Hibbeler_ppt_12

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Capítulo 12: 
Deflexão em 
vigas e eixos
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A Linha Elástica
• Para curva elástica,o momento positivo interno tende a curvar a viga 
com a concavidade para cima, e vice versa.
• Deve haver um pondo de inflexão em C, onde a curva passa de 
côncava para cima a côncava para baixo, visto que o momento 
neste ponto é nulo.
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A Curva Elástica
Relação Momento-Curvatura
• Devido a carga, a deformação na viga é provocada pela força cortante
interna, bem como pelo momento fletor..
• Se o material for homogêneo e comportar-se de uma maneira linear 
elástica, a lei de Hooke é aplicável,
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A Curva Elástica
ρ = raio de curvatura em um ponto específico
M = momento fletor interno na viga no ponto ρ
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro
EI = rigidez à flexão
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Inclinação e deslocamento
por integração
• Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao longo 
do comprimento da viga.
• A inclinação e alteração da relação da viga é
• Cada integração é usada para resolver todas as constantes de modo 
a obter uma solução única para um problema particular.
( ) ( ) ( )xM
dx
vd
EIxV
dx
vd
EIxw
dx
vd
EI ==−=
2
2
3
3
4
4
 
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Inclinação e deslocamento
por integração
Condições de contorno e continuidade
• As constantes de integração são determinadas pela avaliação das 
funções para cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento.
• Esses valores são chamados de condições de contorno.
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A viga simplesmente apoiada mostrada na figura (a) suporta a carga 
triangular distribuída. Determine sua deflexão máxima. EI é constante.
Exemplo 12.2
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Devido à simetria, somente a coordenada x é necessária para a solução,
A equação para carga distribuída é . 
Por consequência,
x
L
w
w 0
2
=
2/0 Lx 
Solução:
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Integrando duas vezes, temos
Para condição de 
contorno,
0,
192
5
 em resulta 2,0 e 0,0 2
3
0
1 =−===== C
Lw
CLxdxdvxv
21
3050
1
2040
030
2
2
2460
812
43
CxCx
Lw
x
L
w
EIv
Cx
Lw
x
L
w
dx
dv
EI
x
Lw
x
L
w
M
dx
vd
EI
+++−=
++−=
+−==
Portanto, x
Lw
x
Lw
x
L
w
EIv
192
5
2460
3
03050 −+−=
Para deflexão máxima em x = L/2, 
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A viga na Figura (a) está sujeita à carga P em sua extremidade. 
Determine o deslocamento em C. EI é constante.
Exemplo 12.4
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Devido à carga, 2 coordenadas x serão consideradas,
Usando os diagramas de corpo livre, 2211 
2
PxMx
P
M −=−=
axax  21 0 e 20
211
3
11
1
2
1
1
1
12
1
1
2
12
 
4
 
2
 20 para
CxCx
P
EIv
Cx
P
dx
dv
EI
x
P
dx
vd
EIax
++−=
+−=
−=Portanto,
Solução:
e
423
3
22
3
2
2
2
2
22
2
2
2
2
6
 
2
 
 0 para
CxCx
P
EIv
Cx
P
dx
dv
EI
Px
dx
vd
EIax
++−=
+−=
−=
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3
4
2
32
2
1 
6
7
 0 
3
PaCPaCC
Pa
C −====
axvaxvxv ====== 221111 ,0 ;2,0 ;0,0
As quatro constantes de integração são determinadas usando três 
condições de contorno,
Resolvendo, temos
Portanto, resolvendo
equações. EI
Pa
x
EI
Pa
x
EI
P
v
3
2
2
3
22
6
7
6
−+−=
Quando x2 = 0, temos
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Funções de 
descontinuidade
• Quando expressada a carga ou o momento interno da viga, 
precisamos utilizar funções de descontinuidade.
1) Funções de Macaulay.
• X é o ponto ao longo da viga e a é o local na viga onde ocorre 
“descontinuidade”.
• Equação geral pode ser usada para cargas distribuídas:
( )
an
axax
ax
ax
n
n




