Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIDADE 2 – CONJUNTOS Metas A meta desta unidade é estabelecer as notações básicas da linguagem de conjuntos e introduzir a noção de intervalos no conjunto dos números reais. Objetivos Ao final do estudo desta unidade o aluno deve: • saber como apresentar/definir um conjunto de objetos matemáticos; • conhecer todos os tipos de intervalos do conjunto dos números reais; • conhecer em detalhes a representação geométrica de intervalos; • conhecer as relações entre conjuntos, igualdade e inclusão; • conhecer as operações entre conjuntos, interseção, união e diferença, e saber aplicar estes conceitos a intervalos. Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 2 A definição de conjuntos Começamos a unidade com uma formalização para a apresentação de coleções de objetos matemáticos. O assunto é importante para o melhor entendimento de exercícios, enunciados de teoremas, de demonstrações, de resultados, enfim tudo o que se faz em Matemática. Nós não definimos o que é “conjunto” ou o que é “elemento de um conjunto”. Conjunto e elemento são considerados conceitos primitivos, assim como os números naturais ou como as noções de ponto, reta e plano. Da mesma maneira que fazemos com esses últimos exemplos matemáticos, apenas assumimos os termos e nos guiamos pelas ideias intuitivas que temos a respeito. Usamos a notação, a A, para dizer que a pertence ao conjunto A ou, de modo equivalente, que a é elemento do conjunto A. Quando queremos negar a relação de pertinência, usamos o símbolo . • 1 ∈ ℕ (1 pertence ao conjunto dos naturais, 1 é um elemento de ℕ). • 0 ∈ ℕ. • −1 ∉ ℕ, mas −1 ∈ ℤ (−1 não pertence ao conjunto dos naturais, mas −1 pertence ao conjunto dos inteiros). Nós aqui não definimos o que é conjunto, o que significa o conceito, mas podemos falar sobre a definição de um determinado conjunto, ou seja, como um determinado conjunto está definido. Isso é o mesmo que falar sobre como um determinado conjunto é apresentado. Na disciplina de Matemática Básica consideramos duas maneiras de definir um determinado conjunto, por lista, ou indicação de uma lista, e por propriedade. Um conjunto definido por lista é dado por uma lista de representações de todos os seus elementos, separados por vírgulas e encerrados entre chaves. Um conjunto definido por O sistema solar, um conjunto de planetas. Exemplos: Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 3 indicação de lista é dado por uma lista de representações de alguns de seus elementos, separados por vírgulas e encerrados entre chaves, e são usadas reticências como indicação dos elementos do conjunto que não foram listados. Vejamos alguns exemplos descritos por lista, ou indicação de lista. • A = {−2, 2, 5}. • B = {1, 2, 3, 4, ..., 98, 99, 100} – números naturais de 1 a 100. • ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} • C = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} Uma questão importante na indicação da lista é deixar claro quais são os elementos que não foram explicitamente listados. No último exemplo as reticências “...” indicam os múltiplos de 3 positivos. Será que essa interpretação fica clara para todo leitor? Às vezes, se acharmos que pode existir alguma dúvida, pode ser conveniente evidenciar com uma condição quais são os elementos não listados, que só ficaram indicados nos pontinhos. Uma opção é apresentar na lista uma representação genérica que indique os elementos que faltam. Assim, também poderíamos definir o conjunto por C = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ..., 3n, ...