Unidade 4 - Aritmética dos racionais

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UNIDADE 4 – ARITMÉTICA DOS 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
Metas 
Estabelecer modelos intuitivos para o conjunto dos números racionais e estudar 
elementos da Aritmética dos números racionais, assim como saber tratar os símbolos 
envolvidos e aplicar esses conhecimentos na resolução de problemas. 
 
Objetivos 
 Ao final do estudo desta unidade o aluno deve: 
• saber expressar ideias sobre os números racionais por meio de modelos 
intuitivos; 
• conhecer propriedades da Aritmética dos números racionais; 
• saber aplicar conhecimentos da Aritmética dos números inteiros no tratamento 
simbólico dos números racionais; 
• ter praticado diversas contas numéricas a ponto de ter melhorado ainda mais no 
cálculo de expressões numéricas; 
• Resolver novos problemas práticos que envolvam noções de frações, como em 
cálculos de porcentagem. 
 
 
Instrumento desenvolvido por Pitágoras. Ele fracionou um segmento de corda para produzir 
diferentes sons de maneira que formassem acordes de acordo com concepções ocidentais. 
 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
2 
Modelos intuitivos para o conjunto dos números 
racionais 
 A simples combinação de símbolos matemáticos não é suficiente para gerarmos 
objetos matemáticos. Por exemplo, ∞∫ ∅% ×∩ não é um objeto matemático, é uma 
expressão sem qualquer sentido. Da mesma maneira, a simples disposição de pares de 
números inteiros entre uma barra horizontal não é suficiente para a criação de um novo 
objeto matemático. Não é óbvio que a expressão 
3
4
 significa algo! E ainda que alguém 
ensine a tratar esse tipo de objeto, a realizar diversas operações com eles, isso não 
significa que tais objetos passarão a ter significado, não necessariamente. 
 O caminho matemático para que a expressão 
𝑝
𝑞
, com p, q  ℤ e q  0, passe a ter 
um significado não é nada simples e exige etapas e conhecimentos os quais, de modo 
geral, um aluno universitário iniciante não está preparado para entender. O que podemos 
fazer para buscar entender novas expressões matemáticas, numa disciplina de iniciação 
como a de Matemática Básica, é usar o caminho que muitas civilizações seguiram quando 
já faziam uso de uma matemática utilitária, ou seja, usar símbolos para representar ideias 
intuitivas e aprender a tratar esses símbolos a partir dessas interpretações intuitivas. 
 Já na Unidade 1 apresentamos um modelo intuitivo para o conjunto ℚ das frações 
de números inteiros, chamado de parte-todo (aluno, revise o texto da Unidade 1 sobre 
parte-todo). Se uma pessoa aprende a interpretar o símbolo de fração como parte-todo, 
digamos, é importante entender que toda a lógica de pensamento dessa pessoa será 
baseada nessa interpretação. Assim, por exemplo, essa pessoa terá dificuldades em 
entender uma escrita como 
3
4
 = 3  4, os dois membros da igualdade têm significados 
completamente diferentes. Vamos conferir essa última afirmação. 
 Na igualdade 
3
4
 = 3  4, o primeiro membro fala sobre considerar o todo, a unidade, 
dividi-la em 4 partes e pegar 3 dessas partes, 3 partes de 4, da unidade. Já o segundo 
membro representa 3 unidades divididas em 4 partes, considerando uma dessas partes. 
São ações completamente diferentes! Vejamos nas figuras abaixo como essas ações são 
diferentes. 
 
 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
3 
 O leitor deve avaliar bem as figuras a fim de entender as diferenças nas ações. 
Uma começa com a unidade, outra com 3 unidades. As duas realizam uma divisão em 
quatro, mas uma considera 3 dessas partes e outra só uma dessas partes. Definitivamente 
são ações bem diferentes. Contudo, se olharmos a parte mais escura das duas figuras, ou 
se olharmos a marca sobre a reta numérica correspondente a cada ação, vemos que elas 
se equivalem ou, de outro modo, produzem o mesmo resultado no final. 
 Os números racionais possuem muitas formas de serem representados e também 
possuem muitos modelos intuitivos. Isso é uma particularidade desse conjunto, em 
relação aos outros conjuntos numéricos. O leitor deve ter essa questão em mente quando 
for estudar os números racionais. Textos didáticos podem assumir diferentes 
interpretações, ou modelos intuitivos, para os números racionais, podem lidar com 
diferentes sistemas de representação, mas sempre deve haver uma correspondência entre 
as eventuais diferentes abordagens. 
 Tradicionalmente interpretamos o símbolo de fração como uma relação parte-
todo, como uma operação de divisão ou um quociente (
3
4
 representa 3 dividido por 4, o 
que dá sentido a expressão, 
3
4
 = 3  4) e como um índice comparativo. Para este último 
modelo intuitivo a fração funciona como uma razão, uma taxa, uma proporção. Por 
exemplo, nesse conto, dizer que 
3
4
 da população está doente significa que de cada 4 
habitantes 3 estão doentes, se a população tem 8 habitantes então 6 estão doentes, se a 
população tem 100 habitantes então 75 deles estão doentes. Os valores sempre seguem 
essa proporção. Os três modelos intuitivos são os mais utilizados, mas existem outros. 
 O aluno pode usar esses modelos livremente para entender informações sobre os 
objetos abstratos da Matemática chamados de números racionais. Por exemplo, por que 
podemos dizer que 
3
4
 = 0,75? Podemos dizer isso por que, se fizermos a divisão 3 : 4 
seguindo o algoritmo de divisão de inteiros, vamos chegar na expressão 0,75. Bom, se 
usarmos uma régua e medirmos 3 partes da divisão da unidade em 4, também chegaremos 
no valor 0,75. São explicações diferentes, baseadas em modelos intuitivos diferentes. 
 Mais um exemplo, qual é o sentido da fração 
3
0
? Existe sentido para essa 
expressão? Vejamos o problema do ponto de vista de um modelo intuitivo. Sabemos que 
não podemos dividir o número 3 por 0, pois não existe um número k tal que 0.k = 3. Logo, 
usando a divisão como modelo intuitivo, encontramos uma explicação para não 
consideramos expressões matemática da forma 
𝑝
0
. Esse tipo de referência é importante 
principalmente quando começamos a acumular novos conhecimentos e podemos 
eventualmente misturar o significado dos símbolos. Por exemplo, é muito comum para 
alunos que estudam a disciplina de Cálculo achar que pode existir significado para a 
expressão 
𝑝
0
 (alguns se confundem e dizem que essa expressão é uma indeterminação). Se 
o presente leitor passar por esse tipo de dúvida no futuro, lembre-se dessas palavras, 
lembre-se do que significa frações de números por meio de modelos intuitivos e tire suas 
dúvidas. 
 Ainda com relação aos diferentes modelos, o leitor deve lembrar que temos 3 
sistemas de representação básicos estudados até agora, apresentados na Unidade 1, a 
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 números racionais 
 
Cederj 
 
4 
representação decimal, com casas decimais, a representação fracionária e a representação 
geométrica na reta numérica. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 1: Para podermos medir adotamos uma unidade de medida. Quando 
escolhemos uma fração própria da unidade como nova unidade, a chamamos de 
submúltiplo da unidade. 
a) O metro é uma unidade de referência. Já o centímetro é um submúltiplo da unidade 
metro. Essa nova unidade corresponde a que fração da unidade metro? 
b) Quantas vezes a unidade dia é maior do que a unidade hora? 
c) Como se chama a unidade de medida que corresponde a 
1
12
 da unidade ano? 
d) A unidade de medida segundo corresponde a que fração da unidade hora? 
Atividade 2: A notação de fração nos possibilita trabalhar com inúmeras unidades sem 
precisarmos fazer referências a elas. 
a) Rescrever a medida, 
43
100
 metros, usando a unidade centímetros. 
b) Uma pessoa tentou medir um segmento a a partir da unidade u mas não conseguiu 
uma boa avaliação. Resolveu mudar para a unidade u’, um submúltiplo da unidade u. 
As figuras a seguir ilustram a situação nos dois momentos.(i) A unidade u’ 
corresponde a que fração da unidade u? (ii) Como expressar a medida do segmento a 
em termos da unidade u’? (iii) Escreva a medida do segmento a usando notação de 
fração e fazendo referência à unidade u. 
 