−

=−
 
 para 
 para 0
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• As funções Macaulay abaixo descrevem ambas a carga uniforme e a carga 
triangular.
Funções de 
descontinuidade
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i) Descrever uma força
=
ii) Descrever um momento,
=
iii) A integração de ambas as equações dará
Funções de 
descontinuidade
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Exemplo 12.5
Determine a equação da linha elástica para a viga em balanço mostrada 
na figura (a). EI é constante.
Exemplo 12.5
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As condições de contorno exigem inclinação e deslocamento zero em A.
As reações no suporte A foram calculadas por estática e são mostradas 
em um diagrama de corpo livre,
Solução:
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Já que
Integrando novamente, temos
21
42432
1
3132
202
2
2
5
3
1
525
3
1
3
26
129
5
3
4
550
3
4
26258
54550452258
CxCxxxxxEIv
Cxxxxx
dx
dv
EI
xxxx
dx
vd
EI
++−+−+−+−=
+−+−+−+−=
−+−+−+−=
( ) VdxdMxwdxdV =−= e 
11110
58550080258052 −+−+−−−−−=
−−
xxxxxV
( ) ( )
( ) mkN 54550452258 
58
2
1
55008
2
1
0520258
202
20210
−+−+−+−=
−+−+−−−+−−=
xxxx
xxxxxM
Visto que dv/dx = 0, x = 0, C1 = 0; e v = 0, C2 = 0. Portanto
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Inclinação e deslocamento pelo 
método dos momentos de área
• O método dos momentos de área determinam a inclinação e o 
deslocamento em pontos específicos sobre a linha elástica de uma 
viga ou eixo.
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Inclinação e deslocamento pelo 
método dos momentos de área
TEOREMA 1
Ângulo entre as tangentes em 2 pontos quaisquer à curva elástica 
equivale a área sob o diagrama M/EI entre estes dois pontos.
dx
EI
M
B
A
AB =/
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Inclinação e deslocamento pelo 
método dos momentos de área
TEOREMA 2
O desvio vertical da tangente em um ponto (A) sobre a linha elástica em 
relação à tangente traçada desde outro ponto (B) é igual ao momento da
área sob o diagrama M/EI entre esses dois pontos (A e B). Esse 
momento é calculado em torno do ponto (A)onde o desvio vertical deve 
ser determinado.
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dx
EI
M
xt
B
A
BA =/ dxEI
M
xt
B
A
BA =/ou
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Determine a inclinação da viga na figura (a) nos pontos B e C. EI é 
constante.
Exemplo 12.7
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O diagrama M/EI será desenhado primeiro.
A força P provova deflexão na viga como 
mostrado.
ACCABB //  ==
Pelo desenho, o ângulo entre tan A e tan B é 
equivalente a θB/A, onde
Aplicando teorema dos momentos de área
(Resposta) 
EI
PL
L
EI
PL
(Resposta) 
EI
PLL
EI
PLL
EI
PL
ACC
ABB
222
1
8
3
222
1
22
2
/
2
/
−=





−==
−=











−+











−==


Solução:
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Determine o deslocamento dos pontos B e C da viga mostrada na Figura 
(a). EI é constante.
Exemplo 12.8
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O diagrama M/EI será desenhado antes.
ACCABB tt // ==
O momento conjugado em C provoca a deflexão da 
viga como mostrado,portanto
Aplicando teorema dos momentos de área, temos,
( ) (Resposta) 
EI
LM
L
EI
ML
t
(Resposta) 
EI
LML
EI
ML
t
ACC
ABB
22
824
2
00
/
2
00
/
−=