}. A indicação de lista é útil quando o conjunto é muito grande para ter todos os elementos listados e é necessária quando o conjunto tem infinitos elementos. Contudo, nem todo conjunto infinito pode ter seus elementos listados, mesmo que só por indicação. Isso acontece por que nem todo conjunto é enumerável. Falaremos um pouco mais sobre isso logo adiante. Ainda existe outra maneira de definir um determinado conjunto. Um conjunto definido por propriedade é formado pelos elementos que gozam de uma determinada propriedade. Os elementos considerados no teste da propriedade devem ser elementos de um conjunto estabelecido previamente, normalmente chamado de conjunto universo. A notação para conjuntos definidos por propriedade segue o seguinte padrão: {x 𝒰: P(x)}, onde 𝒰 representa o conjunto universo considerado e P(x) representa a propriedade em termos da variável x. Exemplos: Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 4 • D = {x ℕ : x é ímpar} − (Lemos: o conjunto dos x pertencentes a ℕ tais que x é ímpar). • E = {x ℤ : x < 3}. • F = {x ℝ : x < 3} – O conjunto F é muito diferente do conjunto E, apesar de ambos serem descritos pela mesma propriedade, ser menor do que 3. Por exemplo, 0,5 F, mas 0,5 E. A definição de um conjunto por propriedade tem a desvantagem de não exibir explicitamente quais são os objetos do conjunto, mas, por outro lado, apresenta uma descrição precisa a respeito dos elementos. Um conjunto que não possui elementos é chamado de conjunto vazio. O conjunto vazio é denotado por { } ou ∅. Por exemplo, {x ∈ ℕ ; x < 0} = ∅. Atividade de aprendizagem Atividade 1: Na Unidade 1 estabelecemos algumas notações para números negativos e positivos. a) Defina o conjunto ℤ+ por indicação de lista. b) Defina o conjunto ℤ− por propriedade. c) Defina o conjunto ℝ+. Atividade 2: Redefina o conjunto por (indicação de) lista. a) A = {x ℕ : x | 30} ( O símbolo, | , significa divide. Exemplo, 3 | 9.) b) B = {x ℕ : 4 | x} c) C = {x ℤ : x < 3 e x < −2} d) D = {x ℤ : x −5 e x < 5} Atividade 3: Redefina o conjunto por propriedade. a) A = {4, 5, 6, 7, ..., 11, 12} b) B = {..., −9, −8, −7} c) C = {1, 4, 7, 10, 13, ...} d) D = {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; ...; 0,9; 1; 1,1; 1,2; ...} Atividade 4: Está certo escrever {x ℝ : x2 = −1} = {}? Escreva uma explicação para a sua resposta. Atividade 5: Apresente o erro na definição de cada conjunto a seguir. a) {x : x > 7} b) (4, 6, 8, 9) c) {x ℝ : 1, 2, 3} Exemplos: Patricia Realce Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 5 Atividade 6: Defina o conjunto indicado. a) A : o conjunto de todos os números naturais que são maiores do que 1 e menores do que 20. Apresente o conjunto por meio de uma propriedade. b) B: o conjunto de todos os números ímpares maiores do que 8. Defina por uma lista. c) E : o conjunto formado pelos números naturais 33, 34, 35, 36, e assim por diante. Apresente o conjunto por meio de uma propriedade. Leitor, você percebeu que os exemplos de listagem só envolvem números inteiros? Pois saiba que listar os números racionais não é tarefa fácil. Por exemplo, experimente listar os números racionais entre 0 e 1. Você acha que consegue? Fica o desafio. Agora, tarefa mais complicada é listar os números reais. Por exemplo, você acha que consegue listar todos os números reais entre 0 e 1? Experimente! De verdade, antes de continuar com a leitura do texto, faça uma pausa e procure obter uma lista de elementos conforme pedido neste parágrafo e no anterior. Continuando, vamos adiantar aqui duas ideias que normalmente são abordadas na disciplina universitária chamada Análise, mas que vale a pena conhecê-las logo. A primeira é que o conjunto dos números racionais é enumerável, ou seja, existe uma correspondência entre os números naturais e os números racionais, ou ainda, sempre podemos ordenar os números racionais. E isso significa que é possível listar os números racionais. Aluno, cabe enfatizar que o conhecimento de que é possível listar números racionais não ajuda de modo algum a saber como listá-los. Na verdade, esta tarefa não é nada simples. A segunda ideia que queremos que vocêguarde é que o conjunto dos números reais não é enumerável. Ou seja, é impossível listar os números reais. O que queremos que você guarde com esses dois fatos é que não se trabalha com listagem de elementos quando falamos em conjuntos de números racionais ou de números reais, de modo geral. Vejamos um exemplo para compreender melhor esta importante questão. Consideremos a tarefa de redefinir um conjunto por listagem. Sejam A = {x ℚ : x > 1} e B = {x ℝ : x > 1}. Não deixe de notar que os dois conjuntos são descritos pela mesma propriedade, entretanto o conjunto universo é diferente. Pelo que vimos no parágrafo anterior, sabemos que teoricamente é possível obter A por listagem, mas na prática isso é difícil. E também pelo que vimos no parágrafo anterior é impossível obter o conjunto B por listagem. Em resumo, não tentamos listar, de modo geral, números racionais e números reais. Aluno, vale a pena se lembrar desses comentários. Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 6 Atividade de aprendizagem Atividade 7: Como um exercício de percepção, faça um desenho na reta numérica que represente uma variação de valores entre 0 e 1, faça três desenhos, um para cada conjunto numérico, variação entre os números naturais, entre os números racionais e entre os números reais. Atividade 8: Diga se é verdadeiro ou falso. a) {x ℕ : x > −3} = {1, 2, 3, 4, ...} b) {x ℚ : x 1} = {1; 1,1; 1,2; ...; 2; 2.1; ...; 3; ...} c) ℝ = {...; −3; −1,203115...; 0; 1; √2; 7,010010001...; ...} Quando tratamos de números reais, principalmente quando associamos o conjunto a ideias intuitivas como comprimento, temperatura e outras grandezas de natureza contínua, passamos a ter uma terceira maneira de definir certos conjuntos, os chamados intervalos da reta numérica. Esse é um assunto importante e será abordado em destaque a seguir. Intervalo Quando pensamos em grandezas escalares contínuas, pensamos inevitavelmente em variação, variação de um valor para outro valor. Por exemplo, se acompanharmos um termômetro ao longo do dia, perceberemos claramente a variação da coluna de mercúrio, o que indicará a variação de temperatura do ambiente. Esse processo de variação sempre envolve um início, um fim e todos os estados que ocorrem entre o início e o fim. A palavra intervalo é usada no cotidiano para se referir a um espaço que separa dois pontos, ou dois lugares, ou para se referir ao espaço de tempo entre dois momentos. Podemos, então, dizer que um intervalo expressa um conjunto de estados/valores dentro Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 7 de um processo de variação. E essas ideias intuitivas se correspondem a ideias matemáticas ligadas aos números reais. É o que vemos a seguir, depois da próxima atividade. Atividade de aprendizagem Atividade 9: O gráfico a seguir ilustra temperaturas coletadas ao longo de parte do dia em uma determinada cidade. O intervalo de variação de temperatura, no período de 6h até 20h, se dá entre que valores? Vamos formalizar, no contexto da Matemática, a noção de intervalo. Observe que estamos falando de uma noção definida para o conjunto dos números reais e que decorre da relação de ordem. Dados a, b ℝ, com a < b, o subconjunto de ℝ formado pelos números que estão entre a e b é chamado intervalo limitado. Para distinguir o intervalo que contém, ou não, os pontos extremos, a e b, usa-se os termos fechado ou aberto, à direita ou à esquerda. Os quatro tipos de intervalos limitados são: • [a, b] = {x ℝ : a x b} − intervalo fechado; • (a, b) = {x ℝ : a < x <b} − intervalo aberto; • [a, b) = {x ℝ : a x < b} − intervalo fechado à esquerda e aberto à direita; • (a, b] = {x ℝ : a < x b} − intervalo aberto à esquerda e fechado à direita; O nome intervalo também pode ser associado a outros tipos de subconjuntos conhecidos como intervalos ilimitados. Os cinco casos de intervalos ilimitados são: • (−, b] = {x ℝ : x b} − intervalo fechado à direita; • (−, b) = {x ℝ : x < b} − intervalo aberto à direita; • [a, +) = {x ℝ : a x} − intervalo fechado à esquerda; Patricia Realce Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 8 • (a, +) = {x ℝ : a < x} − intervalo aberto à esquerda; O próprio conjunto ℝ também pode ser visto como um intervalo: • (−, +) = ℝ Notação: a < b < c significa que a < b e que b < c. Atividade de aprendizagem Atividade 10: Se quiséssemos apresentar o conjunto de todos as temperaturas ocorridas durante o período indicado no gráfico