Medida na unidade u. 
 
Medida na unidade u’. 
c) Reescrever 5 milímetros na unidade metro e usando fração. 
d) Reescrever 34 centímetros na unidade metro e usando fração. 
e) Reescrever 13 horas na unidade dia e usando fração. 
f) Reescrever: 
i) 
245
365
 anos. 
ii) 
78
3600
 horas. 
iii) 
90
60
 horas. 
iv) 
15
7
 semanas. 
v) 13 horas, sem usar a palavra horas. 
vi) 88 centímetros, sem usar a palavra centímetros. 
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 números racionais 
 
Cederj 
 
5 
vii) 25 centavos, sem usar a palavra centavos 
g) As pessoas dormem ao longo de uma fração do dia. Em média, dormem um terço do 
dia. Como esta avaliação é representada em horas? Escreva, depois, o resultado na 
unidade dia. 
Atividade 3: Um pote com 500g de geleia custa R$ 7,00. É justo pagar R$ 9,00 por um 
pote de 700g da mesma geleia? 
Atividade 4: Um certo pintor que gosta muito de Matemática diz que seu desempenho 
pintando paredes é de 
30
6
, se referindo a 30 metros quadrados pintados em 6 horas de 
trabalho. Se o pintor trabalhou por 42 horas, quantos metros quadrados de área ele 
conseguiu pintar? Apresente duas maneiras de obter o mesmo resultado. 
Atividade 5: Considerando a figura, a representa que fração da unidade? 
 
Atividade 6: Um número racional é dado no sistema de representação decimal por 1,625. 
Encontre um par de números inteiros que sirva para representar esse mesmo número 
racional como um índice comparativo. 
Atividade 7: Escreva o que você entende da seguinte expressão: “
6
4
 de uma pizza”. 
Atividade 8: Quando tiver a oportunidade, verifique em materiais didáticos se estes 
apresentam os 3 modelos intuitivos para os números racionais e se relacionam os modelos 
entre si. Aproveite para pensar sobre o assunto, é necessário para a boa formação do aluno 
na escola conhecer esses 3 modelos intuitivos? 
 
 
Tratamentos aritméticos sobre os números racionais 
 Poder contar com modelos intuitivos para pensar sobre objetos matemáticos pode 
ser de grande ajuda. Temos enfatizado bastante essa questão. Contudo, a graça da 
Matemática é justamente não depender dos modelos intuitivos, é desenvolver 
conhecimentos abstratos que permitam, por exemplo, que uma pessoa lide com problemas 
práticos de maneira mais eficiente ou resolva diversos problemas de naturezas bem 
diferentes a partir de uma mesma técnica, conforme ilustramos isso bem na unidade 
anterior. E para isso acontecer é necessário que aprendamos a lidar mais com os objetos 
matemáticos a partir de suas representações simbólicas. 
 Basicamente, o tratamento simbólico dos números racionais depende de 
conhecimentos aritméticos a respeito dos números inteiros. Por exemplo, para se obter a 
representação decimal de um número racional a partir da sua representação fracionária é 
suficiente, e útil, saber efetuar divisões com casas decimais. 
 Uma questão simples que depende de habilidades aritméticas é saber determinar 
se duas frações representam o mesmo número racional ou não. Outras ações envolvendo 
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 números racionais 
 
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6 
frações que dependem de conhecimentos sobre os números inteiros são comparar 
números racionais, operar números racionais e até representá-los na reta numérica. 
Vejamos alguns conhecimentos simbólicos mais básicos envolvendo números racionais. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 9: Verdadeiro ou falso? 
a) O zero não possui uma representação fracionária. 
b) Números inteiros só possuem uma única representação fracionária, n = 
𝑛
1
. 
c) Todo número racional possui uma única representação decimal. 
d) Toda fração é menor do que 1. 
Atividade 10: Aluno, é preciso tomar cuidado com a representação fracionária. Você 
sabia que um número racional sempre possui mais de uma representação fracionária? Por 
exemplo, 
4
6
 e 
2
3
 são duas frações que correspondem ao mesmo número racional. Podemos 
verificar isso efetuando as divisões (4 : 6 = 2 : 3 = 0,6666...) ou usando a interpretação 
parte-todo. 
 
 
 
Existe um critério geral para decidir se duas frações representam o mesmo número 
racional, a saber, 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
  ad = bc , sempre que a, b, c, d  ℤ e b, d  0. 
a) Escolha um par de frações que você tenha certeza que representam o mesmo número 
racional e verifique que eles satisfazem o critério. 
b) Escolha um par de frações que você tenha certeza que não representam o mesmo 
número racional e verifique que eles não satisfazem o critério. 
c) Verifique que 
−4
5
 e 
4
−5
 representam o mesmo número racional. (A propósito, você 
saberia fazer isso sem o critério? Pela interpretação parte-todo ia ficar difícil, não?) 
d) Verifique se as frações dadas representam o mesmo número racional a partir do 
critério visto aqui. 
i) 
−1
5
 e 
−6
30
 
ii) 
−5
7
 e 
235
299
 
iii) 
12
8
 e 
3
2
 
iv) 
2700
750
 e 
18
5
 
v) 
1512
588
 e 
6
7
 
e) Dado o número racional, x, escreva a representação fracionária equivalente a partir do 
denominador, q, indicado. 
i) x = 
25
100
 e q = 4 
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 números racionais 
 
Cederj 
 
7 
ii) x = 
500
1000
 e q = 2 
iii) x = 
120
60
 e q = 1 
iv) x = 5 e q = 3 
v) x = 
−2
3
 e q = −21 
f) Resolva a equação 
3
1
1
5
=
−x
. 
g) Existe uma forma simples de se obter frações equivalentes: 
𝑝
𝑞
=
𝑝.𝑛
𝑞.𝑛
, sempre que n  
0. Use o critério desta atividade para verificar esta última igualdade. 
h) Sabendo fatorar inteiros, podemos usar a expressão anterior para fazer o que 
chamamos de simplificação de uma fração. Por exemplo, 
2
4
=
1.2
2.2
=
1
2
 (fatoramos e 
depois usamos a simplificação). Aplique essa técnica na simplificação das frações a 
seguir. 
i) 
16
30
 
ii) 
111
97
 
iii) 
46
32
 
iv) 
2700
750
 
v) 
256
384
 
vi) 
1263
421
 
i) Uma fração 
𝑝
𝑞
 é dita irredutível se o mdc entre p e q é 1, ou seja, quando não é mais 
possível simplificá-la. Verifique se as frações dadas são irredutíveis ou não. 
i) 
2
3
 
ii) 
−2
3
 
iii) 
45
70
 
iv) 
231
3
 
v) 
80
23
 
vi) 
16
−12
 
j) “Todo número racional pode ser representado por uma fração irredutível”. Verifique 
se esta afirmação é verdadeira para os números racionais representados no item (h). 
k) Verifique se a afirmação do item anterior é verdadeira para os números racionais 
dados por representação decimal. 
i) 1,2 
ii) 5,5 
iii) 0,01 
iv) 0,666... 
 