−





==
−=

















−





==
Solução:
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Como ambas as respostas são negativas, elas indicam que os pontos B 
e C encontram-se abaixo da tangente em A.
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Determine o deslocamento no ponto C para a viga de aço em balanço 
com projeção mostrada na Figura (a). Considere Eaço = 200 GPa, I = 50 
x 106 mm4.
Exemplo 12.12
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O diagrama M/EI será desenhado antes.
ABACC tt // 2−=
A carga provoca deflexão na viga como mostrado, portanto
Aplicando teorema dos momentos de área, temos,
Solução:
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Substituindo os resutados dados
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Método da superposição
• satisfaz os dois requesitos necessários 
para aplicação do princípio da superposição.
1) Carga é linearmente relacionada a deflexão.
2) Espera-se que a carga não mude significativamente.
• Utilizando resultados tabulados do Apêndice C, é possível 
determinar a inclinação e deslocamento em um ponto sobre 
a viga submetida a várias cargas.
( )xwdxvdEI −=44
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Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no apoio A da viga mostrada 
na Figura (a). EI é constante.
Exemplo 12.13
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A carga pode ser separada em duas partes componentes.
O deslocamento em C e a inclinação em A são determinados por meio 
da tabela,
Para força concentrada de 8-kN,
Deslocamento total em C e a 
inclinação em A são,
Solução:
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Determine o deslocamento na extremidade C da viga em balanço 
mostrqada na figura. EI é constante.
Exemplo 12.15
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Do Apêndice C, a inclinação e deslocamento em B são
Visto que o ângulo é pequeno, o deslocamento em C torna-se
Solução:
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Vigas e eixos estaticamente
indeterminados
• Um elemento é classificado como estatisticamente indeterminado se
• Para determinar as reações na viga que são estatisticamente 
indeterminadas:
a) Especifique as reações redundantes.
b) Determine as redundâncias pelo grau de indeterminação.
c) Aplique redundâncias e resolva as reações.
equações de nº dasdesconheci reações de nº 
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Vigas e eixos estaticamente
indeterminados — método da 
integração
• Há 3 métodos para resolver as redundâncias
1) Método de Integração
Requer duas integrações de diferentes equações: EI
M
dx
vd
=
2
2
2) Método Momento-Área
Cálculo de ambas as áreas sob o diagrama MEI e a localização do centróide 
desta área.
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3) Método de superposição
Resolver as cargas redundantes nas vigas carregadas axialmente e 
torsionalmente carregadas.
= +
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A viga na figura (a) está fixada em ambas as extremidades e sujeita à 
carga uniforme. Determine as reações nos apoios. Despreze o efeito da 
carga axial.
Exemplo 12.18
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Pelo diagrama de corpo livre,
(Resposta) 
2
wL
VV BA ==
'
22
2 Mx
w
x
wL
M −−=
Pela inclinação e curva elástica,
21
243
1
32
2
2
2
'
2412
'
64
'
22
CxCx
M
x
w
x
wL
EIv
CxMx
w
x
wL
dx
dv
EI
Mx
w
x
wL
dx
vd
EI
++−−=
+−−=
−−=
Solução:
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Pelas condições de contorno, temos C1 = C2 =0, assim
(Resposta) 
12
'
2wL
M =
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A viga está sujeita à carga concentrada mostrada na Figura (a). 
Determine as reações nos apoios. EI é constante.
Exemplo 12.19
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Usando o método da superposição, os diagramas M/EI separados para 
reação redundante By e para carga P.
(Resposta) PB
L
EI
PL
LL
EI
PLL
L
EI
LB
Lt
y
y
AB
5,2
0
2
1
3
2
2
1
22
1
3
2
/
=
=










 −






+










 −






+

















=
0/ =ABtVisto que , então0=B
Aplicando o Teorema 2, temos,
Solução:
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As reações em A no diagrama de corpo livre são
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Determine as reações no apoio de rolete B da viga mostrada na Figura 
(a) e trace os diagramas de força cortante e momento fletor. EI é 
constante.
Exemplo 12.21
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Por inspeção, a viga é estatisticamente 
indeterminada de primeiro grau.
Considerando o dislocamento positivo 
para baixo, a equação de compatibilidade 
em B é
Deslocamentos podem ser obtidos 
diretamente da tabela do Apêndice C.
Solução:
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Substituíndo na Eq. 1 e resolvendo, obtemos
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Determine as reações na viga mostrada na Figura (a). Devido à carga e 
à má construção, o apoio de rolete em B cede 12 mm. Considere E = 
200GPa e I = 80(106) mm4.
Exemplo 12.22
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Por inspeção, a viga é indeterminada de 
primeiro grau.
Com referência ao ponto B, utilizando 
unidades métricas, exige-se que
Utilizando a tabela no Apêndice C,
Solução:
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Portanto, Equação 1 torna-se
Substituindo E e I, temos
Nós podemos calcular as reações em A e C 
usando as equações de equilíbrio.