Tensões na máquina (função das correntes):
vss123= Rsi
s
s123+Lss
diss123
dt
+Lsr
dirr123
dt
+ωr
[
dLsr
dθr
]
irr123 (5)
vrr123= Rr i
r
r123+Lrr
dirr123
dt
+Lrs
diss123
dt
+ωr
[
dLrs
dθr
]
iss123 (6)
onde: ωr = dθr/dt é a velocidade do rotor em rad.elétricos/s.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 9
Conjugado eletromagnético
Energia eletromagnética:
W =
1
2
[
iss123 i
r
r123
][ Lss Lsr
Lrs Lrr
][
iss123
irr123
]
(7)
Conjugado eletromagnético:
ce =
dW
dθm
(8)
As sub-matrizes Lss e Lrr são independentes do ângulo elétrico θr, então:
ce =
P
2
[
iss123 i
r
r123
][ 03 dLsr/dθr
dLrs/dθr 03
][
iss123
irr123
]
(9)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 10
ce =
P
2
isTs123
[
dLsr
dθr
]
irr123+
P
2
irTr123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (10)
ce é um número, então cTe = ce [utilizando a propriedade (ABC)
T = CTBTAT]:
P
2
isTs123
[
dLsr
dθr
]
irr123=
P
2
irTr123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (11)
Como Lsr = L
T
rs , obtém-se:
ce = PisTs123
[
dLsr
dθr
]
irr123 ou ce = Pi
rT
r123
[
dLrs
dθr
]
iss123 (12)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 11
Expressão da potência instantânea
Potência total instantânea:
p =
[
iss123
irr123
][
vss123 v
r
r123
]
(13)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 12
Representação odqda máquina trifásica
Resolução analítica de sistemas de equações para circuitos elétricos
acoplados magneticamente é penosa (mesmo se as equações tem coeficientes
constantes).
A resolução torna-se impraticável se os coeficientes variam em função do
tempo, o caso das máquinas girantes.
São necessárias transformações de variáveis que permitam obter relações
mais simples que as existentes entre as variáveis reais.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 13
sP
-1
v s123
s
v sodq
g
 Equações odq
 da Máquina CA
 +
Eq. de Movimento 
rP
-1
v r123
m
v rodq
g
δ
θr
δ c
sP
i sodq
g
δ
i s123
s
rP
i rodq
g
δ
i r123
rr
ωr
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 14
(a)
sq
vsd
g
(b)
i sd
g
vrq
g
d
s1
ωg
vrd
g
i rd
g
vsq
gi rq
g
sP
-1
sP
i sq
g
rP
-1 P
r
iso
sov
+ -
λso
iro
rov
+ -
λro
so
ro
δg
v
s1
s2
s3
r1r2
r3
s2
s
vs1
s
vs3
s
i s2
s
i s1
s
i s3
s
vr2
r
i r2
r vr1
r
vr3
r
i r3
r
i r1
r
sn
sn
sn
rn
rn
rn
θr
δg
d
ωr
c
ce
m
λrd
λsd
λsq
λrq
g
g
g
g
λr1r
s1
sλ
λs2
s
λr2
r
λs3
s
λr3
r
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 15
Transformação odq
Transformação de variáveis definida por:
x123= Px
g
odq (14)
- x123 é a variável antiga a ser transformada
- xodq é a variável nova.
A matriz P é denominada matriz de transformação (P
−1
existe).
O expoente g, serve para indicar o referencial genérico dos eixos dq.
O expoente é função do referencial dq utilizado: estator g→ s, rotor g→ r,
campo girante g→ e.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 16
Transformação odqpara o estator e rotor
xss123= Psx
g
sodq x
r
r123= Prx
g
rodq (15)
xgsodq=
[
xso x
g
sd x
g
sq
]T
xrodq =
[
xro x
g
rd x
g
rq
]T
Ps =
√
2
3


1/
√
2 cos(δg) −sen(δg)
1/
√
2 cos(δg−2π/3) −sen(δg−2π/3)
1/
√
2 cos(δg−4π/3) −sen(δg−4π/3)