 
Comparando racionais 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
8 
A relação entre diferentes números racionais não é tão evidente, a partir de suas 
representações, assim como é para números inteiros. No caso dos racionais, podemos ter 
diferentes números racionais dados por diferentes representações (Qual é o maior, 0,35 
ou 3/7?), e mesmo entre mesmos sistemas representações o problema pode continuar 
(Qual é o maior, 7/9 ou 6/8?). Vamos olhar essa questão mais de perto. 
Uma forma de representação que deixa claro o que é maior é dada pela 
representação na reta numérica. Conforme visto na Unidade 1, a configuração para definir 
o que é maior, a ou b, é dada por uma figura do tipo: 
 
 Assim, um bom recurso para comparar números racionais é a representação na 
reta numérica. Em termos práticos, se os números dados não estão na forma geométrica, 
a representação na reta numérica não é uma grande vantagem, pois exige que se faça 
diversas contas para a realização da conversão do número dado numa representação 
numérica para a reta. Por exemplo, qual é a posição do número dado por 
−36
5
 na reta 
numérica? Se quisermos saber entre que inteiros a fração se encontra, podemos fazer adivisão euclidiana, −36 = (−8).5 + 4 e perceber que 
−36
5
 fica antes de −8. Como a divisão 
tem resto 4, numa divisão por 5, vemos que a fração fica bem próxima do inteiro −7. 
 
Divisão euclidiana efetuada com ajuda do cenário: 
 https://www.geogebra.org/m/xyuuUF7E 
 O interessante aqui é tentar mesclar as informações. Vejamos algumas atividades 
sobre o assunto. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 11: Baseado na informação gráfica e sabendo que as letras representam 
números inteiros, complete as lacunas com < ou >: 
 
a) a ___ b b) c ___ 1 c) c ___ d d) x ___ y e) e ___ d 
f) e ___ c g) 1 ___ e h) 0 ___ e i) 0 ___ c j) r ___ 3 
https://www.geogebra.org/m/xyuuUF7E
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Cederj 
 
9 
Atividade 12: Através da representação geométrica, verifique quem está mais próximo 
de 0: (Dica: você pode utilizar uma fita métrica como apoio.) 
a) 
9
13
 ou 
11
13
 
b) 
1
3
 ou 
1
4
 
c) 
−1
3
 ou 
−1
4
 
d) 
−2
5
 ou 
2
5
 
e) 
2
5
 ou 
1
3
 
Atividade 13: Verifique novamente qual fração está mais perto de 0 mas agora usando a 
interpretação de fração como uma operação de divisão. 
Atividade 14: Diga o que representa uma quantidade maior, 
30
15
 ou 
12
9
. Explique como 
obteve sua resposta. 
Atividade 15: Diga o que representa uma quantidade maior, 
7
12
 ou 
5
8
. Explique como 
obteve sua resposta. 
Atividade 16: De modo geral, se quisermos comparar frações mantendo a representação 
de fração, uma boa estratégia de comparação é transformar as duas frações para um 
mesmo submúltiplo da unidade. A maneira mais direta de expressar isso é dado pelas 
duas transformações: 
𝑝
𝑞
=
𝑝𝑠
𝑞𝑠
 e 
𝑟
𝑠
=
𝑟𝑞
𝑠𝑞
. Aplique essa ideia com os próximos pares de 
frações. 
a) 
3
7
 e 
4
9
 
b) 
13
6
 e 
14
8
 
c) 
5
6
 e 
13
15
 
d) 
13
7
 e 
20
11
 
e) 
113
221
 e 
3
2
 
f) 
45
6
 e 7 
g) 
16
12
 e 
7
6
 
Atividade 17: Rapidinhas: 
a) O que é maior, 
700
6342
 ou −34? 
b) Encontre um número dado pela sua representação decimal, que deve conter 9, e 
que seja menor do que 
1
100000
. 
c) Encontre um número racional entre 
3
5
 e 
4
5
. 
d) Qual fração é maior, entre: (i) 
−1
5
 e 
2
−5
? (ii) 
−21
8
 e 3? (iii) 
−15
7
 e 
−7
4
? 
e) Coloque as frações em ordem crescente: 
2
7
, 
1
3
, 
11
35
, 
3
8
. 
f) Determine o maior múltiplo de 
1
3
 que seja menor do que 
25
10
. 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
10 
 
 
Operações aritméticas entre números racionais 
 As operações aritméticas entre os números racionais podem ser representadas 
algebricamente por x + y e x.y, para pares de números racionais, x e y. Também podem 
ser representadas, e efetuadas, na forma decimal, seguindo regras iguais às que 
encontramos para os números inteiros. Geometricamente também podemos nos apoiar 
nas representações apresentadas na Unidade 1. A novidade maior aqui é quando 
trabalhamos com a representações fracionárias. Vejamos esse caso. 
 Sejam os racionais dados por 
𝑝
𝑞
 e 
𝑟
𝑠
. Sabemos que somar é contar sucessivamente 
(essa é uma interpretação intuitiva). E acabamos de ver que não dá para sair contando 
pedaços de frações, pois, se elas tiverem denominadores diferentes, esses pedaços não 
serão comparáveis, terão tamanhos diferentes. Assim, a estratégia óbvia é fazer com que 
as duas frações possuam o mesmo denominador, 
𝑝
𝑞
=
𝑝𝑠
𝑞𝑠
 e 
𝑟
𝑠
=
𝑟𝑞
𝑠𝑞
. A partir dessa 
interpretação, é natural definir: 
𝑝
𝑞
+
𝑟
𝑠
=
𝑝𝑠
𝑞𝑠
+
𝑟𝑞
𝑠𝑞
=
𝑝𝑠 + 𝑟𝑞
𝑠𝑞
. 
 Essa é a expressão geral, para frações gerais. Se considerarmos casos particulares, 
podemos nos concentrar na ideia básica, igualar os denominadores. Por exemplo, para 
calcular 
2
9
+
2
6
, podemos fazer as transformações 
2
9
+
2
6
=
2.2
9.2
+
2.3
6.3
=
4
18
+
6
18
=
10
18
. A 
última passagem é bastante natural, do ponto de vista do modelo intuitivo parte-todo, se 
temos 4 pedaços de 18 com mais 6 pedaços de 18, temos ao todo 10 pedaços de 18. 
 A operação de adição goza de algumas propriedades importantes. As principais 
são: 
a) a, b, c  ℚ, temos (a + b) + c = a + (b + c); (associatividade); 
b) a  ℚ, 0 + a = a + 0 = a; 
c) a ℚ, −a é o único que satisfaz a + (−a) = (−a) + a = 0; (−a é dito o simétrico de a) 
d) a, b  ℚ, temos a + b = b + a; (comutatividade) 
e) a, b, c  ℚ, a equação a + b = a + c é equivalente a b = c; (simplificação de equações) 
f) a, b ∈ ℚ, existe um único número racional x que é solução da equação a + x = b e o 
valor de x é dado por x = (−a) + b; 
Observação: Na propriedade (c), se a é representado em termos de fração, a = 
𝑝
𝑞
, o símbolo 
−a representa a fração 
−𝑝
𝑞
=
𝑝
−𝑞
. Ou seja, o símbolo −
𝑝
𝑞
 significa 
−𝑝
𝑞
=
𝑝
−𝑞
. Agora, se a é 
representado em termos geométricos, −a representa o segmento de mesmo comprimento 
que a, mas de sentido contrário na reta orientada (confira a Unidade 1). 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
11 
 Nesse primeiro momento, nosso foco se encontra em saber usar as propriedades 
operacionais, não em justificá-las ou em compreendê-las mais profundamente, ou seja, 
estamos mais interessados no caráter procedimental, nos algoritmos de tratamento. 
Vejamos algumas atividades. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 18: Se a  ℚ e a ≠ 0, o que podemos dizer de −a, podemos dizer −a  ℚ+? 
Podemos dizer que −a  ℚ−? 
Atividade 19: Lembrando que podemos fazer conversões como 1 = 
2
2
=
3
3
=
4
4
 e etc., 
efetue as seguintes adições de cabeça (mas, depois desenvolva as contas por escrito para 
confirmar a resposta). 
a) 1 + 
3
8
 b) 1 + 
5
6
 c) 1 + 
1
7
 