da Atividade 8, como poderíamos fazer isso? Resposta 1: {18, 19, 20, ..., 28, 29, 30} Resposta 2: [18, 30] Analise qual resposta é a mais adequada. Leitor, veja que os intervalos de ℝ foram definidos por propriedade, até por que já sabemos que é impossível listar os elementos desse tipo de conjunto, uma vez que os números reais não são enumeráveis. Entretanto, podemos compensar a incapacidade de listar os números reais com sua representação na reta numérica. Vejamos alguns exemplos. O intervalo fechado [a, b] = {x ℝ : a x b} pode ser definido na reta numérica pela seguinte representação gráfica. Não deixe de conferir na legenda o significado de cada símbolo usado na figura. → Representação da reta numérica. Indicação de um extremo do intervalo sobre a reta e de que esse extremo pertence ao intervalo. a, b Dão nome aos dois extremos do intervalo. Indica que todos os números entre a e b pertencem ao conjunto. Legenda: Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 9 Devemos observar o termo, “definido”, usado no parágrafo anterior: “pode ser definido na reta numérica”. O que fizemos foi representar o conjunto [a, b] de forma gráfica. Contudo, é uma forma de representação bastante expressiva e que permite, de modo muito eficiente, tratar diversas operações importantes, as quais estudaremos ao longo deste texto. Assim, por ser uma forma de expressão gráfica de grande importância matemática, damos o peso de uma definição de conjunto e não de um simples desenho ilustrativo. É interessante analisar essa legenda e os símbolos gráficos da figura, e até pensar neles da mesma maneira que acontece em mapas geográficos. O ideal é que os símbolos passem logo a ideia do que se quer informar com a figura, no caso, o intervalo de variação entre dois valores, a e b, ou mais precisamente, todos os pontos entre a e b, inclusive os extremos. Sobre a questão de os símbolos passarem uma ideia precisa, devemos ter muito cuidado com isso. Por exemplo, a ideia de usar o símbolo é a de destacar a parte da reta que representa os elementos entre os extremos do intervalo. O ondulado é para se obter um destaque sobre o traço da reta já existente, mas também serve para dar a ideia de contínuo, de que tudo que está entre os extremos pertencem ao intervalo. Contudo, nem todos os textos usam a mesma simbologia, e nem todos os símbolos são parecem adequados. Podemos ver um exemplo na atividade a seguir. Atividade de aprendizagem Atividade 11: Muitos livros didáticos utilizam a seguinte representação gráfica para intervalo fechado limitado, [a, b]. Faça uma análise crítica sobre essa forma de representação. Você acha que ela é recomendável ou é questionável? Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 10 O intervalo aberto (a, b) = {x ℝ : a < x < b} pode ser definido na reta numérica pela seguinte representação gráfica: O intervalo ilimitado fechado à direita (−,b] = {x ℝ | x b} pode ser definido na reta numérica pela representação: Atividade 12: Apresente uma legenda para a figura anterior. Apresente também uma definição na reta numérica, com suas respectivas legendas, para os outros casos de intervalos. Observaçõessobre a definição de intervalos pela reta numérica: Nessa forma de representar, é o desenho que vai descrever os detalhes do conjunto. Assim: (a) é preciso destacar os pontos extremos do intervalo e deixar claro no desenho se os pontos estão cheios ou não; (b) no caso de intervalos ilimitados, é preciso fazer o traço ondulado do intervalo até o limite da linha que representa a reta numérica, para não deixar dúvidas se não é um intervalo limitado; (c) é preciso fazer traços contínuos, para deixar claro que o conjunto representado inclui todos os elementos do intervalo. → Representação da reta numérica. Indicação de um extremo do intervalo sobre a reta e de que esse extremo não pertence ao intervalo. a, b Dão nome aos dois extremos do intervalo. Indica que todos os números entre a e b pertencem ao conjunto. Legenda: Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 11 Vejamos alguns