 (16)
Pr =
√
2
3


1/
√
2 cos(δg−θr) −sen(δg−θr)
1/
√
2 cos(δg−θr−2π/3) −sen(δg−θr−2π/3)
1/
√
2 cos(δg−θr−4π/3) −sen(δg−θr−4π/3)

 (17)
Nota-se que P
−1
s = P
T
s e P
−1
r = P
T
r
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 17
Fluxo estatórico em odq
Fluxos estatóricos trifásicos:
λss123= Lssi
s
s123+Lsri
r
r123 (18)
Introduzindo λss123= Psλ
g
sodq, i
s
s123= Psi
g
sodqe i
r
r123= Pr i
g
rodq, tem-se:
Psλgsodq= LssPsi
g
sodq+LsrPr i
g
rodq (19)
Multiplicando ambos os lados da igualdade por P
−1
s , tem-se:
λgsodq= P
−1
s LssPsi
g
sodq+P
−1
s LsrPr i
g
rodq (20)
λgsodq= Lssodqi
g
sodq+Lsrodqi
g
rodq (21)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 18
onde
Lssodq=


lso 0 0
0 ls 0
0 0 ls

 Lsrodq=


0 0 0
0 lm 0
0 0 lm


com lso= Ls+2Ms, ls = Ls−Ms e lm = (3/2)Msr.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 19
Fluxos rotóricos em odq
Fluxos rotóricos trifásicos:
λrr123= Lrsi
s
s123+Lrri
r
r123 (22)
Introduzindo a transformação tem-se os fluxos odq
λgrodq = Lrrodqi
g
rodq+Lrsodqi
g
sodq (23)
Lrrodq =


lro 0 0
0 lr 0
0 0 lr

 Lrsodq= Lsrodq=


0 0 0
0 lm 0
0 0 lm


com lro = Lr +2Mr, lr = Lr−Mr.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 20
Tensões estatóricas em odq
Tensões estatóricas trifásicas:
vss123= Rsi
s
s123+
dλss123
dt
Como vss123= Psv
g
sodq, i
s
s123= Psi
g
sodqe λ
s
s123= Psλ
g
sodq, tem-se:
vgsodq= P
−1
s rsPsi
g
sodq+P
−1
s
d
dt
[
Psλgsodq
]
(24)
vgsodq= rsi
g
sodq+
dλgsodq
dt
+ωgP
−1
s
[
dPs
dδ
]
λgsodq (25)
vgsodq= rsi
g
sodq+
dλgsodq
dt
+ωg


0 0 0
0 0 −1
0 1 0

λgsodq (26)
onde rs = Rs e ωg = dδg/dt.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 21
Tensões rotóricas em odq
Tensões rotóricas:
vgrodq = rr i
g
rodq+
dλgrodq
dt
+(ωg−ωr)