Atividade 20: Utilizando as propriedades associativa e comutativa acima, efetue as 
seguintes adições de cabeça (mas, depois desenvolva as contas por escrito para confirmar 
a resposta). 
a) 
4
3
4
1
5
1
+





+ , b) 





++
4
1
6
2
6
4
, c) 
5
1
3
2
5
4
+





+ , d) 





++
3
2
7
5
3
1
. 
 
 Voltemos a considerar dois racionais dados por 
𝑝
𝑞
 e 
𝑟
𝑠
 agora a fim de olhar para a 
operação de multiplicação. Nesse caso, envolvendo representações fracionárias, 
expressamos a multiplicação entre números racionais por: 
𝑝
𝑞
.
𝑟
𝑠
=
𝑝𝑟
𝑞𝑠
. 
 Não é difícil obter interpretações para a multiplicação de frações, contudo já não 
é tão fácil quanto o caso da adição de frações ou o caso da multiplicação de números 
inteiros. Antes de comentarmos mais sobre isso, vamos adiantar uma ideia que já deve 
ser útil. Existe um grande índice de erro na operação de adição por meio de frações, 
muitos alunos de escola simplificam o tratamento simbólico fazendo 
𝑝
𝑞
+
𝑟
𝑠
=
𝑝+𝑟
𝑠+𝑞
. Isso 
não deveria acontecer, mas acontece. Talvez, se nossos alunos fossem acostumados a 
aprender tratamentos simbólicos com a ajuda de modelos intuitivos, esse tipo de erro não 
ocorresse tanto. Se um aluno entendesse que não faz sentido somar as fatias de uma pizza 
cortada em 6 com as fatias de uma pizza cortada em 8 e se ele soubesse relacionar as 
expressões simbólicas de fração com casos como esse da pizza poderíamos diminuir erros 
de manipulação simbólica sem qualquer significação. Vejamos uma interpretação para a 
expressão 
1
4
.
2
3
. Podemos interpretar o produto de dois valores como a área do retângulo 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
12 
de lados dados por esses valores, conforme visto na Unidade 1. Assim, a situação pode 
ser visualizada como a seguir. 
 As frações 
1
4
 e 
1
3
 causam uma partição da unidade em um total de 4.3 = 12 pequenos 
retângulos e o total desses retângulos que compõem o retângulo de lados 
1
4
 e 
1
3
 é 1.2 = 2. 
É dessa interpretação que tiramos quea área do retângulo é 
2
12
, ou seja, 
1
4
.
2
3
=
2
12
. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 21: 
a) Efetue as multiplicações a seguir. 
i) 
5
2
.
4
3
; ii) 
5
3
.
4
1
; iii) 
4
1
.2 ; 
 iv) 
3
1
.3 ; 
v) 
15
7
.
7
15
; vi)
 111
321
.0 ; vii) 7.
4
3
; viii) 
9
16
.
4
3
. 
b) Tenho 
4
3
 de um terreno de 100 metros quadrados. Quantos metros quadrados de 
terreno eu tenho? 
c) Quanto é a metade de 
5
2
 de 500? 
 
 Algumas propriedades da operação produto: 
a) a, b , c  ℚ, temos (ab)c = a(bc); (associatividade) 
b) o número 1 é tal que, para todo número racional a, 1a = a1 = a; 
c) a = 
q
p
  ℚ, a  0, o número racional, a−1 = 
p
q
, é tal que aa−1 = a−1a = 1; (a−1 é dito 
o inverso de a) 
d) a, b  ℚ, temos ab = ba; (comutatividade) 
e) a, b  ℚ, onde a  0, x = a−1b é a única solução da equação ax = b; 
f) a, b , c  ℚ, onde a  0, a equação ab = ac é equivalente a b = c; (simplificação de 
equações) 
 O domínio das propriedades deve permitir tratar de situação como a ilustrada a 
seguir. 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
13 
Exemplo: Uma pessoa conseguiu medir dois quintos do perímetro do seu terreno e 
encontrou 15 metros e meio. Qual é o perímetro do terreno? 
 Se x é o perímetro, dois quintos do perímetro é igual a 
5
2
x. Assim, o problema 
nos diz que x é solução da equação 
5
2
x = 
2
31
. Logo, 
 
5
2
x = 
2
31
  x = 
4
155
2
31
.
2
5
2
31
.
5
2
1
==





−
  x = 
4
155
m = 38m e 75cm. 
Observação: O leitor deve ficar atento para a seguinte notação: 
r
s
q
p
s
r
q
p
.= . 
Observação: Também é comum escrever 
r
s
q
p
s
r
q
p
.: = . 
 Só faltou enunciarmos uma propriedade bastante utilizada, a propriedade 
distributiva da operação produto com relação à operação soma. 
 a, b, c  ℚ, a(b + c) = ab + ac. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 22: 
a) Calcule o valor das seguintes expressões. 
i) )12(
2
1
2
1
+− ii) 
3
2
:3 iii)
5
3
.5 iv) 3:
3
2
 
v) 





−−
4
23
4
23
11
3
11
3
 vi) 