exemplos de representações que não podem ser aceitas como uma definição de intervalo pela reta numérica. Atividade de aprendizagem Atividade 13: Represente o conjunto dado na reta numérica. a) A = {x ℝ : − < x} b) B = {x ℝ : x √9 3 e x > −4} c) C = {x ℝ : 2 x} d) D = {x ℤ : −5 < x 3} Atividade 14: É indiferente escrever, a) {1, 2} ou {2, 1}? b) [1, 2] ou [2, 1]? Explique como pensou e depois compare com a resposta do gabarito. Relações entre conjuntos Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais (A = B), quando possuem exatamente os mesmos elementos. Observe o exemplo: se 𝐴 = {𝑥 ℕ : 𝑥 > 0,5} e 𝐵 = {𝑥 ℤ : 𝑥 > 1 2 } então A = B. Dados A e B conjuntos, dizemos que A está contido em B, em símbolos A B, quando todo elemento que pertence ao conjunto A também é um elemento que pertence ao conjunto B. Neste caso, também dizemos que B contém A ou que A é um subconjunto de B. Por exemplo, dados A = {𝑥 ℕ : 𝑥 > 4} e B = {𝑥 ℕ : 𝑥 > 2}, então A B. Note Patricia Realce Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 12 que A ≠ B, já que, por exemplo, 3 B, porém 3 A. Se não é verdade que A B, usamos a notação A B. Observe que A = B quando A B e também B A. Atividade de aprendizagem Atividade 15: Complete com ou . a) ℕ ___ ℝ b) ℝ ___ ℚ c) (0, 1) ___ ℚ d) {𝑥 ℝ : 𝑥 > 1 2 } ___ ℚ e) [1, 2] ___ {1, 2, 3, 4, 5} f) (1, 5) ___ {1, 5} g) {𝑥 ℝ : 𝑥 > } ___ (√6, +) h) (−2, +) ___ {−3, −2, −1, 0, 1, ...} Dica: Procure escrever no seu caderno de estudo uma explicação para sua escolha de símbolo. Lembre-se que depois o aluno pode conferir ou comparar com as respostas do gabarito. Atividade 16: Para cada item, dê condições sobre as variáveis para que a sentença seja verdadeira. a) [a, 5) (−, 8]. b) (−4,4; x] [s, √7 3 ). c) (−, a) (−, b). d) [a, b] (c, +). Para treinar meios de justificar respostas, o aluno pode usar o recurso da representação gráfica na reta numérica para explicar como obteve as condições. É só uma sugestão. Operações entre conjuntos As principais operações entre conjuntos são a união e a interseção, e temos também a diferença: Patricia Nota Pertencem ao conjunto dos reais os números naturais, inteiros, racionais e irracionais Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 13 A união de A e B é definida por A ∪ B = {x 𝒰 : x ∈ A ou x ∈ B}, portanto o conjunto união é formado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos (não excluindo os que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos). Como exemplo, veja que se A = {−1, 0, 2} e B = {0, 3, 4}, então A ∪ B = {−1, 0, 2, 3, 4}. A interseção de A e B é definida por A ∩ B = {x 𝒰 : x A e x B}, portanto é o subconjunto de A e de B formado pelos elementos que estão simultaneamente nos dois conjuntos A e B. Note que pode ocorrer da interseção ser o conjunto vazio. Considerando A e B do exemplo anterior, temos que A ∩ B = {0}. A diferença A \ B ou (A − B) dos conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B, isto é, A \ B = {x 𝒰 : x A e x B}. Por exemplo, sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {−1, 2, 4}. Então A \ B = {0, 1, 3}. Também, ℤ \ ℕ = {−1, −2, −3, −4, −5, ...} = ℤ− (conjuntos dos inteiro negativos). Quando B ⊂ A, dizemos que A \ B é o complementar de B em relação a A e também pode ser denotado por ∁𝑨𝑩 ou simplesmente por ∁𝑩 (ou 𝑩𝒄), se A for o conjunto universo. Assim, ℤ \ ℕ = {−1, −2, −3, −4, −5, …} = ℤ− é o complementar de ℕ em relação a ℤ. Atividade de aprendizagem Atividade 17: Verdadeiro ou falso? Escreva uma explicação para sua escolha. a) A interseção de um intervalo, se não for , é um intervalo. b) A união de um intervalo é um intervalo. c) O complementar de um intervalo é um intervalo. d) O complementar de um intervalo ilimitado é um intervalo ilimitado. Em Matemática, quando escrevemos 𝒙 ∈ A 𝒐𝒖 𝒙 ∈ B, significa que x é elemento de um dos conjuntos dados, podendo pertencer aos dois conjuntos simultaneamente ou só a um deles. Observe que na Língua Portuguesa o uso do “ou” normalmente exclui a possibilidade da simultaneidade, por exemplo: “Quer açúcar ou adoçante?” Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 14 Atividade 18: Escreva o conjunto X = {x ℝ | x 0} em termos de intervalos (você vai ter que usar a união). Quantificadores lógicos Os quantificadores lógicos são bastante utilizados para favorecer a notação, encurtando a escrita e melhorando o entendimento. São eles: • o quantificador universal "∀" é utilizado quando queremos nos referir a todos os elementos do conjunto; “para todo 𝑥 ∈ A”(ou “qualquer que seja 𝑥 ∈ A”) é escrito simplesmente "∀𝑥 ∈ A". • o quantificador existencial "∃" é utilizado quando queremos nos referir a alguns (ou algum) elementos do conjunto; “existe 𝑥 ∈ A” é escrito assim "∃𝑥 ∈ A". Exemplos: 1. ∀𝑥 ∈ ℤ, 𝑥2+1 > 0. 2. ∃𝑥 ∈ ℤ, tal que x < −1. 3. ∄𝑥∈ℕ, tal que x < −2. Os conectivos lógicos de implicação (⟹) e equivalência (⇔) são importantíssimos na escrita matemática e devemos estar bem atentos ao significado de cada um. • "⇒": sempre que p é uma afirmação verdadeira, então q também é verdadeira, escrevemos "𝑝 ⇒ 𝑞" (lê-se p implica q, ou se p então q, ou p é uma condição suficiente para q, ou q é uma condição necessária para p). • "⇔": sempre que “p ⇒ q” e também “q ⇒ p”, escrevemos "𝑝 ⇔ 𝑞" (lê-se p é equivalente a q, ou p se e só se q, ou p se e somente se q, ou p é uma condição necessária e suficiente para q). Também usamos a notação "∄", lê-se “não existe”. Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Patricia Realce Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 15 Atividade de aprendizagem Atividade 19: Leia com atenção os itens a seguir e diga se conectivos lógicos de implicação (⟹) e equivalência (⇔) foram empregados de maneira correta, justificando sua resposta. a) Dado 𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 ≥ −4. b) Dado 𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 = 1⇒ 𝑥2 = 1. c) Dado 𝑥 ∈ ℕ, 𝑥2 = 1 ⇔ 𝑥 = 1. d) Dado 𝑥 ∈ ℤ, 𝑥 – 2 > 0 ⇔ 𝑥 > 2. e) Dado 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −1. Gabarito Atividade 1: a) ℤ+ = {1, 2, 3, 4, ...} b) ℤ− = {x ℤ : x < 0} c) Como a questão não explicita que tipo de definição devemos usar, podemos escolher entre lista ou propriedade. Contudo, já aprendemos que não podemos listar números reais. Assim, só podemos definir o conjunto por propriedade. ℝ+ = {x ℝ : x > 0} Atividade 2: a) A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} b) B = {0, 4, 8, 12, ... , 4n, ...}, onde n indica um número natural qualquer. c) C = {..., −5, −4, −3} Informalmente, dizemos que vale a “ida”, quando “p ⇒ q” e que vale a “ida e a volta”,quando “𝒑 ⇔ 𝒒”. Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 16 d) D = {−5, −4, ..., 3, 4} Atividade 3: a) A = {x ℕ : 3 < x < 13} (Também poderia ser {x ℕ : 4 x 12} b) B = {x ℤ : x < −6} c) C = {x ℕ : x = 3n + 1, para algum n ℕ} d) D = { 𝑥 10 ℚ : x ℕ e x > 0} Atividade 4: Não, não está certo. O conjunto {x ℝ : x2 = −1} não possui elementos, nenhum elemento. Contudo o conjunto {} possui um elemento, a saber o conjunto . Logo, {x ℝ : x2 = −1} {}. Atividade 5: a) Faltou especificar o conjunto universo. b) A lista de elementos de um conjunto deve ser encerrada por chaves, não parênteses. c) A informação, “1, 2, 3”, não é uma propriedade. Observação: Esses exemplos de erros ocorrem com grande frequência em provas. Cuidado para não os repetir! Atividade 6: a) A = {x ℕ : 1 < x <20} b) B = {9, 11, 13, 15, 17, ...} c) E = {x ℕ : 33 x} Atividade 7: Não sabemos ao certo qual é a convenção, nem se existe mesmo uma convenção universal, mas vamos considerar aqui os valores limites, 0 e 1. Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 17 Atividade 8: a) É falso, faltou o número 0 na lista. b) É falso, como já vimos, não tem como apresentar uma lista simples para todos os racionais, isso é um processo bem complicado. c) É falso, pois é impossível listar os números reais. Atividade 9: A variação de temperatura, chamada de amplitude térmica, se dá entre a maior temperatura, no caso 30º C, e a menor, no caso 18º C. Atividade 10: Apesar da temperatura ter sido registrada em intervalos de duas horas, sabemos que esta variação é de natureza contínua, donde todos os valores intermediários de temperatura necessariamente ocorreram. Logo, a melhor forma de apresentar todas as temperaturas que ocorreram se dá pela notação de intervalo, [18, 30]. Atividade 11: É claro que tudo é uma questão de convenção, mas não nos parece que essa notação passe de imediato a noção de continuidade, de que todos os valores intermediários estão presentes no conjunto. Por outro lado, e se quiséssemos dar noção de um conjunto todo “furado”, como os próprios racionais, sobre a reta como faríamos se essa notação já estivesse sendo usada para intervalos contínuos? Atividade 12: Verificar com colegas em fórum. Atividade 13: a) Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 18 b) c) d) Atividade 14: a) Sim, a ordem de apresentação dos elementos não altera o conjunta. O que caracteriza um conjunto são seu elementos, os objetos que pertencem a ele, mas não a forma como eles são representados. b) Não, aqui estamos falando de intervalo e, pela nossa convenção, todo intervalo da forma [a, b] tem que satisfazer a < b. Ou seja, só podemos escrever [1, 2]. Nem faz sentido escrever [2, 1], não para intervalos. Atividade 15: a) b) c) d) e) f) g) h) Atividade 16: a) a > − b) s −4,4 e x < √7 3 . c) a b d) a c Atividade 17: a) Verdadeiro. Podemos perceber essa relação pela representação na reta numérica. Vejamos duas situações que mostram a interseção sendo um intervalo. Podemos tentar outros desenhos, até esgotar todos os possíveis casos de interseção. O aluno está convidado a tentar. Observação: Na verdade, existe um contraexemplo para essa afirmação, dentro do que apresentamos no presente texto. Por exemplo, [1, 2] [2, 3] = {2} não é um intervalo, de acordo com nossa definição. Contudo, existem razões, que aparecem quando avançamos nos estudos matemáticos, que dão sentido em chamar o conjunto unitário de um intervalo, muitas vezes chamado de intervalo degenerado. Assim, a partir de agora, Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 19 conjuntos da forma {a} também são chamados de intervalo. Em particular, isso torna a afirmação verdeira! b) Falso. Basta ver um contraexemplo. c) Falso, o complementar de um intervalo limitado sempre será a união de dois intervalos disjuntos. Um intervalo e seu complementar, que não é um intervalo, mas a união de dois. d) Verdadeiro. Uma situação possível para intervalos ilimitados é ilustrada a seguir. Existe mais uma situação possível, tente desenha essa situação. Observação: Se consideramos o caso de todo o conjunto ℝ como exemplo de intervalo ilimitado teremos que seu complementar é o conjunto vazio. Pelas nossas definições, não é intervalo. Contudo, por outras razões estudadas em tópicos mais avançados, é interessante olhar o conjunto vazio como um intervalo. Em particular, isso garante que a afirmação será verdadeira. Logo, a partir de agora também é considerado um intervalo. Atividade 18: X = (−, 0) (0. +). Atividade 19: a) O conectivo foi empregado de maneira incorreta, pois a recíproca (a “volta”) não vale, isto é, não temos uma equivalência, pois nem todo inteiro maior do que ou igual a −4 é positivo, há o −4, −3, −2, −1 e o 0 que não são positivos. b) O conectivo foi empregado de maneira correta. Observe que não temos uma equivalência, pois se 𝑥 = −1 então 𝑥2 = (−1)2 = 1 e, portanto, 𝑥2 = 1 não implica em x = 1, pois poderíamos ter também 𝑥 = −1. c) O conectivo foi empregado de maneira correta. Matemática Básica Unidade 2 - Conjuntos Cederj 20 Observe que se compararmos os itens b) e c), o conjunto universo do último é ℕ, por isso vale a “ida” e a “volta”, isto é, temos uma equivalência. d) O conectivo foi empregado de maneira correta. e) O conectivo foi empregado de maneira correta, pois é verdade que se x2 = 1 então só podemos ter x = −1 ou x = 1. Contudo, também estaria correto usar o símbolo ⇔, pois a recíproca também vale, isto é, se temos x = 1 e em 𝑥 = −1 verificamos também 𝑥2 = 1. De fato, se 𝑥 = 1, 𝑥2 = 12 = 1 e, se 𝑥 = −1, 𝑥2 = (−1)2 = 1.
Compartilhar