0 0 0
0 0 −1
0 1 0

λgrodq (27)
onde rr = Rr.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 22
Conjugado em odq
Conjugado eletromagnético trifásico:
ce = PisTs123
[
dLsr
dθr
]
irr123 (28)
Introduzindo iss123= Psi
g
sodqe i
r
r123= Psi
g
rodq, tem-se:
ce = Pi
gT
sodqP
T
s
[
dLsr
dθr
]
Pr i
g
rodq (29)
ce = Plm(igsqi
g
rd− igsdigrq) (30)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 23
Potência em odq
A potência instantânea é invariante no caso da transformação ortogonal:
p = ps123+ pr123= isTs123v
s
s123+ i
rT
r123v
r
r123 (31)
Introduzindo iss123= Psi
g
sodq, v
s
s123= Psv
g
sodq, i
r
r123= Pr i
g
rodq e v
r
r123= Prv
g
rodq:
p = igTsodqP
T
s Psv
g
sodq+ i
gT
rodqP
T
r Prv
g
rodq (32)
Como P
T
P = I3, (matriz de transformação P é ortogonal)
p = igTsodqv
g
sodq+ i
gT
rodqv
g
rodq (33)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 24
Representação reduzida complexa dq
Variáveis xo = (1/
√
3)(x1+x2+x3) são nulas em operação equilibrada.
Definindo xg = 1√
2
(xgd + jx
g
q) obtém-se para máquina ativa:
vgs = rsi
g
s +
dλgs
dt
+ jωgλgs (34)
vgr = rr i
g
r +
dλgr
dt
+ j(ωg−ωr)λgr (35)
λgs = lsi
g
s + lmi
g
r λ
g
r = lr i
g
r + lmi
g
s (36)
ce = 2lmIm(igsi
g∗
r ) =−2lmIm(ig∗s igr ) (37)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 25
Máquina de Indução
Tensões rotóricas:
vgr = 0
Tensões estatóricas:
vss1 = Vscos(ωst +φv), v
s
s2 = Vscos(ωst−2π/3+φv), vss3 = Vscos(ωst +2π/3+φv)
Usando Ps tem-se:
vgso= 0, v
g
sd = Vscos(ωst−δg+φv), vgsq= Vssen(ωst−δg+φv)
No referencial expoente e [dq girando a frequência ωs (δg = ωst +δo)]:
veso= 0, v
e
sd = Vscos(φv−δo) = Vscos(φso), vesq= Vssen(φv−δo) = Vssen(φso)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 26
Introduzindo ves =
1√
2
(vesd+ jv
e
sq) obtém-se o modelo vetorial:
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s+
dλes
dt
+ jωsλes (38)
0 = rr ier +
dλer
dt
+ j(ωs−ωr)λer (39)
λes = lsi
e
s+ lmi
e
r λ
e
r = lr i
e
r + lmi
e
s (40)
ce = 2lmIm(iesi
e∗
r ) (41)
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 27
Circuito equivalente de regime permanente
is
jωslm
jωs(ls
e
v s
e
lm) (l lm )jωs rr s
r r/S
ei r
Entrada constante −→ dλes/dt = 0, dλer/dt = 0 o sistema se simplifica:
ves = Vse
jφso
s = rsi
e
s+ jωs(lsi
e
s+ lmi
e
r) (42)
0 = rr ier + jsωs(lr i
e
r + lmi
e
s) (43)
onde s= (ωs−ωr)/ωs é o escorregamento da máquina.
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 28
Máquina Síncrona
Tensões rotóricas:
vrr1 = V
′
f , v
r
r2 = v
r
r3 =−V ′f/2
Tensões estatóricas:
vss1 = Vscos(ωst +φv), v
s
s2 = Vscos(ωst−2π/3+φv), vss3 = Vscos(ωst +2π/3+φv)
Aplicando-se a matriz de transformação Ps e Pr obtém-se:
vgso= 0, v
g
sd = Vscos(ωst−δg+φv), vgsq= Vssen(ωst−δg+φv)
vgro = 0, v
g
rd = Vf cos(δg−θr), vgsq=−Vf sen(δg−θr)
onde Vf =
√
3
2V
′
f .
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 29
Referencial dq girando com a frequência ωs (δg = ωst +δo):
vesd = Vscos(φv−δo) = Vscos(φvo)
vesq = Vssen(φv−δo) = Vssen(φvo)
vgrd = Vf cos((ωs−ωr)t +δo−θo)
vgrq = −Vf sen((ωs−ωr)t +δo−θo)
Regime permanente ωs= ωr as tensões dqsão cte−→ dλes/dt = 0 e dλer/dt =
0.
Introduzindo-se ves =
1√
2
(vesd+ jv
e
sq) e v
e
r =
1√
2
(verd + jv
e
rq) tem-se:
ves = Vse
jφvo
s = rsies+ jωr(lsi
e
s+ lmi
e
r) (44)
ver = Vf e
j(δo−θo)
s = rr i
e
r (45)
Para o caso particular do referencial rotórico δ = θ (portanto δo = θo):
i f = irr = Vf/rr
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 30
vrs = Vse
jφso
s = rsi
r
s+ jωr lsi
r
s+E f (46)
onde E f = jωr lmi f é a f.e.m da máquina.
is
jωsls
r
v s
r
r s
E f
+
-
Acionamento Estático LEIAM DEE UFCG - 31