−−
5
1
3
1
2
5
3
 vii) 
3
1
1
1
+
 viii) 
3
5
−
2
3
1
2
+1+
4
9
 
b) Efetue a expressão: i) 
5
1
1
1
1
1
1
10
1
1
1
1
1
1
−
−
−
+
+
+
; ii) 
4
1
1
4
1
1
:
2
1
1
2
1
1
−
+
−
+
. 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
14 
Atividade 23: A noção de porcentagem é simplesmente um tipo especial de fração, mais 
precisamente, representa uma fração cujo denominador é 100. Assim, n por cento, ou n%, 
representa a fração 
100
n
. Resolva os itens a seguir. 
a) Represente a porcentagem dada em forma de fração simplificada. 
i) 25% ii) 30% iii) 50% iv) 75% v) 44% vi) 10% 
b) Transforme o número dado para a notação de porcentagem. 
i) 
2
1
 ii) 
4
3
 iii) 
5
3
 iv) 
20
14
 v) 1 vi) 2 
c) Calcule: 
i) 50% de 20 ii) 150% de 20 iii) 25% de 16 iv) 30% de 
9
80
 
d) Efetue: 
i) 
5
4
  10%  28 ii) 32%10%
12
5
 iii)
%50
%20
 iv) 






−−
2
1
1
1
 v) 
17
23
12
3
45
11
−
 
Atividade 24: 
a) Efetue a expressão: i) 2,34 + 3,14; ii) 5,5  4,2; iii) 9,6  0,3. 
b) Para os mesmos itens do exercício anterior, primeiro transforme os números em frações 
decimais e depois efetue as operações. Compare o desenvolvimento e analise quando é 
melhor trabalhar com notação decimal e com notação de fração. 
c) 
i) Represente a porcentagem dada em forma de fração simplificada. 
i.i) 1,1% i.ii) 2,2% i.iii) 0,1% 
ii) Transforme o número dado para a notação de porcentagem. 
ii.i) 1,1 ii.ii) 0,001 
iii) Calcule: 
iii.i) 10% de 1,1 iii.ii) 0,1% de 1200 iii.iii) 2,5% de 1,1 
d) Efetue. 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
15 
i) 
5
6
 − 4,2 ii) 1,2 + 
3
1
 iii) 
22,3
3,02,0
−

 iv) 32%.
2,1
02,0
 
v) 0,5 + 6,0
2,0
02,01,0

−
 vi) 20,13 + 1 vii) 
3,01
1
−
 viii) 3430,121 
Atividade 25: Determine os valores racionais de 𝑥 para os quais a fração 
2𝑥−1
5
𝑥−1
𝑥
 não 
está bem definida. Calcule essa fração para 𝑥 igual a 
1
3
 . 
 
 
Um pouco mais de exercícios 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 26: Complete com as representações possíveis: 
a) 
−2
3
=
2
= −
3
 
b) 
−5
4
=
5
= −
5
 
c) 
−4
−3
=
4
= −
3
 
Atividade 27: Resolva os problemas. 
a) Calcule 2/5 de um tanque cheio de gasolina com capacidade de 45 l. 
b) Comer 2/3 de uma pizza dividida em 6 fatias iguais, equivale a comer quantas fatias? 
c) Se 2/7 de uma dívida equivalem a 120 Reais, determine o valor total da dívida. 
Atividade 28: Resolva e dê a resposta em forma de fração irredutível: 
a) 
−1
3
.
18
5
 
b) 1 −
−2
3
.
3
8
 
c) 5.4 −
1
4
.
3
2
 
d) −
1
2
.
7
9
+
1
5
−
2
9
 
Atividade 29: Efetue e dê a resposta simplificada, em forma de fração irredutível: 
a) 
0,02
0,1
- 0,54 × 
1
0,6
 
b) (
2
2/5
)
-1
× 
5
6 − 
1
2
+ 
13
(22 + 32)
2 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
16 
c) 
1
2 − 
3
2
−
 
5
3
2
 :
3
2
 
d) 1 + 
2
1
3
1− 
1
1− 
1
1 − 
1
3
 
e) 1,0:)632(25,01
201,0
3,246
0
2
1
:
3
1
1
1
−−++
−
+
 
Atividade 30: O exame de um concurso tem a duração de 4 horas e é composto pelas 
provas de Português, Inglês, Matemática e Redação. Um aluno levou 0,8 h para completar 
a prova de Português, 15% do tempo total para completar a de Inglês e 2/5 do tempo total 
para completar a de Matemática. Quanto tempo sobrou para ele fazer a redação? 
Atividade 31: Um quadrado de lado 10 teve a medida de seu lado reduzido em 20%. Qual 
o percentual de redução da área do quadrado? 
Atividade 32: Um lojista comprou de seu fornecedor um artigo por 220 reais (preço de 
custo) e fixou o preço de venda com lucro de 40%. A seguir, ao fazer uma liquidação, ele 
deu aos compradores um desconto de 30% sobre o preço de venda desse produto. 
a) Esse comerciante teve lucro ou prejuízo? 
b) Determine o percentual do lucro ou prejuízo em relação ao preço de custo do produto. 
Atividade 33: Numa gincana estudantil, a equipe Lua terminou a tarefa em 
7
2
 do dia e a 
outra equipe Terra levou 
3
22
 horas. Quem ganhou a gincana? 
 
 
Gabarito 
Atividade 1: 
a) 1/100 b) 24 vezes maior c) mês d) 1/3600 
Atividade 2: 
a) 43 centímetros. 
b) (i) u’ = 1/4 u. (ii) a = 11u’. (iii) a = 
11
4
 u. 
c) 5 milímetros = 
5
1000
 metros. 
d) 34 centímetros = 
34
100
 metros. 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
17 
e) 13 horas = 
13
24
 dias. 
f) (i) 245 dias (ii) 78 segundos (iii) 90 minutos (iv) 15 dias 
(v) 
13
24
 dias (vi) 
88
100
 metros (vii) 
25
100
 reais 
g) Temos que 1/3 do dia é o mesmo que 1/3 de 24 horas, que é igual a 24 : 3 = 8 horas. 
Com notação de fração, na unidade dia, temos que dormimos 
8
24
 dias. 
Atividade 3: 
500 : 7 = 71,428... 
700 : 9 = 77,777... 
Esses quocientes mostram quantas gramas por reais. Assim, compramos mais gramas por 
real pago no pote de 700g. Não só é justo, como é mais vantajoso! 
Atividade 4: 
A fração 
30
6
 estabelece a proporção entre área pintada e horas trabalhadas. Como 42 = 7.6, 
isto é, ele trabalhou 7 vezes mais, ele pintou 7 vezes mais, ou seja, ele pintou 7.30 = 210 
metros quadrados. 
Outra explicação: 30 : 6 = 5. Assim, para saber a área referente a 6 horas de trabalho, 
basta fazer a conta 5.6 que é igual a 30. De modo análogo, mantendo a proporção, para 
saber a área referente a 42 horas de trabalho fazemos 5.42 que é 210. 
Atividade 5: 
Podemos olhar o intervalo entre 0,83 e 0,84 como dividido em 10 partes. Nesse caso a 
está na posição 4/10. Mas, dividir esse intervalo em 10 partes é o mesmo que dividir a 
unidade em 1000 partes. Assim, a representação de decimal de a é 0,834, donde uma 
representação fracionária pode ser 
834
1000
. 
Atividade6: 
Podemos considerar a fração com denominador sendo uma potência de 10, 
1625
1000
. 
Atividade 7: 
Uma maneira é ver a pizza como uma unidade. Assim, a frase, 
6
4
 de uma pizza, pode ser 
entendida pela ação de se dividir a pizza em 6 partes sendo que foram contadas 4 dessas 
partes. 
Atividade 9: 
a) Falso, podemos fazer 0 = 
0
3
. 
b) Falso, por exemplo, 5 = 
5
1
=
10
2
. 
c) Falso, por exemplo, 1 = 0,99999... . 
d) Falso, o nome “fração” pode ser um obstáculo cognitivo, normalmente, 
principalmente no senso comum, associamos o termo fração à ideia de uma parte do 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
18 
todo. Contudo, principalmente na matemática, podemos ver frações maiores do que 
1. Por exemplo, 
5
3
 > 1. 
Atividade 10: 
a) Por exemplo, se você escolheu 
1
2
 e 
2
4
, os valores substituídos no critério fica: 1.4 = 2.2, 
o que é verdadeiro. 
b) Escolhendo 
1
7
 e 
3
2
, o critério gera a relação 1.2 = 3.7, o que claramente não é verdadeiro. 
c) Para as duas frações 
−4
5
 e 
4
−5
 o critério fica (−4).(−5) = 4.5, que é uma sentença 
verdadeira. Se usássemos a interpretação parte-todo, ficaria complicado analisar a 
fração 
4
−5
, como seria dividir a unidade em −5 partes?! 
d) (i) (−1).30 = (−6).5 (ii) (−5).299  235.7 (nem precisamos fazer a conta, pois os 
membros têm sinais diferentes. (iii) 2.18 = 3.8 (iv) 2700.5 = 18.750 (v) 
7.1512  6.588 
e) i) 𝑥 =
25
100
=
1.25
4.25
=
1
4
 ii) 𝑥 =
500
1000
=
1.500
2.500
=
1
2
 iii) 𝑥 =
120
60
=
2.60
1.60
=
2
1
= 2 iv) 𝑥 = 5 =
5
1
=
5.3
1.3
=
15
3
 v) 𝑥 =
−2
3
=
−2.−7
3.−7
=
14
−21
 
f) Podemos usar o critério para comparar frações, 
3
1
1
5
=
−x
  3.5 = 1.(x – 1)  x = 
15 + 1 = 16. Como 16 – 1  0, a solução encontrada serve para a expressão fracionária 
original. 
g) Pelo critério, 
𝑝
𝑞
=
𝑝.𝑛
𝑞.𝑛
  p.(q.n) = q.(p.n). Como a sentença, p.(q.n) = q.(p.n), é 
claramente verdadeira, a igualdade entre frações fica justificada. 
h) (i) 
30
16
= 
8
15
 e mdc(8,15)=1. (ii) Já é irredutível, pois 97 é primo e 111 não é 
múltiplo de 97. (iii) 
46
32
=
23
16
 e mdc(23,16) = 1. (iv) 
2700
750
=
18.150
5.150
=
18
5
 (Dica: 
nesse caso, calcule mdc(2700,750) = 150 e faça a simplificação usando esse valor.)
 (v) 
256
384
=
2
3
, onde usamos o mdc(256,384) = 128. (vi) 
1263
421
=
3
1
, note que 421 é 
primo e 1263 = 3.421. 
i) (i) Irredutível (ii) Irredutível (iii) 
45
70
=
9
14
 (iv) 
3
231
= 
77
1
 (v) Irredutível (vi) 
12
16
−
=
4
−3
= −
4
3
 
j) Basta verificar que cada fração simplificada é irredutível. 
k) O exercício é converter a expressão para uma fração e, então, simplifica-la. 
i) 1,2 = 
12
10
=
6
5
 ii) 5,5 = 
55
10
=
11
2
 iii) 0,01 = 
1
100
 iv) 0,66... = 
2
3
 
Atividade 11: 
a) < b) > c) < d) > e) < f) < g) > h) > i) < j) > 
Atividade 12: 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
19 
a) Evidentemente 
9
13
 está mais próximo. 
 
b) 
1
4
 está mais próximo, veja a representação abaixo: 
 
c) −
1
4
 está mais próximo, veja a representação abaixo 
 
d) Estão à mesma distância: 
 
e) 1/3 está mais próximo conforme a figura abaixo. 
 
Atividade 13: 
a) 9: 13 = 0,69... e 11 : 13 = 0,84... 
b) 1 : 3 = 0,33... e 1 : 4 = 0,25 
c) −1 : 3 = −0,33... e −1 : 4 = −0,25 
d) −2 : 5 = −0,4 e 2 : 5 = 0,4 
e) 2 : 5 = 0,4 e 1 : 3 = 0,33... 
Atividade 14: 
A fração 
30
15
 é equivalente a 2 e 
12
9
 claramente é menor do que 2 (=
18
9
). 
Atividade 15: 
Uma ideia é encontrar frações equivalentes que facilitem a comparação. Temos: 
7
12
=
14
24
 
e 
5
8
=
15
24
. Assim, 
5
8
 é maior. 
Atividade 16: 
a) 
3
7
=
27
63
 < 
4
9
=
28
63
 
b) 
52
24
=
13.4
6.4
=
13
6
>
14
8
=
14.3
8.3
=
42
24
, pois mmc(6,8)=24. 
 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
20 
c) 
26
30
=
13.2
15.2
=
13
15
>
5
6
=
5.5
6.5
=
25
30
 , pois mmc(6,15)=30. 
 
d) 
143
77
=
13.11
7.11
=
13
7
>
20
11
=
20.7
11.7
=
140
77
 , pois mmc(11,7)=77. 
e) 
3
2
>
113
221
, pois 
3
2
> 1 e 1 >
113
221
. 
f) 
45
6
> 7 =
7.6
6
=
42
6
 
g) 
16
12
=
8
6
>
7
6
 
Atividade 17: 
a) 
700
6342
, pois um número positivo é sempre maior do que um negativo. 
b) Note que 
1
100000
 = 0,00001. Um número menor do que esse, tendo o algarismo 9 pode 
ser 0,00000009. 
c) Temos que 
6
10
<
7
10
<
8
10
 e 
3
5
=
6
10
, 
4
5
=
7
10
. Logo, 
3
5
<
7
10
<
4
5
. (Você consegue encontrar 
outro número racional entre 
5
3
 e 
5
4
?) 
d) (i) 
1
−5
 (ii) 3 (iii) 
−60
28
=
−15
7
<
−7
4
=
−49
28
, 
−49
28
 é a maior. 
e) 𝑚𝑚𝑐(3,7,8,35) = 840, então 
2
7
=
240
840
< 
11
35
=
264
840
 <
1
3
=
280
840
 < 
3
8
=
315
840
. 
f) Queremos determinar o maior valor de n, tal que 
𝑛
3
= 𝑛.
1
3
<
25
10
. Este é mais um dos 
problemas que podem ser resolvidos por contagem, nos moldes da Unidade 3. 
Primeiro, note que 
1
3
=
10
30
. Assim, temos os múltiplos de 
1
3
 listados a seguir: 
10
30
,
20
30
,
30
30
, … ,
70
30
,
80
30
 e 8 vezes 
1
3
 já ultrapassou a fração 
75
30
=
25
10
. Logo, a resposta é n = 
7. 
Agora, se você quiser evitar contagens, podemos trabalhar algebricamente. Temos 
10.𝑛
30
=
𝑛
3
<
25
10
=
75
30
 se, e só se, 10n < 75. E o maior valor de n tal que a desigualdade 
é válida é 7. 
Atividade 18: 
Nada podemos dizer sobre −a. Por exemplo, se a = 
3
2 , −a  ℚ−, Se a = −5, −a  ℚ+. 
Atividade 19: 
a) 
8
11
8
3
8
8
8
3
1 =+=+ b) 
6
11
6
5
6
6
6
5
1 =+=+ c) 
7
8
7
1
7
7
7
1
1 =+=+ . 
Atividade 20: 
a) 
4
3
4
1
5
1
+





+ = 
5
6
5
5
5
1
1
5
1
4
3
4
1
5
1
=+=+=





++ . 
b) 





++
4
1
6
2
6
4
 = 
4
5
4
1
1
4
1
6
2
6
4
=+=+





+ . 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
21 
c) 
5
1
3
2
5
4
+





+ = 
3
5
5
1
5
4
3
2
5
1
5
4
3
2
=





++=+





+ . 
d) 





++
3
2
7
5
3
1
 = 
7
12
7
5
3
2
3
1
7
5
3
2
3
1
=+





+=





++ . 
Atividade 21: 
a) 
i) 
10
3
5.2
1.3
5
2
.
4
3
== ; ii) 
20
3
5
3
.
4
1
= ; iii) 
2
1
4
1
.2 = ; iv) 1
3
1
.3 = ; 
v) 1
15
7
.
7
15
= ; vi)
 111
321
.0 = 0; vii) 
4
21
7.
4
3
= ; viii) 
3
4
3.1
4.1
9
16
.
4
3
== . 
b) 
4
3
.100 = 3.25 = 75 m2. 
c) 100
5
500
500.
5
2
.
2
1
== . 
Atividade 22: 
a) (Novo exercício: uma das respostas do gabarito deste item está errada. Encontre-a.) 
i) 1)12(
2
1
2
1
−=+− ii) 
2
9
3
2
:3 = iii) 3
5
3
.5 = iv) 23:
3
2
= 
v) 
11
3
4
23
4
23
11
3
11
3
=





−− vi) 
3
1
5
1
3
1
2
5
3
=





−− vii) 
4
3
3
1
1
1
=
+
 
viii) 
3
5
−
2
3
1
2
+1+
4
9
=
−1
15
35
18
=
−1
15
.
18
35
=
−6
175
. 
b) 
i) 
105
32
5
1
.
21
32
5
21
32
41
21
11
1
4
1
1
1
11
21
1
1
4
5
1
1
1
11
10
1
1
1
5
4
1
1
1
1
10
11
1
1
1
1
5
1
1
1
1
1
1
10
1
1
1
1
1
1
===
+
+
=
−
−
+
=
−
−
+
+
=
−
−
+
+
=
−
−
−
+
+
+
 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
22 
ii) 
5
9
5
4
.
4
3
.
1
2
.
2
3
4
3
4
5
2
1
2
3
4
1
1
4
1
1
2
1
1
2
1
1
===
−
+

−
+
 
Atividade 23: 
a) i) 25% = 
4
1
100
25
= . ii) 30% = 
10
3
100
30
= iii) 50% = 
2
1
100
50
= 
iv) 75% = 
4
3
100
75
= v) 44% = 
25
11
50
22
100
44
== vi) 10% = 
10
1
100
10
= 
b) i) 
100
50
50.2
50.1
2
1
== = 50% ii) 
100
75
25.4
25.3
4
3
== = 75% iii) 
100
60
20.5
20.3
5
3
== = 60% 
iv) 
100
70
5.20
5.14
20
14
== = 70% v) 1 = 
100
100
1
1
= = 100% vi) 2 = 
100
200
100.1100.2
1
2
== = 
200% 
c) i) 50% de 20 = 50%.20 = 1020.
2
1
20.
100
50
== 
ii) 150% de 20 = 150%.20 = 302.15
10
20.15
20.
10
15
20.
100
150
==== 
iii) 25% de 16 = 25%.16 = 4
4
16
16.
4
1
16.
100
25
=== 
iv) 30% de 
9
80
= 30%.
9
80
=
3
8
9
80
.
10
3
9
80
.
100
30
== 
d) 
i) 
5
4
  10%  28 = 24,2
100
224
4.25
4.56
25
56
5.5
28.2
10.5
28.4
28.
100
10
.
5
4
====== = 224% 
Observação: As últimas simplificações no item (a) foram apenas por gosto. Não existe 
nenhuma obrigação em converter a resposta para alguma notação específica (a menos que 
seja pedido). Assim, a resposta poderia ter terminado com 
25
56
, com 
100
224
, com 2,24 ou 
com 224%, tanto faz. 
ii) 32%10%
12
5
 = 
75
1
100.3
4
12.100.2
32
12
5
.
100
10
.
100
32
=== . 
Observação: A resposta 
75
1
 pode ser colocada em notação de decimal ou de porcentagem, 
mas não será uma resposta simplificada, com números mais “bonitos”. O que não pode 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
23 
ser feito em hipótese alguma é escrever a resposta arredondada, ou aproximada, como 
75
1
 ≈ 0,133, por exemplo. 
iii) %404,0
10
4
5
2
50
100
.
100
20
100
50
100
20
%50%20
%50
%20
======= 
iv) 
3
2
2
3
1
2
1
1
1
==






−−
 
v) 
4140
17
23
17
.
180
1
17
23
180
45
180
44
17
23
12
3
45
11
−
=
−
=
−
=
−
 
Atividade 24: 
a) i) 2,34 + 3,14 = 5,48; ii) 5,5  4,2 = 23,1; iii) 9,6  0,3 = 32. 
b) i) 2,34 + 3,14 = 
100
548
100
314
100
234
=+ = 5,48 
ii) 5,5  4,2 = 
10
231
10
2111
10
42
10
55
=

= = 23,1 
iii) 9,6  0,3 = 32
3
10
.
10
96
10
3
10
96
== 
c) 
i) i.i) 1,1% = 
1000
11
100
1,1
= i.ii) 2,2% = 
500
11
1000
22
= i.iii) 0,1% = 
1000
1
 
ii) ii.i) 1,1 = %110
100
110
10
11
== ii.ii) 0,001 = 
100
1,0
 = 0,1% 
iii) iii.i) 10% de 1,1 = 10%×1,1 = 11,0
100
11
10
11
.
100
10
== 
iii.ii) 0,1% de 1200 = 0,1%×1200 = 
10
12
1200.
1000
1
1200.
100
1,0
== = 1,2 
iii.iii) 2,5% de 1,1 = 2,5%×1,1 = 0275,0
10000
275
10
11
.
1000
25
== 
d) 
i) 
5
6
 − 4,2 = 3
10
30
10
4212
10
42
5
6
−=
−
=
−
=− 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
24 
 Podemos realizar a conta usando notação decimal: 
 
5
6
 − 4,2 = 1,2 − 4,2 = −3 
 
ii) 1,2 + 
3
1
 = 
15
23
30
46
30
1036
3
1
10
12
==
+
=+ 
iii) 
20
1
12
10
.
100
6
10
12
100
6
2,1
10
3
10
2
22,3
3,02,0
===

=
−

= 0,05 
iv) 32%.
375
2
25.15
2
100.15
8
120
2
.
100
32
2,1
02,0
==== 
v) 0,5 + 
6
7
6
43
3
2
2
1
3
2
5,0
6
10
.
20
8
5,0
6
10
.
2,0
08,0
5,06,0
2,0
02,01,0
=
+
=+=+=+=+=
−
 
Observação: Estude a estratégia usada para efetuas as contas do item (e). Primeiro foram 
realizadas as contas envolvendo produto e divisão. Para isto, as expressões foram 
convertidas para fração, com o objetivo de buscar simplificações. Depois, ao chegar na 
expressão 
3
2
5,0 + , foi preciso decidir entre a notação decimal e de fração. Como 
3
2
 em 
notação decimal envolve dízima periódica, foi melhor converter 0,5 para notação de 
fração. 
 Lembre-se que as contas ficariam erradas se terminassem parecidas com 
3
2
5,0 + 
≈ 0,5 + 0,6 = 1,1. 
vi) 20,13 + 1 = 2×10×3 + 1 = 61 
vii) 
7
10
10
7
1
7,0
1
3,01
1
===
−
 
viii) 3430,121 = 34×3×
121
1000
 = 
121
102000
 
Observação: Note que, pelo processo de fatoração, fica claro que 102000 e 121 = 11×11 
não têm fatores em comum, donde é perda de tempo querer simplificar a fração final. 
(Esta é uma das vantagens em trabalhar com frações e simplificações em vez de 
simplesmente efetuar as divisões e produtos.) 
Atividade 25: 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
25 
A expressão 
2𝑥−1
5
𝑥−1
𝑥
 não está bem definida quando x = 1 ou quando x = 0. Quando x = 1/3, 
temos 
2𝑥−1
5
𝑥−1
𝑥
=
−1
15
−2
=
1
30
. 
Atividade 26: 
a) 
-2
3
=
2
-3
= -
2
3
 
b) 
-5
4
=
5
-4
= -
5
4
 
c) 
-4
-3
=
4
3
= -
-4
3
 
Atividade 27: 
a) 
2
5
× 45 = 2 × 9 = 18 l. 
b) Como 
2
3
=
4
6
 e uma fatia é 1/6, então equivale a comer 4 fatias. 
c) Seja x o valor da dívida. De acordo com o enunciado, 
2
7
x = 120, então 
𝑥 = 120 ×
7
2
= 60 × 7 = 420 reais. 
Atividade 28: 
a) −
1
3
 × 
18
5
= −
1
3
 × 
6 × 3
5
= −
6
5
 
b) 1−
−2
3
×
3
8
 = 1 +
2
8
 = 1 + 
1
4
 = 
5
4
 
c) 5 × 4 −
1
4
 ×
3
2
= 20 −
3
8
=
157
8
. 
d) -
1
2
 ×
7
9
+
1
5
 - 
2
9
= -
7
18
+
1
5
 - 
2
9
=
-35 + 18 - 20
90
= -
37
90
 
Atividade 29: 
a) 
0,02
0,1
- 0,54 × 
1
0,6
=
2
10
-
54
60
=
1
10
(2 -
54
6
) =
1
10
(2 - 9) = -
7
10
 
b) (
2
2/5
)
-1
× 
5
6−
1
2
+ 
13
(22+32)
2 = (2 ×
5
2
)
-1
×
5
11
2
+
13 
13
2 =
1
5
×
10
11
+
1
13
=
2
11
+
1
13
=
26 + 11
11 × 13
=
37
143
 
c) 
1
2-
3
2
-
 
5
3
2
 :
3
2
=
1
4-3
2
-
5
6
:
3
2
=
1
1
2
-
5
6
.
2
3
=2-
5
9
=
13
9
. 
d) 1 + 
6
1-
1
1-
1
1-
1
3
 = 1 + 
6
1-
1
1-
3
2
 = 1 + 
6
1+2
 = 3 
e) 
Passo 1: resolva o denominador na primeira fração: 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
26 
1
1 + 
1
3
:
-1
2
+ 0 ×
246,3
0,201
+ 0,25 − (2 − 3 × 6): 0,1 = 
1
3 + 1
3
:
-1
2
+ 0 ×
246,3
0,201
+ 0,25 − (2 − 3 × 6) : 0,1 
Passo 2: resolva o produto por zero: 
1
3 + 1
3
:
-1
2
+ 0 ×
246,3
0,201
+ 0,25 − (2 − 3 × 6) : 0,1 =
1
4
3
:
-1
2
+ 0 + 0,25 − (2 − 3 × 6) : 0,1 
Passo 3: substitua o valor 0,1 por sua fração irredutível: 
1
4
3
:
-1
2
+ 0,25 − (2 − 3 × 6) : 0,1 =
1
4
3
:
-1
2
+ 0,25 − (2 − 3 × 6) :
1
10
 
Passo 4: resolva as divisões: 
1
4
3
:
-1
2
+ 0,25 − (2 − 3 × 6) :
1
10
= 
3
4
×
2
-1
+ 0,25 − (2 − 3 × 6) × 10 
Passo 5: resolva os produtos e o parêntese: 
3
4
×
2
-1
+ 0,25 − (2 − 3 × 6) × 10 =
6
-4
+
1
4
− (2 − 18) × 10 =
-5
4
− (-16) × 10 
Passo 6: resolva o produto primeiro e depois a soma 
-5
4
− (-16) × 10 =
-5
4
+160=
-5 + 640
4
=
635
4
 
a) (Note que a fração é irredutível, pois mdc (635,4) = 1) 
Atividade 30: 
Observe que para fazer a prova de Português o aluno levou 0,8h = 0,8 × 60 min = 48 min; 
para a de Inglês o tempo gasto foi 15% de 4h, que é igual a 
15
100
× 4h = 0,6h = 0,6 × 60 min = 36min. E para fazer a de Matemática o tempo foi 
2
5
×4 h =
8
5
h =
8
5
 × 60 min = 96 min. Assim, o tempo gasto em minutos para as três provas 
foi de 48 + 36 + 96 = 180 min, ou seja 3h. Portanto sobrou 1h (ou sobraram 60 min) para 
ele fazer a redação. 
Atividade 31: 
Com a redução, a medida do lado do quadrado ficou igual a 8. Então sua área é dada por 
A = 8 × 8 = 64. Assim, a área foi reduzida de 100 para 64, ou seja, de 36 unidades de 
área, o que corresponde a 36% de redução para a área. 
Atividade 32: 
Matemática Básica Unidade 4 – Aritmética dos 
 números racionais 
 
Cederj 
 
27 
a) O preço de venda do produto é dado por 220 + 220 × 40/100 = 308 reais. Ao fazer a 
liquidação, o produto foi vendido por 308 – 308 × 30/100 = 215,6 reais. Portanto o 
preço da liquidação foi menor do que o preço de custo, o que caracteriza prejuízo para 
o lojista de 4,40 reais. 
b) O percentual do prejuízo em relação ao preço de custo foi de 4,40 × 100/220 = 2%. 
Atividade 33: 
Temos que 
7
2
 do dia é igual a 
7
2
 de 24 horas, que é igual a 
7
2
× 24 = 
7
48
horas. Como 48 
 7  6,85 e 22  3  7,33, concluímos que a equipe Lua ganhou.